初一数学
一元一次方程经典例题透析
类型一:一元一次方程的相关概念
1、已知下列各式:
①2x-5=1;②8-7=1;③x+y;④x-y=x2;⑤3x+y=6;⑥5x+3y
+4z=0;⑦=8;⑧x=0。其中方程的个数是( )
A、5
B、6
C、7
D、8
思路点拨:方程是含有未知数的等式,根据定义逐个进行判断,显然②③不合题意。
解:是方程的是①④⑤⑥⑦⑧,共六个,所以选B
总结升华:根据定义逐个进行判断是解题的基本方法,判断时应注意两点:一是等式;二是含有未知数,体现了对概念的理解与应用能力。
举一反三:
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程:
(1)-2x2+3=x (2)3x-1=2y (3)x+=2 (4)2x2-1=1-2(2x-x2)
解析:判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。
答案:(1)(2)(3)不是,(4)是
[变式2]已知:(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6=0是一元一次方程,求a的值。
解析:分两种情况:
(1)只含字母y,则有(a-3)(2a+5)=0且a-3≠0
(2)只含字母x,则有a-3=0且(a-3)(2a+5)≠0 不可能
综上,a的值为。
[变式3](2011重庆江津)已知3是关于x的方程2x-a=1的解,则a的值是( )
A.-5 B.5 C.7 D.2
答案:B
类型二:一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上,根据方程原形和特点,灵活安排解题步骤,并且巧妙地运用学过的知识,就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1.巧凑整数解方程:
2、
思路点拨:仔细观察发现,含未知数的项的系数和为,常数项的和故直接移项凑成整数比先去分母简单。
解:移项,得。
合并同类项,得2x=-1。
系数化为1,得x=-。
举一反三:
[变式]解方程:=2x-5
解:原方程可变形为
=2x-5
整理,得8x+18-(2+15x)=2x-5,
去括号,得8x+18-2-15x=2x-5
移项,得8x-15x-2x=-5-18+2
合并同类项,得-9x=-21
系数化为1,得x=。
2.巧用观察法解方程:
3、
思路点拨:该方程可化为=3,不难看出,当y =1时,该方程左边三项的值都是1,即左边=右边,因原方程是一元一次方程,故只能有一个解,于是可求得方程的解是y=1。
解:由观察可得y=1
3.巧去括号解方程:
4、
思路点拨:含多层括号的一元一次方程,要根据方程中各系数的特点,选择适当的去括号的方法,因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系,所以从外向内去括号可以使计算简单。
解:去括号,得
去小括号,得
去分母,得(3x-5)-8=8
去括号、移项、合并同类项,得3x=21
两边同除以3,得x=7
∴原方程的解为x=7
举一反三:
[变式]解方程:
解:依次移项、去分母、去大括号,得
依次移项、去分母、去中括号,得
依次移项、去分母、去小括号,得
,∴x=48
4.运用拆项法解方程:
5、
思路点拨:注意到,在解有分母的一元一次方程时,可以不直接去分母,而是逆用分数加减法法则,拆项后再合并,有时可以使运算简便。
解:原方程逆用分数加减法法则,得
移项、合并同类项,得。
系数化为1,得。
5.巧去分母解方程:
6、
思路点拨:当方程的分母含有小数,而小数之间又没有特殊的倍数关系时,若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时,利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
解:原方程化为
去分母,得100x-(13-20x)=7
去括号、移项、合并同类项,得120x=20
两边同除以120,得x=
∴原方程的解为
总结升华:应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的,先化为同分母,再去分母较简便。
举一反三:
[变式](2011山东滨州)依据下列解方程的过程,请在前面的括号内填写变形步骤,在后面的括号内填写变形依据。
