决胜2021年上海市中考数学压轴题全揭秘精品试题答案详解教师版
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决胜2021年上海市中考数学压轴题全揭秘精品试题
数学试题
考生注意： 1.本试卷共25题。
2.试卷满分150分，考试时间100分钟。
3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。
4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
【分析】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式
A
B a b +，错误；
C a b +=
D 2
44b a b +=+，错误．
故答案选：A
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需要满足的条件是解题关键．
2.下列方程中，有实数根的是（ ）
A. 210x +=
B. 210x -= 1=- D.
1
01
x =- 【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分数方程的定义进行判断即可．
【详解】根据一元二次方程根的判别式24b ac ?=- 计算： A ：21040x +=??=-<，方程无实根，错误； B ：21040x -=??=>，方程有两个不等实根，正确；
C 10=-<,二次根式无意义，方程无解，错误；
D ：
1
01
x =-，分式方程需满足分母不为0，此方程无解，错误． 故答案选：B
【点睛】本题一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分数方程的定义，掌握相关的定义与计算是解题关键．
3．下列函数中，函数值y 随自变量x 增大而减小的是（ ） A ．y ＝4x
B ．y =1
2x ﹣5
C ．y ＝3x +6
D ．y ＝﹣1.6x +4
【解答】当k ＜0时，函数值y 随自变量x 增大而减小， 故选：D ．
4．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是2.8．下列说法中正确的是（ ） A ．甲的众数与乙的众数相同
B ．甲的成绩比乙稳定
C ．乙的成绩比甲稳定
D ．甲的中位数与乙的中位数相同
【解答】∵甲的方差是1.2，乙的方差是2.8， ∴S 甲2＜S 乙2， ∴甲的成绩比乙稳定； 故选：B ．
5.下列命题中，假命题是（ ）
A. 顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B. 顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C. 顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D. 顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可．
【详解】
观察图形：,,,E F G H 分别为,,,AC AB BD CD 的中点，根据中位线定理：
1
//,//,2
EF BC GH BC EF GH BC ==
A ：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确；
B ：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；
C ：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确；
D ：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误． 故答案选：D ．
【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键．
6．已知，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，CD ⊥AB ，且CD ＝1．若以点A 为圆心，√3为半径作⊙A ，以点B 为圆心，1为半径作⊙B ，则⊙A 与⊙B 的位置关系是（ ） A ．内切
B ．外切
C ．相交
D ．外离
【解答】在30°的直角三角形ACD 中，因为CD ＝1，则AC ＝2，AD =√3， 在等腰直角三角形BCD 中，求得BD ＝CD ＝1，则AB =√3?1， 因为⊙A 的半径﹣⊙B 的半径=√3?1＝AB ， 所以两圆内切． 故选：A ．
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：（﹣x 3y ）2＝ ． 【解答】（﹣x 3y ）2＝x 6y 2， 故答案为：x 6y 2．
8．已知f （x ）＝x 2﹣1，那么f （﹣1）＝ ． 【解答】当x ＝﹣1时，f （﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0． 故答案为：0．
9.分解因式：223m m +-=_______． 【答案】()()31m m +- 【分析】
根据十字相乘法分解因式即可．
【详解】根据十字相乘法分解因式可得：223m m +-=()()31m m +- 【点睛】本题考查因式分解，掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 10.方程组22
20
5
x y x y -=??
+=?的解是_______． 【答案】12x y =??=?
或1
2x y =-??=-?
【分析】
先将y 用含x 的式子表示，再代入解一元二次方程即可． 【详解】22
205x y x y -=??
+=?
①
② 由①得：2y x =③
将③代入②得：()2
225x x += 解得：1x =± ，将1x =±代入③得：
2y =±
∴12x y =??
=?或12
x y =-??=-?
故答案为：12x y =??=?
或1
2x y =-??=-?
