一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图1,直角梯形OABC中,BC∥OA,OA=6,BC=2,∠BAO=45°.
(1)OC的长为;
(2)D是OA上一点,以BD为直径作⊙M,⊙M交AB于点Q.当⊙M与y轴相切时,sin∠BOQ=;
(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点O沿线段OA向点A运动;同时动点D以相同的速度,从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动.当点P到达点A时,两点同时停止运动.过点P作直线PE∥OC,与折线O﹣B﹣A交于点E.设点P运动的时间为t (秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.
【答案】(1)4;(2)3
5
;(3)点E的坐标为(1,2)、(
5
3
,
10
3
)、(4,2).
【解析】
分析:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),易证四边形OCBH是矩形,从而有OC=BH,只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可.
(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2),则有OH=2,BH=4,MN⊥OC.设圆的半径为r,则
MN=MB=MD=r.在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重合.易证△AFG∽△ADB,从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG.设OR=x,利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x,进而可求出BR.在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题.(3)由于△BDE的直角不确定,故需分情况讨论,可分三种情况(①∠BDE=90°,
②∠BED=90°,③∠DBE=90°)讨论,然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题.
详解:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),则有∠BHA=90°=∠COA,∴OC∥BH.∵BC∥OA,∴四边形OCBH是矩形,∴OC=BH,BC=OH.
∵OA=6,BC=2,∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4.
∵∠BHA=90°,∠BAO=45°,
∴tan∠BAH=BH
HA
=1,∴BH=HA=4,∴OC=BH=4.
故答案为4.
(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2).
由(1)得:OH =2,BH =4. ∵OC 与⊙M 相切于N ,∴MN ⊥OC . 设圆的半径为r ,则MN =MB =MD =r . ∵BC ⊥OC ,OA ⊥OC ,∴BC ∥MN ∥OA . ∵BM =DM ,∴CN =ON ,∴MN =1
2
(BC +OD ),∴OD =2r ﹣2,∴DH =OD OH -=24r -.
在Rt △BHD 中,∵∠BHD =90°,∴BD 2=BH 2+DH 2,∴(2r )2=42+(2r ﹣4)2. 解得:r =2,∴DH =0,即点D 与点H 重合,∴BD ⊥0A ,BD =AD . ∵BD 是⊙M 的直径,∴∠BGD =90°,即DG ⊥AB ,∴BG =AG . ∵GF ⊥OA ,BD ⊥OA ,∴GF ∥BD ,∴△AFG ∽△ADB , ∴
AF AD =GF BD =AG AB =12,∴AF =12AD =2,GF =1
2
BD =2,∴OF =4,
∴OG
同理可得:OB AB ,∴BG =1
2
AB .
设OR =x ,则RG x .
∵BR ⊥OG ,∴∠BRO =∠BRG =90°,∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2, ∴(
2﹣x 2=()2﹣(x )2.
解得:x =
5,∴BR 2=OB 2﹣OR 2=(2﹣(5)2=365,∴BR =5
.
在Rt △ORB 中,sin ∠BOR =BR OB
3
5
.
故答案为
35
. (3)①当∠BDE =90°时,点D 在直线PE 上,如图2.
此时DP =OC =4,BD +OP =BD +CD =BC =2,BD =t ,OP =t . 则有2t =2. 解得:t =1.则OP =CD =DB =1. ∵DE ∥OC ,∴△BDE ∽△BCO ,∴DE OC =BD BC =1
2
,∴DE =2,∴EP =2, ∴点E 的坐标为(1,2). ②当∠BED =90°时,如图3.
∵∠DBE =OBC ,∠DEB =∠BCO =90°,∴△DBE ∽△OBC ,
∴BE
BC =2DB BE OB ∴,∴BE =
5
t . ∵PE ∥OC ,∴∠OEP =∠BOC .
∵∠OPE =∠BCO =90°,∴△OPE ∽△BCO ,
∴OE
OB =
25
OP
BC
∴
,=
2
t
,∴OE=5t.
∵OE+BE=OB=255
,∴t+5
t=25.
解得:t=5
3
,∴OP=
5
3
,OE=
55
,∴PE=22
OE OP
-=
10
3
,
∴点E的坐标为(510
33
,).
③当∠DBE=90°时,如图4.
此时PE=PA=6﹣t,OD=OC+BC﹣t=6﹣t.
则有OD=PE,EA=22
PE PA
+=2(6﹣t)=62﹣2?t,∴BE=BA﹣EA=42﹣(62﹣2t)=2t﹣22.
∵PE∥OD,OD=PE,∠DOP=90°,∴四边形ODEP是矩形,∴DE=OP=t,DE∥OP,∴∠BED=∠BAO=45°.
在Rt△DBE中,cos∠BED=BE
DE
=
2
,∴DE=2BE,
∴t=22
(t﹣22)=2t﹣4.
解得:t=4,∴OP=4,PE=6﹣4=2,∴点E的坐标为(4,2).
