1080电大工程数学期末复习

《工程数学》期末综合练习题

工程数学（本）课程考核说明

（修改稿）

I. 相关说明与实施要求

本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。

本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。

工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。

工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。

期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。

考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。

试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。

试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。

三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。 期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。

II. 考核内容和考核要求

考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。

工程数学（本）2013秋模拟试题（一）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．A ，B 都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是( D ) ．

A ．AB=BA

B ．若AB =O ，则O A =或O B =

C ．2222)(B AB A B A +-=-

D ．B A AB =

2．向量组??

??

?

??????????

?????

?????

?????

?????

?????321,333,022,001的秩是（ C ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．设矩阵A 的特征多项式3

000200

01---=-λλλλA I ，则A 的特征值为 ( D

)． A ．1=λ B ．2=λ

C ．3=λ

D ．11=λ，22=λ，33=λ

4．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ B ）．

A ．)(9)(4Y D X D -

B ．)(9)(4Y D X D +

C ．)(3)(2Y

D X D - D ．)(3)(2Y D X D +

5．已知总体),(~2

σμN X ，2σ未知，检验总体期望μ采用（ A ）． A ．t 检验法 B ．U 检验法

C ．χ2检验法

D ．F 检验法

二、填空题（每小题3分，共15分）

1．设三阶矩阵A 的行列式2

1=A ，则1-A = 2 ． 2．线性方程组B AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54?矩阵，则方程组增广矩阵)(B A r = 3 ．

3．若事件A ，B 满足B A ?，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ．

4．设随机变量???? ??3.03.04.021

0~X ，则E X ()= 0.9 ． 5．设θ

?是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)?(E ，则θ?称为θ的 无偏 估计．

三、计算题（每小题16分，共64分）

1．设矩阵??????-=????

??????-=653312,112411210B A ，解矩阵方程B AX '=． 1．解：因为 ????

? ??---→????? ??-12073000121

0010411100112010411001210 ????

? ??----→????? ??---→123100247010235001123100001210011201，

得 ????

? ??----=-1232472351A

所以='=-B A X 1????? ??----123247235????

? ??---=????? ??-13729161813635132．

2．设齐次线性方程组?????=+-=+-=+-0830352023321

321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零

解时，求出通解．

2．解：因为

A =??????????---λ83352231????

??????---→610110231λ??????????---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(

方程组的一般解为： ???==32

31x x x x ，其中3x 为自由元． 令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}．

通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．

3．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．

3．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P

= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ）

= 2（1－)2(Φ）＝0.0454．

（2）)44()(->-=>k X P k X P

＝1－)44(-≤-k X P

＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk

)5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk

即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．

4．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u )

4．解：已知3=σ，n = 64，且n x u σμ

-= ~ )1,0(N

因为 x = 21，96.12

1=-αu ，且

735.0643

96.121=?=-n u σ

α

所以，置信度为95%的μ的置信区间为：

]735.

21,265.20[]

,[2121=+---n u x n u x σσ

αα．

四、证明题（本题6分）

设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+

证明：由事件的关系可知

A A U A

B B AB AB A B AB ==+=+=-+ ()()

而()A B AB -=? ，故由概率的性质可知

P A P A B P AB ()()()=-+

工程数学（本）2013秋模拟试题（二）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．方程组?????=+=+=-3

312321

21a x x a x x a

x x 相容的充分必要条件是( B )，其中0≠i a ，

1,2,3i =． A ．0321=++a a a B ．0321=-+a a a

C ．0321=+-a a a

D ．0321=++-a a a

2．设B A ,都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是( C )．

A ．

B A B A +=+ B ．1111A B A B ----+=

C ．AB A B =

D ．

A A λλ= 3．下列命题中不正确的是（ A ）．

A ．A 与1A -有相同的特征值

B ．A 与A '有相同的特征多项式

C ．若A 可逆，则零不是A 的特征值

D ．A 与A '有相同的特征值

4．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ D ）．

A ．1)()(=+

B P A P B ． P AB P A P B ()()()=

C ．P A P A B ()()=

D ． P A B P A P B ()()()+=+

5．设随机变量X ，则下列等式中不正确的是（ A ）．

A ．(21)2()E X E X +=

B ． (21)4()D X D X +=

C ．22

()()(())D X E X E X =- D ． ()()D X D X -=

二、填空题（每小题3分，共15分） 1．若三阶方阵????

