《标准》中的10个核心概念

《标准》中的10个核心概念

在总结前期实验经验的基础上，通过广泛听取各方意见和建议，此次《标准》提出了10个核心概念。这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

核心概念有何意义呢？首先应该注意到，这些核心概念的内涵在性质上是体现的学习主体——学生的特征，它们涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。

第二，《标准》将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者与课程内容紧密结合的。从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。

第三，深入一步讲，核心概念本质上体现的是数学的基本思想。数学的基本思想指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。这些思想是数学学习中的重要目标。不难看出，核心概念对数学基本思想的体现是鲜明的。比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。

第四，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，《标准》就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。

综上所述，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。

第一节数感

一般人提起数感，总感到它是比较玄乎的。也有人质疑，像数感这种因人的感觉而异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗？一些老师也感到数感作为课堂教学目标不好把握。这些情况说明，我们有加强对数感认识的必要。

一、两个实例给人的启示

实例一：2010年2月25日，国家统计局公布的《2009年国民经济和社会发展统计公报》显示：我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实际状况严重不符。面对公众质疑，国家统计局召开紧急会议，讨论统计数据来源是否真实可靠？统计方法是否科学？舆论提出的一个问题是：不论统计部门统计方式是否科学，为何公众对房价的感觉与统计结果是大相径庭的呢？此例说明数感的确是存在的，它与公众的社会生活息息相关，并已成为现代社会公民所具有的基本数学素养的一部分。

实例二：一老师在教学指数幂的意义时，抛出一个现实情境问题：将一张纸对折32次，它的厚度有多大呢？老师给出的结论使学生在感到惊讶之余，更表示出强烈的质疑。该问题的结论是：其厚度可以超过世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。毫无疑问，这样的问题会像磁石一样，紧紧吸引学生的注意力，使学生产生一种“不见结果不信服”

的学习内驱力。此例就其实质看，教师在这里利用的是，学生基于实际操作（将纸对折若干次）所建立起来的对2

的直观感觉与数学科学计算得出的结果之间的巨大反差，由此创设出一个生动的极富吸引力的学习环境。这一实例说明，学生在学习数学概念时，其固有的数感不仅在起作用，而且老师若能适时地利用学生原有数感的特点，使其形成课堂教学中的认知冲突，则能大大提高课堂教学的效率。

二、对数感的基本认识

“数感”一词的英文表述为“Number Sense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等等。那么，反映在数学课程中的数感基本内涵究竟应该如何理解呢？事实上，在这一点上人们的认识仍然是多元的。

1.一些关于数感内涵的说法。

因篇幅所限，这里不一一详述国内外关于数感的种种说法，只将其做大致的梳理。归纳成这样几类：其一，认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；其二，认为数感与语感、方向感、美感等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别（鉴赏）能力；其三，认为数感是一种主动地、自觉地或自动化

地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养；其四，认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。

2．《标准》对数感的表述

课标实验稿首次明确提出了培养学生数感，但未对数感内涵做解释，而是采用外延描述的方式，提出“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”

在新课程实验中，广大第一线教师在课堂教学实践中对培养学生的数感做了许多有益的探讨，也形成了不少研究成果。此次修订，认真听取了各方意见，吸纳了前期实验研究的一些成果，重新对数感的内涵及功能作了表述。《标准》的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

将数感表述为感悟不仅使这一概念有了较大的包容性，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。在前期课程实施中，人们对数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中教师也常常有“虚无缥缈”之感，找不到教学支点。将数感表述为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。“‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。‘悟’是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。‘感悟’是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。”（史宁中，吕世虎，《对数感及其教学的思考》数学教育学报，2006年2期）