综上所述:当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为(1,2)、
(510
33
,)、(4,2).
点睛:本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识,还考查了分类讨论的数
学思想,有一定的综合性.
2.如图,在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG?AB=12,求AC的长.【答案】(1)证明见解析(2)23
【解析】
试题分析:(1)根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出
∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案;
(2)首先得出△CAG∽△BAC,进而得出AC2=AG·AB,求出AC即可.
试题解析:(1)连接CD,如图,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠CAD+∠D=90°,
∵∠PAC=∠PBA,∠D=∠PBA,
∴∠CAD+∠PAC=90°,
即∠PAD=90°,
∴PA⊥AD,
∴PA是⊙O的切线;
(2)∵CF⊥AD,
∴∠ACF+∠CAF=90°,∠CAD+∠D=90°,
∴∠ACF=∠D,
∴∠ACF=∠B,
而∠CAG=∠BAC,
∴△ACG∽△ABC,
∴AC:AB=AG:AC,
∴AC 2=AG ?AB =12, ∴AC =23.
3.解决问题:
() 1如图①,半径为4的O 外有一点P ,且7PO =,点A 在O 上,则PA 的最大值和
最小值分别是______和______.
()2如图②,扇形AOB 的半径为4,45AOB ∠=,P 为弧AB 上一点,分别在OA 边找
点E ,在OB 边上找一点F ,使得PEF 周长的最小,请在图②中确定点E 、F 的位置并直接写出PEF 周长的最小值; 拓展应用
()3如图③,正方形ABCD 的边长为4
2;E 是CD 上一点(不与D 、C 重合),
CF BE ⊥于F ,P 在BE 上,且PF CF =,M 、N 分别是AB 、AC 上动点,求PMN 周长的最小值.
【答案】(1)11,3;(2)图见解析,PEF 周长最小值为423)41042. 【解析】 【分析】
()1根据圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中,最远是和最近的点是过圆心和该点的直
线与圆的交点,容易求出最大值与最小值分别为11和3;
()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ,作点P 关于直线OB 的对称点2P ,连接1P 、2P ,与
OA 、OB 分别交于点E 、F ,点E 、F 即为所求,此时PEF 周长最小,然后根据等腰直角三角形求解即可;
()3类似()2题作对称点,
PMN 周长最小12PP =,然后由三角形相似和勾股定理求解.
【详解】 解:()1如图①,
圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中,最大距离是和最小距离都在
过圆心的直线OP 上,
此直线与圆有两个交点,圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离.
PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=,
PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=, 故答案为11和3;
()2如图②,以O 为圆心,OA 为半径,画弧AB 和弧BD ,作点P 关于直线OA 的对称点
1P ,作点P 关于直线OB 的对称点2P ,连接1P 、2P ,与OA 、OB 分别交于点E 、F ,点E 、
F 即为所求.
连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ,
由对称知识可知,1AOP AOP ∠∠=,2BOP BOP ∠∠=,1PE PE =,2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==,
12454590POP ∠=+=,
12POP ∴为等腰直角三角形,
121PP ∴==
PEF 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=,此时PEF 周长最小.
故答案为;
()3作点P 关于直线AB 的对称1P ,连接1AP 、1BP ,作点P 关于直线AC 的对称2P ,
连接1P 、2P ,与AB 、AC 分别交于点M 、N .如图③ 由对称知识可知,1
PM PM =,2PN P N =,PMN 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=,
此时,PMN 周长最小12PP =.
由对称性可知,1BAP BAP ∠∠=,2EAP EAP ∠∠=,12AP AP AP ==, ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC ∠∠∠∠∠+=+==
12454590P AP ∠=+=,
12P AP ∴为等腰直角三角形,
PMN ∴周长最小值12PP =,当AP 最短时,周长最小. 连接DF .
CF BE ⊥,且PF CF =,
45PCF ∠∴=,PC
CF
=45ACD ∠=,
PCF ACD ∠∠∴=,PCA FCD ∠∠=,
又AC
CD
=, ∴在APC 与DFC 中,AC PC
CD CF
=,PCA FCD ∠∠=
C AP ∴∽DFC ,
2AP AC
DF CD
∴
==, ∴2AP DF =
90BFC ∠=,取AB 中点O .
∴点F 在以BC 为直径的圆上运动,当D 、F 、O 三点在同一直线上时,DF 最短.
2222(22)(42)2221022DF DO FO OC CD OC =-=+-=+-=-, AP ∴最小值为2AP DF =
∴此时,PMN 周长最小值
()
12222222102241042PP AP DF =
=?=?-=-.
【点睛】
本题考查圆以及正方形的性质,运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.
4.如图①,抛物线y =ax 2+bx+c 经过点A (﹣2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点P 是y 轴上的一个动点,连接PA ,试求5PA+4PC 的最小值;
(3)如图②,若直线l 经过点T (﹣4,0),Q 为直线l 上的动点,当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式. 【答案】(1)233
384
y x x =-
++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式
为
3
3
4
y x
=+或
3
3
4
y x
=--.
