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2009年第六届中国东南地区数学奥林匹克试卷

2009年第六届中国东南地区数学奥林匹克试卷
2009年第六届中国东南地区数学奥林匹克试卷

第六届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

(2009年7月28日 上午8:00-12:00) 江西·南昌

1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。

2. 在凸五边形ABCDE 中,已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠,且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明:A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。

3. 设,,x y z R +∈

222(),

(),()x y z y z x z x y =-=-=-。求证:

2222()a b c ab bc ca ++≥++。

4. 在一个圆周上给定十二个红点;求n 的最小值,使得存在以红点为顶点的n 个三角形,满足:以红点为端点的每条弦,都是其中某个三角形的一条边。

第二天

(2009年7月29日 上午8:00-12:00) 江西·南昌

5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x =的集合为A ;X A ?∈,记

1239()239f X x x x x =++++,{()}M f X X A =∈;求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆。证明:过

O 上的任意一点D ,都可以作一个三角形DEF ,使得O 、I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆。

7. 设(2)(2)(2)

(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x

---=

++++++++, 其中,,0x y z ≥ ,且

1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。

8. 在8×8方格表中,最少需要挖去几个小方格,才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块?

答案

1. 设整数对(,)x y 满足方程

22212620090

(1)x xy y -+-=

将其看作关于x 的一元二次方程,其判别式()22441262009y y ?=-?-

22500(4)36y =-+的值应为一完全平方数; 若224y >,则0?<; 若224y <,则2y 可取2220,1,2,3,相应的?值分别为8036、7536、6036和3536,它们皆不为平方数;

因此,仅当224y =时,()2225004366y ?=-+=为完全平方数。

若y = 4,方程(1)化为2870x x -+=, 解得x =1或x =7;

若4y =-,方程(1)化为 2870x x ++=,解得1x =-或7x =-。 综上可知,满足原方程的全部整数对为:()()()()(),1,4,7,4,1,4,7,4x y =----。 2. 必要性:若A 、B 、C 、D 共圆,则由AB =DE 、BC =EA ,得BAC EDA ∠=∠,ACB DAE ∠=∠,所以ABC DEA ∠=∠,故得AC =AD 。 充分性:记BCDE 所共的圆为O ,若AC =AD ,则圆

心O 在CD 的中垂线AH 上,设点B 关于AH 的对称点为F ,则F 在O 上,且因AB EA ≠,即DE DF ≠,所以E 、F 不共点,且AFD ABC ??,又由AB =DE 、BC =EA ,知AED CBA ??,因此,AED DFA ??,故

由AED DFA ∠=∠,得AEFD 共圆,即点A 在DEF 上,

也即点A 在O 上,从而A 、B 、C 、D 共圆。 3.

()()()

()()()()()()

y z z x x y z x x y y z x y y z z x +-=-+--+-=-+--+-=-+-- 所以

[]2

()()()()()()0

y z z x x y y z z x x y +-+-+-=-+++---≤

于是

2222()()

ab bc ca a b c ++-++=+++-+-+-≤

故2222()a b c ab bc ca ++≥++。

4. 设红点集为:{}1212,,,A A A A =,过点1A 的弦有11条,而任一个含顶点1A 的三角形,恰含两条过点1A 的弦,故这11条过点1A 的弦,至少要分布于6个含顶点1A 的三角形中;

同理知,过点(2,3,,12)i A i =的弦,也各要分布于6个含顶点i A 的三角形中,这样就需要12672?=个三角形,而每个三角形有三个顶点,故都被重复计

算了三次,因此至少需要72

243

=个三角形.

再说明,下界24可以被取到.不失一般性,考虑周长为

12的圆周,其十二等分点为红点,以红点为端点的弦共

有21266C =条.若某弦所对的劣弧长为k ,就称该弦的刻

度为k ;于是红端点的弦只有6种刻度,其中,刻度为1、2、…、5的弦各12条,刻度为6的弦共6条;

如果刻度为a 、b 、c (a b c ≤≤)的弦构成三角形的三条边,则必满足以下两条件之一:或者a +b =c ;或者a +b +c =12; 于是红点三角形边长的刻度组(),,a b c 只有如下12种可能:(1, 1, 2)、(2, 2, 4)、(3, 3, 6)、(2, 5, 5)、(1, 2, 3)、(1, 3, 4)、(1, 4, 5)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)、(2, 4, 6)、(3, 4, 5)、(4, 4, 4);

下面是刻度组的一种搭配:取(1, 2, 3)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)型各六个,(4, 4, 4)型四个;这时恰好得到66条弦,且其中含刻度为1、2、…、5的弦各12条,刻度为6的弦共6条;

今构造如下:先作(1, 2, 3)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)型的三角形各六个,(4, 4, 4)型的三角形三个,再用三个(2, 4, 6)型的三角形来补充.