【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，掌握代入消元是解题关键．
11．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是 ．
【解答】∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果， ∴掷的点数大于4的概率为2
6
=1
3，
故答案为：1
3
．
12．用1块A 型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B 型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A 、B 两种型号的钢板共 块．
【解答】设需用A 型钢板x 块，B 型钢板y 块， 依题意，得：{
4x +3y =37①
x +2y =18②
，
（①+②）÷5，得：x +y ＝11． 故答案为：11．
13．碚碚用新买的50元5G 电话卡打长途电话，按通话时间3分钟内收1.2元，3分钟后每超过1分钟加收0.3元钱的方式缴纳话费．若通话时间为t 分钟（t 大于等于3分钟），那么电话费用w （元）与时间t （分钟）的关系式可以表示为 ． 【解答】由题意得：w ＝1.2+0.3（t ﹣3）＝0.3t +0.3（t ≥3）． 故答案为：w ＝0.3t +0.3（t ≥3）．
14．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克．
【解答】估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约30050
×100×15%＝90（千克），
故答案为：90．
15.如图，O 的弦AB 和直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ，已知AB=8，CE=2，那么O
的半径长是______．
【分析】
连接OB ，设半径为r ，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】
如图：连接OB
∵CD 平分AB ，=8AB ∴4AE BE == 设半径为r ∵2CE = ∴2OE r =-
在Rt OEB ?中：()2
2224r r =-+ 解得：=5r
故答案为：5
【点睛】本题考查了勾股定理，转化相关线段之间的关系是解题关键．
16．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，如果AC →
=x →
，那么CD →
= （用x →
表示）．
【解答】在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝60°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴∠A ＝∠ABD ， ∴AD ＝BD ，DB ＝2DC ， ∴AD ＝2DC ， ∴CD =1
3AC ， ∴CD →
=?13x →
， 故答案为?13x →
．
17．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点．将△ABE 沿直线BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么∠EDF 的正切值是 ．
【解答】如图所示，由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB =1
2∠AEF ， ∵正方形ABCD 中，E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE =12AD =1
2AB ，
∴DE ＝FE ， ∴∠EDF ＝∠EFD ，
又∵∠AEF 是△DEF 的外角， ∴∠AEF ＝∠EDF +∠EFD ， ∴∠EDF =12
∠AEF ， ∴∠AEB ＝∠EDF ，
∴tan ∠EDF ＝tan ∠AEB =AB
AE =2． 故答案为：2．
18.如图，在ABCD 中，AD=3，AB=5，4
sin 5
A =
，将ABCD 绕着点B 顺时针旋转()090θθ?<
______．
【分析】作'A C BC ⊥，连接'A B 与DC 交于G ,作'CH A B ⊥于H ,得出HBC A ∠=∠,从而得出G 为'A B 的中点，从而转化相关线段关系即可．
【详解】
如图：作'A C BC ⊥，连接'A B 与DC 交于G ,作'CH A B ⊥于H ∵43,5,sin 5
AD AB A ===
∴'
3,5BC BA ==
∴''
44,sin 5
AC A BC =∠=
∴'A BC A GCB ∠=∠=∠ ∴'
52
AG GC GB ===
在'
Rt A BC ?中，根据等面积法得出：''12
5
AC BC CH A B =
=
∴710GH ==
∴7
710cos 5252
HGC ∠== 又∵'HGC ABA θ∠=∠=∠ ∴7cos 25
θ=
故答案为：
725
【点睛】本题考查了旋转与直角三角形相关的知识，掌握相关的角度转化和线段之间的关系是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分78分） 19
．（本题满分10分）
计算：1
16tan 60|23-??
+-
???
【解答】原式＝321+= 20．（本题满分10分）
解不等式组：()324
7133x x x
x ?-->--?
?
---≤??
，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】
将不等式分别求解，再找出公共部分即可．
【详解】()3247133x x x
x ?-->--?
?---≤??
