学高中数学导数及其应用阶段综合提升导数在研究函数中的应用教师用书教案新人教A版选修

第３章导数及其应用

第二课导数在研究函数中的应用

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

函数的单调性与导数

２

[思路点拨] 错误!―→错误!―→错误!

[解] f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝错误!—２ax＋（２—a）＝—错误!.

１当a≤0时，f′（x）>0，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

２当a>0时，由f′（x）＝0，得x＝错误!.

又由f′（x）>0得0

由f′（x）<0得x>错误!，

∴f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．

综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a>0时，函数f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．

导数法求函数单调区间的一般流程

求定义域→求导数f′x→求f′x＝0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f′x 在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性.

提醒：在求解中注意分类讨论和数形结合思想的应用.

错误!

１．已知函数f（x）＝（x２＋ax—２a２＋３a）e x（x∈R），其中a∈R，试求f（x）的单调区间．[解] ∵f′（x）＝[x２＋（a＋２）x—２a２＋４a]e x.

令f′（x）＝0，解得x＝—２a或x＝a—２．

１当—２a＝a—２，即a＝错误!时，f′（x）≥0，∴f（x）在R上单调递增．

２当—２a错误!时，

由f′（x）>0得，x<—２a或x>a—２，

由f′（x）<0得，—２a

∴f（x）在（—∞，—２a）及（a—２，＋∞）上为增函数，

在（—２a，a—２）上为减函数．

３当—２a>a—２，即a<错误!时，

由f′（x）>0得x—２a，

由f′（x）<0得a—２

∴f（x）在（—∞，a—２）及（—２a，＋∞）上为增函数，在（a—２，—２a）上为减函数．综上所述，当a<错误!时，f（x）的增区间为（—∞，a—２），（—２a，＋∞）；减区间为（a—２，—２a）．

当a＝错误!时，f（x）的增区间为（—∞，＋∞）．

当a>错误!时，f（x）的增区间为（—∞，—２a），（a—２，＋∞）；减区间为（—２a，a—２）．

函数的极值、最值与导数

２

（１）若a＝—１，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；

（２）若a＝１，求函数f（x）在[１，e]上的最大值和最小值；

（３）当a＝１，求证：在区间[１，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）＝错误!x３的图象的下方．

[解] （１）由于函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

当a＝—１时，f′（x）＝x—错误!

＝错误!，

令f′（x）＝0，得x＝１或x＝—１（舍去），

当x∈（0,１）时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，

当x∈（１，＋∞）时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，

所以f（x）在x＝１处取得极小值，且极小值为错误!.

（２）当a＝１时，f（x）＝错误!x２＋ln x，f′（x）＝x＋错误!>0，

则函数f（x）在[１，e]上为增函数，

所以f（x）min＝f（１）＝错误!，f（x）max＝f（e）＝错误!e２＋１．

（３）证明：设F（x）＝f（x）—g（x）

＝错误!x２＋ln x—错误!x３，

则F′（x）＝x＋错误!—２x２＝错误!，

当x>１时，F′（x）<0，

故F（x）在区间[１，＋∞）上是减函数，

又F（１）＝—错误!<0，

所以在区间[１，＋∞）上，F（x）<0恒成立．

即f（x）

因此，当a＝１时，在区间[１，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方．

函数的最值是函数的整体性质，要区别于函数的极值，求函数在闭区间上的最值，应先求开区间的极值，再与闭区间的端点值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值；反过来，已知最值时，要能求相应参数及与最值有关的其他问题.

错误!

２．已知函数f（x）＝错误!x３—错误!（２a＋１）x２＋（a２＋a）x（a∈R）．

（１）若函数f（x）在x＝２处取得极小值，求a的值；

（２）若a≥0，求f（x）在[0,１]上的最大值．

[解] （１）f′（x）＝x２—（２a＋１）x＋（a２＋a）

＝（x—a）[x—（a＋１）]．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x（—∞，a）a（a，a＋１）a＋１（a＋１，＋∞）

f′（x）＋0—0＋

f（x）↗极大值↘极小值↗

（２）由（１）知，

１当a≥１时，f（x）在[0,１]上是增函数，

∴f（x）max＝f（１）＝a２—错误!；

２当a＝0时，f（x）在[0,１]上是减函数，

∴f（x）max＝f（0）＝0；

３当0

综上，f（x）max＝错误!

不等式的证明与导数

[

１．不等式“x>sin x（x>0）”成立吗？如何证明？

提示：成立，令f（x）＝x—sin x，x>0，

则f′（x）＝１—cos x≥0，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

又f（0）＝0，∴f（x）>f（0）＝0，即x—sin x>0，∴x>sin x.