【解析】
【分析】
(1)设出交点式,代入C点计算即可(2)连接AC、BC,过点A作AE⊥BC于点E,过
点P作PD⊥BC于点D,易证△CDP∽△COB,得到比例式PC PD
BC OB
=,得到PD=
4
5
PC,所
以5PA+4PC=5(PA+4
5
PC)=5(PA+PD),当点A、P、D在同一直线上时,5PA+4PC=5
(PA+PD)=5AE最小,利用等面积法求出AE=18
5
,即最小值为18 (3)取AB中点F,
以F为圆心、FA的长为半径画圆, 当∠BAQ=90°或∠ABQ=90°时,即AQ或BQ垂直x轴,所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ=90°或∠ABQ=90°,即∠AQB=90°时,只有一个满足条件的点Q,∴直线l与⊙F相切于点Q时,满足∠AQB=90°的点Q只有一个;此时,连接FQ,过点Q作QG⊥x轴于点G,利用cos∠QFT求出QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时,分别代入直接l得到解析式即可
【详解】
解:(1)∵抛物线与x轴交点为A(﹣2,0)、B(4,0)
∴y=a(x+2)(x﹣4)
把点C(0,3)代入得:﹣8a=3
∴a=﹣3
8
∴抛物线解析式为y=﹣3
8(x+2)(x﹣4)=﹣
3
8
x2+
3
4
x+3
(2)连接AC、BC,过点A作AE⊥BC于点E,过点P作PD⊥BC于点D ∴∠CDP=∠COB=90°
∵∠DCP=∠OCB
∴△CDP∽△COB
∴PC PD
BC OB
=
∵B(4,0),C(0,3)
∴OB=4,OC=3,BC
∴PD=4
5
PC
∴5PA+4PC=5(PA+4
5
PC)=5(PA+PD)
∴当点A、P、D在同一直线上时,5PA+4PC=5(PA+PD)=5AE最小∵A(﹣2,0),OC⊥AB,AE⊥BC
∴S △ABC =12AB?OC =1
2
BC?AE ∴AE =
6318
55
AB OC BC ?== ∴5AE =18
∴5PA+4PC 的最小值为18.
(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个 此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT =90°
∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点 ∴F (1,0),FQ =FA =3 ∵T (﹣4,0) ∴TF =5,cos ∠QFT =
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =
3
5
FG FQ = ∴FG =
35FQ =95
∴x Q =1﹣
9455=-
,QG 125==
①若点Q 在x 轴上方,则Q (412
55
-,) 设直线l 解析式为:y =kx+b
∴404125
5k b k b -+=???-+=?? 解得:343k b ?
=??
?=? ∴直线l :3
34
y x =
+ ②若点Q 在x 轴下方,则Q (41255
--,
) ∴直线l :3
34
y x =-
- 综上所述,直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论
5..如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6.D是线段AC上一个动点(不与点A 重合),⊙D与AB相切,切点为E,⊙D交射线
..DC于点F,过F作FG⊥EF交直线
..BC于点G,设⊙D的半径为r.
(1)求证AE=EF;
(2)当⊙D与直线BC相切时,求r的值;
(3)当点G落在⊙D内部时,直接写出r的取值范围.
【答案】(1)见解析3
63 3r
<<
【解析】
【分析】
(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,
即可求解;
(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F,∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理,即可求解;
(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况,分别求解即可.
【详解】
解:设圆的半径为r;
(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,
而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,
∴AE=EF;
(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F
∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r,
由勾股定理得:(3r)2+9=36,
解得:r=3;
(3)①当点F在线段AC上时,如图3所示,连接DE、DG,
===-
FC r GC FC r
333,3933
②当点F在线段AC的延长线上时,如图4所示,连接DE、DG,
333,3339FC r GC FC r =-==-
两种情况下GC 符号相反,GC 2相同, 由勾股定理得:DG 2=CD 2+CG 2, 点G 在圆的内部,故:DG2<r2, 即:22(332)(339)2r r r -+-< 整理得:25113180r r -+< 解得:63
35
r << 【点睛】
本题考查了圆的综合题:圆的切线垂直于过切点的半径;利用勾股定理计算线段的长.
6.如图,AB 为
O 的直径,C 、D 为O 上异于A 、B 的两点,连接CD ,过点C 作
CE DB ⊥,交CD 的延长线于点E ,垂足为点E ,直径AB 与CE 的延长线相交于点F .
(1)连接AC 、AD ,求证:180DAC ACF ∠+∠=?. (2)若2ABD BDC ∠=∠. ①求证:CF 是
O 的切线.
