讲义：一次函数

讲义：一次函数

内容讲解：

一次函数

1、若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k ≠0)的形式,则称y 是x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)。特别地,当b=0时,称y 是x 的正比例函数。

()()()32100

.0k ???

??<=>

2、正比例函数y=kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线。

3、在一次函数y=kx+b 中:当k>0时,y 随x 的增大而增大; 当k<0时,y 随x 的增大而减小。

4、两直线的位置关系：

直线111b x k l +=和直线222b x k l +=

??

?≠=相交

与则则21212

121,//,l l k k l l k k 5、正比例函数图像与一次函数图像的关系

一次函数b kx +=y 的图像是一条直线，它可以看作是由直线kx =y 沿y 轴平移

b 个单位长度得到（当b >0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

典型例题

例1．（1）若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ）

()()()

32100

0.0k ??

?

??<=>>b b

b

A ．(1，2)

B ．(－1，－2)

C ．(2，－1)

D ．(1，－2)

（2）一次函数y =2x －2的图象不经过．．．

的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （3）已知一次函数21y x =+，则y 随x 的增大而_______________（填“增大”或“减小”）．

例2．已知y 与x+1成正比例，且当x=5时，y=12，写出y 与x 之间的函数解析式.

例3．根据所给的问题，写出y 与x 的函数关系式，并判断这个函数是否为一次函数？

（1）矩形的周长是28cm ，它的长为y 厘米，宽是x 厘米；

（2）比y 的25%大9的数是x ．

例4．已知y +b 与x +a (a ，b 是常数)成正比例．求证：y 是x 的一次函数．

巩固训练

1.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） A.222-=x y B.11+=

x y C.2x y = D.22

1

+-=x y 2.下列各点在直线13-=x y 上的是（ ）

A.)0,1(-

B. )0,1(

C. )1,0(-

D. )1,0( 3. 下列函数中，是正比例函数，且y 随x 增大而减小的是（ ）

A.14+-=x y

B. 6)3(2+-=x y

C. 6)2(3+-=x y

D. 2

x

y -= 4.已知长方形的周长为25，设它的长为x ，宽为y ，则y 与x 的函数关系为（ ） A.x y -=25 B. x y +=25 C. x y -=

2

25

D. x y +=

2

25 5.点A ),3(1y 和点B ),2(2y -都在直线32+-=x y 上，则1y 和2y 的大小关系是（ ） A. 1y 2y B. 1y 2y C. 1y =2y D.不能确定 6.对于函数63-=x y ，当x ＝2-时，y ＝_______,当y ＝6时，x ＝_________. 7.若y 是x 的一次函数，且当x ＝2时y ＝7，当x ＝3时y ＝9，则这个一次函数的关系式是_______.

8.已知正比例函数x k y )21(-=的函数值y 随x 增大而增大，则k ____________________. 9.某公司现在年产值为150万元，计划今后每年增加20万元，年产值y （万元）与年数x 的函数关系式是__________________.

10.直线2-=kx y 经过点),4(1y ，且平行于直线12+=x y ,则1y ＝___________，k ＝______.

一次函数的图象与性质

例1．已知一次函数y=－2x－2

(1)画出函数的图象．

(2)求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标．

(3)求A、B两点间的距离．

(4)求△AOB的面积．

(5)利用图象求当x为何值时，y≥0．

例2．若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？

例3．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米/秒．

⑴求小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式；

⑵求3．5秒时小球的速度．

⑶经过几秒小球的速度达到10米/秒．

巩固训练：

1. 一次函数b kx y +=的图象与两坐标轴的交点坐标分别为)0,3(和)2,0(-，则=k ____，

=b ____.

2.若函数32+=x y 与b x y 23-=的图象交于x 轴于同一点，则b =_____________.