２．如何证明函数不等式f（x）>g（x）（x>a）？

提示：可构造函数h（x）＝f（x）—g（x）（x>a），

只需证明h（x）>0即可，故可求h（x）min>0．

【例３】求证：当x>１时，ln x>—错误!x２＋２x—错误!.

[思路点拨] 要证ln x>—错误!x２＋２x—错误!，只需证ln x＋错误!x２—２x＋错误!>0，可构造

函数g（x）＝ln x＋错误!x２—２x＋错误!，利用导数研究其单调性从而证明原不等式．[证明] 令g（x）＝ln x＋错误!x２—２x＋错误!，

则g′（x）＝错误!＋x—２＝错误!＝错误!，

由于x>１，所以g′（x）>0，即函数g（x）在（１，＋∞）上单调递增．又因为g（１）＝ln １＋错误!×１２—２×１＋错误!＝0，

因为当x>１时g（x）>0，

即当x>１时，ln x>—错误!x２＋２x—错误!.

利用导数证明不等式的常见形式与步骤

１常见形式：已知x∈a，b，求证：u x>v x.

２证明步骤：

１将所给的不等式移项，构造函数f x＝u x—v x，转化为证明函数f x>0；

２在x∈a，b上，判断f′x的符号；

３若f′x>0，说明f x在区间a，b上是增函数，只需将所给的区间的左端点的值代入f x，检验其值为零或为正，即证得f a≥0即可；若f′x<0，说明f x在区间a，b 上是减函数，只需将所给的区间的右端点的值代入f x，检验其值为零或为正，即证得f b≥0即可.

错误!

３．求证：当0x.

[证明] 令g（x）＝tan x—x，

则g′（x）＝错误!错误!＝错误!—１＝错误!—１＝错误!，

当00，

所以g（x）在错误!上单调递增，

故g（x）>g（0）＝0，即tan x>x.

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

人教版高中数学《导数》全部教案

导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

3.1导数导学案

导数的概念及运算 一、预习案 （一）高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，通过图像直观地理解导数的几何意义，会求在某点和过某点的切线方程。 （二）知识清单 2、求导法则 ①运算 （1）=±' )]()([x g x f 。 （2）=?')]()([x g x f 。 （3）=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数：设)(x v u =在x 处可导，)(u f y =在点u 处可导， 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导，且=)('x f 。 （三）预期效果及存在困惑

二、导学案 （一）完成《新亮剑（红色）》第50页查缺补漏。 （二）高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(，且1)2 ('=π f ，则a 的值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 （1）求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习： 1（2018课标I ）设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y =

2.（2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课堂总结： 三、巩固案 1.（2016北京节选）设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ，求b a ,的值。 2.（2015全国II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当 0>x 时，0)()('<-x f x xf ，解不等式0)(>x f 。

1.3.1函数的单调性与导数教案

§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A

高等数学导数的概念学习教案.docx

教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：

教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t

123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案

1．2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)． 一、知识回顾 函数的和、差、积、商的求导法则 设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数 [C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x ) ]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究 1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数． cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成. 32 21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x y x x y x 思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？ 2．复合函数的求导法则 2 (2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？ 2(2)(31),6(31) (4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x 思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.

ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数． 三、知识应用 (1)ln(51)(2)cos(12) y x y x 例1：求下列函数的导数 31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数 四、当堂训练 1.指出下列函数的复合关系： (1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3； (3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)． 2.求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e －2x ； (3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．

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导数的背景 （5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量 （即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?， 所以，割线PQ 的斜率x x x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22.

