有限元法理论及应用参考答案(推荐文档)
有限元法理论及应用大作业
1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？
答：有限元分析的主要步骤主要有：
（1）结构的离散化，即单元的划分；
（2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程；
（3）等效节点载荷计算；
（4）整体分析，建立整体刚度方程；
（5）引入约束，求解整体平衡方程。
2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。
题2图
答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。
有限元划分网格的基本原则:
1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接
2.几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似
3.特性一致原则。即材料相同，厚度相同
4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小
5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。
（c）中没有考虑对称性，单元边差很大。
3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？
题3图
答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。 （b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。 （c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。 （d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。 4、什么是等参数单元？。
答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。 5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？
(1).
?????++=++=2
65432
21),(),(y x y x v y
x y x u αααααα (2). ?????++=++=2
65242
3221),(),(y
xy x y x v y
xy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。
（2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。
6、设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。 （1）集中力F 平行于x 轴，e 点到i 、j 点的距离分别为ｌie ，ｌje ； （2）边长为ｌij 的ij 边上有线性分布载荷，最大值为q 。
题6图
答：（1）?????
??
???+-=0je
ie ie ja l l l F
F ????
?
??
???+-=0je ie je ia l l l F F （2）i,j 两节点受到的力分别为
ij ql 61，ij ql 3
1
??????????--=θθcos 61
sin 61ij ij i ql ql P ????
??????--=θθc o s 31s i n 31ij ij j
ql ql P 7、图示三角形ijm 为等边三角形单元，边长为ｌ，单位面积材料密度位ρ，集中力F 垂直作用于mj 边的中点，集度为q 的均布载荷垂直作用于i m 边。写出三角形单元的节点载荷向量。
题7图 题8图
答：将q 移置到m,i 节点：????????????-=ql ql P m 41431 ?????
?
??????-=ql ql P i 41431
将F 移置到m,j 两节点：??
???
???????--=F F P m 41432 ??????
??????--=F F P j 41432 将重力移置到i,j,m 点：33231230j i m P P l P ==???
?
????-=ρ
叠加后得：????????????----=212341414343l F ql F ql P m ρ ????????????--=21234143l ql ql P i ρ ?????
???????---=21234143
l F F P j ρ
8、如图所示为线性位移函数的三角形单元，若已知i 、j 两个节点的位移为零，试证明ij 边上任意一点的位移都为零。
证：设ij 边上任一点坐标为x,y ，则其位移为：
∵i 、j 点位移为0 ∴所以u i ,v i ,u j ,v j 均为0 要证 {δ}=0，只需证 N m =0
∵N m =(a m +b m x +c m y)/2A ，a m =x i y j -x j y i ，b m =y i -y j ，c m =x j -x i ∴N m = [x i y j -x j y i +(y i -y j )x+(x j -x i )y]/2A=[xy i -yx i ]/2A ∵该点为ij 边上任一点 ∴y i /x i =y/x ∴Nm = 0
9、已知图示的三角形单元，其jm 边和mi 边边长均为a ，单元厚度为t ，弹性模
?????
?
?????????????????????
?=m m j j i i m j
i
m j i
v u v u v u N N N N N N 0
000}{δ
量为E ，泊松比为μ＝0，试求： （1）行函数矩阵N ； （2）应变矩阵B ； （3）应力矩阵S ； （4）单元刚度矩阵K 。
解：令m 点为坐标原点，则m 点坐标为（0,0），j 点坐标为（0,a ），i 点坐标为（a,0）
0a =-=j m m j i y x y x ，0=-=m i i m j y x y x a ，2a y x y x a i j j i m =-=
a y y
b m j i =-=，0=-=i m j y y b ，a y y b j i m -=-=; 0=-=j m i x x
c ，a x x c m i j =-=，a x x c i j m -=-=.
m j i y c x b a A N i i i i ,,),(21
++=
x a ax a N i 1*12==,y a ay a N j 1*12==,)(1
)(*122y x a a ay ax a a
N m --=--=
???
???=????
??=y -x -a 0y
0x 00y -x -a 0y 0x 1N 0
N 0
N 0
0N 0N 0N m j
i
m j i
a N ?????
?????----=???????
???----=????
?????
??=110101010100100001100000000001000000
212a a a a a a a a a a b c c b b c c b b c c b B m m m
m j
j j
j i
i i i ?
?
???
?????=?????
????
???
--=10002000222100010112
E E D μμμ
μ
[][][]????
?
?????----=??????????----????????
???==120102020100100002211010101010010000111000200022a E a E B D S [][][][]21101010101001000011100020002211010101010010000112a t a E a t B D B K T
T e
??????
?
?????----??????????????????????----=?=
?????