(1, 2, 3)型六个:其顶点标号为:{2, 3, 5}、{4, 5, 7}、{6, 7, 9}、{8, 9, 11}、{10 ,11, 1}、{12, 1, 3};

(1, 5, 6)型六个:其顶点标号为:{1, 2, 7}、{3, 4, 9}、{5, 6, 11}、{7, 8, 1}、{9, 10 ,3}、{11, 12, 5};

(2, 3, 5)型六个:其顶点标号为:{2, 4, 11}、{4, 6, 1}、{6, 8, 3}、{8, 10, 5}、{10 ,12, 7}、{12, 2, 9};

(4, 4, 4)型三个:其顶点标号为:{1, 5, 9}、{2, 6, 10}、{3, 7, 11}; (2, 4, 6)型三个:其顶点标号为:{4, 6, 12}、{8, 10, 4}、{12, 2, 8}。

(每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得)。 这样共得到24个三角形,且满足本题条件,因此,n 的最小值为24。 5. 我们一般地证明,若4n ≥,对于前n 个正整数1、2、…、n 的所有排列12(,,,)n n X x x x =构成的集合A ,若123()23n n f X x x x nx =++++,

{()}n M f X X A =∈,则36

6

n n n M -+=

下面用数学归纳法证明:

(1)(2)(1)(2)

(1)(21),1,,666n n n n n n n n n n M ++++++??=+????

当n=4时,由排序不等式知,集合M 中的最小元素是{}()4,3,2,120f =,最大元素是{}()1,2,3,430f =。

又 {}(){}(){}()3,4,2,121,3,4,1,222,4,2,1,323f f f ===,

{}(){}(){}(){}()3,2,4,124,2,4,1,325,1,4,3,226,1,4,2,327f f f f ====, {}(){}()2,1,4,328,1,2,4,329f f ==

所以 {}420,21,,30M =共有11=3446

6

-+个元素。因此n=4时命题成立。

假设命题在1n -(5n ≥)时成立;考虑命题在n 时的情况.对于1、2、…、1n -的任一排列1121(,,,)n n X x x x --=,恒取n x n =,得到1、2、…、n 的一个排列

121,,

,,n x x x n -,则1

2

1

1

n

n k k k k kx n kx -===+∑∑。由归纳假设知,此时1

n

k k kx =∑取遍区间

2

22(1)(1)(1)(21)(5)(1)(21),,6666n n n n n n n n n n n n n ??

-+--+++??++=????????

上所有整数。再令1n x =,则

11

1

1111

(1)(1)(1)(1)22n n n n k k k k k k k k n n n n kx n kx n k x k x ---====-+=+=+-+=+-∑∑∑∑ 再由归纳假设知,1

n

k k kx =∑取遍区间

2

(1)(1)(1)(1)(1)(21)(1)(2)2(2),,262666n n n n n n n n n n n n n n n ??

+-++--+++??++=????????

上的所有整数。因为222(2)(5)

66n n n n ++≥

,所以,1

n

k k kx =∑取遍区间(1)(2)(1)(21),66n n n n n n ++++??

????

上的所有整数,即命题对n 也成立.由数学归纳法知,命题成立。由于3(1)(21)(1)(2)6

666

n n n n n n n n ++++-+-=

,从而,集合n M 的元素个数为36

6

n n -+.特别是,当n =9时,9121M M ==.