复合函数的导数(二) 教案示例

复合函数的导数(二)·教案示例 目的要求 1．掌握复合函数的求导法则． 2．会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题． 内容分析 1．本节重点是复合函数求导法则的应用． 2．应用之一是求分式、根式、三角函数式等复合函数的导数． 例2在教科书原题基础上，增加几道小题作为学生训练题，然后提出熟练以后可简化过程，并予以示范． 例3是根式形式的复合函数求导，首先应将根式表示为分数指数， 以方便使用幂函数求导公式，然后设中间变量＝对求导，介绍两种求法．方法一是作为商对求导，方法二是看成＝－＋，即看成＝－＋，＝－，仍用复合函数求导法则求导．用到的求导 u x x u 1u 1v v 1x 1x x x 111--- 法则或公式，解题的过程应向学生清晰地展示．当然，可引导学生思考并完成． 3．应用之二是解决实际应用问题．教师除了教学生会学数学，更重要的是引导学生会用数学．培养学生应用数学解决实际问题的意识和能力是数学教学的根本任务．应用问题在习题中配置了求切线方程，这里增加一道应用例题，证明一个组合等式，目的在于引导学生应用复合函数的求导法则及赋值法来解答，同时重温倒序相加法、通项变换法等证法，这就体现了复合函数求导法则的应用广泛性，也体现了思维的多样性和变通性，培养了发散思维能力，更重要的是可以激发学生学好用好数学的意识和积极性． 4．通过这节的学习，应使学生对复合函数的概念、求导法则和步骤及其应用，有一个整体的把握． 教学过程 1．复习求导法则 让学生回答复合函数定义、求导法则、求导步骤． 本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导． 2．应用求导法则 (1)应用之一 对复合函数式求导 例2 求下列函数的导数： (1)y (2)y sinx (3)y cos(3x x 6)(4)y 2＝；＝；＝；＝．113142() --+x x 请学生上台完成． 答案： (1)12(1(2)2xcosx (3)3sin(3x )(4)x 1+x 22---365x x )；；；． 注：这里有分式型、根式型、三角函数型的复合函数求导． 师生一起评议．可表扬四位同学完成得较好．接着提请注意，熟练后可省写步骤，并作示范．如，解(1)可表达为

复合函数求导法-教案

1 2.2.2 复合函数求导法 教学要求： 理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容： 一、复习提问： 1、导数的基本公式 2、导数的四则运算法则 上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。 二、复合函数的求导法则 1、比如求函数x y 2sin =的导数。 错误解答：x y 2cos =' 正确解答：()()() x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-=' ='=' 对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。 我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。x u dx du du dy dx dy y 2cos 22cos =?=?== ' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。 第二步：逐一分步求导。 复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ?=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ?=在点x 处可导，且有 ()()dy f u x dx ?''=? 或 dy dy du dx du dx =? 证明 设变量x 有改变量x ?，相应地，变量u 有改变量u ?，从而y 有改变量y ?. 由于u 可导，所以 0lim 0 =?→?u x ， 即 x u x u y y '?'='. 现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即 （对u 求导)(对x 求导) （回代） 可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。 推论 设函数()y f u =，()u v ?=，()v x ψ=都是可导函数，则复合函数{[()]}y f x ?ψ=也可导，且 ()()()u v x dy f u v x y u v dx ?ψ''''''=??=?? 或 dy dy du dv dx du dv dx =?? 注意： {[()]}f x ?'表示复合函数y 对自变量x 的导数， 如 2 [sin(1)]y x '=+=2 2cos(1)x x +

高中数学导数教案

个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：林老师授课时间：

.B ()()f x g x < .C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+ 问题2．()f x 的导函数()y f x '= 的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 问题3．求下列函数的导数： ()1()2 1sin y x =+； ()41 1 x x e y e +=-； ()6ln x y e x =? () 7sin 1cos x y x = +； ()8()21sin cos y x x x x =-?+? ()932x x x y e e =?-+ ()10()()33421y x x x =-?- 问题4．()1求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程. ()2（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 .A 220x y ++= .B 330x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+= ()3（08届高三攸县一中）已知曲线m x y += 3 3 1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或13 3 - （三）课后作业： 1.若0()2f x '=,求0 lim →k k x f k x f 2) ()(00-- 2.（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ()1求)(x f 在(,)a b 内的极值； ()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p 9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法. 10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主 元为辅元，变分式为整式. 11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为 助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. （二）典例分析： 问题1．()1函数)(x f y =在定义域)3,2 3 (-内可导，其图象如图所示，记)(x f y = 的导函数为 )(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为 .A [)3,2]1,31 [Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]2 1 ,23[Y - .D ?? ??????? ??--3,38]34,21[1,23Y Y ()3设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+ ()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ?<的解集是 .A ()()2,02,-+∞U .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞U .D ()(),20,2-∞-U 问题2．()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间 []2,2-内，则b 的取值范围为 ()2已知2()12f x x x =+-，那么[]()()g x f f x = .A 在区间()2,1-上单调递增 .B 在()0,2上单调递增 .C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增 ()3函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x -恒成立，求实数k 的取值范围.

