专题四 第1讲
第1讲 等差数列与等比数列
1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100B ．99C ．98D ．97 答案 C
解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公
差d ＝a 10－a 5
10－5
＝1，
∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.
2．(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 6
解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2
×(－2)＝6.
3．(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 20
解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得： ?????
a 1＋(a 1＋d )2
＝－3，5a 1
＋5×4
2d ＝10，解得?????
a 1＝－4，
d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.
4．(2016·课标全国乙)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为__________． 答案 64
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，
∴????? a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5??????
a 1＋a 1q 2＝10，
a 1q ＋a 1q 3
＝5，解得?
????
a 1＝8，q ＝12
，
∴a 1a 2…a n ＝???
?12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4) 211749
(7)[()]222411()(),22
n n n ---== ∵n ∈N *，
∴当n ＝3或4时，1
2???????
?n －722－494取到最小值－6， 此时21
749
[()]2241()2
n --取到最大值26＝64，
∴a 1a 2…a n 的最大值为64.
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.
2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.
热点一 等差数列、等比数列的运算 1．通项公式
等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －
1.
2．求和公式
等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；
等比数列：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q (q ≠1)．
3．性质 若m ＋n ＝p ＋q ，
在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .
例1 (1)已知数列{a n }中，a 3＝76，a 7＝15
14，且????
??1a n －1是等差数列，则a 5等于( )
A.109
B.1110
C.1211
D.13
12
(2)已知等比数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，且a 1＋a 7＝9，a 4＝22，则S 8等于( )
A ．15(1＋2)
B ．15?
??
?
1＋
22 C ．15 2 D ．15(1＋2)或15(1＋
22
) 答案 (1)B (2)D
解析 (1)设等差数列????
??1a n －1的公差为d ，则1a 7－1＝1a 3－1＋4d ，∴11514－1＝1
76
－1＋4d ，解得d
＝2. ∴
1a 5－1＝1a 3－1
＋2d ＝10，解得a 5＝1110.
(2)由a 4＝22，得
a 1a 7＝a 2
4＝8，故
a 1，a 7是方程x 2
－9x ＋8＝0的两根，所以?
????
a 1＝1，
a 7＝8或
????? a 1＝8a 7＝1.因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以公比q >0.当?
????
a 1＝1，
a 7＝8时q ＝6a 7a 1＝2，所
以S 8＝1×[1－(2)8]
1－2
＝15(1＋2)；
当?????
a 1＝8，a 7＝1
时，q ＝6a 7a 1＝22，所以S 8＝8×????1－????2281－
22
＝15????1＋2
2.故选D.
思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．
跟踪演练1 (1)(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.
(2)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝2，则log 2
a 2013＋a 2014＋a 2015＋a 2016
3
＝________.
答案 (1)2
3
－1 (2)1006
解析 (1)∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， 即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，∴a 1＝－23d .
∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1，即3a 1＋d ＝1， ∴a 1＝2
3
，d ＝－1.
(2)在等比数列中，(a 1＋a 2)q 2＝a 3＋a 4， 即q 2＝2，所以a 2013＋a 2014＋a 2015＋a 2016 ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)q 2012＝3×21006， 所以log 2a 2013＋a 2014＋a 2015＋a 2016
3＝1006.
热点二 等差数列、等比数列的判定与证明
数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1
a n (n ∈N *)为一常数；
②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．
例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且满足a n ＋S n ＝2n ＋1. (1)求证：数列{a n －2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)求证：
12a 1a 2＋122a 2a 3＋…＋12n a n a n ＋1<1
3
. 证明 (1)∵a n ＋S n ＝2n ＋1，令n ＝1， 得2a 1＝3，a 1＝3
2.
∵a n ＋S n ＝2n ＋1，
∴a n －1＋S n －1＝2(n －1)＋1 (n ≥2，n ∈N *)． 两式相减，得2a n －a n －1＝2，整理a n ＝1
2a n －1＋1，
a n －2＝1
2
(a n －1－2)(n ≥2)，
∴数列{a n －2}是首项为a 1－2＝－12，公比为1
2的等比数列，
∴a n －2＝－????12n ，∴a n
＝2－1
2n . (2)∵
12n
a n a n ＋1＝12n ·2n ＋1
－12n ·2n ＋2－1
2
n ＋1
＝2n ＋
1(2n ＋1－1)(2n ＋2
－1)＝12n ＋1－1－1
2n ＋2－1
，
∴
12a 1a 2＋122a 2a 3＋…＋12n a n a n ＋1
＝(
122
－1－123－1)＋(123－1－124－1)＋…＋(12n ＋1－1－1
2n ＋2－1
) ＝13－12n ＋2－1<13
. 思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式，但不能作为证明方法．
(2)a n ＋1a n ＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．
跟踪演练2 (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________.
(2)已知数列{b n }的前n 项和为T n ，若数列{b n }满足各项均为正项，并且以(b n ，T n ) (n ∈N *)为坐标的点都在曲线ay ＝a 2x 2＋a
2x ＋b (a 为非零常数)上运动，则称数列{b n }为“抛物数列”．已
知数列{b n }为“抛物数列”，则( ) A ．{b n }一定为等比数列 B ．{b n }一定为等差数列 C ．{b n }只从第二项起为等比数列 D ．{b n }只从第二项起为等差数列 答案 (1)2n ＋
1－3 (2)B
解析 (1)由已知可得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， 又a 1＋3＝4，
故{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋3＝4×2n －
1，
∴a n ＝2n ＋
1－3.