6. 如图,设OI =d ,R 、r 分别是ABC ?的外接圆和内切圆

半径,延长AI 交O 于K ,则2sin 2

A

KI KB R ==,

sin 2

r

AI A =

,延长OI 交O 于M 、N ;则()()2R d R d IM IN AI KI Rr +-=?=?=,即222R d Rr -=;

过D 分别作I 的切线DE 、DF ,E 、F 在O 上,连EF ,则DI 平分EDF ∠,只要证,EF 也与I 相切;

设DI O P =,则P 是EF 的中点,连PE ,则2sin 2

D P

E R =,sin

2

r

DI D =,

()()22ID IP IM IN R d R d R d ?=?=+-=-,所以

2222sin 2sin 22

R d R d D D PI R PE DI r --==?==

由于I 在角D 的平分在线,因此点I 是DEF ?的内心

(这是由于,()()00

11180180222

D E PEI PIE P F +∠=∠=-∠=-∠=,而

2D PEF ∠=,所以2

E

FEI ∠=,点I 是DEF ?的内心。)

即弦EF 与I 相切.

7. 先证1,7f ≤当且仅当1

3

x y z ===时等号成立。

(31)12(*)1313x x y x f x y x y +-=∑=-∑++++

由哥西不等式:2()1

13(13)(13)

x x x y x x y x x y ∑∑≥=++∑++∑++

因为7

(13)(24)23

x x y x x y z xy ∑++=∑++=+∑≤,从而

max 3137

31

12771,

7

x x y f f ∑≥++≤-?==

当且仅当1

3

x y z ===时等号成立。

再证0f ≥当1,0x y z ===时等号成立。事实上,

(2)(2)(2)

(,,)1313132121

()()1313131321

()

1313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x

xy xz x y y z z x x y

yz y z z x ---=

++

++++++=-+-+++++++++-++++

7770(13)(13)(13)(13)(13)(13)xyz xyz xyz

x y y z z x x y y z z x =++≥++++++++++++ 故min 0f =,当1,0x y z ===时等号成立。 【另证】

设{}min ,,z x y z =,若z =0则22(,,0)0

131242xy xy xy xy

f x y x y y x y x y

=-=-=+++++下设,0x y z ≥>,由(*)式,要证0f ≥,只要证

1

(1)132x x y ≤++∑

注意到12242x y

x y x y

=+

++,于是(1)等价于 ()()

1324132138()241313z x x y y

z x x y x y x y y z

z x y x y x y y z

≤-+-++++++++=++++++

248(2)131313x y x y

z x x y y z

+≤+++++++

而由柯西不等式,可得

22

2

2

28(2)(13)

1313(13)2

(2)332

2413x y x y y y z x y y z x x y x y y y yz

x x xy x y z x

+=+

+++++++++≥+++++

+=

++ 即(2)成立,从而0f ≥,故min 0f =,当1,0x y z ===时等号成立。 8. 至少要如下图挖去14个小方格.

如右图,将8×8棋盘切为五个区域。

中央部份的区域至少要挖去2个小方格才能使T 形的五方块放不进去。二个打叉的位置是不等同的位置,一个是在

T 3个小方格才能使T

证明:以右上角的区域为例,下方T 部份必需挖去1个小方格,上方部份必需挖去打叉的位置的1个小方格。

下方

T 部份挖去的1个小方格有五种情况,但无论如何均可再置入一片T 形的五方块, 因此至少要挖去3个小方格。

综合所有区域,对于T 型五方块至少要挖去3×4+2=14个小方格。

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分不是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分不为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分不为M ,N . 〔1〕假设A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:EM FN EN FM ?=?; 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?,是否一定有A ,B ,C ,D 四点共圆?证明你的结论. 解〔1〕设Q ,R 分不是OB ,OC 的中点,连接 EQ ,MQ ,FR ,MR ,那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====, 又OQMR 是平行四边形,因此 OQM ORM ∠=∠, 由题设A ,B ,C ,D 四点共圆,因此 ABD ACD ∠=∠, 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠, 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 故 EQM MRF ???, 因此 EM =FM , 同理可得 EN =FN , 因此 EM FN EN FM ?=?. 〔2〕答案是否定的. 当AD ∥BC 时,由于B C ∠≠∠,因此A ,B ,C ,D 四点不共圆,但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?,证明如下: 如图2所示,设S ,Q 分不是OA ,OB 的中点,连接ES ,EQ ,MQ ,NS ,那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==, C B

