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(完整版)二项式定理练习题

二项式定理练习题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的. 1．在()

x -的展开式中，6

x 的系数为

（）

A ．610

C 27- B ．410

C 27 C ．6

10C 9-

D ．4

10C 9

2．已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于

（）

A ．4

B ．9

C ．10

D ．11

3．已知（n a a )1

的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是（）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13 4．5310被8除的余数是

（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是

（）

A ．1.23

B ．1.24

C ．1.33

D ．1.34

6．二项式n

4x 1x 2??? ?

?+ (n ∈N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项

数是

（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．设(3x 3

1+x 2

1)n

展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2

项的系

数是

（）

A ．2

B ．1

C ．2

D ．3

8．在6

2)1(x x -+的展开式中5

x 的系数为

（）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

9．n

x x

)

(513

1+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是

（）

A ．330

B ．462

C ．680

D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4

x 的系数为

（）

A ．－40

B ．10

C ．40

D ．45

11．二项式(1+sinx)n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为

，则x 在[0，2π]内的值为

（）

A ．

6π或3π B ．6

π或65π

C ．

3π或32π D ．3

π或65π

12．在(1+x )5+(1+x )6+(1+x )7的展开式中,含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的

（）

A ．第2项

B ．第11项

C ．第20项

D ．第24项

二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果. 13．9

)21(x

x -

展开式中9x 的系数是 . 14．若()

44104

x a x a a 3

x 2+???++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为__________.

15．若 3

2()n

x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 16．对于二项式(1-x)1999

，有下列四个命题：

①展开式中T 1000= －C 19991000x 999； ②展开式中非常数项的系数和是1；

③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； ④当x=2000时，(1-x)

1999

除以2000的余数是1．

其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题：本大题满分74分. 17．（12分）若n x

x )1

展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．

（１）求n 的值；

（２）此展开式中是否有常数项，为什么？

18．（12分）已知(

x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．

19．（12分）是否存在等差数列{}n a ，使n

n n 1n 2n 31n 20n 12

n C a C a C a C a ?=+???++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．

20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提

高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？

21. （12分）设f(x)=(1+x)m +(1+x)n (m 、n N ∈)，若其展开式中，关于x 的一次项系数为11，试问：m 、n

取何值时，f(x)的展开式中含x 2项的系数取最小值，并求出这个最小值.

22．（14分）规定!

)1()1(m m x x x C m

x +--=

Λ，其中x ∈R ，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m

n C （n 、

m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广． (1) 求3

15-C 的值；

(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(x x

C C 取得最小值？

(3) 组合数的两个性质；

①m n n m n C C -=. ②m

n m n m n C C C 11+-=+.

是否都能推广到m

x C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若

不能，则说明理由.

参考答案

一、选择题

1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C

3．解：21

/11/2n n C C =，12n =．

5．解：(1.05)6 =

()?

??+?+?+?+=+3

362261606605.0C 05.0C 05.0C C 05.01 =1+0.3+0.0375+0.0025+…≈1.34．

6．解：4

316x

C 2T r

8r 81r --+=，r=0,1,…,8. 设k 4

r 316=-，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).

7．解：由,2722

n =+得162n =，n=4,6

C 3T r 4r 41r +-+=, 取r=4.

8．解：设62)1(x x -+

=[]6

2)(1x x -+的展开式的通项为,1

+r T

则r r r x x C T )(261-=+(r=0,1,2,…,6).

二项式

r x x )(2-展开式的通项为

n r n r n n n r n r n n x C x x C t +-+-=-=)1()()1(21(n=0,1,2,…,r)

62)1(x x -+的展开式的通项公式为∑=++-=r

n n r n r r n r x C C T

,)1(

令r+n=5,则n=5-r .0,60,0r n r ≤≤≤≤

≥r=3,4,5,n=2,1,0.

