扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学
017-2018学年度第一学期期末检测试题
高三数学
2018.2
第一部分
一、填空题
1. 若集合A ={x |1 2. 若复数(a ?2?)(1+3?)是纯虚数，则实数a 的值为__________。 3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。 4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100 名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直 方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的 人数为________。 5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。 6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为 __________。 7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为______。 8. 若实数x ，y 满足{x ≤4 y ≤33x +4y ≥12 ，则x 2+y 2的取值范围是________。 9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成等 差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。 10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2 a 2?y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近线 与圆x 2+y 2?6y +5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是 __________。 11. 已知函数f (x )=s?n x ?x + 1?4x 2x ，则关于x 的不等式f (1?x 2)+f (5x ?7)<0的解集为_________。 12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP ????? ?AQ ????? =1，则|CQ ????? |的最大值为_________。 13. 已知函数f (x )={log 12(?x +1)?1,x ∈[?1,k ] ?2|x ?1|,x ∈(k,a ] ，若存在实数k 使得该函数的值域为[?2,0]， 则实数a 的取值范围是_______。 14. 已知正实数x,y 满足5x 2+4xy ?y 2=1，则12x 2+8xy ?y 2的最小值为_________。 二、解答题 15.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D,E分别为AB,AC的中点， (1) 证明：B1C1∥平面A1DE； (2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE。 16.已知在ΔABC中，AB=6,BC=5，且ΔABC的面积为9 (1) 求AC； )的值。 (2) 当ΔABC为锐角三角形时，求cos(2A+π 6 17. 如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P、Q 分别在射线OA和OB上。经测量得，扇形OPQ的圆心角（即∠POQ）为2π 、半径为1千米。为了 3 方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S。设∠POS=α（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计。 (1) 试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围： (2) 试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值。 18. 已知椭圆E1:x 2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)，若椭圆E2:x2 ma2 +y2 mb2 =1(a>b>0,m>1)，则称椭圆E2 与椭圆E1“相似”。 (1) 求经过点(√2,1)，且与椭圆E1:x 2 2 +y2=1“相似”的椭圆E2的方程； (2) 若m=4，椭圆E1的离心率为√2 2，P在椭圆E2上，过P的直线l交椭圆E1于A,B两点，且AP ????? =λAB ????? ， ①若B的坐标为(0,2)，且λ=2，求直线l的方程； ②若直线OP,OA的斜率之积为?1 2 ，求实数λ的值。 19. 已知函数f(x)=e x,g(x)=ax+b,a,b∈R (1) 若g(?1)=0，且函数g(x)的图像是函数f(x)图像的一条切线，求实数a的值； (2) 若不等式f(x)>x2+m对任意x∈(0,+∞)恒成立，求实数m的取值范围； (3) 若对任意实数a，函数F(x)=f(x)?g(x)在(0,+∞)上总有零点，求实数b的取值范围。 20. 已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n，数列{b n}满足b1=1 2 ， 2b n+1=b n+b n a n 。 (1) 求数列{a n}、{b n}的通项公式； (2) 设数列{c n}满足c n=b n+2 S n ，求和c1+c2+?+c n； (3)是否存在正整数p,q,r(p 2017-2018学年度第一学期期末检测试题 高三数学 2018.2 第二部分（加试部分） 21.B．已知x,y?R，若点M(1,1)在矩阵A=[2x 3y]对应变换作用下得到点N(3,5)，求矩阵A的逆矩 阵A?1。 C．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：{x=m+√2 2 t y=√2 2 t （t是参数，m是常数）。