因此 NS OD EQ OB =.①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==,因此 ES OA MQ OC =.② 而AD∥BC,因此 OA OD OC OB =,③ 由①,②,③得NS ES EQ MQ =. 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠, ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠, 即NSE EQM ∠=∠, 因此NSE ?~EQM ?, 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕.同理可得, FN OA FM OC =, 因此EN FN EM FM =, 从而EM FN EN FM ?=?. C B

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32,求证:3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n,将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘(由n行n列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立,求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点,F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点,过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证:CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有 一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进

第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答

第十届东南数学奥林匹克解答 第一天 (2013年7月27日 上午8:00-12:00) 江西 鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根.求32331 a a b a b -++的 最小值. (杨晓鸣提供) 解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ,则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==, 故0,0a b >>. 由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知:23a b ≥. 又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述,所求的最小值为. 2. 如图,在ABC ?中,AB AC >,内切圆I 与BC 边切于点D ,AD 交内切圆I 于另一点E ,圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ,CF 平行PE 交AD 于点 F ,直线BF 交圆I 于点,M N ,点M 在线段BF 上,线段PM 与圆I 交于另一 点Q .证明:ENP ENQ ∠=∠. (张鹏程提供) 证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ,设ST 与AI 交 于点G ,则,I T A T T G A I ⊥⊥,从而有2AG AI AT AD AE ?==?,所以,,,I G E D 四点共圆. 又,IE PE ID PD ⊥⊥,所以,,,I E P D 四点共圆,从而,,,,I G E P D 五点共圆. 所以90IGP IEP ∠=∠=,即IG PG ⊥ ,

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题 (9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分 一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分) 1.定义在实数集R 上的函数y =f(-x)的反函数是y =f -1(-x),则 (A)y =f(x)是奇函数 (B)y =f(x)是偶函数 (C)y =f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y =f(x)既不是奇函数,也不是偶函数 2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如右图所示。记N =|a +b +c|+|2a -b|,M =|a -b +c| +|2a +b|,则 (A)M >N (B)M =N (C)M <N (D)M 、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异 面的正方体的棱的条数是 (A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA +sinB)(cosA +cosB)=2sinC ,则 (A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.ΔABC 中,∠C =90°。若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2+px +q =0的两个根,则下列关 系中正确的是 (A)p =q 21+±且q >21- (B)p =q 21+且q >2 1- (C)p =-q 21+且q >21- (D)p =-q 21+且0<q ≤2 1 6.已知A (-7,0)、B (7,0)、C (2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为C ,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分 二、填空题(本大题共6个小题,每小题6分,满分36分) 7. 满足条件{1,2,3}? X ?{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为____。 8. 函数a |a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是____。 9. 在如图所示的六块土地上,种上甲或乙两种蔬菜(可只种其中一种,也可两种都种),要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜,则种蔬菜的方案数共有____种。 10. 定义在R 上的函数y =f(x),它具有下述性质: (i)对任何x ∈R ,都有f(x 3)=f 3(x), (ii)对任何x 1、x 2∈R ,x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2),

2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题

首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题 第一天 (2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州) 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ,求证:39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF , 求证:DM=DN 三、(1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 (2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 (2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州) 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立,求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证:CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛,球n 的最大值。 注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++,且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组(,,,x y z u )的个数。

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析

1.求最大的实数k ,使得对任意正数a ,b ,均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥. 2.如图,两圆1Γ,2Γ交于A ,B 两点,C ,D 为1Γ上两点,E ,F 为2Γ上两点,满足A ,B 分别在线段CE ,DF 内,且线段CE ,DF 不相交.设CF 与1Γ,2Γ分别交于点()K C ≠,()L F ≠,DE 与1Γ,2Γ分别交于点()M D ≠,()N E ≠. 证明:若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切,则这两个外接圆的半径相等. 3.函数**:f →N N 满足:对任意正整数a ,b ,均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ;使得()1f k =?证明你的结论. 4.将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置,然后去掉其四个角上的任意一个小方格,剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”,或“八一旌旗”,简称为“旌旗”,如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖,问共有多少种不同的覆盖方案?说明理由.