《标准》将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。

关于数与数量。在小学低段，儿童对数的感悟是从数数学习辨认各组实物对象的多少开始建立的。这是一个逐渐展开的过程。儿童对多少的感悟离不开具体的情境，这样他就需经历一个察觉实物集合中所包含的物体数量多少的过程，从而积累并形成对量的多少的感知。学习用数表示多少的第一步就是数数，即用自然数表示多少。在数数的过程中，他们能把数量词与其代表的少量物体联系起来，逐渐过渡到数大量的物体；与此同时他们会形成这样的经验：数数的顺序不会改变数的结果；数的过程中下一个数比前一个数多一；数数中的最后一个数不但代表这个数，也代表了这组物体的总数（事实上就是序数与基数相等）。随着学习年级的增高，学生还会经历更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数……，并形成对数的各种表征方式，比如，他们会知道1/4，25%，0.25是同一个数的不同表示。对数与数量建立起来的数感常常与实际情境关联，比如对数量单位的认识，提起教室的长度，应该想到米，提到两个城市的距离则应该想到公里（千米），同样，一个小学生会质疑一个宣传牌中所说“7000平方米森林中生活着两只东北虎”是否成立？结合实际情境，学生的数感起到了判断的作用（本文开始的实例一也说明了这一点）。

关于数量关系。这是培养学生数感的另一个层次。不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后，他就具备了理解一定数量关系的基础。比如学生在学习分数概念后，会建立起整体与部分之间关系的感悟，依赖于具体情境或图形，会分辨两个分数的大小，“随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如‘1/2+3/8’一定小于1，因为每个加数都小于或等于1/2。”（《美国学校数学教育的原则和标准》，蔡金发等译，人民教育出版社，2004年12月，第33页）。随着年级的升高和数系的扩展，学生对数量关系的感悟会逐步提升，比如对有理数的大小，以至于一些函数所表示的数量关系的感悟。学生对一些相对综合，而显得复杂一点的数量关系的感悟是常常伴随着具体的问题情境而展开的。比如，具有一定数感的学生坐上出租车，他不会对车上的计程器熟视无睹，他会关注跳动的数码，并对数码变动的间隔时间、出租车已行路程、起步价以及每公里价、到达目的地的路程等等数量及相互关系在头脑中作出反应，并形成判断。这里的数感是对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。

关于运算结果估计。这是培养学生数感很重要的一个方面。数的运算是数学课程中所占学时较多的内容，过去，这一部分内容的学习我们更多的是关注运算法则的掌握和运算技能的训练，其实通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感也应该成为课程教学的目标。所以，《标准》在课程内容中特别是“数与代数”部分多处提到估计及估算的要求。如，“在生活情境中感受大数的意义并能进行估计”，“能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（一学段）；“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”，“会根据给出的有正比例关系的数据在方格子上画图，会根据其中一个量的值估计另一个量的值”（二学段）；“能用有理数估计一个无理数的大致范围”（三学段）。其实，对运算结果的估计涉及的因素很多：对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等等，所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。

三、关于学生数感的培养

数感既然是对数的一种感悟，它就不会象知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。

1、重视低段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系

在教学中培养学生的数感在第一学段是重点。《标准》在第一学段目标中明确指出：“在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。”这一学段教学要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等都是较好的方式。比如刚入学的儿童在认识10以内数的时候，应该通过实数、图片等，将数与物对应起来；以后在认识20以内、100以内的数时，可以对具体实物通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉，如数100粒黄豆、100根小棒，估计教室里的学生人数，估计一堆水果的数量等。我们还可以就同一个数在实际生活中的多种意义所表现的数量来加强对数的感知。比如1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？类似这样的问题可让学生举一反三。

应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感。比如在二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义，用负数表示日常生活的问题，建立起对负数的数感。在第三学段，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。

2、紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感

现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围世界，正如《标准》所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

比如，让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮编号、汽车牌照号、身份证编号的规律和意义。如下的一个问题更是能让学生感到，建立良好的数感，对数字信息作出合理解释与推断的重要：火车票上车次号有两个含义，一是数字越小表示车速越快，1~98次为特快车，101~198次为直快车，301~398次为普快车，401~598次为普客车；二是单数表示从北京开出，双数表示开往北京，现在有一张车票的车次号为122，它能给你什么信息？

3、让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验

在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益。比如，组织学生参加调查活动，让学生调查：从你家到学校的路程大约有多远？你上学大约要多少时间？教室面积有多大？学校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何测量一

张纸的厚度？还可组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用数来解决这些具体问题等等。这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角度去感悟数，丰富自己的数感经验。

第二节符号意识

符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的“运算”。针对这种“运算”的算法是形式化的，“几乎是自动化的，不需要每次都从头做起”。（迪多内《论数学的进展》，载《数学史译文集》上海科技出版社，1980年版，126页）；此外数学符号还具有简略性和通用性等特点。正因为如此，数学符号在数学发展中起着举足轻重的作用。法国数学家让﹒迪内多在《论数学的进展》一文中将“引进好的符号”作为促进数学发展的重要原因之一。学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培养也成为重要的教学目标。