???
????
?????
?------------=
3121
30202110110020110
1101101100200024Et
题9图 题10图
10、如图所示，设桁架杆的长度为ｌ，截面积为A ，材料弹性模量为E ，单元的位移函数为u (x)=α1＋α2x ，导出其单元刚度矩阵。 答：：1点：
x=0 u=u1
2点： x=l u=u2
??
?+==l u u 212
1
1ααα ??
?
??-==l u l u u 12211αα l
x N l x u l x u l x x l u l u u u =??? ?
?
-
=+???
?
?-=??? ??-
+=212112
1;1N 1令
[]?
?????=+=2121
2211u u N N u N u N u dx
du
dx u du u =-+=
ε
{}{}[]{}
e
e
e
B l l l x l x dx d δδδ=???
?????-=??
????-=
11
1
[]{}{}[]{}
e
e
e S l E l
E
B E E δδδεσ=???
?????
-
=== [K] e=∫∫V[B]T[D][B]dv
[D] -----为弹性矩阵(对于一维问题,为E)
?????
????
???--=??????-????
?
?????-=?2222
0e
1111[K]l EA l EA l EA l EA
Adx
l l E l l l
11、如图为一悬臂梁，其厚度为1m ，长度为2 m ，高度为1 m ，弹性模量为E ，泊松比为μ＝1/3，在自由端面上作用有均匀载荷，合力为F ，若用图示两个三角形单元进行有限元分析，试计算各个节点的位移；若将悬臂梁离散为四个平面三角形单元，令μ＝0，试求整体刚度矩阵。
解：离散为两个单元求各节点位移,假设t 很小,则该问题为平面应力问题： 一、单元编号、节点坐标
各节点的坐标为：1(0,0),2(2,0),3(2,1),4(0,1)
面积A=1; 二、求单元刚度矩阵
（１）对单元① (i=1,j=2,m=4)
由ai=xjym-xmyj bi=yi-ym ci=xm-xj 得 b1= -1 c1=-2 b2=1 c2=0 b4=0 c4=2
由[]?
???
?
?????-+-+-+
-+-=s r s r s
r s r s r s r s r s r rs b b c c c
b b
c b c c b c c b b A Et k 21212
121)1(42
μ
μμμμμμ r,s = i,j,m 令32
9)1(42
Et
A Et P =-=
μ 得: ????????
??=373
4343
7][11P k ??????????----=3132321][12P k ??????????----=43
2323
4
][14P k ??????????----=3132321][21P k ???
?????=31001][22P k ????
??????=032320][24P k ??????????----=4323234][41P k ????
??????
=032320][42P k ???
?????=40034][44P k ??????????????
?????????
???????----------------=??
???
?????40
3
24
3
20343203234032310313232001321432313
2373432343213437
4442
41
2422
21141211
P k k k k k k k k k （１）、对单元② (i=2,j=3,m=4)
同理求得：b2 = 0 c2 = -2 b3 = 1 c3 = 2 b4 = -1 c4=0
求得：???????
?=4003
4
][22P k ??????????----=4323234][23P k ????
??????
=032320][24P k ??????????=313343437][33P k ??????????----=313
2321][34P k ???
?????=31001][44P k
可得单元②的单元刚度矩阵：
??????????????
??
?????
????
?????---
-------------=??
??
?
?????=310
31
3203
201321320313
2313344323213437
323032
4
32403203
234034
44434234333223232224k k k k k k k k k P k 三、整理刚度矩阵
将两个单元刚度矩阵的子矩阵对号入座，组成整体刚度矩阵
???????????????????
?????????????????????--------------------
-----------
-=3130
3
13
20
3
44
3
20373213403
2343132313344320032134373234000344323130313
23403
2340
3732143200313237343234003213437][P K 四、单元等效节点力和整体等效节点载荷
∵单元①不受分布力作用 ∴{R} ① = 0
单元②有分布力F/t 作用，利用
tds q N R l T
?=}{][}{②
ds F N tds t F N L T L T
????
????==0][}{][
ds F L Lj
L L L L L T
m i
m j i
???
?
????????
?=00
0000 ∵ij 边上 Lm = 0
∴ds F Lj L L L R L T
i
j i
????
???????
?
?=0000
0000
0}{② [
]
ds L L F R L
T
j
i
?=0000}{②
由l ds L L L
j i ?++=
?)!1(!!βαβαβ
α 得2
1
2
1
=
=
?
?ds L ds L L
i L i T F
R ]001010[2
}{=
② 将两个单元的等效节点力以对号入座的方式迭加，再加上节点1和4 上的未知集中力，得整体等效节点载荷为
T Y X F F Y X R ]2
2
[}{4114
=
五、求解整体平衡方程 整体平衡方程：
??
