2[1].2.1整式基本概念及加减运算.讲义学生版

板块一 代数式、单项式、多项式

代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做

代数式.

单独的一个数或字母也是代数式.

列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”.

列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时，应注意以下几点：

（1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （2） 字母与字母相乘时可以省略乘号；

（3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；

（4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式

括起来；

（5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.

单项式： 像2-a ，2

r π，213-x y ，-abc ，237

x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的

代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-.

单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式21

2

-ab c ，它的指数为1214++=，是四次单

项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式.

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把47叫做单项式247

x y

的系数.

同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.

多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27

319

-+x x 是多项式.

多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母

的项叫做常数项.

多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式.

【例1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？

⑴21+x ⑵23ab ⑶0 ⑷10?n a ⑸+=+a b b a ⑹32> ⑺2πS R = ⑻347+= ⑼π

【例2】 讲下列代数式分别填入相应的括号内：

222221112113232333a x ab x x m n mn n x b x y x

-+-+-+-+，，，，，，， 单项式（ ）； 多项式（ ）； 二项式（ ）； 二次多项式（ ）； 整式（ ）

例题精讲

整式基本概念及加减运算

【巩固】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.

223xy ；-a ；a bc ；32+mn ；572t ；233-a b c ；2；-x π

【巩固】 下列代数式中那些是单项式？指出这些单项式的系数和次数：

2341523133

x xy

a b x abc x --+，，，，，

【巩固】 写出一个系数是2004，且只含x 、y 两个字母的三次单项式是 .

【巩固】 写出下面式子的同类项：

⑴256x y ⑵11π2

-c a ⑶72xy z ⑷π

【例3】 下列各对单项式中不是同类项的是（ ）

A ．423

4

x y -与()224x y - B ．4328x y 与3415y x -

C ．215a b 与20.02ab

D ．43-与34-

【巩固】 单项式11

3

+--a b a x y 与23x y 是同类项，求-a b 的值.

【例4】 已知33

m n a b 和33ab -是同类项，且229A mx xy y =-+，223B x nxy y =-+，求(){}

232A B A B A

--+-????的值

【巩固】 已知关于x y ，的单项式333n x y +和214m y x --是同类项，则m = ，n =

【巩固】 若1

22

23

55

9+--m m n a b

与2a b 是同类项，求m ，n 的值.

【巩固】 设m 和n 均不为零，233x y 和223

5m n

x

y ++-是同类项，则3223

3223

3395369m m n mn n m m n mn n

-++=+-+

【巩固】 若25x a b 与30.9y

a b 是同类项，求x ，y 的值.

【巩固】 若441

3

a b x y z 和827a c x y -是同类项，求a b c ++的值．

【例5】 同时都含有a b c ，

，，且系数为1的7次单项式共有（ ）个 A ．4 B ．12 C ．15 D ．25

【例6】 填空：若单项式()122n n x y --是关于x y ，的三次单项式，则n =

【巩固】 含字母x 和y ，且系数为1的四次单项式是

【例7】 将多项式223421-+-x y xy x y 按x 的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项.

【巩固】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式.

⑴424215+-x x ； ⑵2+a ab b ； ⑶33332++-a ab b a b ； ⑷+x y x

.

【例8】 若多项式4332531x ax x x bx x -+----不含x 的奇次项，求a b +的值

【例9】 若多项式()22532m x y n y +--是关于x y ，的四次二项式，求222m mn n -+的值

【巩固】 当m 取什么值时，2

123(2)3-+-m m x y xy 是五次二项式？

【例10】 设m n ，表示正整数，多项式4m n m n x y ++-是几次几项式

【例11】 一个多项式按x 的降幂排列，前几项如下：1098273234...x x y x y x y -+-+试写出它的第七项及最后一

项，这个多项式是几次几项式？

【巩固】 已知()7

27012721...x a a x a x a x -=++++对任意x 的值都成立，求下列各式的值：

⑴0127...a a a a ++++；⑵1357a a a a +++

【例12】 试分别用两种不同的标准对下列多项式进行分类：22223221x x ax bxy cy ab b a x x -++++---，

，，

【例13】 如左图，计算四边形AECF 的面积．

【例14】 如右图，用含有x 的代数式表示糟型钢材的体积．

2

【巩固】 如图所示，用x 的代数式表示零件的体积．

2x

【巩固】 如图，一块直径为a b +的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，求剩下钢板的面积．（φ表

示圆的直径）

板块二 整式加减

合并同类项： 把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项.

合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变.

【例15】 按要求将下列多项式添上括号：将多项式22944x xy y -+-中含有字母的项放在前面带有负号的括号

内；

【巩固】 将多项式2212222a b ab a b -+-++中二次项放在前面带正号的括号内，一次项放在前面带有负号的

括号内

【巩固】 若232+m m n a b 与39a b 的和仍是一个单项式，求m 、n 的值.

【巩固】 两个三次多项式相加，和是（ ）

A ．六次多项式 A ．三次多项式 A ．不超过三次的多项式 A ．不超过三次的整式

【例16】 去括号，在合并同类项：()()

322224310x x x x x -+--+-

【巩固】 化简：2222----x x x x

【例17】 化简：32232251152

25363363

--+-+++a b a b ab a b ab ba

【巩固】 化简：2235()()2()3()()+-+-+++-+x y y x y x x y x y

【例18】 化简：222()()6()11()---+---a b b a b a a b

【巩固】 化简：222()3()2()-----a b a b b a

【例19】 若323951=--A a b b ，233782=-++B a b b .求：⑴2+A B ；⑵3-B A

【巩固】 求23336--a b a b 与322673-+a a b b 的和

【巩固】 若22253=--A x xy y ，22234=+-B x xy y ，且230--=A B C ，求C .

【巩固】 已知21A a a =++，21B a a =-+，求()2A B A A B ----????

【巩固】 化简：22374(3)??---+??x x x x

【巩固】 化简：2222222243{3[24(2)]}--+--+-xy x y x y xy xy x y x y xy

【例20】 第一个多项式是2222-+x xy y ，第二个多项式是第一个多项式的2倍少3 ，第三个多项式是前两个

多项式的和，求这三个多项式的和.

【巩固】 已知多项式A 与223x x +-相加得2233x x --+，求多项式A

【巩固】 已知两个多项式的和为2321x x -+，差是245x x +-，求这两个多项式

【巩固】 求比多项式22523--+a a ab b 少25-a ab 的多项式.

【巩固】 从一个多项式减去10211-+ab bc ，由于误认为加上这个式子，结果得到的答案是33-bc ab .求出正

确的答案.

【例21】 有这样一道题：“已知222223=+-A a b c ，22232=--B a b c ，22223=+-C c a b ，当1=a ，2=b ，

3=c 时，求-+A B C 的值”．有一个学生指出，题目中给出的2=b ，3=c 是多余的．他的说法有没有道理？为什么？

【巩固】 若2347=++-A x y xy x ，233=+-B x y xy x ，且3-A B 与x 无关，求y 与3-A B 的值.

【例22】 已知2351+=-+A B x x ，2235-=-+-A C x x .当2=x 时，求+B C 的值.

【例23】 已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16，求2x =时，

代数式423ax cx ++的值

【巩固】 已知当2x =时，代数式32ax bx -+的值是1-，求当2x =-时，这个代数式的值

【巩固】 设22232=-+-+A x xy y x y ，22462=-+-B x xy y y ，若23(5)0-++=x a y ，且2-=B A a ，

求A 的值.

【例24】 先化简，再求值：

若3=-a ，4=b ，1

7

=-c ，求{}

222278(2)??--+-??a bc a cb bca ab a bc 的值.

【巩固】 先化简，在求值：()

222352x x x x x ??-----??，其中2

23

x =

【巩固】 化简求值：()()()()2

2

522322x y x y x y y x -+-----，其中314

x y ==，

【巩固】 化简求值：()()3235122ab b a ab b a -+---????，其中253a b ab +=-=-，

【巩固】 若1=-a ，2=-b ，3=-c 计算：

⑴118(2)(8)9++---+--n n n n n a a a a a

⑵2222225[3(2)(7)]-----+a b a b ab a c ab a c

【例25】 已知2(2)50++++=a a b ，求2222

32(2)4??-----??a b a b ab a b a ab .

【巩固】 已知a 、b 、c 满足：⑴()2

53220++-=a b ；⑵2113

-++a b c x y 是7次单项式；

求多项式()

22222234??------??

a b a b abc a c a b a c abc 的值．

【巩固】 对任意实数x ，试比较下列每组多项式的值的大小：2452x x -+与2352x x --

【例26】 比较大小：2521x x --与2532x x -+

1.

指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？

① 21x + ② 23ab ③ 0 ④ 10n a ? ⑤ a b b a +=+ ⑥ 32> ⑦ 2S R π= ⑧ 347+= ⑨ π

2. 若3-m m ma b 与n nab 是同类项，求2003()-n m 的值.

3. 若0.11+--a b a b x y 与135

9

-a x y 是同类项，求a ，b 的值.

4. 如果3

--m a

b 与413

n ab 是同类项，且m 与n 互为负倒数，求1

3(4)1144-----m n mn m 值.

课后练习

5. 边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积．

a

a

2a

2a

6. 把下列多项式按x 降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项： ⑴322132187---y xy x y x y ； ⑵2233521---+-xy x y x y y

7. 求2113234--x x 与2211

345

--x x 的差. 8. 化简：1110.50.20.3+++--+-n n n n n x x x x x

9. 设2223=-+-A x xy y x ，225823=-+-B x xy y x ，求32-A B

10. 一个多项式加上234253---x x x 得43353--x x ，求这个多项式．

11. 若2=-a ，1=b ，求代数式()()()

422222222443634672+------+-a ab a b ab ab a b a b ab a b 值.

12. 若2-x 与21

()2

+y 互为相反数，求代数式22(3)2(32)---x y xy x y xy 的值.