一、对符号意识的认识

从一般意义上说，所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统。符号意识（Symbol sense）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。

数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。比如，在数与代数中，数来源于对数量本质（多与少）的抽象，而数字就成为能够以大小排序的符号。与数的符号表示一样，关于数的运算知识也是从生活实践中加以抽象，

逐渐形成法则。这一过程中很重要的一步是使用字母这一符号来表示抽象运算，这使得“可以像对‘数’那样对‘符号’进行运算，并且，通过符号运算得到的结果是具有一般性的”（史宁中《数学思想概论》，第一辑，地34页）。这表明，数学符号不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。

二、《标准》中符号意识所包含的内容

此次标准修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这两个称谓就其英文表述来看没有变化，而中文表述将“感”改为“意识”应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行运算、推理，得到一般性的结论。在这个过程中，数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用“意识”更准确些。

《标准》对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：

1. 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律

《标准》中的这个要求针对的是符号表示，它有两层意思：一是能够理解符号所表示的意义；二是能够运用符号去表示数学对象（数、数量关系和变化规律等）。

每一个数学符号都有它特定的含义，如、、、分别表示特定的运算意义，、、﹤、﹥则表示数学对象之间的某种关系。使学生理解符号的意义是数学学习中的最基本的要求，也是符号意识的最基本要求。由于数学符号是一种特殊的语言，对数学符号的理解也有其固有的特点和要求：因为符号具有一定抽象度，对符号的认识和理解就不应是形式上的，而应是实质上的，即应从抽象的符号本身看到其所表征的准确的数学意义；由于符号具有压缩信息的功能，所以对符号的意义的理解就不应是片面的，而应是全面的、完整的、特别将符号语言转换为我们所熟悉的生活语言时，应该抓住其数学本质予以解读和表征；由于数学符号具有概括性和一般性特征，所以对它的认识和理解又不应是孤立的、僵化的，比如应注意符号与符号之间的关联（如“”与“”之间的关系），也

应注意同一符号的多重意义的理解（如既可表示矩形面积与长、宽关系，也可表示平行四边形面积与底、高

的关系，也可表示路程与时间、速度的关系，也可表示总价与单价、数量之间的关系，还可表示半圆周长与圆周率、半径的关系，……）。

对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”。运用符号表达数学对象就是“用”符号的重要方面。这里的数学对象主要指数、数量关系和变化规律，它们在各个学段都有自己的特定的要求。关于用符号表达数学对象这里着重指出两点：一是要注意义务教育阶段整个学习过程中，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂，由相对具体到相对抽象的过程。比如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表示数字运算关系，其抽象度显然不及用字母代替数及用字母表示数量关系，后者对前者来说是一个阶段性的变化。而用符号关系式或一定的数学模式语言去表示特定的数学变化规律则又更为抽象和复杂。这表明关于数学表达的符号意识的发展是一个逐渐积累变化的过程。二是数学符号的表达是多样化的，比如关系式、表格、图像等等都是表达数量关系和变化规律的符号工具，有时，即使是同一数学对象也可采用多种符号予以表达。而多种符号表达方式之间也是可以转换的。符号表达上的这些特点值得我们在教学中关注。

比如这样一个例题：在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。

通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。

1. 知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性

这一点很重要。从某种意义上说这正是符号意识作为一种“意识”需要强化的。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。由于运算和推理是数学活动最重要的基本形式，所以《标准》的这一要求是希望在各学段学习中，都加强学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练，这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号

表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等。

3.使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式

数学表达是学生在解决具体问题时必须采用的方式，数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达。通过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力成为当今课堂关注的目标。

比如这样一个问题：“某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的关系。”显然，购书数量与付款金额之间是呈函数关系（分段函数），为了解决问题的方便，我们可以分别采用函数关系式、列表、作出图象等多种符号表达方式来表示这一具体问题。

发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”，这种思考是数学抽象、数学推理、数学模型等基本数学思想的集中反映，是最具数学特色的思维方式。