??????-=632210001A ，则2A I -= 0 ． 2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称数λ为A 的 特征值 ．

3．已知()0.2,()0.4P A P B ==，则当事件A ,B 相互独立时，()P AB = 0.08 ．

4．设随机变量1234~0.10.30.5X a ??????

，则=a 0.1 ． 5．不含未知参数的样本函数称为

统计量 ．

三、计算题（每小题16分，共64分） 1．设矩阵122110135A ????=--??????，121104B ????=-??????

，AX B =，求X ．

1．解：利用初等行变换可得

????

??????-→??????????--101310011210001221100531010011001221 ????

??????----→??????????--→112100235010225021112100011210001221 ??

??

?

?????

-----→112100235010245001

因此， ??

??

?

?????-----=-1122352451A

于是由矩阵乘法可得

??

??

?

?????

----=??????????-??????????-----==-1152614011211122352451B A X ．

2．求线性方程组123123123123245

23438213

496

x x x x x x x x x x x x -+=-??++=??+-=??-+=-?的通解．

2．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形

??

??

?

?

??

????-----→????????????-----14770281414014770542169141328341325421

????

?

?

????

??--→????????????---→00000000

211012010000000021105421

方程组的一般解为 ???+=--=2

1

23231x x x x ，(其中x 3是自由元)

令x 3 = 0，得到方程组的一个特解X 0 =)0,2,1('-；

不计最后一列，x 3 = 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系

X 1 =)1,1,2('-

于是，方程组的通解为： 10kX X X +=，(其中k 是任意常数)

3．设~(2,25)X N ，试求: (1) (1217)P X <<； (2) (3)P X >-．

（已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9773.0)2(=Φ=Φ）

3．解：⑴)35

22()5217525212()1712(<-<=-<-<-=<

⑵)15

2()52352()3(->-=-->-=->X P X P X P 8413.0)1(=Φ=

4．某厂生产日光灯管．根据历史资料,灯管的使用寿命X 服从正态总体

2(1600,70)N ．在最近生产的灯管中随机抽取49件进行测试，平均使用寿命为1520小时．假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化．(已知 96.1975.0=u )

4．解：零假设1600:0=μH ；1600:1≠μH ．

由于标准差没有改变，故已知2270=σ

，选取样本函数 U x n

N =-μσ~(,)01 由已知1520=x ，16000=μ，700=σ，49=n ，于是得

849701600

152000

-=-=-=n x U σμ

在0.05的显著性水平下， 96.1800

>=-n x σμ，因此拒绝零假设0H ，即最近生产的

灯管质量出现显著变化．

四、证明题（本题6分）

1．设B A ,都是n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，试证B AB '也是对称矩阵．

1．证明：由矩阵转置的运算性质可得

B A B B A B AB B ''=''''='')()(

又A 为对称矩阵，故A A ='，从而

AB B AB B '='')(

因此，AB B '也是对称矩阵．

工程数学（本）（13春）模拟练习

2013年6月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D ）．

A. 111)(---+=+B A B A

B. B A B A +=+

C. B A AB n 22=-

D. 111)(---=A B AB

2. 下列命题正确的是（ C ）．

A ．n 个n 维向量组成的向量组一定线性相关；

B ．向量组s ααα,,,21 是线性相关的充分必要条件是以s ααα,,,21 为系数的齐次线性方程组 02211=+++s s k k k ααα 有解

C ．向量组 ,,21αα,s α,0的秩至多是s

D ．设A 是n m ?矩阵，且n m <，则A 的行向量线性相关

3. 设线性方程组B AX =的两个解为21,X X ，（21X X ≠）则下列向量中（D ）一定是B AX =的解．

A. 21X X +

B. 21X X -

C. 212X X -

D. 122X X -

4. 设)10,50(~2N X ，则随机变量（ B ）)1,0(~N 。 A. 10050-X B. 1050-X C. 50

100-X D. 5010-X 5. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（A ）．

A. 已知方差，检验均值

B. 未知方差，检验均值

C. 已知均值，检验方差

D. 未知均值，检验方差

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为A B C ---111,,，则()CA B '=--11 B A C ()--'11．

2. 线性方程组AX b =有解的充分必要条件是r A r A b ()([])= ．

3. 若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．

4. 设随机变量X 的概率密度函数为

???≤≤=其它0

103)(2

x x x f ， 则=<)2

1(X P 1/8 ． 5. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ2的一个样本，则~11∑=n

i i x n ),(2

n N σμ．

三、计算题（每小题16分，共64分）

1.已知B AX X +=，其中????