②当6BD =,3
tan 4
F =
时,求CF 的长. 【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;② 203
CF =. 【解析】 【分析】
(1)根据圆周角定理证得∠ADB=90°,即AD ⊥BD ,由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ,根据平行线的性质即可证得结论;
(2)①连接OC .先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1,由已知∠4=2∠1,得到∠4=∠3,则OC ∥DB ,再由CE ⊥DB ,得到OC ⊥CF ,根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线;
②由CF ∥AD ,证出∠BAD=∠F ,得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34,求出AD=4
3
BD=8,利用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=,5,再由tanF=OC CF =3
4
,即可求出CF . 【详解】 解:(1)AB 是
O 的直径,且D 为O 上一点,
90ADB ∴∠=?, CE DB ⊥, 90DEC ∴∠=?, //CF AD ∴,
180DAC ACF ∴∠+∠=?. (2)①如图,连接OC . OA OC =,12∴∠=∠. 312∠=∠+∠, 321∴∠=∠.
42BDC ∠=∠,1BDC ∠=∠, 421∴∠=∠, 43∴∠=∠, //OC DB ∴. CE DB ⊥, OC CF ∴⊥.
又OC 为O 的半径, CF ∴为O 的切线.
②由(1)知//CF AD ,
BAD F ∴∠=∠, 3tan tan 4
BAD F ∴∠==
,
3
4
BD AD ∴
=. 6BD =
4
83
AD BD ∴=
=, 226810AB ∴=+=,5OB OC ==.
OC CF ⊥, 90OCF ∴∠=?,
3
tan 4OC F CF ∴==,
解得203
CF =. 【点睛】
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.
7.(问题情境)如图1,点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点,连接BE 、CE .
求证:BCE
1
S
2
=
S 平行四边形ABCD .(说明:S 表示面积) 请以“问题情境”为基础,继续下面的探究
(探究应用1)如图2,以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ,⊙O 与BC 边相切于点H ,与BD 相交于点M .若AD =6,BD =y ,AM =x ,试求y 与x 之间的函数关系式. (探究应用2)如图3,在图1的基础上,点F 在CD 上,连接AF 、BF ,AF 与CE 相交于点G ,若AF =CE ,求证:BG 平分∠AGC .
(迁移拓展)如图4,平行四边形ABCD 中,AB :BC =4:3,∠ABC =120°,E 是AB 的中点,F 在BC 上,且BF :FC =2:1,过D 分别作DG ⊥AF 于G ,DH ⊥CE 于H ,请直接写出DG :DH 的值.
【答案】【问题情境】见解析;【探究应用1】18
y x
=;【探究应用2】见解析;【迁移1927 【解析】
【分析】
(1)作EF ⊥BC 于F ,则S △BCE =
1
2
BC×EF ,S 平行四边形ABCD =BC×EF ,即可得出结论; (2)连接OH ,由切线的性质得出OH ⊥BC ,OH =
1
2
AD =3,求出平行四边形ABCD 的面积=AD×OH =18,由圆周角定理得出AM ⊥BD ,得出△ABD 的面积=12BD×AM =1
2
平行四边形的面积=9,即可得出结果;
(3)作BM ⊥AF 于M ,BN ⊥CE 于N ,同图1得:△ABF 的面积=△BCE 的面积=1
2
平行四边形ABCD 的面积,得出12AF×BM =1
2
CE×BN ,证出BM =BN ,即可得出BG 平分∠AGC .
(4)作AP ⊥BC 于P ,EQ ⊥BC 于Q ,由平行四边形的性质得出∠ABP =60°,得出∠BAP =30°,设AB =4x ,则BC =3x ,由直角三角形的性质得出BP =
12AB =2x ,BQ =1
2
BE ,AP =
BP =,由已知得出BE =2x ,BF =2x ,得出BQ =x ,EQ x ,PF =4x ,QF =
3x ,QC =4x ,由勾股定理求出AF =x ,CE
,连接DF 、DE ,由三角形的面积关系得出AF×DG =CE×DH ,即可得出结果.
【详解】
(1)证明:作EF ⊥BC 于F ,如图1所示: 则S △BCE =1
2
BC×EF ,S 平行四边形ABCD =BC×EF , ∴12
BCE
ABCD
S
S =
.
(2)
解:连接OH ,如图2所示: ∵⊙O 与BC 边相切于点H , ∴OH ⊥BC ,OH =
1
2
AD =3, ∴平行四边形ABCD 的面积=AD×OH =6×3=18, ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠AMD =90°, ∴AM ⊥BD , ∴△ABD 的面积=12BD×AM =1
2
平行四边形的面积=9, 即
1
2
xy =9,
∴y 与x 之间的函数关系式y =18x
; (3)
证明:作BM ⊥AF 于M ,BN ⊥CE 于N ,如图3所示: 同图1得:△ABF 的面积=△BCE 的面积=
1
2
平行四边形ABCD 的面积, ∴
12AF×BM =1
2CE×BN , ∵AF =CE , ∴BM =BN ,
∴BG 平分∠AGC .