举一个简单的例子：“房间里有4条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。

一、关于学生符号意识的培养

1.在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识

概念、命题公式等是数学课程内容中的重要组成部分，它们常常是数学教学的重点，而它们又和数学符号的表达和使用密切相关。正因为如此，《标准》在学段目标和各学段内容标准中都提出了具体要求。如：“理解符号﹤、=、﹥的含义，能使用符号和词语描述万以内数的大小”，“认识小括号”。（一学段）；“认识中括号”“在具体情境中能用字母表示数”，“结合简单的时间情境，了解等量关系，并能用字母表示”，“能用方程表示简单情境中的等量关系”（二学段）；“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示”，“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型思想，建立符号意识”（三学段）。

2.结合现实情境培养学生的符号意识

一方面，尽可能通过实际问题或现实情境的创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达；另一方面，对某一特定的符号表达式启发学生进行多样化的现实意义的填充和解读。这种建立在现实情境与符号化之间的双向过程，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。

3.在数学问题解决过程中发展学生的符号意识

符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动用符号的意识，因此，符号意识的培养仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆是难以达到应有的效果的。引导学生经历发现问题，提出问题（这实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题、解决问题（这实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在这一过程中积累运用符号的数学活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质。逐步促进学生符号意识得到提高。

第三节空间观念

一、空间观念的含义与意义

几何学是最早成为人们以课程的形式进行学习的科目。19世纪以前的两千多年里，欧氏几何一直在课程中占有统治地位，然而，随着几何学自身的发展、数学在社会发展中的应用，几何作为课程的地位、价值的认识也在发生着变化。二十世纪以来，关于欧氏几何作为中小学课程内容的有关争论从未间断过。但是，无论争论如何，空间想象力却是被较为一致的认为是数学诸多能力中的重要组成部分。空间观念作为空间想象力发展的基础受到普遍的重视，也成为我国义务教育阶段几何课程的主要目标之一。

心理学把人对头脑中已有表象进行改造，创造出新形象的过程称作想象。关于空间想象力的含义，林崇德（1991）指出，中学生的空间想象包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给与具体几何意义的想象解释或表象能力上。

曹才翰提出，空间想象能力就是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。同时他指出，空间想象能力对初中生来说，这种要求太高了，所以义务教育阶段教学大纲中只提出培养学生的空间观念。空间观念至少反映了如下的5个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；（5）由文

字或符号作出或画出图形。

全美数学教师理事会（NCTM）指出，空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知；对于2—3维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面[1]。

关于发展学生的空间观念的意义，数学家和数学教育研究者都有相关的描述。数学家阿蒂亚（M．Atiyah）认为，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画更好，即“洞察”对“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。它们在教育中的意义也是清楚的。我们的目标应是培养学生发展这两种思维模式，过分强调一种而损害另一种是错误的[2]。

荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔（Freudenthal，1989）指出，几何是对空间的把握——这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。

全美数学教师理事会在《美国学校数学课程与评价标准》提到，几何有助于我们用一种有序的方式表示和描述我们生活的现实世界，将帮助学生描述和弄清世界的意义。对于学生来说，发展牢固的空间关系的观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。几何的模型提供了一个透视图，从中，学生可以分析和解决问题，而且几何的解释还可以帮助学生形成一个抽象的（符号的）表示，使人更容易理解。

的确，一方面，空间与人类的生存密切相关，了解、探索和把握我们生活的空间能使人类更好地生存、活动和利用空间。另一方面，空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造，因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先要对自己的创造物进行想象，然后可能是模型的构建，这里的模型包括图形和实物，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象和创造的探求过程，也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换，利用直观进行思考的过程。空间观念和空间想象力在这个过程中起着至关重要的作用。

基于这样的分析与认识，我们可以更好地理解《标准》把“空间观念”作为义务教育数学课程的核心概念的缘由与意义。

二、《标准》中空间观念所包含的内容

《标准》中没有具体给出空间观念的内涵，而是从是否具有空间观念的几个表征出发对其进行描述。《标准》是从四个方面加以刻画描述的：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

《标准》对空间观念的描述，是在义务教育阶段通过图形与几何内容的学习对学生在这些方面的要求以及需要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务。