?
?
?
??
?
?
?
???
?????????????=?????????????????????????????????????????
???
???
??
??
?--------------------------------44114433
22112020130120412207234024121344200
23472400
0412213012402
4
0723122001274240
2347
163Y X F F Y X v u v u v u v u Et
约束边界条件为： u1 = v1 = u4 = v4 = 0 将这四个零位移的行划去，剩下方程为：
??????????????=?
????????????????????
???--------202013412247241221302407
3233322F F v u v u Et
得整体节点位移列阵：
T Et
F
]00000.9878.1420.8494.100[}{=δ
题11图
12、利用对称性或反对称性等原理建立图示结构的有限元计算模型。
题12图 题13图
答： 1.定义工作文件名和工作标题
(1) 定义工作文件名：执行Utility Menu>File>Change Jobname 命令，在弹出的
按钮。
(2) 定义工作标题：执行Utility Menu>File>Change Title 命令，在弹出的
单击按钮。
(3) 重新显示：执行Utility Menu>Plot>Replot命令。
(4) 关闭三角坐标符号：执行Utility Menu>PlotCtrls>Window Controls>Window Options命令，弹出
2.定义单元类型和材料属性
(1) 选择单元类型：执行Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete命令，弹出
和“Quad 4node 42”选项，单击按钮，Options…>select K3: Plane Strain >OK>然后单击按钮。
(2) 设置材料属性：执行Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models 命令， Material Models命令，弹出
“Structural\Linear\Elastic\Isotropic”选项，弹出
(3)保存数据：单击ANSYS Tools中的按钮。
3.创建几何模型
(1)生成一个矩形面：执行Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Are- As>Rectangle>By Dimensions命令，弹出 s 对话框>。如图所示输入数据，单击按钮，在 (2)和上面步骤一样,只是数据改变。 (3)执行面相操作：执行Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Bool- Leans>Subtract>Areas命令，弹出一个拾取框。拾取编号为A1的面，单击按钮。然后拾取编号为A2的圆面，单击按钮。生成结果如图所示。 (4)保存几何模型：单击Ansys Toolbar中的按钮。 4.生成有限元网格 (1)设置网格尺寸的大小：执行Main Menu>Preprocessor>Meshing>Size Cn- trls>MaualSize >Global>Size命令，弹出如图所示的 zes>对话框。在 (2) 采用自由网格划分单元：执行Main Menu>Preprocessor>Mesh>Areas> Free命令，弹出一个拾取框。拾取编号为A3的面，单击按钮，生成的网格如图所示。 (3)保存结果：单击工具栏中的按钮。 5.施加载荷并求解 (1)施加约束条件：执行Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Struct- rual>Displacement>on Lines命令。弹出一个拾取框。拾取编号为L10和L9的线，单击按钮，弹出如图所示的 (2)施加载荷：执行Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structrual> Pressure>On Lines命令，弹出一个拾取框。拾取编号为L2的线，还有上下两 条线。单击按钮，弹出如图所示的 (3) 求解：执行Main Menu>Solution>Solve>Current LS命令，弹出一个提示框。浏览后执行File>Close命令，单击按钮开始求解运算。当出现一个 (4)保存分析结果：执行Utility Menu>File>Save as命令，弹出 13、分析图示带方孔、对角受压的正方形薄板的变形，试建立其有限元计算模型。答：该题为对称结构受对称载荷作用，可作如下简化，即取原薄板的1/4，x轴上各点的垂直位移为0，y轴上各点的水平位移为0。集中力作用于顶部节点，但大小减半。 （1）建立有限元模型； （2）用通用有限元软件进行计算。 答：1.定义工作文件名和工作标题 (1) 定义工作文件名：执行Utility Menu>File>Change Jobname命令，在弹出的 (2) 定义工作标题：执行Utility Menu>File>Change Title命令，在弹出的 (3) 重新显示：执行Utility Menu>Plot>Replot命令。 (4) 关闭三角坐标符号：执行Utility Menu>PlotCtrls>Window Controls>Window Options 命令，弹出 2.定义单元类型和材料属性 (1) 选择单元类型：执行Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete命令， 弹出 (2) 设置材料属性：执行Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models 命令， Material Models命令，弹出 (3)保存数据：单击ANSYS Tools中的按钮。 3.