以O为极 点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ。 (1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2) 若直线l与曲线C相交于P,Q两点，且|PQ|=2，求实数m的值。 22. 扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所。 (1) 求6名大学生至少有1名被分配到甲校学习的概率； (2) 设X,Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ=|X?Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望值E(ξ)。 23. 二进制规定：每个二进制数由若干个0、1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，S n是所有n位二进制数构成的集合，对于a n,b n∈S n，M(a n,b n)表示a n和b n对应位置上数字不同的位置个数。例如当a3=100,b3=101时M(a3,b3)=1，当a3=100,b3=111时M(a3,b3)=2， (1) 令a5=10000，求所有满足b5∈S5，且M(a5,b5)=2的b5的个数； (2)给定a n(n≥2)，对于集合S n中所有b n，求M(a n,b n)的和。 扬州市2017—2018学年度第一学期期末调研测试试题 高 三 数 学 参 考 答 案2018.2 第一部分 1. {}2 2．6- 3. 2 4. 240 5.94 6.23 7. 223π 8.144[,25]25 9.1327 10. 3(1,)2 11.(2,3) 12131+13. 1(,2]2 14. 73 15. 证明：⑴在直三棱柱111ABC A B C - 中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11//B C BC ……2分 在ABC ?中，,D E 分别为 ,AB AC 的中点，故//BC DE ，所以11//B C DE ，.………4分 又11B C ?平面1A DE ，DE ?平面1A DE ， 所以11//B C 平面 1A DE .………7分 ⑵在平面 11ABB A 内，过A 作1AF A D ⊥于F ， 因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ，平面1A DE 平面111A ABB A D =，AF ?平面11A ABB ，所以AF ⊥平面1A DE ， .………11分 又DE ?平面 1A DE ，所以AF DE ⊥， 在直三棱柱 111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，DE ?平面ABC ，所以1A A DE ⊥， 因为 1AF A A A =，AF ?平面11A ABB ，1A A ?平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB ， 因为AB ?平面11A ABB ，所以DE AB ⊥。 .………14分 注：作 1AF A D ⊥时要交代在平面内作或要交代垂足点，否则扣1分 16． 解：⑴因为S △ABC =1sin 92 AB BC B =，又AB =6，BC =5，所以3sin 5B =，………2分 又B (0,)π∈，所以24cos 1sin 5B B =±-=± ， ………3分 当cos B = 45时，2242cos 3625265135AC AB BC AB BC B =+-?=+-???=………5分 当cos B =45 -时，2242cos 36252651095AC AB BC AB BC B =+-?=++???=所以13AC =109 .………7分 注：少一解的扣3分 ⑵ 由ABC ?为锐角三角形得B 为锐角，所以AB =6，AC BC =5， 所以cos A ==， 又(0,)A π∈，所以sin A == ， ………9分 所以12sin 22131313A ，225cos 2()()13 1313A ， ………12分 所以5312 cos(2)cos 2cos sin 2sin 66626A A A .………14分 17. 解：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN . 在RT OSM 中，因为OS =1，∠MOS=α，所以SM =tan α， 在RT OSN 中，∠NOS=23πα-，所以SN=2tan()3π α-， 所以2tan tan()3MN παα=+-=， .………4分 其中62ππ α<< ..………6分 ⑵ 因为62ππ α<<，所以10α->， 令10t α=->，则tan 1)t α=+， 所以4 2)MN t t =++， . .………8分 由基本不等式得2)3MN ≥?=， ………10分 当且仅当4 t t =即2t =时取“=” . .………12分 此时tan α=62ππ α<<，故3π α=. . .………13分 答：⑴2tan tan()3MN παα=+-=62ππ α<< ⑵当3π α=时，MN 长度的最小值为 .. .………14分 注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分 18．