解:原方程可变形为 (_________________________) 去分母,得3(3x+5)=2(2x-1). (__________________________)
去括号,得9x+15=4x-2. (____________________________)
(_________________),得9x-4x=-15-2. (______________________) 合并,得5x=-17. (合并同类项)
(____________________),得x=. (_________________________)
【答案】解:原方程可变形为 (_分式的基本性质_)
去分母,得3(3x+5)=2(2x-1). (_等式性质2_)
去括号,得9x+15=4x-2. (去括号法则或乘法分配律_)
(______移项_______),得9x-4x=-15-2. (等式性质1_)
合并,得5x=-17. (合并同类项)
(_______系数化为1____),得x=. (等式性质2)6.巧组合解方程:
7、
思路点拨:按常规解法将方程两边同乘72化去分母,但运算较复杂,注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3,左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4,移项局部通分化简,可简化解题过程。
解:移项通分,得
化简,得
去分母,得8x-144=9x-99。
移项、合并,得x=-45。
7.巧解含有绝对值的方程:
8、|x-2|-3=0
思路点拨:解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两个一元一次方程分别解之,即若|x|=m,则x=m或x=-m;也可以根据绝对值的几何意义进行去括号,如解法二。
解法一:移项,得|x-2|=3
当x-2≥0时,原方程可化为x-2=3,解得x=5
当x-2<0时,原方程可化为-(x-2)=3,解得x=-1。
所以方程|x-2|-3=0的解有两个:x=5或x=-1。
解法二:移项,得|x-2|=3。
因为绝对值等于3的数有两个:3和-3,所以x-2=3或x-2=-3。
分别解这两个一元一次方程,得解为x=5或x=-1。
举一反三:
【变式1】(2011福建泉州)已知方程,那么方程的解是________.
【答案】;
[变式2] 5|x|-16=3|x|-4
解:5|x|-3|x|=16-4
2|x|=12
|x|=6
x=±6
[变式3]
解:|3x-1|=8
3x-1=±8
3x=1±8
3x=9或3x=-7
x=3或
8.利用整体思想解方程:
9、
思路点拨:因为含有的项均在“”中,所以我们可以将作为一个整体,先求出整体的值,进而再求的值。
解:移项通分,得:
化简,得:
移项,系数化1得:
总结升华:解一元一次方程有一般程序化的步骤,我们在解一元一次方程时,既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程,又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说,前者是基础,后者是机智,只有真正掌握了一般步骤,才能熟能生巧。
一元一次方程的应用经典题 1、“水是生命之源”,市自来水公司为鼓励用户节约用水,按以下规定收取水费: (1)某用户1月份共交水费65元,问1月份用水多少吨? (2)若该用户水表有故障,每次用水只有60%记入用水量,这样在2月份交水费43. 2元,该用户2月份实际应交水费多少元? 2、60 增加15
3、 七(1)、(2)104(1)班人数多于七(2)班,70人,准备周末去公园 1140元. (1) (2) (3)(1)班有10 4、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3 种不同型号的 电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元. (1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案. (2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,你选择哪种方案?