(2)由已知条件可知，若数列{b n }为“抛物数列”，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则数列{b n }满足各项均为正项，并且以(b n ，T n )(n ∈N *)为坐标的点都在曲线ay ＝a 2x 2＋a
2x ＋b (a 为非零常
数)上运动，即aT n ＝a 2·b 2n ＋a 2·b n ＋b ，当n ＝1时，aT 1＝a 2·b 21＋a 2·b 1＋b ?ab 1＝a 2·b 21＋a 2·b 1＋b ?a 2·b
2
1－a
2·b 1＋b ＝0?a ·b 21－a ·b 1＋2b ＝0， 即b 1＝a ＋a 2－8ab 2a
；
当n ≥2时，由aT n ＝a 2·b 2n ＋a
2·b n
＋b ，
及aT n －1＝a 2·b 2n －1＋a
2·b n －1＋b ，
两式相减得
a ·
b n ＝a 2·(b 2n －b 2
n －1)＋a 2·(b n －b n －1) ?a 2·(b 2n －b 2n －1)－a 2·(b n
＋b n －1)＝0， 由各项均为正项，可得b n －b n －1＝1(n ≥2)， 由等差数列的定义可知{b n }一定为等差数列．
热点三 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解． 例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；
(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n 解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ， 则q ＝b 2b 1＝12 ， ∴T m ＝4[1－(12)m ] 1－12＝8[1－(1 2)m ]， ∵(1 2)m 随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－81 4]， 故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10， 若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n 思维升华 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便． (2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题． (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解． 跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足13() 2 n n a b n a ?+=，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围． 解 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1， 又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ?a n ＋1＝3 2 a n ， 所以数列{a n }是以1为首项，3 2为公比的等比数列，所以a n ＝????32n －1. (2)由13 ()2 n n a b n a ?+=， 得11313221232 log ()log ()(),32 3n n n n n n b a n a --+= ==? 所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·????23n －n ·????23n －1＝2n －1 3 n (2－n )， 所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥4 3 . 1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13 押题依据 等差数列的性质和前n 项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力． 答案 C 解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0， ∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12. 2．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 12等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点． 答案 C 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 4－2a 27＋3a 8＝0，所以a 7－3d －2a 2 7＋3(a 7＋d )＝0， 即a 27＝2a 7，解得a 7＝0(舍去)或a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.因为数列{b n }是等比数列，所以b 2b 12＝b 27＝4. 3．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4 m 的最小值为( ) A.32 B.53 C.256 D.43 押题依据 本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向． 答案 A 解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与 条件中等比数列的各项都为正数矛盾，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212 m ＋n －2 ＝16a 21 ，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n ) ＝16(4m n ＋n m ＋5)≥1 6 (24m n ·n m ＋5)＝3 2 ， 当且仅当4m n ＝n m ，m ＋n ＝6， 即n ＝2m ＝4时取得最小值3 2 . 4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 押题依据 先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形 式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉． 答案 C 解析 等比数列性质，a n a n ＋2＝a 2n ＋1， ①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)； 2212221()()2222()n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ≠＋＋＋＋＋＋②＝＝＝； ③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝f 2(a n ＋1)； ④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)．故选C. A 组 专题通关 1．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．28 答案 C 解析 由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝(a 4＋a 12)＋(a 6＋a 10)＋a 8＝5a 8＝120，解得a 8＝24，∵a 8＋a 12＝2a 10， ∴2a 10－a 12＝a 8＝24. 2．已知在等差数列{a n }中，a 1＝120，d ＝－4，若S n ≤a n (n ≥2)，则n 的最小值为( ) A ．60 B ．62 C ．70 D ．72 答案 B 解析 由题意可知，S n ＝na 1＋ n (n －1) 2 d ＝－2n 2＋122n ，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝124－4n ，由S n ≤a n 得－2n 2＋126n ≤124，解得n ≤1或n ≥62，又n ≥2，∴n ≥62，故选B. 3．在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 答案 C 解析 由题意可得q ≠1，由数列{S n ＋2}是等比数列，可得S 1＋2，S 2＋2，S 3＋2成等比数列，所以(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)，所以(6＋4q )2＝24(1＋q ＋q 2)＋12， ∴q ＝3(q ＝0舍去)．