创建几何模型 （1）特征点 ANSYS Main Menu: Preprocessor> Modeling> Create> Keypoints> In Active CS 依次输入四个点的坐标：input:1(-10，0),2(10，0),3(0，-10),4(0，10) >OK （1）生成矩形面 ANSYS Main Menu: Preprocessor> Modeling> Create> Areas> Arbitrary> Through KPS 依次连接四个特征点，1(10,0),2(-10,0),3(0,-10),4(0,10) →OK 一个小方形。 （3）执行面相操作：执行Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Bool- Leans>Subtract>Areas命令，弹出一个拾取框。拾取编号为A1的面，单击按钮。然后拾取 编号为A2的圆面，单击按钮。生成结果如图所示。 和上题是一样的。 5.施加载荷并求解 和上题不同是施加约束条件要建立关键点10（0，0），对其进行全方位约束。 施加载荷的时候是集中载荷，执行Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structrual> Force/Moment> On Keypoints 《有限元分析与应用》详细例题 试题1：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比 较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 一．问题描述及数学建模 无限长的刚性地基上的三角形大坝受齐顶的水压作用可看作一个平面问题，简化为平面三角形受力问题，把无限长的地基看着平面三角形的底边受固定支座约束的作用，受力面的受力简化为受均布载荷的作用。 二．建模及计算过程 1. 分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算 下面简述三节点常应变单元有限元建模过程（其他类型的建模过程类似）： 1.1进入ANSYS 【开始】→【程序】→ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →change the working directory →Job Name: shiti1→Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 1.3选择单元类型 单元是三节点常应变单元，可以用4节点退化表示。 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4 node 42 →OK (back to Element Types window)→Options… →select K3: Plane Strain→OK→Close (the Element Type window) 1.4定义材料参数 一、有限单元法的基本原理 有限单元法（The Finite Element Method）简称有限元（FEM），它是利用电子计算机进行的一种数值分析方法。它在工程技术领域中的应用十分广泛，几乎所有的弹塑性结构静力学和动力学问题都可用它求得满意的数值结果。 有限元方法的基本思路是：化整为零，积零为整。即应用有限元法求解任意连续体时，应把连续的求解区域分割成有限个单元，并在每个单元上指定有限个结点，假设一个简单的函数（称插值函数）近似地表示其位移分布规律，再利用弹塑性理论中的变分原理或其他方法，建立单元结点的力和位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程组，从而求解结点的位移分量. 进而利用插值函数确定单元集合体上的场函数。由位移求出应变, 由应变求出应力 二、ABAQUS有限元分析过程 有限元分析过程可以分为以下几个阶段 1.建模阶段: 建模阶段是根据结构实际形状和实际工况条件建立有限元分析的计算模型――有限元模型，从而为有限元数值计算提供必要的输入数据。有限元建模的中心任务是结构离散，即划分网格。但是还是要处理许多与之相关的工作：如结构形式处理、集合模型建立、单元特性定义、单元质量检查、编号顺序以及模型边界条件的定义等。 2.计算阶段:计算阶段的任务是完成有限元方法有关的数值计算。 由于这一步运算量非常大，所以这部分工作由有限元分析软件控制并在计算机上自动完成 3.后处理阶段: 它的任务是对计算输出的结果惊醒必要的处理， 并按一定方式显示或打印出来，以便对结构性能的好坏或设计的合理性进行评估，并作为相应的改进或优化，这是惊醒结构有限元分析的目的所在。 下列的功能模块在ABAQUS/CAE操作整个过程中常常见到，这个表简明地描述了建立模型过程中要调用的每个功能模块。 “Part（部件） 用户在Part模块里生成单个部件，可以直接在ABAQUS/CAE环境下用图形工具生成部件的几何形状，也可以从其它的图形软件输入部件。 Property（特性） 截面（Section）的定义包括了部件特性或部件区域类信息，如区域的相关材料定义和横截面形状信息。在Property模块中，用户生成截面和材料定义，并把它们赋于(Assign)部件。 Assembly（装配件） 所生成的部件存在于自己的坐标系里，独立于模型中的其它部件。用户可使用Assembly模块生成部件的副本（instance），并且在整体坐标里把各部件的副本相互定位，从而生成一个装配件。 一个ABAQUS模型只包含一个装配件。 同济大学本科课程期终考试统一命题纸A卷 2007—2008学年第二学期 一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（）二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进 行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 2013-08-29 17:31 by:有限元来源:广州有道有限元 1. 软件形式： ㈠. SolidWorks的内置形式： ◆COSMOSXpress——只有对一些具有简单载荷和支撑类型的零件的静态分析。 ㈡. SolidWorks的插件形式： ◆COSMOSWorks Designer——对零件或装配体的静态分析。 ◆COSMOSWorks Professional——对零件或装配体的静态、热传导、扭曲、频率、掉落测试、优化、疲劳分析。 ◆COSMOSWorks Advanced Professional——在COSMOSWorks Professional的所有功能上增加了非线性和高级动力学分析。 ㈢. 单独发行形式： ◆COSMOS DesignSTAR——功能与COSMOSWorks Advanced Professional相同。 2. 使用FEA的一般步骤： FEA=Finite Element Analysis——是一种工程数值分析工具，但不是唯一的数值分析工具！其它的数值分析工具还有：有限差分法、边界元法、有限体积法… ①建立数学模型——有时，需要修改CAD几何模型以满足网格划分的需要， （即从CAD几何体→FEA几何体），共有下列三法： ▲特征消隐：指合并和消除在分析中认为不重要的几何特征，如外圆角、圆边、标志等。▲理想化：理想化是更具有积极意义的工作，如将一个薄壁模型用一个平面来代理（注：如果选中了“使用中面的壳网格”做为“网格类型”，COSMOSWorks会自动地创建曲面几何体）。 ▲清除：因为用于划分网格的几何模型必须满足比实体模型更高的要求。如模型中的细长面、多重实体、移动实体及其它质量问题会造成网格划分的困难甚至无法划分网格—这时我们可以使用CAD质量检查工具（即SW菜单: Tools→Check…）来检验问题所在，另外含有非常短的边或面、小的特征也必须清除掉（小特征是指其特征尺寸相对于整个模型尺寸非常小！但如果分析的目的是找出圆角附近的应力分布，那么此时非常小的内部圆角应该被保留）。 ②建立有限元模型——即FEA的预处理部分，包括五个步骤： ▲选择网格种类及定义分析类型（共有静态、热传导、频率…等八种类别）——这时将产生一个FEA算例，左侧浏览器中之算例名称之后的括号里是配置名称； ▲添加材料属性: 材料属性通常从材料库中选择，它不并考虑缺陷和表面条件等因素，与几何模型相比，它有更多的不确定性。 有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列 有限元分析软件 有限元分析是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50 年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元分析软件目前最流行的有：ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC 四个比较知名比较大的公司，其中ADINA、ABAQUS 在非线性分析方面有较强的能力目前是业内最认可的两款有限元分析软件，ANSYS、MSC 进入中国比较早所以在国内知名度高应用广泛。目前在多物理场耦合方面几大公司都可以做到结构、流体、热的耦合分析，但是除ADINA 以外其它三个必须与别的软件搭配进行迭代分析，唯一能做到真正流固耦合的软件只有ADINA。ANSYS是商业化比较早的一个软件，目前公司收购了很多其他软件在旗下。ABAQUS专注结构分析目前没有流体模块。MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。 结构分析能力排名：ABAQUS、ADINA、MSC、ANSYS 流体分析能力排名：ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS 耦合分析能力排名：ADINA、ANSYS、MSC、ABAQUS 性价比排名：最好的是ADINA，其次ABAQUS、再次ANSYS、最后MSC ABAQUS 软件与ANSYS 软件的对比分析： 1．在世界范围内的知名度：两种软件同为国际知名的有限元分析软件，在世界范围内具有各自广泛的用户群。ANSYS 软件在致力于线性分析的用户中具有很好的声誉，它在计算机资源的利用，用户界面开发等方面也做出了较大的贡献。ABAQUS软件则致力于更复杂和深入的工程问题，其强大的非线性分析功能在设计和研究的高端用户群中得到了广泛的认可。由于ANSYS 产品进入中国市场早于ABAQUS，并且在五年前ANSYS 的界面是当时最好的界面之一，所以在中国，ANSYS 软件在用户数量和市场推广度方面要高于ABAQUS。但随着ABAQUS北京办事处的成立，ABAQUS软件的用户数目和市场占有率正在大幅度和稳步提高，并可望在今后的几年内赶上和超过ANSYS。 2．应用领域：ANSYS 软件注重应用领域的拓展，目前已覆盖流体、电磁场和多物理场耦合等十分广泛的研究领域。ABAQUS 则集中于结构力学和相关领域研究，致力于解决该领域的深层次实际问题。 3．性价比：ANSYS 软件由于价格政策灵活，具有多种销售方案，在解决常规的 1.软件形式： ㈠. SolidWorks的内置形式： ◆COSMOSXpress——只有对一些具有简单载荷和支撑类型的零件的静态分析。 ㈡. SolidWorks的插件形式： ◆COSMOSWorks Designer——对零件或装配体的静态分析。 ◆COSMOSWorks Professional——对零件或装配体的静态、热传导、扭曲、频率、掉落测试、优化、疲劳分析。 ◆COSMOSWorks Advanced Professional——在COSMOSWorks Professional的所有功能上增加了非线性和高级动力学分析。 ㈢. 单独发行形式： ◆COSMOS DesignSTAR——功能与COSMOSWorks Advanced Professional相同。 2.使用FEA的一般步骤： FEA=Finite Element Analysis——是一种工程数值分析工具，但不是唯一的数值分析工具！其它的数值分析工具还有：有限差分法、边界元法、有限体积法… ①建立数学模型——有时，需要修改CAD几何模型以满足网格划分的需要， （即从CAD几何体→FEA几何体），共有下列三法： ▲特征消隐：指合并和消除在分析中认为不重要的几何特征，如外圆角、圆边、标志等。