解：⑴设椭圆2E 的方程为2 2 12x y m m +=，代入点得2m =， 所以椭圆2E 的方程为22 142 x y += ………3分 ⑵因为椭圆1E 的离心率为2，故222a b =，所以椭圆2221:22E x y b += 又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2221:28E x y b +=， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ， ①方法一：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+， 代入椭圆221:28E x y +=得22(12)80k x kx ++=， 解得1228,012k x x k -==+，故2 12224,212k y y k -==+， 所以222824(,)1212k k A k k --++ ………5分 又2AP AB =，即B 为AP 中点，所以2 228212(,)1212k k P k k +++， ………6分 代入椭圆222:232E x y +=得2 22228212()2()321212k k k k ++=++， 即4220430k k +-=，即22(103)(21)0k k -+= ，所以10k =± 所以直线l 的方程为2y x =+ ………8分 方法二：由题意得2b =，所以椭圆2 21:28E x y +=，2 22:232E x y += 设(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --， 代入椭圆得2222282(4)32x y x y ?+=??+-=??，解得12y = ，故2 x =± ………6分 所以10k =±， 所以直线l 的方程为210y x =±+ ………8分 ②方法一： 由题意得22222222 200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=， 10112y y x x ?=-，即010120x x y y +=， AP AB λ=，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得01201 2(1)(1)x x x y y y λλλλ+-?=???+-?=?? ………12分 所以2220101(1)(1)( )2()2x x y y b λλλλ+-+-+= 则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-= 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+= 所以222228(1)22b b b λλ+-?=，即224(1)λλ+-=，所以52 λ= .………16分 方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线: (0)OP y kx k =>，代入椭圆2222:28E x y b +=， 解得0x = 0y =， 直线,OP OA 的斜率之积为12 -，则直线1:2OA y x k =-，代入椭圆2221:22E x y b +=， 解得1x = 1y = AP AB λ=，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得01201 2(1)(1)x x x y y y λλλλ+-?=???+-?=?? ， 所以2220101(1)(1)( )2()2x x y y b λλλλ+-+-+= 则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-= 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+= 所以 2222282(((1)22b b b λλλ+-++-?=， 即222228(1)22b b b λλ+-?=，即224(1)λλ+-=，所以52 λ= 19．解：（1）由(1)0g -=知，()g x 的图象直线过点(1,0)-， 设切点坐标为00(,)T x y ，由'()x f x e =得切线方程是 000()x x y e e x x -=- 此直线过点(1,0)-，故0000(1)x x e e x -=--，解得00x =， 所以'(0)1a f == .………3分 （2）由题意得2,(0,)x m e x x <-∈+∞恒成立， 令2(),(0,)x m x e x x =-∈+∞，则'()2x m x e x =-，再令()'()2x n x m x e x ==-，则'()2x n x e =-， 故当(0,ln 2)x ∈时，'()0n x <，()n x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0n x >，()n x 单调递增， 从而()n x 在(0,)+∞上有最小值(ln 2)22ln 20n =->， 所以()m x 在(0,)+∞上单调递增， .………6分 所以(0)m m ≤，即1m ≤ .………8分 注：漏掉等号的扣2分 （3）若0a <，()()()x F x f x g x e ax b =-=--在(0,)+∞上单调递增， 故()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点的必要条件是(0)0F <，即1b >， ………10分 以下证明当1b >时，()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点。 ①若0a <， 由于(0)10F b =-<，()()0b b a a b b F e a b e a a ---=---=>，且()F x 在(0,)+∞上连续 故()F x 在(0,)b a -上必有零点； ………12分 ②若0a ≥，(0)10F b =-<， 由（2）知221x e x x >+>在(0,)x ∈+∞上恒成立， 取0x a b =+，则0()()()a b F x F a b e a a b b +=+=-+-22()(1)0a b a ab b ab b b >+---=+-> 由于(0)10F b =-<，()0F a b +>，且()F x 在(0,)+∞上连续 故()F x 在(0,)a b +上必有零点， 综上得：实数b 的取值范围是(1,)+∞。 .………16分 20. 解：（1）22n n n S a a =+ ①， 21112n n n S a a +++=+ ②， ②-①得：221112n n n n n a a a a a +++=-+-，即11()(1)0n n n n a a a a +++--= 因为{}n a 是正数数列，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 所以{}n a 是等差数列，其中公差为1， 在22n n n S a a =+中，令1n =，得11a = 所以n a n = ……………2分 由12n n n n b b b a +=+得1112n n b b n n +=?