故选C. 4．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投 入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( ) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 答案 B 解析 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x ＝200，解得x ＝log 1.12 200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12 ≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年．故选B. 5．函数f (x )＝? ???? (3－a )x －3，x ≤7， a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n ) (n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则 实数a 的取值范围是( ) A.???? 94，3 B.???? 94，3 C ．(2,3) D ．(1,3) 答案 C 解析 因为a n ＝f (n ) (n ∈N *)，{a n }是递增数列， 所以函数f (x )＝????? (3－a )x －3，x ≤7， a x －6，x >7为增函数需满足三个条件?? ??? 3－a >0，a >1， f (7) 解不等式组得 实数a 的取值范围是(2,3)，故选C. 6．若数列{n (n ＋4)????23n }中的最大项是第k 项，则k ＝________. 答案 4 解析 设最大项为第k 项，则有 ??? k (k ＋4)????23k ≥(k ＋1)(k ＋5)??? ?23k ＋1，k (k ＋4)????23k ≥(k －1)(k ＋3)??? ?23k －1 ， ∴????? k 2 ≥10，k 2－2k －9≤0???? k 2 ≥10，1－10≤k ≤1＋10， 故k ＝4. 7．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2 (n ∈N *，n ≥3)，则a 2017＝________. 答案 2 解析 因为a 1＝2，a 2＝3，所以a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝323＝12，a 5＝a 4a 3＝1 232 ＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝ a 6 a 5 ＝2，a 8＝a 7 a 6＝3，…，所以数列{a n }是以6为周期的周期数列， 所以a 2017＝a 336×6＋1＝a 1＝2. 8．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝1 2(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前 n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 答案 2×????32n －1 ????? 2 (n ＝1)，??? ?32n －2(n ≥2) 解析 由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝3 2S n ， 由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为3 2，所以S n ＝2×????32n －1， 由此得a n ＝???? ? 2 (n ＝1)，??? ?32n －2(n ≥2). 9．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n <16 3. (1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列， 所以????? a 2＋1＝a 1－3，a 3＝(a 2＋1)－3， 即? ???? a 1q －a 1＝－4，a 1q 2－a 1q ＝－2，解得a 1＝8，q ＝12. 所以a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－ n . (2)证明 因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a 2n ＝1 4 ， 所以数列{b n }是以b 1＝a 2＝4为首项，1 4为公比的等比数列． 所以S n ＝4[1－(14)n ] 1－14 ＝163·[1－(14)n ]<16 3. 10．(2015·四川)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列???? ??1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜1 1000成立的n 的最小值． 解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1. 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n . (2)由(1)可得1a n ＝1 2 n ， 所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12????1－????12n 1－12＝1－1 2 n . 由|T n －1|＜ 11000 ，得????1－12n －1＜11000， 即2n ＞1000， 因为29＝512＜1000＜1024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜ 1 1000 成立的n 的最小值为10. B 组 能力提高 11．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( ) A ．2011B ．－2011C ．0D ．1 答案 A 解析 由S 21＝S 4000得a 22＋a 23＋…＋a 4000＝0， 由于a 22＋a 4000＝a 23＋a 3999＝…＝2a 2011， 所以a 22＋a 23＋…＋a 4000＝3979a 2011＝0， 从而a 2011＝0，而OP →·OQ →＝2011＋a 2011a n ＝2011. 12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 答案 50 解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5， ∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝lne 50＝50. 13．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n (n ∈N * )，则b 2015＝________. 答案 2015 2016 解析 ∵a n ＋b n ＝1，且b n ＋1＝ b n 1－a 2n ， ∴b n ＋1＝12－b n ，∵a 1＝1 2，且a 1＋b 1＝1， ∴b 1＝12，∵b n ＋1＝12－b n ，∴1b n ＋1－1－1 b n －1＝－1. 又∵b 1＝12，∴1b 1－1 ＝－2. ∴数列???? ??1b n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1b n －1＝－n －1，∴b n ＝n n ＋1. 则b 2015＝2015 2016 . 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且(a －1)S n ＝a (a n －1)(a ＞0)(n ∈N *)． (1)求证数列{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x }，问是否存在实数a ，使得对于任意的n ∈N *，都有S n ∈A ？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 (1)当n ＝1时，∵(a －1)S 1＝a (a 1－1)， ∴a 1＝a (a ＞0)． 当n ≥2时，由(a －1)S n ＝a (a n －1)，① 得(a －1)S n －1＝a (a n －1－1)．