(4)解:作AP ⊥BC 于P ,EQ ⊥BC 于Q ,如图4所示: ∵平行四边形ABCD 中,AB :BC =4:3,∠ABC =120°, ∴∠ABP =60°,
∴∠BAP =30°,设AB =4x ,则BC =3x ,
∴BP =
12AB =2x ,BQ =1
2
BE ,AP =3BP =23x , ∵E 是AB 的中点,F 在BC 上,且BF :FC =2:1, ∴BE =2x ,BF =2x , ∴BQ =x ,
∴EQ =3x ,PF =4x ,QF =3x ,QC =4x , 由勾股定理得:AF =
22AP PF +=27x ,CE =22
EQ QC +=19x ,
连接DF 、DE ,则△CDE 的面积=△ADF 的面积=1
2
平行四边形ABCD 的面积, ∴AF×DG =CE×DH ,
∴DG :DH =CE :AF =19x :27x 19:27=.
【点睛】
本题是圆的综合题目,考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识;本题综合性强,需要添加辅助线,熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AE=6,sin∠CFD=3
5
,求EB的长.
【答案】(1)见解析(2)3 2
【解析】
【分析】
()1如图,欲证明EF与O相切,只需证得OD EF
⊥.
()2通过解直角AEF可以求得AF10.
=设O的半径为r,由已知可得△FOD∽△FAE,
继而得到OF OD
AF AE
=,即
10r r
106
-
=,则易求
15
AB AC2r
2
===,所以153
EB AB AE6
22 =-=-=.【详解】
(1)如图,连接OD,
OC OD =,
OCD ODC ∠∠∴=. AB AC =, ACB B ∠∠∴=, ODC B ∠∠∴=, OD //AB ∴,
ODF AEF ∠∠∴=, EF AB ⊥,
ODF AEF 90∠∠∴==,
OD EF ∴⊥,
OD 是O 的半径,
EF ∴与O 相切;
()2由()1知,OD//AB ,OD EF ⊥.
在Rt AEF 中,AE 3
sin CFD AF 5
∠==,AE 6=, 则AF 10=,
OD //AB ,
∴△FOD ∽△FAE ,
OF OD
AF AE
∴
=, 设O 的半径为r , 10r r
106
-∴
=, 解得,15
r 4
=
, 15AB AC 2r 2
∴===
, 153EB AB AE 622
∴=-=
-=. 【点睛】
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等,正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
9.如图,BD为△ABC外接圆⊙O的直径,且∠BAE=∠C.
(1)求证:AE与⊙O相切于点A;
(2)若AE∥BC,BC=23,AC=2,求AD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)23
【解析】
【分析】
(1)根据题目中已出现切点可确定用“连半径,证垂直”的方法证明切线,连接AO并延长交⊙O于点F,连接BF,则AF为直径,∠ABF=90°,根据同弧所对的圆周角相等,则可得到∠BAE=∠F,既而得到AE与⊙O相切于点A.
(2))连接OC,先由平行和已知可得∠ACB=∠ABC,所以AC=AB,则∠AOC=∠AOB,从而利用垂径定理可得AH=1,在Rt△OBH中,设OB=r,利用勾股定理解得r=2,在Rt△ABD中,即可求得AD的长为3
【详解】
解:(1)连接AO并延长交⊙O于点F,连接BF,
则AF为直径,∠ABF=90°,
∵AB AB
,
∴∠ACB=∠F,
∵∠BAE=∠ACB,
∴∠BAE=∠F,
∵∠FAB+∠F=90°,
∴∠FAB+∠BAE=90°,
∴OA⊥AE,
∴AE与⊙O相切于点A.
(2)连接OC,
∵AE∥BC,
∴∠BAE=∠ABC,
∵∠BAE=∠ACB,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AC=AB=2,
∴∠AOC=∠AOB,
∵OC=OB,
∴OA⊥BC,
∴CH=BH=1
BC=3,
2
在Rt△ABH中,
AH=22
-=1,
AB BH
在Rt△OBH中,设OB=r,
∵OH2+BH2=OB2,
∴(r﹣1)2+(3)2=r2,
解得:r=2,
∴DB=2r=4,
在Rt△ABD中,AD=22
-=22
BD AB
42
-=23,
∴AD的长为23.
【点睛】
本题考查了圆的综合问题,恰当的添加辅助线是解题关键.
10.阅读下列材料:
如图1,⊙O1和⊙O2外切于点C,AB是⊙O1和⊙O2外公切线,A、B为切点,
求证:AC⊥BC
证明:过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D,
∵DA、DC是⊙O1的切线
∴DA=DC.
∴∠DAC=∠DCA.
同理∠DCB=∠DBC.
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°.