+， 所以数列{}n b n 是等比数列，其中首项为12，公比为12， 所以1(),22n n n n b n b n ==即. ……………………5分 注：也可累乘求 {}n b 的通项 （2）2212()2n n n n b n c S n n +++==+，裂项得1 112(1)2n n n c n n +=-?+ ……………………7分 所以121112(1)2n n c c c n ++++=-+ ……………………9分 （3）假设存在正整数,,()p q r p q r <<，使得,,p q r b b b 成等差数列，则2p r q b b b +=，即2222 p r q p r q +=， 因为11111222 n n n n n n n n b b ++++--=-=，所以数列{}n b 从第二项起单调递减， 当1p =时，12222 r q r q +=， 若2q =，则122 r r =，此时无解； 若3q =，则124 r r =，因为{}n b 从第二项起递减，故4r =，所以1,3,4p q r ===符合要求………11分 若4q ≥，则 1142q b b b b ≥≥，即12q b b ≥，不符合要求，此时无解； 当2p ≥时，一定有1q p -=，否则若2q p -≥，则2442221p p q P b b p b b p p +≥==≥++，即2p q b b ≥，矛盾， 所以1q p -=，此时122r p r =，令1r p m -=+，则12m r +=，所以121m p m +=--，12m q m +=-， 综上得：存在 1,3,4p q r ===或121m p m +=--，12m q m +=-，12m r +=满足要求 (16) 分 第二部分（加试部分）答案 21．A ．解：因为1315????=????????A ，即213315x y ??????=????????????，即2335 x y +=??+=?，解得12x y =??=?， 所以2132??=???? A ，……5分 法1：设1a b c d -??=????A ，则121103201a b c d -??????==????????????AA ，即2132020 321 a c a c b d b d +=??+=??+=??+=?，……7分 解得213 2 a b c d =??=-??=-??=?，所以12132--??=??-??A .……10分 法2：因为1d b a b ad bc ad bc c d c a ad bc ad bc --??????--=????-??????--??，且21det()2213132==?-?=A ， 所以1 121213232---????==????-???? A .……10分 注：法2中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣2分 B ．解：（1）因为直线l 的参数方程是: 22x m y ?=+????=?? (t 是参数)， 所以直线l 的普通方程为0x y m --=． -------------------2分 因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，故26cos ρρθ= ，所以226x y x += 所以曲线C 的直角坐标方程是22(3) 9x y -+= -------------------5分 (2)设圆心到直线l 的距离为d ，则d == 又d ==， ------------------8分 所以34m -=，即 1m =-或7m = -------------------10分 22．解：⑴记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件A ，则6163()=1264 P A =-. 答：6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为6364 ……3分 ⑵ξ所有可能取值是0,2,4,6，记“6名学生中恰有i 名被分到甲学校实习”为事件i A (01,6i =，，)，则 3363365(0)()216 C C P P A ξ====， 2442646224246615(2)()()()2232 C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=， 155165611515663(4)()()()2216 C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=， 066066660606661(6)()()()2232 C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=， ……7分 所以随机变量ξ的概率分布为： 所以随机变量ξ的数学期望()024+6163216328E ξ=?+?+??= .……9分 答：随机变量ξ的数学期望15() 8E ξ= .……10分 23．解（1）因为55(,)2M a b =，所以5b 为5位数且与5a 有2项不同， 又因为首项为1，故5a 与5b 在后四项中有两项不同，所以5b 的个数为24 6C = .……3分 （2）当(,)n n M a b =0时，n b 的个数为01n C -； 当(,)n n M a b =1时，n b 的个数为11n C -， 当(,)n n M a b =2时，n b 的个数为21n C -， ……… 当(,)n 1n n M a b =-时，n b 的个数为11n n C --， 设(,)n n M a b 的和为S ， 则01211111012(1)n n n n n S C C C n C -----=+++ +-， .……6分 倒序得12101111(1)210n n n n n S n C C C C -----=-++++， 倒序相加得011111 12(1)[](1)2n n n n n S n C C C n -----=-++=-?，即2(1)2n S n -=-?， 所以(,)n n M a b 的和为2(1)2n n --?