② ①－②，得(a －1)a n ＝a (a n －a n －1)， 整理得a n a n －1 ＝a (n ≥2)， 故{a n }是首项为a ，公比为a 的等比数列，∴a n ＝a n . (2)①当a ＝1时，A ＝{1}，S n ＝n ，只有n ＝1时， S n ∈A ，∴a ＝1不符合题意． ②当a ＞1时，A ＝{x |1≤x ≤a }，S 2＝a ＋a 2，∴S 2?A .即当a ＞1时，不存在满足条件的实数a . ③当0＜a ＜1时，A ＝{x |a ≤x ≤1}． 而S n ＝a ＋a 2＋…＋a n ＝a 1－a (1－a n )∈[a ，a 1－a )， 因此对任意的n ∈N *，要使S n ∈A ，只需???? ? 0＜a ＜1，a 1－a ≤1. 解得0＜a ≤12.综上得实数a 的取值范围是(0，1 2 ]． [限时规范训练]单独成册 一、选择题 1．(2019·江西宜春统考)下列关于神经递质与激素的叙述错误的是() A．识别神经递质的特异性受体只能分布在神经元上 B．激素在机体中发挥完生理作用后立即被灭活 C．神经递质只能由突触前膜释放，作用于突触后膜 D．识别某种激素的特异性受体只能分布在靶细胞或靶器官上 解析：识别神经递质的特异性受体除了分布在神经元上，还可分布于肌肉等上，A错误；识别某种激素的特异性受体只能分布在靶细胞或靶器官上，激素在机体中与靶细胞及靶器官的受体特异性结合并发挥生理作用后会立即被灭活，B、D正确；神经递质只能由突触前膜释放，作用于突触后膜，所以兴奋在突触处的传递是单向的，C正确。 答案：A 2．下列有关神经调节相关结构的叙述，正确的是() A．突触前神经元在静息时也能释放神经递质 B．反射活动的产生需要反射弧的完整性 C．神经细胞轴突末梢只能形成一个突触小体 D．炎热刺激皮肤引起毛细血管收缩是条件反射 解析：突触前神经元在受到刺激时才能释放神经递质，A错误；反射弧只有保持完整性才能完成反射活动，B正确；神经细胞轴突末梢分枝可形成多个突触小体，C错误；炎热刺激皮肤引起毛细血管舒张是与生俱来的，属于非条件反射，D错误。 答案：B 3．(2019·湖南常德检测)有关突触的叙述不正确的是() A．由短期记忆到长期记忆可能与新突触的建立有关 B．在光学显微镜下可以观察到突触的亚显微结构 C．兴奋在神经元之间传递时需要消耗A TP D．突触间隙的液体为组织液 解析：只有在电子显微镜下才可以观察到突触的亚显微结构，B错误。 答案：B 4．用一定量的甲状腺激素连续饲喂正常成年小白鼠4周，与对照组比较，实验组小白鼠表现为() A．耗氧量增加、神经系统的兴奋性降低 第1讲 三角函数的图象与性质(小题) 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角基本关系式 1.三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0). 各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.同角基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α＝tan α????α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.诱导公式 在k π 2 ＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”. 例1 (1)(2019·绵阳诊断)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则sin 2θ等于( ) A.－45 B.－3 5 C.35 D.45 答案 C 解析 因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合， 终边在直线y ＝3x 上，所以tan θ＝3，则sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝610＝3 5.故选C. (2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2??? ?π 2＋α－2cos 2α－ 3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B.－45 C.43 D.－23 答案 A 解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2， cos 2????π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos () π＋α ＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝8 5 . 跟踪演练1 (1)已知角α的终边上一点坐标为????sin 5π6，cos 5π 6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π 3 答案 C 解析 角α的终边上一点坐标为????sin 5π6，cos 5π6，即为点????12，－3 2，在第四象限， 且满足cos α＝12，且sin α＝－32，故α的最小正值为5π 3，故选C. (2)已知sin(3π＋α)＝2sin ???? 3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ??? ?π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( ) A.12 B.13 C.16 D.－16 答案 D 解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ????3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， 则sin (π－α)－4sin ??? ?π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α （京津鲁琼专用）高考物理大二轮复习专题一第4讲万有引力与 航天练习（含解析） 万有引力与航天 一、单项选择题 1．(2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( ) A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1 602 B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1 602 C ．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1 6 D ．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1 60 解析：选B.若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足G Mm r 2＝ma ，即加速度a 与距离r 的平方成反比，由题中数据知，选项B 正确，其余选项错误． 2．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T ，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧测力计称量一个质量为m 的砝码，读数为F .已知引力常量为G .则下列说法错误的是( ) A ．该行量的质量为F 3T 4 16π4Gm 3 B ．该行星的半径为4π2 FT 2 m C ．该行星的密度为3πGT 2 D ．该行星的第一宇宙速度为 FT 2πm 解析：选B.据F ＝mg 0＝m 4π 2 T 2R ，得R ＝FT 2 4π2m ，B 错误；由G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，得M ＝4π2R 3 GT 2 ，又 R ＝FT 2 4π2m ，则M ＝F 3T 416π4Gm 3，A 正确；密度ρ＝M V ＝3πGT 2，C 正确；第一宇宙速度v ＝g 0R ＝FT 2πm ，D 正确． 3．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1 D ．16∶1 解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T P T Q ＝ ? ?? ??R P R Q 3 ＝ ? ?? ??1643 ＝81，C 正确． 学习目标 本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。 在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题. 