▲理想化：理想化是更具有积极意义的工作，如将一个薄壁模型用一个平面来代理（注：如果选中了“使用中面的壳网格”做为“网格类型”，COSMOSWorks会自动地创建曲面几何体）。▲清除：因为用于划分网格的几何模型必须满足比实体模型更高的要求。如模型中的细长面、多重实体、移动实体及其它质量问题会造成网格划分的困难甚至无法划分网格—这时我们可以使用CAD质量检查工具（即SW菜单: Tools→Check…）来检验问题所在，另外含有非常短的边或面、小的特征也必须清除掉（小特征是指其特征尺寸相对于整个模型尺寸非常小！但如果分析的目的是找出圆角附近的应力分布，那么此时非常小的内部圆角应该被保留）。 ②建立有限元模型——即FEA的预处理部分，包括五个步骤： ▲选择网格种类及定义分析类型（共有静态、热传导、频率…等八种类别）——这时将产生一个FEA算例，左侧浏览器中之算例名称之后的括号里是配置名称； ▲添加材料属性: 材料属性通常从材料库中选择，它不并考虑缺陷和表面条件等因素，与几何模型相比，它有更多的不确定性。 ◇右键单击“实体文件夹”并选择“应用材料到所有”——所有零部件将被赋予相同的材料属性。 ◇右键单击“实体文件夹”下的某个具体零件文件夹并选择“应用材料到所有实体”——某个零件的所有实体(多实体)将被赋予指定的材料属性。 ◇右键单击“实体文件夹”下具体零件的某个“Body”并选择“应用材料到实体”——只有 有限元分析软件的比较（购买必看）－转贴 随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式，这些问题的解析计算往往是不现实的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析（FEA，Finite Element A nalysis）方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。在工程实践中，有限元分析软件与CAD系统的集成应用使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PA FEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。 以下对一些常用的软件进行一些比较分析： 1. LSTC公司的LS-DYNA系列软件 一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 有限元分析及应用大作业 作业要求： 1）个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成，并将计算结果上交； 也可根据自己科研工作给出计算实例。 2）以小组为单位完成有限元分析计算； 3）以小组为单位编写计算分析报告； 4）计算分析报告应包括以下部分： A、问题描述及数学建模； B、有限元建模（单元选择、结点布置及规模、网格划分方案、载荷及边界 条件处理、求解控制） C、计算结果及结果分析（位移分析、应力分析、正确性分析评判） D、多方案计算比较（结点规模增减对精度的影响分析、单元改变对精度的 影响分析、不同网格划分方案对结果的影响分析等） 题一：图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（注意ANSYS中用四边形单元退化为三节点三角形单元） 2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。 解：1.建模： 由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作 用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况P=98000-9800*Y；建立几何模型，进行求解；假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3； 2：有限元建模过程： 2.1 进入ANSYS : 程序→ANSYS APDL 15.0 2.2设置计算类型: ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural →OK 2.3选择单元类型: ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 182(三节点常应变单元选择Solid Quad 4node 182，六节点三角形单元选择Solid Quad 8node 183)→OK (back to Element Types window) →Option →select K3: Plane Strain →OK→Close (the Element Type window) 2.4定义材料参数： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY:0.3 →OK 2.5生成几何模型： 生成特征点： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →依次输入四个点的坐标：input:1(0,0),2(10,0),3(1,5),4(0.45,5) →OK 生成坝体截面： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPS →依次连接四个特征点，1(0,0),2(6,0),3(0,10) →OK 2.6 网格划分： ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) lines: Set →依次拾取两条直角边:OK→input NDIV: 15 →Apply→依次拾取斜边:OK →input NDIV: 20 →OK →(back to the mesh tool window)Mesh:Areas, Shape: tri, Mapped →Mesh →Pick All (in Picking Menu) →Close( the Mesh Tool window) 2.7 模型施加约束： 给底边施加x和y方向的约束： ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement →On lines →pick the lines →OK →select Lab2:UX, UY →OK 给竖直边施加y方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数： 98000-9800*{Y}；3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file：将需要的.func文件打开，参数名取meng，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取竖直边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷为meng参数名→OK 2.8 分析计算： ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS →OK(to close the solve Current Load 第一章实体建模 第一节基本知识 建模在ANSYS系统中包括广义与狭义两层含义，广义模型包括实体模型和在载荷与边界条件下的有限元模型，狭义则仅仅指建立的实体模型与有限元模型。建模的最终目的是获得正确的有限元网格模型，保证网格具有合理的单元形状，单元大小密度分布合理，以便施加边界条件和载荷，保证变形后仍具有合理的单元形状，场量分布描述清晰等。 一、实体造型简介 1．建立实体模型的两种途径 ①利用ANSYS自带的实体建模功能创建实体建模： ②利用ANSYS与其他软件接口导入其他二维或三维软件所建立的实体模型。 2．实体建模的三种方式 (1)自底向上的实体建模 由建立最低图元对象的点到最高图元对象的体，即先定义实体各顶点的关键点，再通过关键点连成线，然后由线组合成面，最后由面组合成体。 (2)自顶向下的实体建模 直接建立最高图元对象，其对应的较低图元面、线和关键点同时被创建。 (3)混合法自底向上和自顶向下的实体建模 可根据个人习惯采用混合法建模，但应该考虑要获得什么样的有限元模型，即在网格划分时采用自由网格划分或映射网格划分。自由网格划分时，实体模型的建立比较1e单，只要所有的面或体能接合成一体就可以：映射网格划分时，平面结构一定要四边形或三边形的面相接而成。 二、ANSYS的坐标系 ANSYS为用户提供了以下几种坐标系，每种都有其特定的用途。 ①全局坐标系与局部坐标系：用于定位几何对象(如节点、关键点等)的空间位置。 ②显示坐标系：定义了列出或显示几何对象的系统。 ③节点坐标系：定义每个节点的自由度方向和节点结果数据的方向。 ④单元坐标系：确定材料特性主轴和单元结果数据的方向。 1．全局坐标系 全局坐标系和局部坐标系是用来定位几何体。在默认状态下，建模操作时使用的坐标系是全局坐标系即笛卡尔坐标系。总体坐标系是一个绝对的参考系。ANSYS提供了4种全局坐标系：笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、Y-柱坐标系。4种全局坐标系有相同的原点，且遵循右手定则，它们的坐标系识别号分别为：0是笛卡尔坐标系(cartesian)，1是柱坐标系 (Cyliadrical)，2是球坐标系(Spherical)，5是Y-柱坐标系(Y-aylindrical)，如图2-1所示。 (完整)各种有限元分析软件比较 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)各种有限元分析软件比较）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)各种有限元分析软件比较的全部内容。 各种有限元分析软件比较 有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统. 有限元分析具有确保产品设计的安全合理性，同时采用优化设计，找出产品设计最佳方案，降低材料的消耗或成本; 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题；模拟各种试验方案，减少试验时间和经费等作用，越来越被应用,越来越的有限元分析也不断被开发出来，当我们在做有限元分析时,我们该选择什么样的软件？或者我们该学习什么软件?成了大多数人困惑的问题。看板网根据自己超过十年的有限元分析项目经验和培训经验，对各种有限元分析软件进行了一些比较，希望大家在选择时能够大家做参考。 有限元分析常用软件 国外软件 大型通用有限元商业软件：如ANSYS可以分析多学科的问题，例如：机械、电磁、热力学等；电机有限元分析软件NASTRAN等。还有三维结构设计方面的UG,CATIA，Proe等都是比较强大的。 国内软件 国产有限元软件：FEPG,SciFEA,JiFEX，KMAS等。 当然首先要明确你要用这个软件进行什么分析，一般会用到有限元分析的地方有：1。模流分析；2.结构强度分析;3。电磁场分析；4。谐响应分析（比如查找共振频率）；5。铸造分析。等等 ANSYS是商业化比较早的一个软件,目前公司收购了很多其他软件在旗下.ABAQUS 专注结构分析目前没有流体模块.MSC是比较老的一款软件目前更新速度比较慢。ADINA是在同一体系下开发有结构、流体、热分析的一款软件，功能强大但进入中国时间比较晚市场还没有完全铺开。 有限元分析与应用试题 1.有限元求解问题的主要思路是什么？并做简要介绍。 ● 将连续系统分割成有限个分区或单元（离散化） 离散化 将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。两段之间的连接点称为节点，每个有限段称为单元。第i 个单元的长度为L i ，包含第i ，i+1个节点。 ● 用标准方法对每个单元提出一个近似解（单元分析） 单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。 