即AC⊥BC.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容;
(2)以AB所在直线为x轴,过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(﹣4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2
六年级数学易错题难题题含详细答案 一、培优题易错题 1.列方程解应用题: (1)一个箱子,如果装橙子可以装18个,如果装梨可以装16个,现共有橙子、梨400个,而且装梨的箱子是装橙子箱子的2倍.请算一下,装橙子和装梨的箱子各多少个?(2)一群小孩分一堆苹果,每人3个多7个,每人4个少3个,求有几个小孩?几个苹果? (3)一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/时.顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求无风时飞机的速度和两城之间的航程. 【答案】(1)解:设装橙子的箱子x个,则装梨的箱子2x个,依题意有 18x+16×2x=400, 解得x=8, 2x=2×8=16. 答:装橙子的箱子8个,则装梨的箱子16个 (2)解:设有x个小孩, 依题意得:3x+7=4x﹣3, 解得x=10, 则3x+7=37. 答:有10个小孩,37个苹果 (3)解:设无风时飞机的航速为x千米/小时. 根据题意,列出方程得: (x+24)× =(x﹣24)×3, 解这个方程,得x=840. 航程为(x﹣24)×3=2448(千米). 答:无风时飞机的航速为840千米/小时,两城之间的航程2448千米 【解析】【分析】(1)根据梨和橙子与各自箱数分别相乘,相加为两者的总数,求出装梨和橙子的箱子数。 (2)利用两种分法的苹果数是相同的,列出方程求解出小孩数和苹果数。 (3)利用逆风和顺风的路程是相同的,列出方程求出速度,再利用速度和时间求出航程。 2.纽约、悉尼与上海的时差如下表(正数表示同一时刻比上海时间早的时数,负数表示同一时刻比上海晚的时数): 城市悉尼纽约 时差/时+2-12
(1)当上海是10月1日上午10时,悉尼时间是________. (2)上海、纽约与悉尼的时差分别为________(正数表示同一时刻比悉尼时间早的时数,负数表示同一时刻比悉尼晚的时数). (3)王老师2018年9月1日,从纽约Newwark机场,搭乘当地时间上午10:45的班机,前往上海浦东国际机场,飞机飞行的时间为14小时55分钟,问飞机降落上海浦东国际机场的时间. 【答案】(1)12 (2)-2,-14 (3)解:10时45分+14时55分+12时=37时40分. 故飞机降落上海浦东国际机场的时间为2018年9月2日下午1:40 【解析】【解答】(1)10+(+2)=12时,即当上海是10月1日上午10时,悉尼时间是12时. ( 2 )12-10=2; -12-2=-14; 故上海、纽约与悉尼的时差分别为-2,-14. 【分析】(1)根据表格得到悉尼时间是10+(+2);(2 )由表格得到上海与悉尼的时差是2,纽约与悉尼的时差-12-2;(3)根据题意得到10时45分+14时55分+12时,得到飞机降落上海浦东国际机场的时间. 3.某手机经销商购进甲,乙两种品牌手机共 100 部. (1)已知甲种手机每部进价1500 元,售价2000 元;乙种手机每部进价3500 元,售价4500 元;采购这两种手机恰好用了 27 万元 .把这两种手机全部售完后,经销商共获利多少元? (2)已经购进甲,乙两种手机各一部共用了5000 元,经销商把甲种手机加价50%作为标价,乙种手机加价 40%作为标价. 从 A,B 两种中任选一题作答: A:在实际出售时,若同时购买甲,乙手机各一部打九折销售,此时经销商可获利1570 元.求甲,乙两种手机每部的进价. B:经销商采购甲种手机的数量是乙种手机数量的 1.5 倍.由于性能良好,因此在按标价进行销售的情况下,乙种手机很快售完,接着甲种手机的最后10 部按标价的八折全部售完.在
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
六年级上册数学易错题难题材料含答案 一、培优题易错题 1.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超出50元的部分按95%收费.设小红在同一商场累计购物x元,其中x>100. (1)根据题意,填写下表(单位:元): (2)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同? (3)当小红在同一商场累计购物超过100元时,在哪家商场的实际花费少? 【答案】(1)271;0.9x+10;278;0.95x+2.5 (2)解:根据题意,有0.9x+10=0.95x+2.5,解得x=150,∴当x=150时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同。 (3)解:由0.9x+10<0.95x+2.5,解得x>150,由0.9x+10>0.95x+2.5,解得x<150. ∴当小红累计购物超过150元时,在甲商场的实际花费少. 当小红累计购物超过100元而不到150元时,在乙商场的实际花费少.当小红累计购物150元时,甲、乙商场花费一样 【解析】【解答】解:(1)在甲商场:271,0.9x+10;在乙商场:278,0.95x+2.5.【分析】(1)根据提供的方案列出代数式; (2)根据(1)中的代数式利用费用相同可得关于x的方程,解方程即可; (3)列不等式得出x的范围,可选择商场. 2.如图,一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动.它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫,规定:向上向右走均为正,向下向左走均为负.如果从A到B记为:A→B(+1,+4),从B到A记为:B→A(﹣1,﹣4),其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向.