??????--=??????????--=350211,301111010B A ，求X ．

1. 解： B A I X 1

)(--=， 且????

??????----=--110121120)(1A I 由矩阵乘法得

B A I X 1)(--==??????????----110121120??????

????--350211=??????????---334231 2. k 为何值时，线性方程组

?????=+-+=+-+=++-k x x x x x x x x x x x x 4321

43214321114724212

有解，并求出一般解．

2. 解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形

????

??????------→??????????---273503735024121114712412111112k k ????

??????-----→500003735024121k 当5=k 时，方程组有解，且方程组的一般解为

???

????-+=--=4324

31575353565154x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量） 3. 设)4,3(~N X ，试求⑴)95(<X P ．（已知,8413.0)1(=Φ 9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）

3. 解：⑴)32

31()23923235()95(<-<=-<-<-=<

⑵)2

3723()7(->-=>X P X P

)22

3(1)223(

≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=

4.随机抽取某班28名同学的数学考试成绩，得平均分为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的数学成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，试问在显著水平0

5.0=α下，能否认为该班的数学成绩为85分？

4. 解 作假设 85:0=μH ,85:1≠μH

选取统计量 n

s x T 0μ-= 当0H 为真时，)27(~t T 已知80=x ，8=s ，28=n ，850=μ，计算得

25.328

885800=-=-=n s x T μ 查t 分布临界值表，得052.2)27(025.0=t . 因为>=25.3T 052.2)27(025.0=t ，所以拒绝0H .即不能认为该班的数学成绩为85分.

四、证明题（本题6分）

设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+．

证明：由事件的关系可知

A A U A

B B AB AB A B AB ==+=+=-+ ()()

而()A B AB -=? ，故由概率的性质可知

P A P A B P AB ()()()=-+

证毕．

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( A )．

A ．A

B A B = B ．222()2A B A AB B -=-+

C ．AB BA =

D ．若AB O =，则A O =或B O =

2．向量组????

??????-????????????????????-??????????732,320,011,001的秩是（ B ）． A. 1 B. 3 C. 2 D. 4

3．n 元线性方程组AX b =有解的充分必要条件是（A ）．

A. )()(b A r A r =

B. A 不是行满秩矩阵

C. r A n ()<

D. r A n ()=

4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，

则两球都是红球的概率是（ D ）． A. 256 B. 103 C. 203 D. 25

9 5．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（C ）是μ无偏估

计． A.

321515151x x x ++ B. 321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D. 3215

25252x x x ++ 6．若A 是对称矩阵，则等式（ B ）成立．

A. I AA =-1

B. A A ='

C. 1-='A A

D. A A =-1

7．=??????-15473（ D ）．

A. ??

????--3547 B. 7453-????-?? C. 7543-????-??