5.称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集,若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除.用x ,y 分别表示S 的红色的四元子集的个数,红色的五元子集的个数.试比较x ,y 的大小,并说明理由. 6.设a ,b ,c 为给定的三角形的三边长.若正实数x ,y ,y 满足1x y z ++=,求axy byz czx ++的最大值. 7.设ABCD 为平面内给定的凸四边形.证明:存在一条直线上的四个不同的点P ,Q ,R ,S 和一个正方形A B C D '''',使得点P 在直线AB 与A B ''上,点Q 在直线BC 与B C ''上,点R 在直线CD 与C D ''上,点S 在直线DA 与D A ''上. 8.对于正整数1x >,定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且,其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数,并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =. 今给定正整数m .设正整数数列1a ,2a ,,n a ,满足:对任意整数n m >,()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++. (1)证明:存在常数A ,B ()01A <<, 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时,必有()f x Ax B <+; (2)证明:存在正整数Q ,使得对所有*n ∈N ,n a Q <. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1.原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边,左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数,那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可.

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 (2006年7月27日, 8:00-12:00, 南昌) 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++.证明:存在唯一的正数x ,使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=. 二、 如图所示,在△ABC 中,90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点,连接BD ,BG 。过点A ,G 分别作BD 的垂线,垂足分别为E ,F ,连接CF 。若BE =EF ,求证:ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张,其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张,标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ,其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”,并且A 与2也算是顺牌(即A 可以当成1使用). 试确定,从这副牌中取出13张牌,使每种标号的牌都出现,并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ,设n a 是方程3 1x x n +=的实数根,求证: (1) 1n n a a +>; (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 (2006年7月28日, 8:00-12:00, 南昌) 五、 如图,在ABC ?中,60A ∠=?,ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ,直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ,证明:1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ,使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ,b ,c ,都有333222(61m a b c a b c ++≥+++) ()。 七、 (1)求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 (2)对于给定的整数k >1,证明:不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A

最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题 1.(保加利亚) 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ,直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点,直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ,直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证:AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一:*设AM 交直线XY 于点Q ,而DN 交直线XY 于点Q ′(如图95-1,注意:这里只画出了点P 在线段XY 上的情形,其他情况可类似证明)。须证:Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴,故XY ⊥AD ,而AC 为直径,所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而,Q ,M ,Z ,B 四点共圆。 同理Q ′,N ,Z ,B 四点共圆。 这样,利用圆幂定理,可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY , Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以,QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧,从而,Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2,以XY 为弦的任意圆O , 只需证明当P 确定时,S 也确定。 证法二:设X (0,m ),P (0,y 0), ∠PCA=α, m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α, 则.0 2 αtg y m x A -= 因此,AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=

令0 2,0y m y x s ==得,即点S 的位置取决于点P 的位置,与⊙O 无关,所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2.(俄罗斯)设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证: .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一:**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a , 有.0=++γβα于是, ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料:陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一,还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法?—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题,我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证: .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ (第6届IMO 试题) 证明 不失一般性,设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

2009第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答

第六届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 (2009年7月28日 上午8:00-12:00) 江西·南昌 1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。 2. 在凸五边形ABCDE 中,已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠,且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明:A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。 3. 设,,x y z R +∈,222(), (), ()a x y z b y z x c z x y =-=-=-。求证: 2222()a b c ab bc ca ++≥++。 4. 在一个圆周上给定十二个红点;求n 的最小值,使得存在以红点为顶点的n 个三角形,满足:以红点为端点的每条弦,都是其中某个三角形的一条边。 第二天 (2009年7月29日 上午8:00-12:00) 江西·南昌 5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ;X A ?∈,记 1239()239f X x x x x =++++ ,{()}M f X X A =∈;求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆。证明:过O 上的任意一点D ,都可以作一个三角形DEF ,使得O 、I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆。 7. 设(2)(2)(2) (,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x ---= ++++++++, 其中,,0x y z ≥ ,且 1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。 8. 在8×8方格表中,最少需要挖去几个小方格,才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块? F E I O B C A D

首届中国东南地区数学奥林匹克(有答案)

首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 (2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州) 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ,求证:39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF , 求证:DM=DN 三、(1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 (2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 (2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州) 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立,求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证:CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛,球n 的最大值。 注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++,且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组(,,,x y z u )的个数。

2018年第十五届东南地区数学奥林匹克试题

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建,泉州 第一天(2018年7月30日8:00-12:00) 高一年级试卷 1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ? ?+++≥???? .求c 的取值范围.这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者. 2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点.在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多?请证明你的结论. 3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥.过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =.若直线AO 平分线段DE .证明:直线AO 与AMP △的外接圆相切. 4. 是否存在集合*A N ?,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ?恰含有一个元素?证明你的结论.

