2019年电大工程数学(本科)期末考试试题及答案
电大工程数学(本科)期末考试试题及答案
一、单项选择题
1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(
AB A B
= )． 2．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ()BA
AB 1
1=- )． 3. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（B A B A '+'='+)( ）．
4．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ BA
AB = ）．
5．设A ，B 是两事件，则下列等式中（ )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 ）是不正确的． 6．设A 是n m ?矩阵，B 是t s ?矩阵，且B C A '有意义，则C 是( n s ? )矩阵． 7．设是矩阵，B 是矩阵，则下列运算中有意义的是（）
8．设矩阵?
?
?
???--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( 0，6 ) ． 9. 设矩阵??????????--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ??
??
?
?????011 ) ． 10．设是来自正态总体的样本，则（3215
3
5151x x x ++ ）是μ无偏估计．
11．设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（n
x /15
-）．
12．设23
2
1
321321=c c c b b b a a a ，则=---3
2
1
332
2113
21333c c c b a b a b a a a a （2-）． 13． 设??
????2.04.03.01.03210
~X ，则=<)2(X P （0.4 ）． 14． 设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ 1x ）是统计量． 15．若是对称矩阵，则等式（A A ='）成立． 16．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．
17. 若条件（ ?=AB 且A B U += ）成立，则随机事件，互为对立事件． 18．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ )(9)(4Y D X D + ）．
19若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解而21ηη、是方程组AX = O 的解则（213
2
31X X +）是AX =B 的解．
20．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ )3,2(2-N ）． 21．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）．
22. 若03
5
1
021011=---x ，则=x （3 ）．30. 若)4,2(~N X ，（2
2
-X ），则． 23. 若
满足（)()()(B P A P AB P = ），则与是相互独立．
24. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D 则等式（2
2)]([)()(X E X E X D -= ）成立．
25. 若线性方程组只有零解，则线性方程组
（可能无解）．
26. 若元线性方程组有非零解，则（）成立．
27. 若随机事件,满足，则结论（与互不相容 ）成立．
28. 若?
????
????
???=432143214321
4321A ，则秩=)(A （1 ）．29. 若??
????=5321A ，则=*A （ ??????--1325 ）．
30．向量组????
?
?????-????????????????????-??????????732,320,011,001的秩是（ 3 ）．31．向量组的秩是（4）．
32. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为（21,αα）．
33. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321
==-=ααα，则=-+32132ααα（[]2,3,1--）．
34．对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x Λ，2σ未知，求μ的置信区间，选用的样本函数服从（t 分布）． 35．对来自正态总体
（
未知）的一个样本
，记∑==3
1
31i i X X ，则下列各
式中（∑=-3
1
2)(31i i X μ ）不是统计量．)3,2,1(=i ．
36. 对于随机事件，下列运算公式（)()()()(AB P B P A P B A P -+=+）成立．
37. 下列事件运算关系正确的是（ A B BA B += ）．
38．下列命题中不正确的是（ A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量）．
39. 下列数组中，（16
3
1614121）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．
40. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（ 2）．
41. 已知??????
????????
=??
?
???-=21101210
,20101B a A ，若??
?
???=1311AB ，则=a （ 1- ）． 42. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（1,2
1
-==b a ）．
43. 方程组???
??=+=+=-3
31232121a x x
a x x a x x 相容的充分必要条件是( 0321=-+a a a )，其中0≠i a ，
44. 线性方程组???=+=+01
3221x x x x 解的情况是（有无穷多解）．
45. n 元线性方程组
有解的充分必要条件是（)()(b A r A r M
= ） 46．袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概
率是（
25
9
） 47. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （87
）．48．=??????-1
5473（ 7543-????-??） 二、填空题
1．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= 8
．
2．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= -18 ． 3. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB —8 ． 4. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12 ． 5．设
互不相容，且
，则
0 ．
6. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-．
7. 设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立 ．
8．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称λ为A 的特征值． 9．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 10. 设是三个事件，那么A 发生，但C B ,至少有一个不发生的事件表示为)(C B A +. 11. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，当C 为（42? ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．
12. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵方程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．
13．设随机变量012~0.20.5X a ?? ???
，则a
14．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X 15. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15 ．
16．设随机变量的概率密度函数为???
??≤≤+=其它,010,1)(2x x k
x f ，则常数k = π4 ．
17. 设随机变量??
????-25.03.010
1~a X ，则45.0 ． 18. 设随机变量?
?
????5.02.03.0210
~X ，则=≠)1(X P 8.0． 19. 设随机变量X 的概率密度函数为???≤≤=其它0
103)(2x x x f ，则=<)21(X P 81
．
20. 设随机变量的期望存在，则0． 21. 设随机变量，若5)(,2)(2==X E X D ，则=)(X E 3．
22．设
为随机变量，已知3)(=X D ，此时
27 ．
23．设θ
?是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)?(E ，则θ?称为θ的 无偏 估计． 24．设θ
?是未知参数θ的一个无偏估计量，则有?()E θθ=． 25．设三阶矩阵A 的行列式2
1
=
A ，则1-A = 2 ． 26．设向量β可由向量组n ααα,,,21Λ线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21Λ
线性无关 ． 27．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量．
28. 设1021,,,x x x Λ是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~10110
1∑=i i x )104,(μN ．
29. 设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体
的一个样本，∑==n
i i x n x 11，则=)(x D n
2σ
30．设4
12211
2
1
1
)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1-- ． 31．设221
1
2
1
12214
A x x =-+，则0A =的根是 1，-1，2，-2 ． 32.设??