D. 7543-????-??

8．若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．

A. r A n ()=

B. A O ≠

C. r A n ()<

D. A 的行向量线性相关

9. 若条件（ C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件．

A. ?=AB 或A B U +=

B. 0)(=AB P 或()1P A B +=

C. ?=AB 且A B U +=

D. 0)(=AB P 且1)(=+B A P

10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记

∑==3

1

31i i X X ，则下列各式中（C ）不是统计量． A. X B. ∑=31i i X

C. ∑=-312)(31i i X μ

D. ∑=-31

2)(31i i X X 11. 若035102

101

1=---x ，则=x （A ）．

A. 3

B. 2

C. 3-

D. 2-

12. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（B ）．

A 1

B 2

C 3

D 4

13. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（C ）．

A. BA AB =

B. B A AB ''=')(

C. B A B A '+'='+)(

D. AB AB =')(

14. 若A B ,满足（B ），则A 与B 是相互独立． A. )()()(A B P A P B P = B. )()()(B P A P AB P =

C. )()()(B P A P B A P -=-

D. )()()(B A P B P A P =

15. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（ D ）成立．

A. )]([)(X E X E X D -=

B. 22)]([)()(X E X E X D +=

C. )()(2X E X D =

D. 22)]([)()(X E X E X D -=

16.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．

A ．BA A

B = B ．B A B A +=+

C ．111)(---+=+B A B A

D ．111)(---=B A AB

17.方程组?????=+=+=-3

31232121a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是( B )，其中0≠i a ，

)3,2,1(=i ．

A ．0321=++a a a

B ．0321=-+a a a

C ．0321=+-a a a

D ．0321=++-a a a

18.下列命题中不正确的是（ D ）．

A ．A 与A '有相同的特征多项式

B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的

特征向量

C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解

D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量

19.若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ A ）．

A ．P A

B P A P B ()()()+=+ B ．P B P A ()()=-1

C ．P A P A B ()()=

D ．P AB P A P B ()()()=

20.设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用

统计量U =（ C ）．

A ．5

5

-x B ．5/15-x C ．

n x /15

- D ．1

5-x

二、填空题（每小题3分） 1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= -18 ．

2．设A 为n 阶方阵，若存在数

和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称

为A 的特征值． 3．设随机变量012~0.20.5X a ?? ???

，则a = 0.3 ． 4．设X 为随机变量，已知3)(=X D ，此时D X ()32-= 27 ．

5．设θ?是未知参数θ的一个无偏估计量，则有?()E θ

θ=． 6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= 8 ．

7．设A 为n 阶方阵，若存在数和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称

X 为A 相应于特征值的特征向量．

8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．

9．如果随机变量X 的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ．

10．不含未知参数的样本函数称为 统计量 ．

11. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B

B A )(1'-．

12. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则

K=1-

13. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 0.6 ．

14.已知随机变量??

????-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 2.4 ． 15.设1021,,,x x x 是来自正态总体)4,(μN 的一个样本，则~10110

1

∑=i i x )10

4,(μN ．

16．设22112

1

12214

A x x =-+，则0A =的根是 1，-1，2，-2 ． 17．设4元线性方程组AX =

B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程

组的基础解系含有 3 个解向量．

18．设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= 0 ．

19．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= np ．

20．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==n

i i x n x 1

1，则~x )1

,0(n N

三、（每小题16分）

1．设矩阵A B =---??????

???

?=-?

???

??112235324215011,，且有AX B ='，求X ．

解：利用初等行变换得

112100235010324001112100011210012301---??????????→-----???

???

?

?

??

→-----??????

????→-----??????

?

??

?112100011210001511112100011210001511

→------??????

????→-----??????

?

??

?110922010721001511100201010721001511

即 A -=-----??????

?

??

?1201721511

由矩阵乘法和转置运算得

X A B ='=-----??????????-??????????=--??????

?

???-12017215112011511111362

2．求线性方程组

???????=++-=++--=+-+-=-+-2

28421

2342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．

解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形

?????

???????----→????????????-------0462003210010101113122842123412127211131 ?????

???????---→????????????---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为

x x x x x x 14243

415=+==-????? （其中x 4为自由未知量）

令x 4=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .

方程组相应的齐方程的一般解为

?????-===43

42415x x x x x x （其中x 4为自由未知量）

令x 4=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .

于是，方程组的全部解为

10kX X X +=（其中k 为任意常数）

3．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<X P ．

（已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）

解：(1))32

31()23923235()95(<-<=-<-<-=<

(2))2

3723(

)7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=

4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（α==0051960975.,..u ）

． 解： 零假设H 0325:.μ=．由于已知σ2121=.，故选取样本函数

U x n

N =-μσ~(,)01 已知x =3112.，经计算得

σ

9113037==..，x n

-=-=μσ3112325037373.... 由已知条件u 0975196..=，

x n

u -=>=μσ3731960975... 故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。

5．设矩阵????

??????=??????????--=500050002,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得

????

??????--→??????????--102340011110001011100322010121001011 ????

??????----→??????????----→146100135010001011146100011110001011 ????

??????-----→146100135010134001 即 ????

??????-----=-1461351341A 由矩阵乘法得

????

??????-----=????????????????????-----=-520125151051585000500021461351341B A

6．当λ取何值时，线性方程组

?????+=+++=+++-=--+14796

372224321

43214321λx x x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求方程组的全部解．

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

????

??????+-----→??????????+---19102220105111021211114796371221211λλ ????

??????----→??????????-----→1000010511108490110000105111021211λλ 由此可知当1≠λ时，方程组无解。当1=λ时，方程组有解。

此时齐次方程组化为