行程问题主要涉及时间 (t)、速度 (v)和路程 (.s)这三个基本量，它们之间的关系如下： 路程 = 速度×时间 可简记为：s vt = 速度 = 路程÷时间 可简记为：/v s t = 时间 = 路程÷速度 可简记为：/t s v = 路程一定，速度与时间成反比 速度一定，路程与时间成正比 时间一定，路程与速度成正比 显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【例 1】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是 4：5：6，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为 20千米，此人走完全程需多少时间？ 【例2】甲、乙两地相距60千米，自行车队8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0.8千米。自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？ 【例3】某人上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟，已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3 时50分钟，那么下山用多少时间？ 【例4】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地，求该车的平均速度。 【例5】甲、乙两车往返于A、B两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时，乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比. 第1讲 函数的图象与性质 A 组 基础达标 1. 已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，那么三个零点之和为________． 2. 若函数f (x )＝4x －a x ·2x 为奇函数，则实数a ＝________. 3. 若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝? ????x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2 2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第 一讲空间几何体课时作业文 1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( ) 解析：根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，因此结合选项知，它的正视图为B. 答案：B 2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A．2πB．π C．2 D．1 解析：所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S＝2π×1×1＝2π，故选A. 答案：A 3．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为( ) 解析：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形． 答案：C 4．(2016·郑州质量预测)已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( ) A．1 B.2 C．2 D．22 解析：由题意知，所求正视图是底边长为2，腰长为2的正方形，其面积与侧视图面积相等为2. 答案：C 5．(2016·河北五校联考)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( ) A．2 B．22 C. 3 D．23 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1-BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2,22，22，23，故选D. 答案：D 6.(2016·郑州模拟)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( ) 专题一 第1讲 函数的图象与性质 【要点提炼】 考点一 函数的概念与表示 1．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m ，n]，则在f(g(x))中，m ≤g(x)≤n ，从中解得x 的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m ，n]，则由m ≤x ≤n 确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 2．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． 【热点突破】 【典例1】 (1)若函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ? ?? ??x 2的定义域为( ) A ．(1,2] B ．(2,4] C ．[1,2) D ．[2,4) (2)设函数f(x)＝? ???? 2x ＋1，x ≤0， 4x ，x>0，则满足f(x)＋f(x －1)≥2的x 的取值范围是________． 【答案】 ???? ??12，＋∞ 【解析】 ∵函数f(x)＝????? 2x ＋1，x ≤0， 4x ，x>0， ∴当x ≤0时，x －1≤－1，f(x)＋f(x －1)＝2x ＋1＋2(x －1)＋1＝4x ≥2，无解； 当????? x>0， x －1≤0， 即0 当x －1>0，即x>1时，f(x)＋f(x －1)＝4x ＋4 x －1 ≥2，得x>1. 综上，x 的取值范围是???? ??12，＋∞. 【方法总结】 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 【拓展练习】(1)已知实数a<0，函数f(x)＝? ?? ?? x 2 ＋2a ，x<1， －x ，x ≥1，若f(1－a)≥f(1＋a)，则实 数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1] C ．[－1,0) D ．(－∞，0) 【答案】 B 【解析】 当a<0时，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a －1；f(1＋a)＝(1＋a) 2 ＋2a ＝a 2 ＋4a ＋1，由f(1－a)≥f(1＋a)，得a 2 ＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]． (2)(多选)设函数f(x)的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H 函数”．下列为“H 函数”的是( ) A ．y ＝sin xcos x B ．y ＝ln x ＋e x C ．y ＝2x D ．y ＝x 2 －2x 【答案】 AB 【解析】 由题意，得“H 函数”的值域关于原点对称．A 中，y ＝sin xcos x ＝12sin 2x ∈??????－12，12， 其值域关于原点对称，故A 是“H 函数”；B 中，函数y ＝ln x ＋e x 的值域为R ，故B 是“H 函数”；C 中，因为y ＝2x >0，故C 不是“H 函数”；D 中，y ＝x 2 －2x ＝(x －1)2 －1≥－1，其值域不关于原点对称，故D 不是“H 函数”．综上所述，A ，B 是“H 函数”． 【要点提炼】 考点二 函数的性质 一、选择题 1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ? ??? ? －12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( ) A.??? x ???? ??x ＜12 B.??? x ???? ??0＜x ＜12 C.??? x ??????x ＜－12或0＜x ＜12 D.? ?? x ? ??? ?? －1 2≤x ≤0或x ≥12 【解析】 如图所示，根据图象得不等式f (x )＜0的解集为 ??? x ? ???? ?x ＜－12或0＜x ＜12. 【答案】 C 2．已知函数f (x )＝13x 3 －2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.?????? 179，＋∞ B.? ???? 179，＋∞ C ．(－∞，2] D ．