人教版六年级数学上册易错题集锦 一、填空题。 1、一种盐水的含盐率是20%,盐与水的比是( ? ? ? ? ?)。 2、生产同样多的零件,小张用了4小时,小李用了6小时,小张和小李工作效率的最简比是( ? ? ? ? )。 3、从甲地到乙地,客车要行驶4时,货车要行驶5时,客车的速度与货车的速度比是( ? ? ? ?),货车的速度比客车慢( ? ? ?)%。 4、100克糖溶在水里,制成的糖水的含糖率为12.5%,如果再加200克水,这时糖与糖水的比是( ? ?)。 5、若从六(1)班调全班人数的1/10到六(2)班,则两班人数相等,原来六(1)班与六(2)班的人数比是( ? ? ? ? )。 6、把甲队人数的1/4调入乙队,这时两队人数相等,甲队与乙队原人数的比为( ? ? ? ?)。 7、六(1)班今天到校40人,请病假的5人,该班的出勤率是( ? ? ? )。 8、把一个半径是10cm的圆拼成接成一个近似的长方形后,长方形的周长是( ? ),面积是( ? ?)。 9、( ? ? ?)米比9米多40% , 9米比( ? ? )少55% ,200千克比160千克多( ? )%;160千克比200千克少( ? ?)%;16米比( ? ?)米多它的60%;( ? ?)比32少30% 。 10、钟面上时针的长1dm,一昼夜时针扫过的面积是( ? ? )。 11、一根水管,第一次截去全长的1/4,第二次截去余下的2/3,两次共截去全长的( ? ? )。 12、某种皮衣价格为1650元,打八折出售可盈利10%.那么若以1650元出售,可盈利()元。 13、正方形边长增加10%,它的面积增加( ? ?)% 。 二、判断题。 1、某商品先提价5%,后又降阶5%,这件商品的现价与原价相等。( ? ?) 2、在含盐20%的盐水中加入同样多的盐和水后,盐水的含盐率不变。( ? ?) 3、如果甲数比乙数多25%,那么乙数就比甲数少25%。 ? ? ?( ? ? ?) 4、半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等。 ? ? ? ? ? ? ?( ? ? ) 5、直径相等的两个圆,面积不一定相等。 ? ? ? ? ? ? ? ( ? ? )
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
小学六年级上册数学易错题大全 一、填空题 1、一种盐水的含盐率是20%,盐与水的比是()。 2、生产同样多的零件,小张用了4小时,小李用了6小时,小张和小李工作效率的最简比是()。 3、从甲地到乙地,客车要行驶4时,货车要行驶5时,客车的速度与货车的速度比是(),货车的速度比客车慢()%。 4、100克糖溶在水里,制成的糖水的含糖率为12.5%,如果再加200克水,这时糖与糖水的比是()。 5、若从六(1)班调全班人数的1/10到六(2)班,则两班人数相等,原来六(1)班与六(2)班的人数比是()。 6、把甲队人数的1/4调入乙队,这时两队人数相等,甲队与乙队原人数的比为()。 7、六(1)班今天到校40人,请病假的5人,该班的出勤率是()。 8、把一个半径是10cm的圆拼成接成一个近似的长方形后,长方形的周长是(),面积是()。 9、两个数的差相当于被减数的40%,减数与差的比是()。 10、()米比9米多40% , 9米比()少55% ,200千克比160千克多()%;160千克比200千克少()%;16米比()米多它的60%;()比32少30% 。 11、钟面上时针的长1dm,一昼夜时针扫过的面积是()。
12、一根水管,第一次截去全长的1/4,第二次截去余下的2/3,两次共截去全长的()。 13、某种皮衣价格为1650元,打八折出售可盈利10%.那么若以1650元出售,可盈利()元。 14、正方形边长增加10%,它的面积增加()% 。 二、选择题 1、数学小组共有20名学生,则男、女人数的比不可能是()。 A.5︰1 B.4︰1 C.3︰1 D.1︰1 2、如图,阴影部分的面积相当于甲圆面积的1/6,相当于乙圆面积的1/5,那么乙与甲两个圆的面积比是()。 A.6︰1 B.5︰1 C.5︰6 D.6︰5 3、一杯牛奶,牛奶与水的比是1︰4,喝掉一半后,牛奶与水的比是()。 A.1︰4 B.1︰2 C.1︰8
[易错题1] 王叔叔家养了350只鸡,每个笼子里装30只,需要准备多少个这样的笼子? 【错误解答】350÷30=11(个)……20(只) 答:需要准备11个这样的笼子。 【“病因”分析】这里出错的原因是把余下的20只鸡忽略了,余下的20只鸡需要再装一个笼子,这里应该准备12个笼子。 【正确解答】350÷30=11(个)……20(只) 11+1=12(个) 答:需要准备12个这样的笼子。 [易错题2] 小红、小林和小刚,一个星期一共练了630个大字,平均每人每天练多少个大字? 【错误解答】630÷3=210(个) 答:平均每人每天练210个大字。 【“病因”分析】这里出错是把一个星期是7天这个隐含的条件忽略了。 【正确解答】630÷3÷7=210÷7=30(个) 答:平均每人每天练30个大字。 [易错题3] 计算(842+421+421)×25,下面最简便的方法是()。 A.421×(4×25 ) B.842×(2×25 ) C.842×25+421×25+421×25 【错因分析】首先要明白(842+421+421)×25有多种简便计算方法,一个可以把421合并成842,另一个也可以把842拆分成421,而此题要求是最简便的方法,那么有的同学只想到简便没看清“最”简便就想当然选择B了。 【思路点睛】正确答案选择A,因为此题要求最简便。通过把842拆分成2个421,和题中已有的2个421合并成4个421,再根据乘法结合律把4和25先乘起来得100,这样就是最简便的方法了。B比起原题死算确实简便,但比起A来没有A更好算最简便。 [易错题4]
简便计算(100+2) ×45。 【错因分析】典型错误(100+2) ×45 =100×45+2 =4500+2 =4502 × 出现这种错误是由于学生对什么是乘法分配律本质内涵认识和理解不够。什么是乘法分配律?书上结论是这样陈述的:两个数的和与其中一个数相乘,可以先把这两个数分别与这个数相乘,再相加。也就是说不能只乘其中一个加数。上述案例中就只乘其中100这个加数,而另一个加数2就漏乘45了,导致出错。 【思路点睛】我们依据乘法分配律,把100和2这两个加数分别与45相乘,最后再把两个乘得的数相加。正确过程如下: (100+2) ×45 =100×45+45×2 =4500+90 =4590 [易错题5] 简便计算68×99。 【错因分析】 68×99 =68×(100+1) =68×100+68 =6800+68 =6868 × 该同学看到99想到100,把99先看作最接近的100这很好,但是忽略了简便计算的前提是等量代换,一个量须用与它相等的量去代替,才可以依次继续递等下去。把99替换成(100+1)这本身就建立在不公平基础上,所以不能向下递等,结果也不对等。 【思路点睛】两个数相乘,如果有一个数接近整百数,可以先将这个数转化成整百数加或减一个数的形式,再应用乘法分配律进行计算。正确过程如下: 68×99 =68×(100-1) =68×100-68 =6800-68 =6732
【期末复习】人教版六年级数学上册易错题(附答案) 新审定人教版六年级数学上册 易错题复习 1、一种盐水的含盐率是20%,盐与水的比是()。 2、生产同样多的零件,小张用了4小时,小李用了6小时,小张和小李工作效率的最简比是()。 3、从甲地到乙地,客车要行驶4时,货车要行驶5时,客车的速度与货车的速度比是(),货车的速度比客车慢()%。 4、100克糖溶在水里,制成的糖水的含糖率为12.5%,如果再加200克水,这时糖与糖水的比是()。 5、若从六(1)班调全班人数的1/10到六(2)班,则两班人数相等,原来六(1)班与六(2)班的人数比是()。 6、把甲队人数的1/4调入乙队,这时两队人数相等,甲队与乙队原人数的比为()。 7、六(1)班今天到校40人,请病假的5人,该班的出勤率是()。 8、把一个半径是10cm的圆拼成接成一个近似的长方形后,长方形的周长是(),面积是()。 8、两个数的差相当于被减数的40%,减数与差的比是()。 9、()米比9米多40%,9米比()少55%,200千克比160千克多()%;160千克比200千克少()%;16米比()米多它的60%;()比32少30%。 10、钟面上时针的长1dm,一昼夜时针扫过的面积是()。 11、一根水管,第一次截去全长的1/4,第二次截去余下的2/3,两次共截去全长的()。 12、某种皮衣价格为1650元,打八折出售可盈利10%.那么若以1650元出售,可盈利()元。
13、正方形边长增加10%,它的面积增加()%。 1、某商品先提价5%,后又降阶5%,这件商品的现价与原价相等。() 2、在含盐20%的盐水中加入同样多的盐和水后,盐水的含盐率不变。() 3、如果甲数比乙数多25%,那么乙数就比甲数少25%。() 4、半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等。() 5、直径相等的两个圆,面积不一定相等。() 6、比的前项和后项都乘或除以同一个数,比值大小不变。() 1、数学小组共有20名学生,则男、女人数的比不可能是()。 A.5︰1B.4︰1C.3︰1D.1︰1 2、如图,阴影部分的面积相当于甲圆面积的1/6,相当于乙圆面积的1/5,那么乙与甲两个圆的面积比是()。 A、6︰1 B、5︰1 C、5︰6 D、6︰5 3、一杯牛奶,牛奶与水的比是1︰4,喝掉一半后,牛奶与水的比是()。 A、1︰4 B、1︰2 C、1︰8 D、无法确定 4、利息与本金相比() A、利息大于本金 B、利息小于本金 C、利息不一定小于本金 1、A、B两地相距408KM,客车和货车同时从A、B两地相对开出,3小时后相遇,已知客车和货车的速度比是9:8,客车每时比货车每时快多少千米?