高中数学复合函数的求导法则教案

§1.2.2复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．

《1.2.3 简单复合函数的导数》导学案1

《1.2.3简单复合函数的导数》导学案 一、教学目标 1．掌握简单复合函数的导数的推导 2．简单复合函数的导数的应用 二、教学重点:掌握简单复合函数的导数的推导 三、教学难点:简单复合函数的导数的应用 四、教学过程 【基础知识梳理】 1.复合函数的求导数公式 2.根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示 3.运算法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即： [()()]()().f x g x f x g x '''±=± 法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数

法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+ 法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[ ]()() f x f x g x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中 4.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ?= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量. 【问题探究】 问题1：求函数2(32)y x =-的导数 . 问题2：考察函数sin 2y x =的导数. 【建构数学】 一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u )，u =ax +b ，则'''x u x y y u =?，''x u y y a =?即： ? 对于一般的复合函数，结论也成立 . ? 复合函数的求导法则 ? 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =? 【数学运用】 例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数： 31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31 y x y x y y x x =-=+= =--

北师大版数学高二-高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2

高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式 教学过程： 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y x ?→?→?'===? 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22 ()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==??? 222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x ==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???

《高等数学》2.3复合函数的导数公开课教案

广东省高级技工学校文化理论课教案（首页）（代号A—3）JSZ-024-2 共 5 页 科目高等数学授课 日期 2013年 12月25日 课 时 1 章节名称 2.3复合函数的导数（1）班级2013级高幼03班授 课方式讲练法、演示法、归纳法 作业 题数 3 拟用 时间 20分钟 教学目的1.理解复合函数的含义。 2.能够正确分析复合函数的结构并将复合函数拆解成 基本初等函数。 3.能够初步对简单的复合函数求导 选 用 教 具 挂 图 无 重点1.复合函数的结构分析 2.掌握复合函数求导的步骤 难 点 复合函数的结构分析 教学回顾基本初等函数类型 基本初等函数的导数公式 说明1、教材中对于复合函数求导法则的解释比较抽象，讲授时需要借助实例结合定义讲解，讲解重点放在复合函数的“拆解”上。 2、在理解复合函数定义的基础上，基本初等函数的复合较容易理解，此处不做重点讲解。 3、复合函数的结构分析为本节课的重点及难点，此处加强练习。学生理解中的难点通常在于对“基本初等函数类型”分不清，讲解中着重强调每个函数的类型。 授课人：审阅签名：

【教学回顾】（3分钟） （利用多媒体演示） 五大类型基本初等函数及导数公式。（其中a 代表任意常数） 1．幂函数： 1(-='a a ax x ） 2．指数函数：a a a x x ln ='） （ 【特别的x x e e =')(】 3．对数函数: a x x a ln 1log ='） （ 【特别的x x 1 ln ='） （】 4．三角函数：x x cos sin ='） （ x x sin )(cos -=' x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -=' x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=' 5.反三角函数：2 11)(arcsin x x -=' 2 11)(arccos x x -- =' 211)(arctan x x += ' 2 11 )cot (x x arc +-=' 【新课导入】 （2分钟） 在学习完导数公式及导数的四则运算法则之后，形如：)3(sin 2'+x x ，)arctan ln 2('x x 之类函数我们都可以计算出其导数，但是函数类型也只局限于有两个或几个基本初等函数经过加、减、乘、除之后形成的函数。可计算的函数范围还是很小。 引例：2sin x y =。 （板书） 提问：这个函数中包含了哪几种基本初等函数？ 答：正弦函数（三角函数）与幂函数。 说明：两种函数并不是以加减或者乘除的形式组合在一起的，这种“组合形式”我们称之为复合函数，本节课我们就来学习复合函数的求导方法。 （板书课题） 【新课讲授】 1.复合函数 （8分钟） 在讨论复合函数求导法则之前，我们先来看一下两个函数是如何复合到一起的。 例1：已知 u y ln =，x u cos =，求以y 为因变量x 为自变量的函数表达式？ 解：将x u cos =代入u y ln =容易得到x y cos ln =。

导数导学案

-可编辑修改- §3.1 变化率与导数（１） 学习目标 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景； 2．会求函数在某一点附近的平均变化率； 学习过程 一、新课导学 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2：高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 新知：平均变化率：_______________=_______ 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就 表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变 化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它 们的比值y x ??，则上式就表示为 ， 此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量 与 的增量的比值. ※ 典型例题 例1已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，1.1]； （2）[1，2] 变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点 (1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x ??= 小结 1.函数()f x 的平均变化率是 2.求函数()f x 的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 ※ 学习探究二 问题3：计算运动员在49 65 0≤ ≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什 么问题吗？ 新知： 1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2．导数的概念

北师大版数学高二选修1-1 瞬时变化率—导数 教案

3．1．1瞬时变化率—导数 教案 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --= ， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：t t s t t s ?-?+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤：