浙江省温州市高考数学二模试卷 理(含解析)

浙江省温州市2016年高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩?U B=（）A．{3} B．{1，2，4，5} C．{1，2} D．{1，3，5}

2．已知实数x，y满足，则z=x﹣y（）

A．最小值为﹣1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值

C．最大值为﹣1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值

3．直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：（m﹣2）x+my﹣1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）

A．4 B．C．8 D．

5．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．若（A2⊕A3）⊕A m=A0，则m的值为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）

A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线

7．数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）

A ．f （x ）=

B ．f （x ）=2x

﹣1 C ．f （x ）=

D ．f （x ）=log 2（x+1）

8．棱长为2的正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）

A ．2

B ．

C ．

D ．2

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．以椭圆

=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 ，

离心率为 ． 10．函数

的图象如图所示，则ω= ，

φ= ．

11．已知等差数列{a n }的公差为﹣3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n = ，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为 ． 12．设奇函数f （x ）=

，则a+c 的值为 ，不等式f

（x ）＞f （﹣x ）在x ∈[﹣π，π]上的解集为 ． 13．若正数a ，b 满足log 2a=log 5b=lg （a+b ），则的值为 ．

14．若存在x 0∈[﹣1，1]使得不等式1000

2124+≤+?-x x x a 成立，则实数a 的取值范围

是 ．

15．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足，若，则x+y的最小值为．

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=．（Ⅰ）求sinC的值；

（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．

17．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．

（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；

（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．

18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）．

（1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；

（2）若对任意的x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，使得f（x1）+f（x2）＞a，求的取值范围．

19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形．

（1）求该椭圆方程；

（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．

20．设正项数列{a n}满足：a1=1，且对任意的n，m∈N+，n＞m，均有a2n+m a2n﹣m=n2﹣m2成立．（1）求a2，a3的值，并求{a n}的通项公式；

（2）（ⅰ）比较a2n﹣1+a2n+1与2a2n的大小；

（ⅱ）证明：a2+a4+…+a2n＞．

2016年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩?U B=（）A．{3} B．{1，2，4，5} C．{1，2} D．{1，3，5}

【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．

【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，

∴?U B={1，2}，

则A∩?U B={1，2}，

故选：C．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=x﹣y（）

A．最小值为﹣1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值

C．最大值为﹣1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，

平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，即和直线AD：x﹣y=﹣1平行时，直线y=x﹣z 的截距最大，此时z最小，最小为﹣1，

无最大值，

故选：A．

【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．

3．直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：（m﹣2）x+my﹣1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．

【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣1=0，2x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．

当m≠0时，若l1⊥l2，则﹣m（﹣）=﹣1，解得m=1．

综上可得：m=0，或m=1，

故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，

故选：A．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）

A．4 B．C．8 D．

【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．

【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，

底面是一个矩形：两条边分别是4、2，且四棱锥的高是2，

∴几何体的体积V==，

故选：B．

【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．

5．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．若（A2⊕A3）⊕A m=A0，则m的值为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】根据新定义进行推理计算即可．

【解答】解：∵2+3=5，5除4的余数为1，

∴A2⊕A3=A1，

则A1⊕A m=A0，则1+m是4的倍数，

则m=3，

故选：D．

【点评】本题主要考查推理的应用，根据新定义是解决本题的关键．比较基础．

6．点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）

A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线

【分析】根据题意可知|PC|﹣r=|PA|，即P到C与A的距离之差为常数，故而P在双曲线上运动．

【解答】解：设圆C的半径为r，由题意可知P到圆C的距离为|PC|﹣r，

∴|PC|﹣r=|PA|，即|PC|﹣|PA|=r．

∴P点轨迹为以A，C为焦点的双曲线靠近A点的一只．

故选：C．

【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题，

7．数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）= D．f（x）=log2（x+1）

【分析】A．由a1∈（0，1），可得＞a n，即可判断出数列{a n}的单调性；

B．由a1∈（0，1），不妨取a1=，则a2=﹣1=﹣1，即可判断出数列{a n}的单调性；C：f（x）=，令2x﹣x2≥0，可得得0≤x≤2．由f（x）==，利用二次函数的单调性及其a1∈（0，1），即可判断出数列{a n}的单调性；

D．利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log2（x+1）＞x，即可判断出数列{a n}的单调性．

【解答】解：对于A．∵a1∈（0，1），∴＞a n，可得数列{a n}是递增数列；

对于B．∵a1∈（0，1），不妨取a1=，则a2=﹣1=﹣1，因此数列{a n}不是递增数列；

对于C：f（x）=，令2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2．由f（x）==，可知：当0≤x≤1时，函数f（x）单调递增；当1≤x≤2时，函数f（x）单调递减．∵a1∈（0，1），∴数列{a n}是递增数列；

对于D．利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log2（x+1）＞x，

∴a n+1=log2（a n+1）＞a n，因此数列{a n}是递增数列．

故选：B．

【点评】本题考查了数列的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

8．棱长为2的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为（）

A．2 B． C． D．2

【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得出结论．

【解答】解：由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，

在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，则

EM=2．EN=，∠MEN=135°，

∴MN==．

故选：B．

【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

9．以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是y=±x ，离心率为．

【分析】由椭圆=1的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），求出双曲线的标准方程，由此能求出结果．

【解答】解：∵椭圆=1的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），

∴以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的标准方程为：

=1，

∴双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率e==．

故答案为：，．

【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用．

10．函数的图象如图所示，则ω= 2 ，φ=．

【分析】通过函数的图象，求出T然后求出ω，利用图象经过（π，0）求出φ的值．

【解答】2，解：由图象可知T=π，，则ω=2，

∵函数经过点（π，1），

∴1=2sin（2×π+φ），sinφ=，

|φ|＜，故φ=；

故答案为2，．

【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用．

11．已知等差数列{a n}的公差为﹣3，且a3是a1和a4的等比中项，则通项a n= ﹣3n+15 ，数列{a n}的前n项和S n的最大值为30 ．

【分析】由题意可得（a1﹣6）2=a1（a1﹣6），解之可得a1，代入通项公式得到a n=﹣3n+15，再判断数列{a n}的前n项和S n的最大值的n的情况，即可求出，

【解答】解：由题意可得（a1﹣6）2=a1（a1﹣9），

解得a1=12，

∴a n=12+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+15，

∴a n=﹣3n+15≥0，解得n≤5，

∴S5=5×12+=30，

故答案为：﹣3n+15，30．

【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和等比中项的定义，属基础题．

12．设奇函数f（x）=，则a+c的值为0 ，不等式f（x）＞f（﹣x）在x∈[﹣π，π]上的解集为．

【分析】根据函数奇偶性的定义和性质求出a，b，c的值，利用分类讨论的思想进行求解即可得到结论．

【解答】解：∵f（x）是奇函数，

∴f（0）=0，

即f（0）=acos0﹣sin0+c=a+c=0，

即a+c=0，

则f（x）=，

若x＜0，则﹣x＞0，

则f（﹣x）=acosx+sinx﹣a=﹣cosx﹣bsinx﹣a，

则a=﹣1，b=﹣，c=1，

即f（x）=，

若0≤x≤π，

则由f（x）＞f（﹣x）得﹣cosx﹣sinx+1＞cosx+sinx﹣1，

即cosx+sinx＜1，即cos（x﹣）＜，

∵0≤x≤π，∴﹣≤x﹣≤，

则＜x﹣≤，即＜x≤π，

若﹣π≤x＜0，

则由f（x）＞f（﹣x）得cosx﹣sinx﹣1＞﹣cosx+sinx+1，