5、某车间有16名工人,每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中, 一部分人加工甲种零件,其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元,求这一天有几个工人加工甲种零件. 6、某工厂计划生产一种新型豆浆机,每台豆浆机需要3个A种零件和5个B种零件正好配套, 已知车间每天能生产A种零件4个或B种零件30个,现在要使在22天中所生产的零件全部配套,那么应该安排多少天生产甲种零件,多少天生产乙种零件? 7、日历上爷爷生日那天的上下左右4个日期的和为80,你能说出爷爷的生日是哪天吗
经 典 题 型 一、解方程(等式的性质)20分 1、x x 232-=- 2、463127.253.13?-?-=-+-x x x x 3、x x 21-=- 4、x 355-= 5、15=-x 6、1835+=-x x 7、x x 237+= 8、x x x 58.42.13-=-- 9、26473-=+-x x x 10、x x x 910026411-=-+ 11、x x x x 43987--=+- 12、x x x 25.132-=+- 13、x x 3.15.67.05.0-=- 14、3.05.064-=-+-x x x 15、15 2+-=-x x 16、35 36+-=-x x 17、3 223=x 18、168421x x x x x ++-+ = 19、4 32214+=-x x
20、x x x 3 212-=- 二、解方程(去括号)30分 1、4)1(2=-x 2、5)1(10=-x 3、95)3(+=--x x 4、)12(1)2(3--=+-x x x 5、)15(2)2(5-=+x x 6、)4(3)2()1(2x x x -=+-- 7、1)1(234+-=+x x 8、x x x 31)1(2)1(-=--+ 9、)1(3)14(6)2(2x x x -=--- 10、)1(9)15(3)2(4x x x -=--- 11、)12(3)32(21+-=+-x x 12、x x x 31)1(2)1(-=--+ 13、)9(76)20(34x x x x --=-- 14、)3()2(2+-=-x x 15、)1(72)4(2--=+-x x x 16、)43(23)165(2--=+-x x x 17、)12(41)2(3--=+--x x x 18、)4(12)2(24+-=-+x x x 19、)1(9)14(3)2(2x x x -=--- 20、)1(9)14(3)2(2y y y -=--+ 21、)9(76)20(34x x x x --=-- 22、17}20]8)15(4[3{2=----x 23、2)]}4(8[2{3]5)4(3[2----=-+--x x x x x x 24、)1(3 2)1(2121-=??????--x x x
一元一次方程经典题型 1.以y 为未知数的方程c b ay 52=()0,0≠≠b a 的解是 ( ) A .a bc y 10= B .c bc y 52= C .a bc y 25= D .c bc y 10= 2.要使415+ m 与??? ??+415m 互为相反数,那么m 的值是 ( ) A .0 B .203 C .201 D .20 3- 3.已知05432=+-n x 是关于x 的一元一次方程,则.____________=n 4.若79b a x 与12437---y x b a 是同类项,则.___________,__________==y x 5.若2-是关于x 的方程a x x -= +243的解,则._________1100100=-a a 6、若关于x 的方程230m mx m --+=是一元一次方程,则这个方程的解是 . 6、已知:()2135m --有最大值,则方程5432m x -=+的解是 . 7、方程456,x y -=用含x 的代数式表示y 得 ,用含y 的代数式表示x 得 。 3、解方程20.250.1x 0.10.030.02 x -+=时,把分母化为整数,得 。 2、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程 3222k x k x +--=的解互为倒数,求k 的值 。 7. .222 .01.05.0=+-x x 6.3.1从实际问题到方程 一、本课重点,请你理一理 列方程解应用题的一般步骤是: (1)“找”:看清题意,分析题中及其关系,找出用来列方程的____________; (2)“设”:用字母(例如x )表示问题的_______; (3)“列”:用字母的代数式表示相关的量,根据__________列出方程; (4)“解”:解方程; (5)“验”:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案; (6)“答”:答出题目中所问的问题。 二、基础题,请你做一做 1. 已知矩形的周长为20厘米,设长为x 厘米,则宽为( ). A. 20-x B. 10-x C. 10-2x D. 20-2x 2.学生a 人,以每10人为一组,其中有两组各少1人,则学生共有( )组. A. 10a -2 B. 10-2a C. 10-(2-a) D.(10+2)/a