(－∞，2) 【解析】 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )＞0，得x ＞4或x ＜0. ∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)． ∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解得m ≥17 9. 【答案】 A 3．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) 【解析】 ∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －1 2x . 令f (x )＝x －1 2x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 【答案】 D 4．(2017·安徽黄山一模，12)已知函数f (x )＝m ? ???? x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝ －m x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( ) A.? ? ???－∞，2e B.? ? ???－∞，2e C ．(－∞，0] D ．(－∞，0) 【解析】 由题意，不等式f (x )＜g (x )在[1，e]上有解，∵mx ＜2ln x 在[1，e]上有解，即m 2＜ln x x 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2＜1e ，∴m ＜2 e .∴m 的取值范围是? ? ? ??－∞，2e .故选B. 【答案】 B 5．(2017·山东师范大学附中二模)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞) 【解析】 由f (x ＋2)为偶函数可知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，则f (4)＝f (0)＝1.令F (x )＝f (x ) e x ，则F ′(x )＝ f ′(x )－f (x )e x ＜0.∴函数F (x )在R 上单调递减． 又f (x )＜e x 等价于f (x ) e x ＜1，∴F (x )＜F (0)，∴x ＞0. [综合演练] Ⅰ.单句语法填空 1．(2019·福建泉州模拟)Get yourself familiar with local laws and customs of the countries to which you are travelling. 2．(2019·泰安模拟)The book tells stories of the earthquake through the eyes of those whose lives were affected. 3．(2019·重庆巴蜀中学一诊)In today's competitive economy, where everyone is trying to do more with less, you've got to figure out a way to profit from the very beginning. 4．(2019·辽宁沈阳模拟)At that time I was in Texas and I had a friend whose family business was running hotels. 5．(2019·广西柳州铁路一中模拟)To the Egyptians, green is a color which/that represents the hope and joy of spring, while for Muslims, it means heaven. 6．(2019·黄山模拟)Cultural shock is a feeling which/that most travelers experience in a foreign country where they find the culture is quite different from that of their own. 7．(2019·龙岩质检改编)Tibet is such a place as all the people across the world are dreaming of visiting. 8．(2019·河北鸡泽一中模拟)This woman has set a good example to her son, who is a really lucky guy. 9．(2019·揭阳调研)The watch, which was a gift from his father, was very important to him and he was determined to find it. 10．(2019·河南新乡一中模拟)The settlement is home to nearly 1,000 people, many of whom left their village homes for a better life in the city. Ⅱ.单句改错 1．(2019·福建泉州模拟)At the same time, another student, that saw everything, went up to help. saw everything, went up to help. 答案：At the same time, another student, that who 2．(2019·揭阳调研)I've been prepared for the coming entrance exam, that is vital for me and my future life. is vital for me and my future 答案：I've been prepared for the coming entrance exam, that which life. 3．(2019·邢台模拟)I sat next to Hailey, that was my first friend there. was my first friend there. 答案：I sat next to Hailey, that who 4．(2019·辽宁沈阳模拟)My father was easily cheated, what surprised me. 答案：My father was easily cheated, what surprised me. which 小升初阅读专题第一讲(有答案) 小升初阅读专题第一讲 考点1:线索和顺序 考题1：线索 记叙文的线索是指能够体现各种材料之间的内在联系的文章要素，贯穿文章的主线，类型多样。凡是可以起到体现各个材料之间的联系、联系各个材料、贯穿全文的要素，就可成为线索。有时候文章会出现两条线索，一般而言，一条是叙述的线索（明线）；一条是抒情的线索（暗线）。 物线、事线、人线、感情线、时间线、地点线、见闻线 看题目，看议论抒情句，看多次出现的字眼 是贯穿全文的线索，把文中的人物和事件连在一起，使文章条理清楚。 （1）以具体事物或事物的特征为线索。《彩色的翅膀》，以小昆虫为线索。 （2）以人物或人物的特征为线索。如《穷人》以穷为线索。 （3）以中心事件为线索。《凡卡》以凡卡给爷爷写信为线索。 （4）以思想感情为线索。《桃花心木》以作者思想感情变化为线索：奇怪--越来越奇怪---更奇怪---非常感动。 （5）以时间推移或空间变换为线索。《千年圆梦在今朝》，以时间为线索，写了我国人民飞天的过程。 （6）以“我”的所见所闻为线索。《山中访友》以我的行踪为线索。 【典型考题】 （1）文章以为线索，贯穿全文，使文章脉络清晰，表达了对之情。 （2）文本有明暗两条主线，明线是，暗线是。 【答题技巧】 ①寻找贯穿文章的所有材料，寻找关键的信息，判断线索：时间、地点、情感变化的词语。 ②第一人称“我”来叙述故事，但并非主人公时，文章常常是以见闻作为线索。 ③出现两线时，一般情况下叙述的线索（明线），抒情的线索（暗线）。 【随堂练习】 （一）六只柿子 秋蚕养完了，父亲计划着进城来玩玩。“给你妈买双皮鞋，我自己也买件衣服”，父亲说。卖了蚕茧，父亲的语气里透着奢侈的喜悦。 父亲进城，肩上扛的是米袋子，手里拎的是方便袋，里面有青青的黄豆荚，嫩绿的韮菜，还有六只又大又红的杮子。 父亲电话里问，杮子熟了，想不想吃？我说想。也只是随便说说。街上的水果一茬接一茬，桃子走了有鸭梨，现在苹果桔子已大量上市了。还有北方的大枣，被山东汉子用小推车推着，满街叫卖，说是甜如蜜糖，脆如雪梨。尝一颗，果真是。这些水果，都比杮子好吃。 第二部分专题一第4讲 【真题达标组】 A (2019全国卷Ⅱ，C) Marian Bechtel sits at West Palm Beach's Bar Louie counter by herself, quietly reading her e－book as she waits for her salad. What is she reading? None of your business! Lunch is Bechtel's “me” time. And like more Americans, she's not alone. A new report found 46 percent of meals are eaten alone in America. More than half(53 percent)have breakfast alone and nearly half (46 percent) have lunch by themselves. Only at dinnertime are we eating together anymore,74 percent，according to statistics from the report. “I prefer to go out and be out. Alone，but together，you know？”Bechtel said，looking up from her book. Bechtel，who works in downtown West Palm Beach，has lunch with coworkers sometimes，but like many of us，too often works through lunch at her desk. A lunchtime escape allows her to keep a boss from tapping her on the shoulder. She returns to work feeling energized. “Today，I just wanted some time to myself，” she said. Just two seats over，Andrew Mazoleny，a local videographer，is finishing his lunch at the bar. He likes that he can sit and check his phone in peace or chat up the barkeeper with whom he's on a first－name basis if he wants to have a little interaction(交流). “I reflect on how my day's gone and think about the rest of the week，” he said. “It's a chance for self－reflection. You return to work recharged and with a plan.” That freedom to choose is one reason more people like to eat alone. There was a time when people may have felt awkward about asking for a table for one，but those days are over. Now，we have our smartphones to keep us company at the table. “It doesn't feel as alone as it may have before all the advances in technology，”said Laurie Demerit, whose company provided the statistics for the report. ()1.What are the statistics in paragraph 2 about? A．Food variety. B．Eating habits. C．Table manners. D．Restaurant service. ()2.Why does Bechtel prefer to go out for lunch? A．To meet with her coworkers. B．To catch up with her work. C．To have some time on her own. D．To collect data for her report. 第一编专题四第1讲重点四 第一组 Ⅰ. 语法填空 (2018·湖北八校高三第一次联考) China has always been famous for being a “State of Etiquette(礼仪)”. According to historical documents，as early as 2,600 years ago，this nation has already established a thorough set __1. of__ dining etiquette. A famous 19th century Russian writer，Anton Chekhov，once invited a Chinese man __2. to have__ (have) a drink in a bar Chekhov said，“Before drinking from his cup，he held __3. it__ with his hands and presented to me and the bar owner and bartenders，__4. saying__ (say) ’qing (please)’. This is the custom of China. They are not like us to finish it in one drink，__5. but__ prefer to drink by taking a small amount at a time. With every sip(一小口)，he __6. ate__ ( eat ) some food. Afterwards he handed me some Chinese __7. coins__ (coin) to show gratitude. This is a rather interestingly polite nationality. . . ”This was the most valuable opinion of a Chinese person __8. that__ was given by a foreigner two centuries ago. Chinese traditional dinner procedures used to be long and dealt __9. seriously__ (serious) with；the __10. more important__ (important) the occasion，the more complex the procedures were. 文章大意：本文是一篇夹叙夹议文。文章通过讲述一位俄罗斯作家招待一个中国人的经过，描述了中国人的就餐礼仪。 ?解析：考查固定搭配。根据历史文献记载，早在2 600年前，这个国家就已经建立了一套完整的就餐礼仪。a set of为固定搭配，意为“一套，一系列”。 ?解析：考查动词不定式。19世纪时一位名叫Anton Chekhov的俄罗斯作家邀请一个中国人去酒吧喝酒。invite sb. to do sth. 是固定搭配，意为“邀请某人做某事”，故用动词不定式to have。 ?解析：考查代词。根据该句中的“Before drinking from his cup，he held __3__ with his hands”可知，空处指代该句中的“cup”，故用it。在喝酒之前，他手举着杯子，向“我”和酒吧老板及酒吧服务员说“请”。 ?解析：考查现在分词。该句主语为he，和动词say之间为逻辑上的主谓关系；空处和谓语动词held和presented之间为伴随关系，故用现在分词作伴随状语。 ?解析：考查连词。空前表示他们不像我们那样一口喝下，空后表示他们更喜欢一次喝一小口；根据上下文可知，空处前后为转折关系，故用转折连词but。 ?解析：考查动词的时态。