62)1(x x -+展开式中含5x 项的系数为: .6)1()1()1(0

5560144623362=-+-+-C C C C C C

9．解：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x =1 即得所有项系数之和，.11,210242

101

=∴==-n n 各项的

系数为二项式系数，故系统最大值为6

11C 或5

11C ，为462．

10．解：54)1()1(-+x x =45444)1()1()1()1()1()1(+-=-+-+x x x x x x

=+-x x ()

1(5

2)12+x =)1464()1(25++++-x x x x x x

4x 的系数为.45)1(6)1(1525335=-+?+-C C C

二、填空题 13．2

21-

； 14．1； 15．64

71010T C C ===210； 16．①④．三、解答题

17．解：（１）n = 7 （6分）（２）无常数项（6分）

18．解：由01237,n n n C C C ++=(3 分)得11(1)372n n n ++-=（5分），得8n =．（8分）455585

135(2)416

T C x x ==，该项的系数最大，为3516

．（12分）

19．解：假设存在等差数列

n a d )1n (a 1-+=满足要求（2分）

=+???++++n

n 1n 2n 31n 20n 1C a C a C a C a ()()

n n 2n 1n n n 1n 0n 1

nC C 2C d C C C a +???++++???++（4分）=n

2a ?()

n n 11n 1n 11n 01n 2

nd 2a C C C nd -----?+?=+???+++（8分）依题意n 1n n 12n 2nd 2a ?=?+?-，()02d n a 21=-+对*N n ∈恒成立，（10分）,0a 1

=∴2d =, 所求的等差数列存在，

其通项公式为)1n (2a n -=．（12分）

20．解：设耕地平均每年减少x 亩，现有人口为p 人，粮食单产为m 吨/亩，（2分）依题意

()(

)()

(),%101p

m %11p x

1010%221m 4

4+?≥+?-?+?（6分）

化简：

()?

????+?-?≤22.101.011.1110x 103

（8分）

()

???????+?+?+-=2

210110301.0C 01.0C 122.11.1110（10分） 3 1.1101 1.1045 4.11.22??

≈-?≈????

4x ≤∴（亩）

答：耕地平均每年至多只能减少4亩．（12分）

21．解：展开式中，关于x 的一次项系数为,

11n m C C 1n 1m =+=+（3分）关于x 的二次项系数为()()[]55

n 11n 1n n 1m m C C 2212n 2m +-=-+-=+，（8分）当n=5或6时，含x 2项的系数取最小值25，此时m=6,n=5或 m=5,n=6. （12分）

22．解：(1)680!

3)17)(16)(15(315

-=---=-C . （4分） (2) )32(616)2)(1()

213

-+=--=

x x x x x C C x x

. （6分） ∵ x > 0 ,

222

≥+

x . 当且仅当2=x 时，等号成立. ∴

当2=x 时，2

13)

(x x

C C 取得最小值. （8分）

（3）性质①不能推广，例如当2=x

时，12C 有定义，但1

-C 无意义; （10分）

性质②能推广，它的推广形式是m

x m x m x C C C 1

1+-=+，x ∈R , m 是正整数. （12分）事实上，当m ＝１时，有1

011+=+=+x x x C x C C . 当m ≥２时.)!1()2()1(!)1()1(1----++--=+-m m x x x m m x x x C C m x

m x ΛΛ

????

?++--+--=11)!

1()2()1(m

m x m m x x x Λ!