七年级数学上册经典练习题 七年级有理数 一、境空题 1、31-的倒数是____;3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____;最小的正整数是____. 3、在数轴上,点A 所表示的数为2,那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是____. 4、两个有理数的和为5,其中一个加数是–7,那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-,最高气温为8℃,那么该景点这天的温差是____. C 6、计算:.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____;立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数,请赋予它实际的意义:___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________,其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ,则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘,其中最大的积是___________,最小的积是____________。 14、若m ,n 互为相反数,则│m-1+n │=_________. 二、选择题(每小题3分,共21分) 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示: 则( ) 0-11a b A .a + b <0 B .a + b >0; C .a -b = 0 D .a -b >0 16、下列各式中正确的是( ) A .22)(a a -= B .33)(a a -=; C .|| 22a a -=- D .|| 33a a = 17、如果0a b +>,且0ab <,那么( ) A.0,0a b >> ;B.0,0a b << ;C.a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中,值一定是正数的是( ) A .x 2 B.|-x+1| C.(-x)2+2 D.-x 2+1 19、算式(-34 3)×4可以化为() (A )-3×4-43×4 (B )-3×4+3 (C )-3×4+4 3×4 (D )-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下:第一次85分,第二次比第一次高8分,第三次比第二次低12分,第四次又比第三次高10分.那么小明第四次测验的成绩是…………() A 、90分 B 、75分 C 、91分 D 、81分 21、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售,到三月份再声称以8折(80%)大拍卖,那么该商品三月份的价格比进货价………………………………………()
一元一次方程板块 1.已知等式2(2)10a x ax -++=是关于x 的一元一次方程(即x 未知),则这个方 程的解为______ 2.方程12=+a x 与方程2213+=-x x 的解相同,则a 的值为( ) A. -5 B . -3 C. 3 D. 5 3.若关于x 的方程a x x -=+332的解是2x =-,则代数式21a a -的值是_________ 4.关于x 的方程729+=-kx x 的解是自然数,则整数k 的值为 5.当m 取什么整数时,关于x 的方程1514()2323 mx x -=-的解是正整数? 6、关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数,则a 的值为( ) A 、2 B 、3 C 、1或2 D 、2或3 7.小李在解方程135=-x a (x 为未知数)时,误将x -看作x +,解得方程的解 2-=x ,则原方程的解为___________________________. 8. 解方程 (1)x x 325.2]2)125.0(32[23=-++ (2)13 5467221--=---x x x (3)14 3)1(2111=-+-x (4)、200320042003433221=?++?+?+?x x x x 9.某公司向银行贷款40万元,用来生产某种产品,已知该贷款的利率为15%(不 计复利,即还贷款前两年利息不计算),每个新产品的成本是2.3元,售价是4元, 应纳税款是销售额的10%,如果每年生产该种产品20万个,并把所得利润(利 润=销售额-成本-应纳税款)用来归还贷款,问需要几年后才能一次性还清? 10.(2009年牡丹江)五一期间,百货大楼推出全场打八折的优惠活动,持贵宾 卡可在八折基础上继续打折,小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品,共 节省2800元,则用贵宾卡又享受了 折优惠. 11.一项工程,甲单独做需x 天完成,乙单独做需y 天完成,两人合做这项工程 所需天数为( ) A.1x y + B.11x y + C.1xy D.1 11x y +
精心整理一、知识要点梳理 知识点一:方程和方程的解 1.方程:含有_____________的______叫方程 注意:a.必须是等式b.必须含有未知数。 易错点:(1).方程式等式,但等式不一定是方程;(2).方程中的未知数可以用x表示,也可以用其他字母表示;(3).方程中可以含多个未知数。 考法:判断是不是方程: 例:下列式子:(1).8-7=1+0(2). 1、一元一次方程: 一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0)。 要点诠释: 一元一次方程须满足下列三个条件: (1)只含有一个未知数; (2)未知数的次数是1次; (3)整式方程. 2、方程的解: 判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边,看两边是否相等. 知识点二:一元一次方程的解法 1、方程的同解原理(也叫等式的基本性质) 等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。 如果,那么;(c为一个数或一个式子)。 等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。 如果,那么;如果,那么 要点诠释: 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。