??
?
?????=070040111A ，则_________________)(=A r ．2 33．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．
34．若样本n x x x ,,,21Λ来自总体)1,0(~N X ，且∑==n
i i x n x 11，则~x )1,0(n
N
35．若向量组：??????????-=2121α，??????????=1302α，????
?
?????-=2003k α，能构成R 3一个基，则数k 2≠ ． 36．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 3
1
．
37. 若线性方程组的增广矩阵为??????=41221λA ，则当λ＝（ 21
）时线性方程组有无穷多解． 38. 若元线性方程组0=AX 满足，则该线性方程组 有非零解 ． 39. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A P B A P B A P ，则=)(AB P 0.3 ．
40. 若参数θ的两个无偏估计量1
?θ和2?θ满足)?()?(21θθ
D D >，则称2?θ比1
?θ更 有效 ． 41．若事件A ，B 满足B A ?，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ． 42. 若方阵满足A A '=，则是对称矩阵．
43．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 44．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 45. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则k=1- 46. 向量组的极大线性无关组是
（
）．
47．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ． 48．含有零向量的向量组一定是线性相关 的．
49. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 0.6 ．
50. 已知随机变量?
?
????-5.01.01.03.0520
1~X ，那么=)(X E 2.4 ． 51. 已知随机变量??
????-5.05.05.05.0520
1~X ，那么=)(X E 3． 52．行列式7012156
83的元素21a 的代数余子式21A 的值为= -56 ．
53. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（ 12
1
）. 54. 在对单正态总体
的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（未知方差，检验均值）．
55. 1
1
1
11
1
1
---x x 是关于x 的一个多项式，该式中一次项x 系数是 2 ．
56. =
?
?
????-1
2514??
?
???--451231． 57. 线性方程组b AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54?矩阵，则方程组增广矩阵
)(b A r M = 3 ． 58. 齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经初等行变换化为
????
?
?????--→→000020103211ΛA
59. 当λ= 1 时，方程组???-=--=+11
2121x x x x λ有无穷多解．
1．设矩阵
，且有
，求X ．
解：利用初等行变换得
即
由矩阵乘法和转置运算得
2．设矩阵??
??
?
?????=??????????--=500050002,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得
?????
?????--→??????????--10234
0011110001
011100322010121001011 ???????
???----→??????????----→1461
0013501000
1
11146100011110001011 ??
???
?????-----→146100135010134001 即 ??
??
?
?????-----=-1461351341A 由矩阵乘法得
??
???
?????-----=????????????????????-----=-52012515105158500050002146135
13
4
1B A 3．设矩阵????
?
?????=??????????--=210211321,10011
013
2B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ． 解：（1）因为210
0110132-=--=A 12
11
12
102111
102102113
21-=-===B 所以 2==B A AB ．
（2）因为 []?????
?????--=1001
000101
100011
32I A ????
???
???--→??????????--→10010
011001012/32/100
1100100110010101032 所以 ??
??
?
?????--=-10011012/32/11A ． 4．设矩阵100111101A ??
??=-??
??-??
，求1()AA -'． 解：由矩阵乘法和转置运算得
100111111111010132101011122AA --??????
??????'=-=-??????
??????----?????? 利用初等行变换得
10020
100111
201110
1????→????-??100201011101001112??
??→---??????
即 12
01()0
111
12AA -????'=??????
5．设矩阵??
??
?
?????---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．
解： （1）11
001102
1
12101102
1
14235322
11
=---=---=---=A
（2）利用初等行变换得
????
??????-----→??????????---1032100121100012
11100423010532001211
即
6．已知矩阵方程B AX X +=，其中??????????--=301111010A ，??
??
?
?????--=350211B ，求X ． 解：因为B X A I =-)(，且
?????
?????-----→??????????---=-101
21001111000
10
111002010101
0100
10
11)(I A I M ??
??
?
?????----→??????????-----→110
100121010120
00111010
011110
010101
即 ??
??
?
?????----=--110121120)(1A I 所以 ??
??
?
?????---=??????????--??????????----=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．
7．已知B AX =，其中??
??
?
?????=??????????=108532,1085753321B A ，求X ． 解：利用初等行变换得
?????
?????------→??????????105520013210001
3211001085010753001321 ????
???
???----→??????????---→12110
025*********
1121100013210001321 ??
???
?????-----→121100255010146001 即 ??
??
?
?????-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得
??
????????--=????????????????????-----==-1282315138
1085321212551461B A X
8．求线性方程组???????=++-=++--=+-+-=-+-2
2842123422721
3432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．
解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ????????????----→????????????-------0462003210010101113122842123412127211131?
?
???
?
?
??
???---→????????????---→0000002200010101113
106600022000101011131 方程组的一般解为： （其中
为自由未知量）
令
=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .
方程组相应的齐方程的一般解为： ???
??-===43
42415x
x x x x x （其中为自由未知量）
令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .
于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）
9．求齐次线性方程组 ???
??=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．
解： A =??
??
?
?????→??????????--326001130012331203313596212331 ??????????→100001130012331??
???
?????→100000130001031 一般解为 ??
??
???=-=--=0
313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是自由元
令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--
所以原方程组的一个基础解系为 { X 1，X 2 }．
原方程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．
10．设齐次线性方程组???
??=+-=+-=+-0
830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通
解．
解：因为
A =??????????---λ83352231??????????---→610110231λ??
??
??????---→50011010