)1)(2()1(m x m x x x ++--=Λm x C 1+=．（14分）

完整版二项式定理测试题及答案

二项式定理测试题及答案 n 能使(n+i) 4 成为整数(B ) C.2 D.3 A A ； L L A ；J°，则S 的个位数字是(C ) -a ) 8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和 x A. 15 个 B. 33 个 C. 17 个 D. 16 个是(C ) A.28 B.38 C.1 或38 D.1 或 28 5.在(2 3 5)100的展开式中，有理项的个数是( 6.在、x 1 3x 24 的展开式中，x 的幕指数是整数的项共有(C B . 4项 -x)6的展开式中，含、5 A. 3项 7?在(1 - x)5- (1 A 、一 5 B 、5 C & (1 x)5 (1 x)3的展开式中x 3的系数为(A A . 6 B. -6 C. 9 9.若x==，则(3+2x) 10的展开式中最大的项为(B 2 A.第一项 C . 5项 3 x 的项的系数是(C 、一10 B. 、10 ) D . -9 第三项 C. 第六项 D. 第八项 A. 7 B. 12 C. 14 D . 5 11.设函数 f(x) (1 2x)10 ,则导函数 2 f (x)的展开式x 项的系数为(C ) A. 1440 B .-1440 C .-2880 D .2880 12 .在(x 1 5 -I)5 x '的展开式中，常数项为( B ) (A ) 51 (B ) -51 (C )- ii (D ) ii 13 .若(x n n 1) x L 3.2. ax bx L 1(n N )，且 a:b 3:1，则n 的值为(C ) A. 9 B . 10 C . ii D. 12 14 .若多项式x 2 10 x =a 0 a i (x 1) a 9(x i)9 a i0(x i)i0, 则 a 9 ( ) (A ) 9 (B ) 10 (C ) 9 (D ) 10 10.二项式 n 的最小值为( ) A 解：根据左边 1,易知 a io 10 X 的系数为 1，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为 1 3 )n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 3x 3 1.有多少个整数 A.0 B.1 2. 2 4 展开式中不含x 项的系数的和为(B ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3?若 S =A 1 4.已知(x (2x 4

二项式定理高考题(带答案)

年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, % 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D.

【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为 __________． ' 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为￥ A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C

二项式定理历年高考试题荟萃

圆梦教育中心二项式定理历年高考试题一、填空题( 本大题共24 题, 共计120 分) 1、(1+2x)5的展开式中x2的系数是。（用数字作答） 2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是. 3、已知,则(的值等于。 4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。（用数字作答） 6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 7、的二项展开式中常数项是。(用数字作答). 8、(x2+)6的展开式中常数项是。(用数字作答) < 9、若的二项展开式中的系数为，则。（用数字作答） 10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。 11、（x+）9展开式中x3的系数是。（用数字作答） 12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。其展开式中的常数项为。（用数字作答）

13、的展开式中的系数为。(用数字作答) 14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。 15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为. 16、的展开式中常数项为; 各项系数之和为.（用数字作答） 17、(x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答) 18、(1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________. < 19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________. 20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________. 21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝. 22、(x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答) 23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________. 24、展开式中x的系数为.

2018届浙江省基于高考试题的复习资料——二项式定理

（2）增减性与最大值：当r≤n+1 22 n 相等并同时取最大值。九、计数原理与古典概率（二）二项式定理一、高考考什么？ [考试说明] 3．了解二项式定理，二项式系数的性质。 [知识梳理] 1．二项式定理：(a+b)n=C0a n+C1a n-1b+ n n +C r a n-r b r+ n +C n b n，其中组合数C r叫 n n 做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项T r+1=C r a n-r b r(r=0,1,2, n ???），会求常数项、某项的系数等 2．二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m=C n-m； n n n+1 时，二项式系数C r的值逐渐增大，当r≥时, n C r的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第n n 2＋1项）的二项式系数C n 2 n 取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第 n+1n+3 和项）的 22 二项式系数C n-12 n =C n+12（3）二项式系数的和： C0+C1+ n n +C r+ n +C n=2n； n C0+C2+???=C1+C3+???=2n-1。n n n n 3.展开式系数的性质：若 (a+bx)n=a+a x+ 01+a x n；令f(x)=(a+bx)n n 则：（1）展开式的各项系数和为f (1) （2）展开式的奇次项系数和为1 [f(1)-f(-1)] 2