即:(其中m≠0) 特别须注意:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数,如方程:-=1.6,将其化为:-=1.6。方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开。 2、解一元一次方程的一般步骤: 解一元一次方程的一般步骤 变 形 步 骤 具体方法变形根据注意事项 去分母方程两边都乘以 各个分母的最小 公倍数 等式性质 2 1.不能漏乘不含分母的项; 2.分数线起到括号作用,去 掉分母后,如果分子是多项 式,则要加括号 去括号先去小括号,再 去中括号,最后 去大括号 乘法分配 律、去括 号法则 1.分配律应满足分配到每一 项 2.注意符号,特别是去掉括 号 移项把含有未知数的 项移到方程的一 边,不含有未知 数的项移到另一 边 等式性质 1 1.移项要变号; 2.一般把含有未知数的项移 到方程左边,其余项移到右 边 合并同类项把方程中的同类 项分别合并,化 成“b ax=”的形 式(0 ≠ a) 合并同类 项法则 合并同类项时,把同类项的 系数相加,字母与字母的指 数不变 未知数的系方程两边同除以 未知数的系数a, 得 a b x= 等式性质 2 分子、分母不能颠倒
培优数学试题 1、设三个互不相等的有理数,既可表示为1,,a b a +的形式式,又可表示为0,b a , b 的形式,求20062007a b +。 2、三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且||| | || ||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少? 3、 若|||||| 0,a b ab ab a b ab +-f 则的值等于多少? 4、如果m 是大于1的有理数,那么m 一定小于它的( ) A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 5、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数,求321a b +-的值。
7、(1)123456-+-+-+…20012002+-的值是__________________。 (2)如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所 示,那么||||a b a b -++化简的结果等于( ) A.2a B.2a - C.0 D.2b (3)已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D.6 8、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=,试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 9、已知,a b 为非负整数,且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。 10、已知|a b -2|与|a -1|互为相互数,试求下式的值. ()()()()()() 1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++L
解一元一次方程(含答案) 1、71 2=+x ; 2、825=-x ; 3、7233+=+x x ; 4、735-=+x x ; 解:(移项) (合并) (化系数为1) 5、914211-= -x x ; 6、2749+=-x x ;7、162=+x ; 8、9310=-x ; 解:(移项) (合并) (化系数为1) 9、x x -=-324; 10、4227-=+-x x ;11、8725+=-x x ;12、32 1 41+=-x x 解:(移项) (合并) (化系数为1 13、1623 +=x x 14、253231+=-x x ;15、152+=--x x ; 16、23 312+=--x x 解:(移项) (合并) (化系数为1) . 17、 4 75.0=)++(x x ; 18、2-41)=-(x ; 19、511)=-(x ; 20、212)=---(x ; 解:(去括号) (移项) (合并) (化系数为1) 21、)12(5111+=+x x ; 22、32034)=-(- x x . 23、5058=)-+(x ; 24、293)=-(x ; 解:(去括号) (移项) (合并) (化系数为1) 25、3-243)=+(x ; 26、2-122)=-(x ; 27、443212+)=-(x x ; 28、3 232 36)=+(-x ; 解:(去括号) (移项) (合并) (化系数为1) 29、x x 2570152002+)=-( ; 30、12123)=+(x .31、452x x =+; 32、3 4 23+=-x x ; 解:(去分母) (去括号) (移项) (合并) (化系数为1)