①② 由①得：364x x -+>--，解得：5x < 由②得：371x x --≤-，解得：4x ≥-
∴不等式的解集为：45x -≤<，在数轴上表示为：
【点睛】本题考查不等式组的解法，掌握不等式组的解法以及公共部分的寻找是解题关键． 21．（本题满分10分，每小题满分各5分）
如图，已知经过点M （1，4）的直线y ＝kx +b （k ≠0）与直线y ＝2x ﹣3平行． （1）求k ，b 的值；
（2）若直线y ＝2x ﹣3与x 轴交于点A ，直线y ＝kx +b 交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，求△MAC 的面积．
【解答】（1）∵直线y ＝kx +b （k ≠0）与直线y ＝2x ﹣3平行， ∴k ＝2，
∵直线y ＝2x +b 经过点M （1，4），∴2×1+b ＝4， ∴b ＝2．∴k ＝2，b ＝2；
（2）连接AC ，AM ，在直线y ＝2x ﹣3中，
当y ＝0时，2x ﹣3＝0，解得x ＝1.5，∴点A 坐标是（1.5，0） 在y ＝2x +2中，当y ＝0时，2x +2＝0，解得x ＝﹣1， 当x ＝0时，y ＝2，
∴点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，2）．∴AB＝OA+OB＝1.5+|﹣1|＝2.5，
∴S△MAC＝S△AMB﹣S△ABC=1
2
×2.5×4?12×2.5×2＝2.5．
22．（本题满分10分）
学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？
【分析】设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据数量=总价÷单价结合用10000元购买科普类图书比用9000元购买文学类图书数量少100本，可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，
根据题意得：100009000
100
5
x x
=-
-
，化简得x2+5x-500=0，
解得：x=20或x=-25（舍去），
经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意．
答：科普类图书平均每本的价格为20元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及解一元二次方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.已知：△ABC，AC
AB=，∠BAC=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF.
（1）如图6-1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ； （2）如图6-2，当∠EDF =45°时，求证：.CF
BE
DF DE =22
证明：（1）联结AD （如图6-1）.在Rt △ABC 中，∵?=∠90BAC ，CD BD =，
∴AD BD =,BC AD ⊥，?=∠=∠45CAD BAD . ····································································· 1分 在△ABC 中，∵AC AB =，∴C B ∠=∠. ·················································································· 1分 ∵?=∠90BAC ，∴?=∠+∠90C B .∴?=∠=∠45C B .
又∵?=∠45CAD ，∴CAD B ∠=∠. ··················································································· 1分 ∵?=∠+∠90ADE BDE ，?=∠+∠90ADE ADF ，∴ADF BDE ∠=∠. ······························· 1分 在△BDE 和△ADF 中，∵CAD B ∠=∠,AD BD =,ADF BDE ∠=∠,
∴△BDE ≌△ADF . ············································································································· 1分 ∴AF BE =. ······················································································································· 1分
（2）∵EDF BDE BDF ∠+∠=∠，CFD C BDF ∠+∠=∠，
∴=∠+∠EDF BDE CFD C ∠+∠.又∵?=∠=∠45EDF C ，∴=∠BDE CFD ∠. ·············· 1分 又∵C B ∠=∠，∴△BDE ∽△CFD . ··················································································· 1分 ∴DF
DE
CF BD CD BE =
=. ··········································································································· 2分 ∴
2
)(DF
DE CF BD CD BE =?. ·
········································································································ 1分 又∵CD BD =，∴.22CF
BE DF DE = ·
························································································ 1分 方法2. 如图6-2，联结AD ，过点D 作AB DG ⊥，AC DH ⊥，垂足分别为G 、H .
