(完整版)2017年全国1卷高考题正态分布题目

（

2017年全国1卷高考题）19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)N μσ．

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96

9.96

10.01 9.92

9.98

10.04 10.26

9.91

10.13 10.02 9.22

10.04 10.05

9.95

经计算得16119.9716i i x x ===∑

，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z 服从正态分布2

(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，

160.997 40.959 2=

0.09≈．

19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此

(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=.

（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为?9.97μ

=，σ的估计值为?0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在????(3,3)μ

σμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除????(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为

1

(169.979.22)10.0215

?-=，因此μ的估计值为10.02.

16

2221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑，剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为

221

(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈，

因此σ0.09≈

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2

(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .

12.2.

若Z ～2

(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544. （18）解：

（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为

1700.021800.091900.222000.33x =?+?+?+?

2100.242200.082300.02+?+?+? =200

2222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-?+-?+-?

22200.33100.24200.08300.02

150.

+?+?+?+?= …

…6分

（II ）（i ）由（I ）知，~(200,150)Z N ，从而

(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）

……9分

（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6， 依题意知X-B(100，0.682 6)，所以1000.682668.26.EX =?= ……