（6） x - ? 展开式中的常数项是（） 1 （3）展开式的偶次项系数和为 [ f (1)+ f (-1)] 2 二、高考怎么考？ [全面解读] 从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均有一题，难度为中等，从未改变。命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注意二项式系数与展开式系数的区别。 [难度系数] ★★★☆☆ [原题解析] [2004 年] （7）若 ( x + 2 3 x )n 展开式中存在常数项，则 n 的值可以是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 [2005 年] （5）在 (1- x)5 + (1- x) 6 + (1- x) 7 + (1- x) 8 的展开式中，含 x 3的项的系数是（） A ．74 B ． 121 C ．－74 D ．－121 [2006 年] （8）若多项式 x 2 + x 10 = a + a ( x + 1) + 1 + a ( x + 1) 9 + a ( x + 1) 10 , 9 10 则 a = （） 9 A ．9 B ．10 C ．-9 D ．-10 [2007 年] ? 1 ?9 ? x ? A ． -36 B ． 36 C ． -84 D ． 84 [2008 年]

二项式定理-高考题(含答案)

二项式定理高考真题一、选择题 1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x 的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42（B ）35（C ）28（D ）21 2.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10 3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5 212x x 的二项展开式中，x 的系数为（ D ） (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在62() 2x x 的二项展开式中，2x 的系数为（ C ）（A ）15 4（B ）15 4（C ）3 8（D ）3 8 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）8 21x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x 的展开式中3x 的系数为( A ) (A)270 (B)90 (C)90 (D)270 7. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)8411+x y 的展开式中22x y 的系数是( D ) A.56 B.84 C.112 D.168

8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）51 2a x x x x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 9. (2011·重庆高考理科·T4)n x)31((其中n N 且6n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n ( B ) (A)6 (B) 7 (C)8 (D)910．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x （x R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20（B ）15（C ）15 （D ）20 二、填空题 11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）61 x x 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）181 3x x 的展开式中含15x 的项的系数为 17 . 13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 . 14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x （的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）. 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x 的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x （，则 1110a a = 0 . 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x 的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答) 18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62a x x 的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .

二项式定理11种题型解题技巧

二项式定理知识点及11种答题技巧 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理练习题求展开式系数的常见类型

二项式定理 1．在()103x -的展开式中，6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 . 7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．

14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________． 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________． 19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.

二项式定理高考题(含答案)

二项式定理高考真题一、选择题 1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2 x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）21 2.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）10 3.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x ??- ?? ?的二项展开式中，x 的系数为（ D ） (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在6 的二项展开式中，2x 的系数为（ C ）（A ）154- （B ）154 （C ）38- （D ）38 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821??? ? ?+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)4 35 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A ) (A)270- (B)90- (C)90 (D)270 7. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22 x y 的系数是 ( D )

A.56 B.84 C.112 D.168 8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）5 12a x x x x ????+- ???????的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 9. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 二、填空题 11.（2013·天津高考理科·Ｔ10）6x ?- ? 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11） 18 x ?- ? 的展开式中含15x 的项的系数为17. 13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）)20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为0. 14.（2011·四川高考文科·Ｔ13） 91)x +（的展开式中3x 的系数是84（用数字作答）. 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是240. 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则 1110a a +=0. 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x -的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】

决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，

，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】 8.【2017浙江，13】已知多项式() 1x +3 ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则 4a =________，5a =________．

二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策浙江省温州22中学高洪武 325000 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。题型一：求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4 )13(x x + 的展开式；解：原式=4 )13( x x += 2 4 ) 13(x x + = ])3()3()3()3([144 3 4 2 2 4 3 1 4 4 42 C C C C C x x x x x ++++ = )112548481(12 3 4 2 ++++x x x x x =5411284812 2 ++ + +x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4 )13(x x - 的展开式；分析：解决此题，只需要把4 )13(x x - 改写成4 )]1(3[x x - +的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3 )1( (279313) 2 1 -++-+-；解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 3 3 2 2 1 1 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。题型二：求二项展开式的特定项

二项式定理10种题型的解法

二项式定理十种题型及解法 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理(基础+复习+习题+练习)

课题：二项式定理考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +，令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +

2020年高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练【题型归纳】题型一二项式定理展开的特殊项例在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数．题型二求参数的值例若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值．题型三展开项的系数和例已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B

【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型题型四二项式定理中的赋值二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和．【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值【巩固训练】题型一二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A