证出△BDE ∽△CFD ，累计得到 ·························································································· 2分 ∴.S S DF DE CFD
BDE
△△=22 ··············································································································· 1分 写出
DH CF DG BE DH CF DG
BE S S CFD
BDE ??=??=2
121
△△. ················································································ 1分
证出DH DG =， ··············································································································· 1分 ∴.2
2CF BE DF
DE = ··················································································································· 1分 24.如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2
y x bx 经过点A (2，0)．直线1
22
y x =
-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）将抛物线2y x bx 向右平移，
使平移后的抛物线经过点B ，求平移后抛物线的表达式； （3）将抛物线2
y
x bx 向下平移，使平移后的抛物线交y 轴于点D ，交线段BC 于点P 、Q ，
（点P 在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M ，如果DP ∥x 轴，求∠MCP 的正弦值．
解：（1）由题意，抛物线2
y x bx 经过点A (2，0)，
得042b ， 解得 2b
·
··················································································· （2分） ∴抛物线的表达式是22y x x =-. ···················································································· （1分） 它的顶点C 的坐标是（1，-1）. ························································································· （1分） （2）∵直线1
22
y x =
-与x 轴交于点B ， ∴点B 的坐标是(4，0) . ·
··························· （1分） xOy B
C
A x
y
o
①将抛物线22y x x =-向右平移2个单位，使得点A 与点B 重合，
此时平移后的抛物线表达式是2
31（）y x =--.
································································· （2分） ②将抛物线22y x x =-向右平移4个单位，使得点O 与点B 重合，
此时平移后的抛物线表达式是251（）y x =--.
································································· （1分） （3）设向下平移后的抛物线表达式是：22y x x n =-+，得点D （0，n ）. ∵DP ∥x 轴，∴点D 、P 关于抛物线的对称轴直线1x 对称，∴P （2，n ）.
∵点P 在直线BC 上，∴12212
n =?-=-.
∴平移后的抛物线表达式是：222y x x =--. ································································· （2分） ∴新抛物线的顶点M 的坐标是（1，-2）. ········································································ （1分） ∴MC //OB ，∴∠MCP =∠OBC ． 在Rt △OBC 中，sin OC
OBC BC
， 由题意得：OC =2，25BC ， ∴5sin sin 25
MCP
OBC
. ·············································································· （1分）
即∠MCP 25.如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，cosC ＝，DC ＝5，BC ＝6，以点B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边CD 、BC 于点E 、F ．
（1）求sin ∠BDC 的值；
（2）联结BE ，设点G 为射线DB 上一动点，如果△ADG 相似于△BEC ，求DG 的长； （3）如图2，点P 、Q 分别为边AD 、BC 上动点，将扇形DBF 沿着直线PQ 折叠，折叠后的弧D'F'经过点B 与AB 上的一点H （点D 、F 分别对应点D'，F'），设BH ＝x ，BQ ＝y ，求y 关
于x的函数关系式（不需要写定义域）．
【分析】（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．想办法求出BJ，BD即可解决问题．
（2）分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题．
解：（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．
在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，∴CK＝3，
∵BC＝6，∴BK＝CK＝3，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°
∵DK⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，
∴四边形ABKD是矩形，∴AD＝BK＝3，
∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4，
∵S△DCB＝?BC?DK＝?CD?BJ，∴BJ＝，
∴DJ＝＝＝，
∵BD＝BE，BJ⊥DE，∴DJ＝JE＝，
∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝，∴sin∠BDC＝＝＝．
（2）如图2中，
∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DBC，
∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADG＝∠C，
∵△ADG相似△BEC，∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，
∴＝，∴＝，∴DG＝，
当△ADG∽△ECB时，＝，＝，∴DG＝．
（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．
由题意：QB＝QJ＝y，BJ＝BD＝5，∵JB＝JH，JG⊥BH，∴BG＝GH＝x，
∴JG＝＝，
∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°，∴四边形BGKQ是矩形，
∴BQ＝GK＝y，QK＝GB＝x，
在Rt△QKJ中，∵JQ2＝QK2+KJ2，
∴y2＝x2+（﹣y）2，∴y＝．