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建,泉州 第二天(2018年7月31日8:00-12:00) 高一年级试卷 5. 设{}n a 为非负实数列.定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =??=???? ∑,1,2, k =.证明:对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X ?==≤? ≤∑∑.这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数. 6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F .点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K .证明:直线BK 平分线段EF . 7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手.会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人.一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合.求这24个人中朋友圈个数的最小可能值. 8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+?+? ?+.证明:存在无穷多个正整数l ,使得55 m l l A 且515m l +不整除l A .并求出满足条件的l 的最小值.

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数,求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分,过各分点平行于其它两边的直线,将 这三角形分成小三角形,和小三角形的顶点都称为结点,在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中,两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛,每两名选手都进行一场比赛,每场比赛一定决出胜负,通过比赛确 定优秀选手,选手A被确定为优秀选手的条件是:对任何其它选手B,或者A胜B,或者存在选手C,C胜B,A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名,求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部,任意放五个点,试证:在此正三角形内,一定可 以作三个正三角形盖住这五个点,这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边,并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体,S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球,它们 两两相切。如果存在一点O,以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切,还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切,求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有这样的m 与n,问3m+4的最大值是多少?请证明你的结论。

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题

第十六届中国东南地区数学奥林匹克 1. 求最大的实数k ,使得对任意正数a ,b ,均有()()()2 11a b ab b kab +++≥. 2. 如图,两圆1P ,2P 交于A ,B 两点,C ,D 为1P 上两点,E ,F 为2P 上两点,满足A ,B 分别在线段CE ,DF 内,且线段CE ,DF 不相交.设CF 与1P ,2P 分别交于点()K C ≠,()L F ≠,DE 与1P ,2P 分别交于点()M D ≠,()N E ≠. 证明:若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切,则这两个外接圆的半径相等. 3. 函数:f N N **→满足:对任意正整数a ,b 均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ;使得()1f k =?证明你的结论. 4. 将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置,然后去掉其四个角上的任意一个小方格,剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”,或“八一旌旗”,简称为“旌旗”,如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖,问共有多少种不同的覆盖方案?说明理由. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西g 吉安 高二年级 第一天

2019年7月30日 上午8:00-12:00 1. 对任意实数a ,用[]a 表示不超过a 的最大整数,记{}[] a a a =-.是否存在正整数m ,n 及1n +个实数0x ,1x ,…,n x ,使得0428x =,1928n x =, 110105k k k x x x m +????=++???????? (0k =,1,…,1n -)成立?证明你的结论. 2. 如图,在平行四边形中ABCD ,90BAD ∠≠?,以B 为圆心,BA 为半径的圆与AB ,CB 的延长线分别相交于点E ,F ,以D 为圆心,DA 为半径的圆与AD ,CD 的延长线分别相交于点M ,N ,直线EN ,FM 相交于点G ,直线AG ,ME 相交于点T ,直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠,直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明:G ,P ,T ,Q 四点共圆. 3. 今有n 人排成一行,自左至右按1,2,…,n 的顺序报数,凡序号为平方数者退出队伍;剩下的人自左至右再次按1,2,3,…的顺序重新报数,凡序号为平方数者退出队伍;如此继续.在此过程中,每个人都将先后从队伍中退出. 用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示);特别地,给出()2019f 的值. 4. 在55?矩阵X 中,每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(,,…,).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组): (,1i x ,,2i x ,...,,5i x ),(,5i x ,,4i x ,...,,1i x ,)(1i =,2, (5) (1,j x ,2,j x ,...,5,j x ),(5,j x ,4,j x ,...,1,j x )(1j =,2, (5) (1,1x ,2,2x ,…,5,5x ,),(5,5x ,4,4x ,…,1,1x ), (1,5x ,2,4x ,…,5,1x ),(5,1x ,4,2x ,…,1,5x ). 若这些数组两两不同,求矩阵X 中所有元素之和的可能值.