线性插值所得到的 第i 结点的位移 第i 结点的坐标 第i 个单元的 应变 ) ()(1i i i i i x x L u u u x u --+=+i u i x i i i i L u u dx du -== +1εi i i i i L u u E E )(1-= =+εσ 应力 内力 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统（整体分析） 首先把外载荷集中到节点上： 把第i 单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上 建立结点的力平衡方程：对于第i+1结点，由力的平衡方程可得 （i=1，n-1） i i i i i L u u EA A N ) (1-= =+σ2 ) (11+++= -i i i i L L q N N ) (2 )()(11121++++++=---i i i i i i i i L L q L u u EA L u u EA 令 对于第n+1个结点，第n 个单元的内力与第n+1个结点上的外载荷平衡， 再加上约束条件 因此可以得到n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个结点的位移。 有限元方法的基本思想和原理是“简单”而“朴素”的，在发展初期，许多学术权威对该方法的学术价值有所鄙视，国际著名刊物Journal of Applied Mechanics 许多年来拒绝刊登有关有限元方法的文章，其理由是没有新的科学实质。 现在完全不同了，由于有限元方法在科学研究和工程分析中的地位， 1 += i i i L L λ22 1)11(2)1(i i i i i i i L EA q u u u λλλ+=-++-++1()2 n n n n n n EA u u qL N A L σ+-== = EA qL u u n n n 221= +-+0 1=u 中南大学考试试卷(试卷共2页) 2007 -- 2008学年下学期时间110分钟有限元分析及应用课程 36 学时 2 学分 专业年级： 07级研究生总分100分考试形式：大型作业注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上A4 一．简答题（共40分,每题10分） 1．简述非节点载荷移置的缘由及遵循的原则(p49)？写出集中力移置的普遍公式(p50)。 2．任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题(p84)、轴对称问题(p128)？ 3．简述有限元几何模型(关键点、线、面、体)、网格模型(节点、单元)、有限元模型层次关系(p204)及所包含的主要内容，并说明约束的意义(p265)？ 4．写出3节点平面三角形单元(p90)、8节点六面体单元(p168)的广义位移函数，并说明单元位移模式选取的原则(p32)？ 二．综合题（20分） 1.对于如图所示结构模型，若以角速度W绕中心轴线旋转，求其在惯性力的作用下的 最大应力与变形。（1）概述该分析模型的简化方法及理由(p363)？（2）说明约束的施加方法及理由(p369)？(3)用图表示简化后的物理分析模型 三计算与软件操作题（本题共40分） 据提取等关键命令 点应力、形变、位移数束与载荷、求解以及节成、单元生成、施加约要求：简明概述节点生及位移。 号节点）的应力、应变（即软件，求形心，用对于图出刚度矩阵 细节不要描述，直接写注意：单元刚度的求解；）的应变、应力、位移，（手工计算求板形心点，按有限元的解题步骤对于图求解下列问题： 构离散，节点三角形单元进行结。用泊松比的拉力，弹性模量承受。左端固定，右端角点，板厚，宽已知矩形薄板，长5P ANSYS 22)2(50100P 12)1(33.0,102E N 5001010020011--=?====u Pa cm t cm w cm l 图2-1 矩形薄板2单元结构离散方式 图2-2 矩形薄板4单元结构离散方式 X X Y Y P Matlab有限元分析20140226 为了用Matlab进行有限元分析，首先要学会Matlab基本操作，还要学会使用Matlab进行有限元分析的基本操作。 1. 复习：上节课分析了弹簧系统 x 推导了系统刚度矩阵 2. Matlab有限元分析的基本操作 （1）单元划分（选择何种单元，分成多少个单元，标号）（2）构造单元刚度矩阵（列出…） （3）组装系统刚度矩阵（集成整体刚度矩阵） （4）引入边界条件（消除冗余方程） （5）解方程 （6）后处理（扩展计算） 3. Matlab有限元分析实战【实例1】 分析： 步骤一：单元划分 >>k1=SpringElementStiffness(100) a) 分析SpringAssemble库函数 function y = SpringAssemble(K,k,i,j) % This function assembles the element stiffness % matrix k of the spring with nodes i and j into the % global stiffness matrix K. % function returns the global stiffness matrix K % after the element stiffness matrix k is assembled. K(i,i) = K(i,i) + k(1,1); K(i,j) = K(i,j) + k(1,2); K(j,i) = K(j,i) + k(2,1); K(j,j) = K(j,j) + k(2,2); y = K; b) K是多大矩阵？ 今天的系统刚度矩阵是什么？ 因为 11 22 1212 k k k k k k k k - ?? ?? - ????--+ ?? 所以 1000100 0200200 100200300 - ?? ?? - ????-- ??？ 一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1 图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3 一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和有限元分析与应用详细例题
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