二项式定理试题类型大全

二项式定理试题类型大全一．选择题 1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ）A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1 B.0 C.1 D.2 3．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ） A 0 B 3 C 5 D 8 4．已知（x － x a ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ）A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 5．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（）Ａ．15个Ｂ．33个．17个Ｄ．16个 6.在2431??? ? ??+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ） A 、－5 B 、 5 C 、10 D 、－10 8．35)1()1(x x +?-的展开式中3x 的系数为（） A ．6B ．-6 C ．9D ．-9 9．若x= 21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ）A.第一项B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3n x x - 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（） A ．7 B ．12 C ．14 D ．5 11.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ） A ．1440 B ．-1440 C ．-2880 D ．2880 12．在51(1)x x +-的展开式中，常数项为（ B ）（A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）11 13．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（Ｃ）Ａ．9 Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12 14．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++???+++x a x a x a a ，则=9a （）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 故选D 。 17.若二项式6)sin ( x x -θ展开式的常数项为20，则θ值为（ B ） A. )(22Z k k ∈+ππ B. )(22z k k ∈-ππ C. 2π D. 2π- 18．5310 被8除的余数是（）A 、1 B 、2 C 、3 D 、7 19已知i x +=2，设444334224141x C x C x C x C M +-+-=，则M 的值为（） A 4 B -4i C 4i D 20.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近视值是………………………（） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44

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10.3二项式定理【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( 二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。 2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =???）（1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项（2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的系数是字母幂前的常数。（3）注意0,1,2,,r n =??? 3、二项式展开式的二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即 m n C =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。（3）所有二项式系数的和等于2n ，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ 4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ???的性质：对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++???+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+???+-=- 5、证明组合恒等式常用赋值法。【例题精讲】例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1

二项式定理高考试题及其答案总

二项式定理历年高考试题荟萃(一) 一、选择题 ( 本大题共 58 题) 1、二项式的展开式中系数为有理数的项共有………（） A.6项 B.7项 C.8项 D.9项 2、对于二项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（） ①存在n∈N，展开式中有常数项； ②对任意n∈N，展开式中没有常数项； ③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项； ④存在n∈N，展开式中有x的一次项. 上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与① 3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，15 4、（2x3－）7的展开式中常数项是……………………………………………………… （） A.14 B.－ 14 C.42 D.－42 5、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………() (A)28 (B)38 (C)1或 38 (D)1或28

6．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（） A.8 B.9 C.10 D.12 7 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………() A.6 B.12 C.24 D.48 8、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（） A.15 B.－ 15 C.20 D.－20 9、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（） A.14 B.－ 14 C.42 D.－42 10、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（） A.8 B.9 C.10 D.12 11、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于 A．4 B．6 C．8 D．10 12、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（） A.4项 B.3项 C.2项 D.1项

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1.2018 年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】 C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令, 则，所以故选 C. 2. 【2018 年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】 7 【解析】分析 : 先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1 项，再根据项的次数为零解得 r ，代入即得结果 . 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3. 【2018 年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】

决问题的关键． 4．【山西省两市 2018 届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】 B 5．【安徽省宿州市2018 届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】 -132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，

，据此可得：展开式中项的系数为. 6.【2017 课标 1，理 6】(1 1 6 展开式中 2 的系数为x 2 )(1 x) x A． 15 B． 20 C． 30 D． 35 【答案】 C 【解析】试题分析：因为 (1 1 2 )(1 x)6 1 (1 x)6 12 (1 x)6，则 (1 x)6展开式中含 x2的项为x x 1 C62x 2 15 x2，1 2 (1 x) 6展开式中含 x2 的项为 1 2 C64 x4 15x2，故 x2前系数为x x 15 15 30 ，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同 . 7. 【 2017 课标 3，理 4】x y 2x 5 y的展开式中 x 3y3的系数为 A．80 B．40 C． 40 D． 80 【答案】 C 【解析】 8. 【 2017 浙江， 13 】已知多项式x 13x 22= x5 a1x4 a2 x3 a3x2 a4 x1 a5，则 a4=________， a5=________．

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