4 一元一次方程经典题型 1.以y 为未知数的方程2ay = 5c (a ≠ 0, b≠ 0)的解是() b A.y =10bc a B. y = 2bc 5c C. y = 5bc 2a D.y =10bc c 2.要使5m +1 与 ? + 1 ? 互为相反数,那么m 的值是() 5 m ? 4 ?? A.0 B.3 20 C.1 20 D.-3 20 3.已知4x 2n-3+ 5 = 0 是关于x 的一元一次方程,则n =. 4.若9a x b7与- 7a3x-4b 2y-1是同类项,则x =, y =. 5.若- 2 是关于x 的方程3x + 4 =x -a 的解,则a100- 2 1 =. a100 6、若关于x 的方程mx m-2-m + 3 = 0 是一元一次方程,则这个方程的解是. 6、已知:1-(3m-5)2有最大值,则方程5m - 4 = 3x + 2 的解是. 7、方程4x - 5 y= 6, 用含x 的代数式表示y 得,用含y 的代数式表示x 得。 2x 0.25 -0.1x 3、解方程+= 0.1时,把分母化为整数,得。 0.03 0.02 2、方程2 -3(x +1) = 0 的解与关于x 的方程 7.0.5x - 0.1 + 2x = 2. 0.2 k +x 2 -3k - 2 = 2x 的解互为倒数,求k 的值。 6.3.1从实际问题到方程 一、本课重点,请你理一理 列方程解应用题的一般步骤是: (1)“找”:看清题意,分析题中及其关系,找出用来列方程的;(2)“设”:用字母(例如x)表示问题的; (3)“列”:用字母的代数式表示相关的量,根据列出方程; (4)“解”:解方程; (5)“验”:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案; (6)“答”:答出题目中所问的问题。 二、基础题,请你做一做 1.已知矩形的周长为20 厘米,设长为x 厘米,则宽为(). A. 20-x B. 10-x C. 10-2x D. 20-2x 2.学生a 人,以每10 人为一组,其中有两组各少1 人,则学生共有()组. A. 10a-2 B. 10-2a C. 10-(2-a) D.(10+2)/a 三、综合题,请你试一试
1.有人编写了一个程序,从1开始,交替做乘法或加法,(第一次可以是加法,也可以是乘法),每次加法,将上次运算结果加2或是加3;每次乘法,将上次运算结果乘2或乘3,例如30,可以这样得到: 1 +3 =4*2=8+2=10*3=30,请问怎样可以得到:2的100次+2的97次-2 解答:1+3=4+2=2的3次-2=2的3次+2-2=(2的3次+2-2)*2=……==2的100次+2的97次-2的97次=2的100次+2的97次-2的97次+2=2的100次+2的97次-2的97次+2+2=……=2的100次+2的97次-2 2.下诗出于清朝数学家徐子云的著作,请算出诗中有多少僧人? 巍巍古寺在云中,不知寺内多少僧。 三百六十四只碗,看看用尽不差争。 三人共食一只碗,四人共吃一碗羹。 请问先生明算者,算来寺内几多僧? 解答:三人共食一只碗:则吃饭时一人用三分之一个碗, 四人共吃一碗羹:则吃羹时一人用四分之一个碗, 两项合计,则每人用1/3+1/4=7/12个碗, 设共有和尚X人,依题意得: 7/12X=364 解之得,X=624 3.两个男孩各骑一辆自行车,从相距2O英里(1英里合1.6093千米)的两个地方,开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间,一辆自行车车把上的一只苍蝇,开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把,就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返,在两辆自行车的车把之间来回飞行,直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O 英里的等速前进,苍蝇以每小时15英里的等速飞行,那么,苍蝇总共飞行了多少英里? 解答:每辆自行车运动的速度是每小时10英里,两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里,因此在1小时中,它总共飞行了15英里。 4.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一,共三卷,上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则,中卷举例说明筹算分数法和开平方法,都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题,“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下:令有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雄、兔各几何? 解答:设x为雉数,y为兔数,则有 x+y=b,2x+4y=a 解之得:y=b/2-a, x=a-(b/2-a) 根据这组公式很容易得出原题的答案:兔12只,雉22只。