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ,求证: () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑. 证明 只需对任意1k n ≤≤,证明不等式成立即可. 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ,则 k k a a =, 1k k k a a d +=-,2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L , 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L , 把上面这n 个等式相加,并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L . 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑, 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑. 二、正整数122006,,,a a a L (可以有相同的)使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15:30——19:30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中,连续多年取得很好的成绩,这项竞赛是高中程度,不 包括微积分,但题目需要思考,我相信我是考不过这些小孩子的,因此有人觉得,好的数学家未必长于这种考试,竞赛胜利者也未必是将来的数学家,这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的;匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a >0,函数 f : (0,+∞) → R 满足f (a )=1.如果对任意正实数x ,y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ,①求证: f (x )为常数. 证明: 在①中令x =y =1,得 f 2(1)+f 2(a )=2 f (1), (f (1)-1)2 =0, ∴ f (1)=1。 在①中令y =1,得 f (x )f (1)+f (a x )f (a )=2 f (x ), f (x )=f ( a x ),x >0。 ② 在①中取y =a x ,得 f (x )f (a x )+f (a x )f (x )=2 f (a ), f (x )f ( a x )=1。 ③ 由②,③得:f 2(x )=1,x >0。 在①中取x =y ,得 f 2 )+f 2 )=2 f (t ), ∴ f (t )>0。 故f (x )=1,x >0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点.△OAD ,△OBC 的外接圆交于O ,M 两点,直线 OM 分别交△OAB ,△OCD 的外接圆于T ,S 两点.求证:M 是线段TS 的中点. 证法1: 如图,连接BT ,CS ,MA ,MB ,MC ,MD 。 ∵ ∠BTO =∠BAO ,∠BCO =∠BMO ,

2005年第2届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第2届中国东南地区数学奥林匹克 第1天 (2005年7月13日8:00~12:00 福州) 1 (1)设a R ∈,求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点,且顶点都 落在一条抛物在线。 (2)若关于x 的方程()22210x a x a ++-+=有两个不等实根,求其较大根的取 值范围。 2 如图,圆O (圆心为O )与直线l 相离,作OP l ⊥,P 为垂足。设点Q 是l 上任意一点(不与点P 重合),过点Q 作圆O 的两条切线QA 和QB ,A 和B 为切点,AB 与OP 相交于点K 。过点P 作PM QB ⊥,PN QA ⊥,M 和N 为垂足。求证:直线MN 平分线段KP 。 3 设n 是正整数,集合{1,2,3,,2}M n = 。求最小的正整数k ,使得对于M 的任何一 个k 元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于4n +1。 4 试求满足2222005a b c ++=,且a b c ≤≤的所有三元正整数组(a , b , c )。 第2天 (2005年7月14日8:00~12:00福州) 5 已知直线l 与单位圆S 相切于点P ,点A 与圆S 在l 的同侧,且A 到l 的距离为h (h >2),从点A 作S 的两条切线,分别与l 交于B , C 两点。求线段PB 与线段PC 的长度之乘积。 6 将数集12{,,...,}n A a a a =中所有元素的算术平均值记为()P A , (12...()n a a a P A n +++=)。若B 是A 的非空子集,且()()P B P A =,则称B 是A 的一个“均衡子集”。试求数集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =的所有“均衡子集”的个数。 7 (1)讨论关于x 的方程|1||2||3|x x x a +++++=的根的个数。 (2)设12,,...,n a a a 为等差数列,且12n a a a ++???+=1211a a ++++???+1n a += 12222507n a a a -+-+???+-=求项数n 的最大值。 8 设0,,2 π αβγ<< ,且3 3 3 s i n s i n s i n 1αβγ+ += , 求证:2 2 2 tan tan tan 2 αβγ++≥