根据该段第一句中的“A famous 19th century Russian 专题一阅读理解 第四讲词义猜测类 真题验证 A (2017·天津，C)导学号 47404020 This month, Germany's transport minister, Alexander Dobrindt, proposed the first set of rules for autonomous vehicles(自主驾驶车辆). They would define the driver's role in such cars and govern how such cars perform in crashes where lives might be lost. The proposal attempts to deal with what some call the “death valley” of autonomous vehicles: the grey area between semi－autonomous and fully driverless cars that could delay the driverless future. Dobrindt wants three things: that a car always chooses property(财产) damage over personal injury; that it never distinguishes between humans based on age or race; and that if a human removes his or her hands from the driving wheel—to check email, say—the car's maker is responsible if there is a crash. “The change to the road traffic law will permit fully automatic driving，” says Dobrindt. It will put fully driverless cars on an equal legal footing to human drivers, he says. Who is responsible for the operation of such vehicles is not clear among car makers, consumers and lawyers. “The liability(法律责任) issue is the biggest one of them all，” says Natasha Merat at the University of Leeds, UK. An assumption behind UK insurance for driverless cars, introduced earlier this year, insists that a human “be watchful and monitoring the road” at every moment. But that is not what many people have in mind when thinking of driverless cars. “When you say ‘driverless cars’， people expect driverless cars，” Merat says. “You know—no driver.” Because of the confusion, Merat thinks some car makers will wait until vehicles can be fully automated without human operation. Driverless cars may end up being a form of public transport rather than vehicles you own, says Ryan Calo at Stanford University, California. That is happening in 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2019年 1．（2019全国Ⅰ文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =I e A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 2.（2019全国Ⅱ文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ．? 3.（2019全国Ⅲ文1）已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 4.（2019北京文1）已知集合A ={x |–1 第1讲古代诗歌鉴赏选择题 选择题(4选1)这一命题形式在注重考查考生对诗歌全面理解、扩大考点覆盖面的同时，也降低了试题的难度。艺术技巧判断错误和诗人观点态度理解错误是选择题的高频设错点，更加侧重对诗句意思的准确理解，特别是对诗句中关键词的理解是近几年的命题新趋势。选择题和主观题只是题型的区别，考查内容和角度没有变化。因此，答题时，考生只要在读懂诗歌的基础上，找到选项的设误点，仔细分析，认真比对，就可以顺利作答。 一、命题人命制错误选项的“8大方式”和应对策略 (2019·全国卷Ⅰ)阅读下面这首宋诗，完成后面的题目。 题许道宁画① 陈与义 满眼长江水，苍然何郡山？ 向来万里意，今在一窗间。 众木俱含晚，孤云遂不还。 此中有佳句，吟断不相关。 【注】①许道宁：北宋画家。 下列对这首诗的赏析，不正确的一项是( ) 选项选项表述 A 这首题画诗写景兼抒情，并未刻意进行雕琢，却能够于简淡中见新奇。 B 山水是这幅画的主要元素，特别是江水，占据了画面上大部分的篇幅。 C 诗人透过一扇小窗远距离欣赏这幅画作，领略其表现的辽阔万里之势。 D 颈联具体写到苍茫暮色中的树木与浮云，也蕴含了欣赏者的主观感受。 里江山浓缩在尺牍之间的画作里。] ?应对策略古诗中有大量词语为古今异义词，某些句子有特殊语言现象，解读时要充分调动积累，联系语境，以求精确理解。 (2017·全国卷Ⅱ)阅读下面这首宋诗，完成后面的题目。 送子由使契丹 苏轼 云海相望寄此身，那因远适更沾巾。 不辞驿骑凌风雪，要使天骄识凤麟。 沙漠回看清禁月①，湖山应梦武林春②。 单于若问君家世，莫道中朝第一人③。 【注】①清禁：皇宫。苏辙时任翰林学士，常出入宫禁。②武林：杭州的别称。苏轼时知杭州。③唐代李揆被皇帝誉为“门地、人物、文学皆当世第一”。后来入吐蕃会盟，酋长问他：“闻唐有第一人李揆，公是否？”李揆怕被扣留，骗他说：“彼李揆，安肯来邪？” 本诗尾联用了唐代李揆的典故，以下对此进行的赏析不正确的两项是( ) 选项选项表述 A 本联用李揆的典故准确贴切，因为苏轼兄弟在当时声名卓著，与李揆非常相似。 B 中原地域辽阔，人才济济，豪杰辈出，即使卓越如苏氏兄弟，也不敢自居第一。 C 从李揆的故事推断，如果苏辙承认自己的家世第一，很有可能被契丹君主扣留。 D 苏轼告诫苏辙，作为大国使臣，切莫以家世傲人，而要展示出谦恭的君子风度。 E 苏轼与苏辙兄弟情深，此时更为远行的弟弟担心，希望他小心谨慎，平安归来。 风度”错。这两项都是从苏轼要求弟弟苏辙谦虚处世的角度分析的。结合诗歌内容及注释可知，苏轼用这个典故是出于对弟弟的安全的考虑，告诫他要小心谨慎，希望他平安归来。] (2015·北京卷)阅读下面这首词，完成后面的题目。 醉翁操① 苏轼 琅然，清圆，谁弹？响空山。无言，惟翁醉中知其天。月明风露娟娟，人未眠。荷蒉过山前，曰有心也哉此贤②。 醉翁啸咏，声和流泉。醉翁去后，空有朝吟夜怨。山有时而童巅③，水有时而回川，思翁无岁年。翁今为飞仙，此意在人间，试听徽外三两弦④。 【注】①据本词序，欧阳修喜爱琅琊幽谷的山川奇丽、泉鸣空涧，常把酒临听，欣然忘归。后沈遵作琴曲《醉翁操》，崔闲记谱，请苏轼填词。②蒉：草筐。《论语·宪问》：“子击磬于卫，有荷蒉而过孔氏之门者，曰：‘有心哉，击磬乎！’”③童巅：山顶光秃，山无草木曰童。④徽：琴徽，系弦之绳。此处代指琴。2019第一部分专题四第一讲 动物和人体生命活动的调节语文
专题一 第1讲
(京津鲁琼专用)高考物理大二轮复习专题一第4讲万有引力与航天练习(含解析)
行程专题(学而思)第1-4讲
专题四 第1讲函数的图象与性质
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题四 立体几何 第一讲 空间几何体课时作业 文
专题一 第1讲 函数的图象与性质(解析版)
专题1-第4讲
专题四 第一讲 定语从句
小升初阅读专题第一讲(有答案)复习课程
2020届高考英语全优二轮复习训练：专题一阅读第4讲
2019年高考英语二轮专题复习训练：专题4 语法填空和短文改错 第1讲 重点4 素能强化 Word版含答案
2018年高考英语二轮复习第一部分阅读理解篇专题1阅读理解第4讲主旨大意类练案
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