3.直线63+=x y 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7 4.直线111b x k y +=与直线222b x k y +=交y 轴于同一点.则1b 和2b 的关系是（ ） A. 1b 2b B. 1b 2b C. 1b =2b D.不能确定

5.一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为（ ）

6.平分坐标轴夹角的直线是（ ）

A.1+=x y

B.1+-=x y

C.1-=x y

D.x y -= 7.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，可知不挂物体时弹簧的长度为（ ）

A.7cm

B.8cm

C.9cm

D.10cm

8.如图是一次函数b kx y +=的大致图像，由图可知：k _________，b _______ （填“ ”、“ ”或“＝”）.

9.已知直线4+=kx y 与两坐标围成的三角形面积为8，求k 的值.

10.一次函数的图像过点)6,1(),2,3(--N M 两点.（1）求该函数的表达式；（2）画出该函数的图像.

11. 石家庄至北京300千米，火车从距石家庄站15千米的正定站出发，以每小时90千米／小时的速度向北京方向行驶，求火车与石家庄站间路程s （千米）和时间t （小时）的函数关系式，并指出自变量的取值范围.( 正定站位于北京与石家庄之间)

12、南方的A 城有化肥200吨，B 城有化肥300吨，现要把化肥运往甲、乙两个农场，若从A 城运往甲、乙两个农场的运费分别为20元／吨和25元／吨，从B 城运往甲、乙两个农场的运费分别为15元／吨和22元／吨，现已知甲农场需要220吨，乙农场需要280吨，如果你承包了这项运输任务，怎样调运花钱最少？

13、在边长为2的正方形ABCD 的一边BC 上有一点P ，从B 点运动到C 点，设PB=x ，梯形APCD 的面积S.（1）写出S 与x 的函数关系式；（2）求自变量x 的取值范围；（3）画出函数图象。

y

x

o

12

14、某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以内，每个产品付酬1.5元，超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元，超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元，求一个工人：

（1）完成100个以内所得报酬y （元）与产品数x （个）之间的函数关系式。

（2）完成100个以上，但不超过200个所得报酬y （元）与产品数x （个）之间的函数关系式。

（3）完成200个以上所得报酬y （元）与产品数x （个）之间的函数关系式。

一、课堂小结

二、课后作业

1.如果正比例函数的图象经过点(2,4)，那么这个函数的表达式为_______.

2．等腰三角形的底角度数为x ，顶角度数为y ，则y 与x 之间的关系式是 ，当y=100时，相应的x= ．

3．写出右图中直线所表示的函数关系式是 ．

4．如果直线y=kx ＋b 过第一、二、三象限，那么k 0，b 0． 5．函数y=4x －3的图象经过点（1， ），y 的值随着x 值的增大而 ． 6．直线y=x ＋4和直线y=－x ＋4与x 轴所围成的三角形的面积是 ．

7.某校办工厂的年产值是20万元，计划今后每年增加5万元，则今后的年产值y(万元)与年数x 之间的关系表达式是_______.

8.一个正方形的边长为3厘米，它的边长减少x 厘米后，得到的新正方形的周长为y 厘米，则y 和x 之间的函数关系式为________.

9.直线y=4x-2与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是_______. 10.已知直线y=4x+2.

(1)求已知直线与y 轴交点A 的坐标； (2)若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k 与b.

11．函数y=kx （k<0）的图象大致是（ ）．

12．在一次函数y=2x ＋6的图象上的一个点是（ ）．

（A ） （－5，4） （B ） （－3．5，1） （C ） （4，20） （D ） （－3， 0）

13．已知一个函数关系满足下表，则该函数关系式是（ ）．

x … －2 －1 0 1 2 … y

…

5

3

1

－1

－3

…

（A ） y=x －1 （B ） y=2x －1

（C ） y=－2x ＋1 （D ） y=－2x －1 14．点（1，y 1）（ 2，y 2）都在直线y=－x 上，则y 1与y 2的关系是（ ）．

（A ） y 1≤y 2 （B ） y 1＝y 2 （C ） y 1＜y 2 （D ） y 1＞y 2

15．已知一次函数y=kx －3，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过（ ）．

（A ） 第一、二、三象限； （B ） 第一、二、四象限； （C ） 第一、三、四象限； （D ） 第二、三、四象限．

y

x 0y x 0y x 0y

x

0（A ） （B ） （C ） （D ）