历届数学奥林匹克参赛名单

1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计 国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad,简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。 我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年,当时仅派两名学生,并且成绩一般。我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。 2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔(Mar del Plata , Argentina)举行。入选国家队的六名学生是:(按选拔成绩排名) 陈景文(中国人民大学附属中学)、吴昊(辽宁师范大学附属中学)、左浩(华中师范大学第一附属中学)、 佘毅阳(上海中学)、刘宇韬(上海中学)、王昊宇(武钢三中) --------------------------------------------------------- 历届IMO的主办国,总分冠军及参赛国(地区)数为: 年份届次东道主总分冠军参赛国家(地区)数 1959 1 罗马尼亚罗马尼亚7 1960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克5 1961 3 匈牙利匈牙利 6 1962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利7 1963 5 波兰前苏联8 1964 6 前苏联前苏联9 1965 7 前东德前苏联8 1966 8 保加利亚前苏联9 1967 9 前南斯拉夫前苏联13 1968 10 前苏联前东德12 1969 11 罗马尼亚匈牙利14 1970 12 匈牙利匈牙利14 1971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利15 1972 14 波兰前苏联14 1973 15 前苏联前苏联16 1974 16 前东德前苏联18 1975 17 保加利亚匈牙利17 1976 18 澳大利亚前苏联19

第十六届东南地区数学奥林匹克(高二年级)

第一天 1.对任意实数a ,用[a ]表示不超过a 的最大整数,记{a }=a ?[a ]. 是否存在正整数m,n 及n +1个实数x 0,x 1,...,x n ,使得 x 0=428,x n =1928,x k +110=[x k 10]+m +{x k 5 }(k =0,1,···,n ?1)成立?证明你的结论. 2.如图,在平行四边形ABCD 中,∠BAD =90?,以B 为圆心,BA 为半径的圆与AB ,CB 的延长线分别相交于点E,F ,以D 为圆心,DA 为半径的圆与AD,CD 的延长线交于点M,N ,直线EN,F M 相交于点G ,直线AG,ME 相交于点T ,直线EN 与圆D 相交于点P (=N ),直线MF 与圆B 相交于点Q (=F ),证明:G,P,T,Q 四点共圆. 3.今有n 人排成一行,自左至右按1,2,···,n 的顺序报数,凡序号为平方数者退出队伍;剩下的人自左至右再按1,2,3,···的顺序重新报数,凡序号为平方数者退出队伍;如此继续.在此过程中,每个人都将先后从队伍中退出. 用f (n )表示最后一个退出队伍的人在最初报数是的序号.求f (n )的表达式(用n 表示);特别地,给出f (2019)的值. 4.在5×5矩阵X 中,每个元素为0或1.用x i,j 表示X 中第i 行第j 列的元素(i,j =1,2,···,5).考虑X 的所有行、列及对角线上的五元有序数组(共24个数组): (x i,1,x i,2,...,x i,5),(x i,5,x i,4,...,x i,1)(i =1,2, (5) (x 1,j ,x 2,j ,...,x 5,j ),(x 5,j ,x 4,j ,...,x 1,j )(j =1,2, (5) (x 1,1,x 2,2,···,x 5,5),(x 5,5,x 4,4,···,x 1,1) (x 1,5,x 2,4,···,x 5,1),(x 5,1,x 4,2,···,x 1,5) 若这些数组两两不同,求矩阵X 所有元素之和的可能值.

2020年中国高中数学奥林匹克试题与解答 精品

O R Q N M F E D C B A P 2020年中国数学奥林匹克试题与解答 (2020年1月11日) 一、给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分别是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分别为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分别为M ,N . (1)若A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:EM FN EN FM ?=?; (2)若 EM FN EN FM ?=?,是否一定有A ,B ,C ,D 四点共圆?证明你的结论. 解(1)设Q ,R 分别是OB ,OC 的中点,连接EQ ,MQ ,FR ,MR ,则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====, 又OQMR 是平行四边形, 所以OQM ORM ∠=∠, 由题设A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以ABD ACD ∠=∠, 于是22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠, 所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 故 EQM MRF ???, 所以 EM =FM , 同理可得 EN =FN , 所以 EM FN EN FM ?=?. (2)答案是否定的. 当AD ∥BC 时,由于B C ∠≠∠,所以A ,B ,C ,D 四点不共圆,但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?,证明如下: 如图2所示,设S ,Q 分别是OA ,OB 的中点,连接ES ,EQ ,MQ ,NS ,则 11 ,22 NS OD EQ OB ==, 所以 NS OD EQ OB =. ① 又11 ,22 ES OA MQ OC = =,

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