第三章一元一次方程单元复习与巩固 知识点一:一元一次方程及解的概念 1、一元一次方程: 一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0)。 要点诠释: 一元一次方程须满足下列三个条件: (1)只含有一个未知数; (2)未知数的次数是1次; (3)整式方程. 2、方程的解: 判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边,看两边是否相等. 类型一:一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式: ①2x-5=1;②8-7=1;③x+y;④x-y=x2;⑤3x+y=6;⑥5x+3y+4z=0;⑦=8;⑧x=0。 其中方程的个数是( ) A、5 B、6 C、7 D、8 [变式1]判断下列方程是否是一元一次方程: -2x2+3=x (2)3x-1=2y (3)x+=2 (4)2x2-1=1-2(2x-x2) [变式2]已知:(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6=0是一元一次方程,求a的值。 [变式3](2011重庆江津)已知3是关于x的方程2x-a=1的解,则a的值是( ) A.-5 B.5 C.7 D.2 知识点二:一元一次方程的解法 1、方程的同解原理(也叫等式的基本性质) 等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。 如果,那么;(c为一个数或一个式子)。 等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。 如果,那么;如果,那么 要点诠释: 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。 即:(其中m≠0) 特别须注意:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数,
一元一次方程的应用 1、列方程解应用题的基本步骤和方法: 注意: (1)初中列方程解应用题时,怎么列简单就怎么列(即所列的每一个方程都直接的表示题意),不用担心未知数过多,简化审题和列方程的步骤,把难度转移到解方程的步骤上. (2)解方程的步骤不用写出,直接写结果即可. (3)设未知数时,要标明单位,在列方程时,如果题中数据的单位不统一,必须把单位换算成统一单位,尤其是行程问题里需要注意这个问题. 2、设未知数的方法: 设未知数的方法一般来讲,有以下几种: (1)“直接设元”:题目里要求的未知量是什么,就把它设为未知数,多适用于要求的未知数只有一个的情况; (2)“间接设元”:有些应用题,若直接设未知数很难列出方程,或者所列的方程比较复杂,可以选择间接设未知数,而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用. (3)“辅助设元”:有些应用题不仅要直接设未知数,而且要增加辅助未知数,但这些辅助未知数本身并不需要求出,它们的作用只是为了帮助列方程,同时为了求出真正的未知量,可以在解题时消去.(4)“部分设元”与“整体设元”转换:当整体设元有困难时,可以考虑设其一部分为未知数,反之亦然,如:数字问题.
模块一:数字问题 (1)多位数字的表示方法: 一个两位数的十位数字、个位数字分别为a 、b ,(其中a 、b 均为整数,19a ≤≤,09b ≤≤)则这个两位数可以表示为10a b +. 一个三位数的百位数字为a ,十位数字为b ,个位数字为c ,(其中均为整数,且19a ≤≤,09b ≤≤,09c ≤≤)则这个三位数表示为:10010a b c ++. (2)奇数与偶数的表示方法:偶数可表示为2k ,奇数可表示为21k +(其中k 表示整数). (3)三个相邻的整数的表示方法:可设中间一个整数为a ,则这三个相邻的整数可表示为1,,1a a a -+. 【例1】 一次数学测验中,小明认为自己可以得满分,不料卷子发下来一看得了96分,原来是由于粗心把 一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了,结果自己的答案比正确答案大了36,而正确答案的个位数字是十位数字的2倍.正确答案是多少? 【解析】此题中数据96与列方程无关.与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量. 设正确答案的十位数字为x ,则个位数字为2x , 依题意,得(102)(102)36x x x x ?+-+=,解之得4x =. 于是28x =.所以正确答案应为48. 【答案】48 【例2】 某年份的号码是一个四位数,它的千位数字是2,如果把2移到个位上去,那么所得的新四位数比 原四位数的2倍少6,求这个年份. 【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x ,则这个四位数字可以表示为 21000x ?+,根据题意可列方程:()1022210006x x +=?+-,解得499x = 【答案】2499年 【例3】 有一个四位数,它的个位数字是8,如果将个位数字8调到千位上,则这个数就增加117,求这个 四位数. 【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x ,则这个四位数可以表示为108x +, 则调换后的新数可以表示为8000x +,根据题意可列方程1088000117x x +=+-,解得875x =,所以这个四位数为8758 【答案】8758
初一经典应用题汇总 1、绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示: 类别冰箱彩电 进价(元/台) 2 320 1 900 售价(元/台) 2 420 1 980 (1) 按国家政策,农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买 了冰箱、彩电各一台,可以享受多少元的政府补贴? (2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案; ②哪种进货方案商场获得利润最大(利润=售价进价),最大利润是多少? 解: (1) (2420+1980)×13%=572 答: 可以享受政府572元的补贴. (2) ①设冰箱采购x台,则彩电采购(40-x)台,根据题意,得 2320x+1 900(40-x)≤85000, x≥(40-x). 解不等式组,得≤x≤ ∵x为正整数. ∴x= 19,20,21.