三角形的外角(讲义及答案)
三角形的外角（讲义）
? 课前预习
1. 如图，在△ABC 中，∠A =80°，∠B =40°，则∠A +∠B =______，∠
ACD =________，由此你得到∠A +∠B _______∠ACD （填“>”、“<”或“＝”）．
A
B C D
2. 已知：如图，AB ⊥DC ，DE ⊥AC ，垂足分别为点B ，E ．
求证：∠A =∠D ．
O
B
C
D
12A
E
方法一： 证明：如图，
∵AB ⊥DC ，DE ⊥AC （已知） ∴∠ABC =∠DEC =90° （垂直的定义）
∴∠A +∠C =90°，∠D +∠C =90°（______________________）
∴∠A =∠D （______________________）方法二： 证明：如图，
∵AB ⊥DC ，DE ⊥AC （已知） ∴∠ABD =∠AED =90° （垂直的定义）
∴∠A +∠2=90°，∠D +∠1=90°（______________________） ∵∠1=∠2 （对顶角相等）
∴∠A =∠D （______________________）
? 知识点睛
1. 三角形的__________________组成的角，叫做三角形的外角．
2. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于_______________
_____________________．
已知：如图，∠2是△ABC 的一个外角． 求证：∠2=∠A +∠B ．
A
B
C
D 1
2
证明：如图，
∵∠A +∠B +∠1=180°（___________________________） ∠1+∠2=180° （___________________________） ∴∠2=∠A +∠B （___________________________）
? 精讲精练
1. 如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =60°，∠ACD =35°，∠ABE
=20°，则∠BDC =______，∠BEC
=_______．
2. 已知：如图，在△ABE 中，D 是BE 上一点，C 是AE CD ．若∠BDC =140°，∠B =35°，∠C =25°，求∠A 的度数．
3. 已知：如图，AC ∥ED ，∠C =25°，∠B =35°，则∠E 的度数是（ ）
A ．60°
B ．85°
C ．70°
D ．50°
F E
C
D
B A
E
D C
B
A
4. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角
板的一条直角边重合，则α=______．
α
5. 已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长
线于点G ．若∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =______．
A
F D
B
C
E
G
H
第6题图O
F
E D C B
A
第5题图 第6题图
6. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，BF 平分
∠ABC 交AC 于点F ，AE ，BF 相交于点O ．若∠BAC =50°，∠C =70°，则∠DAC =_____，∠AED =_____，∠BOE =_________．
7. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．
求证：AD ∥BC ．
E
D
A
C
8.已知：如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，
∠E=30°，求△ABC的外角∠ACD的度数．
A
E
C D
解：如图，
∵AB∥CE（__________________________）
∴∠ABE=_______ （__________________________）
∵∠E=30°（__________________________）
∴∠ABE=_______ （__________________________）
∵BE是∠ABC的平分线（______________________）
∴∠ABC=2∠ABE
=2×30°
=60°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）
∴∠ACD=______+______（_____________________）
∵∠A=50°（__________________________）
∴∠ACD=______+______
=_______ （__________________________）
9.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且∠ADE=∠C．
求证：∠AED=2∠EDB．
证明：如图， ∵∠ADE =∠C （____________________________） ∴_____∥_____ （____________________________）
∴∠1=_____ （____________________________） ∵BD 平分∠ABC （____________________________） ∴∠2=∠3 （ 角平分线的定义 ） ∴∠1=∠3
（____________________________）
∵∠AED 是△BDE 的一个外角（___________________） ∴∠AED =_______+_______ =2∠1
（____________________________）
即∠AED =2∠EDB
10. 已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，
∠ADE =∠B ，DE 交AC 于点F ． 求证：∠EFC =2∠FDC ．
第10题图
F
E
D
B
A
【参考答案】 ? 课前预习
1. 120°，120°，=
2. 直角三角形两锐角互余
同角的余角相等 直角三角形两锐角互余 等角的余角相等
? 知识点睛
1. 一边与另一边的延长线
2. 和它不相邻的两个内角的和
三角形的内角和等于180° 平角的定义 等式性质
? 精讲精练
1. 95°，80°
2. 证明：如图，
∵∠BDC 为△DCE 的一个外角 （外角的定义）
∴∠BDC =∠DEC +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠BDC =140°，∠C =25°（已知）
∴∠DEC =∠BDC -∠C
=140°-25° =115°（等式性质）
∵∠DEC 为△ABE 的一个外角（外角的定义）
∴∠DEC =∠A +∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠B =35°（已知） ∴∠A =∠DEC -∠B
=115°-35° =80°（等式性质）
3.
A 4. 75° 5. 145° 6. 20°，85°，55° 7.
证明：如图，
∵∠EAC 为△ABC 的一个外角 （外角的定义）
E
D
A
A
B
C
D E
∴∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠B =∠C
（已知） ∴∠EAC =2∠C （等式性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠EAC =2∠DAC （角平分线的定义）
∴∠C =∠DAC （等式性质）
∴AD ∥BC
（内错角相等，两直线平行）
8. 已知
∠E ；两直线平行，内错角相等 已知
30°，等量代换 已知 已知
∠A ，∠ABC ，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 已知 50°，60° 110°，等式的性质 9. 已知
BC ，DE ；同位角相等，两直线平行 ∠2；两直线平行，内错角相等 已知 等量代换 外角的定义 ∠1，∠3
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 10. 证明：如图，
∵∠ADE =∠B （已知） ∴BC ∥DE
（同位角相等，两直线平行）
∴∠EDC =∠DCB （两直线平行，内错角相等） ∵CD 平分∠ACB （已知）
∴∠DCB =∠FCD （角平分线的定义） ∴∠EDC =∠FCD （等量代换）
∵∠EFC 是△DFC 的一个外角（外角的定义） ∴∠EFC =∠EDC +∠FCD
=2∠FDC （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
第10题图
F
E
D
B
A