高等数学--隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则
一、一个方程的情形
隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有
d d x y
F y
x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入
(,)0F x y =，得恒等式
(,())0F x f x ≡，
等式两边对x 求导得
d 0d F F y x y x
??+=??， 由于0y F ≠ 于是得
d d x y
F y
x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:
22
d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x
??
=-+-???
2
2
()x x y y x x
x y y y y x
x
y y y
F F F F F F F F F F F F --=-
-
-
22
3
2x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=-
．
例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域能唯一确定一个单
值可导的隐函数()y f x =，并求22
d d ,00
d d y y
x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．
因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．
d 0d y x x =0x y F x F =-=
e 10,0cos x y
x y y x -=-=-==-，
22d 0d y x x = d e ()
0,0,1
d cos x y
x y y x y x -=-'===-- 02
01
(e )(cos )(e )(sin 1)
(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=-
-3=-．
隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有
x z F z x F ?=-?，y z
F z
y F ?=-?． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入
(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，
将上式两端分别对x 和y 求导，得
0=???+x
z F F z x ， 0=???+y z F F z y ．
因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得
x z F z x F ?=-?， y z
F z
y F ?=-?． 例2 设2
2
2
40x y z z ++-=，求22z
x
??．
解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，
2242x z F z x x x F z z
?=-=-=?--，
2
22
2223
(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)
z x
x x
x x z
x x x z x
z z z ?-+-+?-+?-===?---． 二、方程组的情形
在一定条件下， 由方程组
(,,,)0
(,,,)0F x y u v G x y u v =??
=?
可以确定一对二元函数
(,)
(,)u u x y v v x y =??
=?
， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数2
2y
x y
u +=
，2
2y x x v +=
． 事实上，
0xu yv -= ?u y x v =?1=?+u y x x yu ?22y
x y
u +=，
2222y
x x y x y
y x v +=+?=．
下面讨论如何由组求u ，v 的导数．
隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）
(,)(,)
F
F F
G u v J G G u v u
v
?????==
????? 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点
0000(,,,)P x y u v 的某一邻域恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
(,)(,)u u x y v v x y =??
=?
，
． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有
1(,)
(,)
x
v
x
v u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ??=-=-??，1(,)
(,)u
x u x
u v u
v
F F
G G v F G F F x J u x G G ??=-
=-??， 1(,)
(,)
y
v y v
u v u
v F F G G u F G F F y J y v G G ??=-=-
??，1(,)
(,)u y
u y u v u v
F F
G G v F G F F y J u y G G ??=-=-??． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数x u ??，x
v ??由方程组
0,0x u v x u
v u v F F F x x
u v G G G x x ???
++=?????
???++=????
确定；偏导数y
u ??，y v ??由方程组
??
???=??+??+=??+??+.
0,0y v
G y u G G y
v F y u F F v u y v u y 确定．
例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求
u x ??，v x
??，u
y ??和v y ??．
解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于
u x ??和v
x
??的方程组 00u v u x y x x
u v y v x x x ???
+-=?????
???++=????
，． 当220x y +≠时，解之得
2
2
u xu yv x x y ?+=-?+，22v yu xv
x x y ?-=?+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于
u y ??和v
y
??的方程组 00u
v x v y y y u v u y x y y ???--=????
?
???++=????
，． 当220x y +≠时，解之得
2
2
u xv yu y x y
?-=?+，22v xu yv
y x y ?+=-?+． 另解 将两个方程的两边微分得
d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=??
+++=?，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-??+=--?
，． 解之得
2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-
+++，
2222
d d d yu xv xu yv
v x y x y x y -+=-++． 于是
22u xu yv x x y ?+=-?+，22
u xv yu y x y ?-=
?+，22v yu xv x x y ?-=?+，22v xu yv
y x y ?+=-?+．
例4 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域连续且有连续偏导数，又
(,)
0(,)
x y u v ?≠?． 1） 证明方程组
(,)
(,)
x x u v y y u v =??
=? 在点(,,,)x y u v (的某一领域唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数
(,),(,)u u x y v v x y ==．
2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式
(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=??≡-=?，
，
则按假设 (,)(,)
0(,)(,)
F G x y J u v u v ??=
=≠??，
由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．
2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得
[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡??
≡?
，
将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得
10.x u x v u x v x
y u y v u x v x ?????=?+????????
?????=?+???????
， 由于0J ≠，故可解得
1u y x J v ??=??， 1v y
x J u
??=-
??．
同理，可得
1u x y J v ??=-??， 1v x y J u
??=??．