1.根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体

有研究表明，三维图形与二维图形的相互转换是培养学生空间观念的主要途径。“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”的过程，是三维图形与二维图形的相互转换的基本表现形式，这是一个充满观察、想象、比较、推理和抽象的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解与把握。

由实物或几何体再到视图，经历了抽象以及从三维图形到二维图形转化的过程，而由视图到几何体或实物，则实现了从二维图形到三维图形的转换。此外，几何体与侧面展开图、几何体与用平面去截所得的截面等，都蕴含着三维图形与二维图形的相互转换。

画出物体的三视图，就需要在头脑加工的基础上，把观察到的经过了想象、抽象后的再现出来的纪录下来，使空间观念从感知不断发展上升为一种可以把握的能力。

2. 想象出物体的方位和相互之间的位置关系

方位与现实生活是密切联系的，也是个体对空间把握能力的一个具体的体现，对方位的感知和图形相互之间位置关系的把握，是表现空间观念的一个重要的方面。

“想象物体的方位和相互之间的位置关系”，在不同的问题情境中有不同的想象的水平要求。在给出包含四个方向并注明中心点的方位结构中判断某一物体的相对于中心的方位，是最基本的层次；只给出一个方向（如北），判断物体之间的位置关系，就需要学生更复杂一些的想象力了，同时推理也是必要的。

例如，下图是一张动物园的示意图，根据图中所标的位置回答下列问题：

[1]全美数学教师理事会著．美国学校数学课程与评价标准[M]．北京：人民教育出版社,1994

[2] 「英」M．Atiyah著．数学的统一性[M]．南京:江苏教育出版社，1995．12

（1）熊猫馆在猴山的哪个方向上？

（2）大象馆在海洋馆的哪个方向上？

进一步可以再改变观测点，描述与其他物体的相对方位。

3.描述图形的运动和变化

图形的运动既有形式上的（平移、旋转、翻折、放大、缩小等），也有运动的方向上的。对图形的运动和变化的描述，更具有综合性，它要求对相关知识和内容的理解，同时需要观察、想象并再现图形的运动和变化过程，无论是语言表述还是图形刻画这个过程，也同样是把空间观念从感知推向一种可以把握的能力。

例如，描述从学校到家的路线示意图，并注明方向及途中的主要参照物。

学生需要回忆实际的路线，想象它经过的各个环节的方向，学生也可以借助实物模拟路线，进一步画出路线的简单示意图。这其中涉及到的方位实际上比单纯描述物体的方位又复杂了一些，它是一种综合的运用。

4.依据语言的描述画出图形

这里所要求的想象空间是很开放的，可以是具体的图形，或具有某种大小或位置关系的一组图形，等等。当有人向你描述你看不到的情境时，你需要根据他人的描述构建符合原形的直观想象，阐述和倾听都需要在逻辑上对图形关系进行分析和操作，准确地反映出描述的结果，体现了操作者对其中涉及的图形的关系等的把握的能力，其核心也是空间观念。

三、空间观念的培养

空间观念的培养，是一个长期的经验积累的过程，因此对教学的要求有别于具体的几何知识，但它又是在几何知识的学习中体现的。NCTM（全美数学教师理事会，1989）指出，发展学生的空间观念，儿童必须具有许多经验。例如，几何关系的要点，在空间中物体的方向、方位和透视观点；相关的形状和图形与实物的大小，以及如何通过改变大小来改变形状。这些经验要依靠儿童以下几个方面的能力，如会运用象“上面”、“下面”和“后面”等一

些词语，画出一个图形旋转900或1800以后的图形，作图、折叠，让儿童想象、绘制和比较放在不同位置上的图形，等等，这些活动将有助于发展他们的空间观念。

事实上，在图形与几何课程的学习中，还是可以利用很多的素材和机会发展学生的空间观念的，主要是我们如何来认识和利用这些素材和机会。

1. 促进空间观念发展的课程内容

《标准》中不仅将发展空间观念作为核心概念和目标，同时，在三个学段都重视了发展学生空间观念的内容的设置，这些在本书的内容分析部分都有提及。

例如，第一、二学段的“图形与运动”、“图形与位置”中的大部分内容的学习，都是发展学生空间观念的很好的素材；第一、二学段中的从不同方向观察物体、运用基本图形拼图，以及基本几何体的展开图等，也都是旨在发展学生空间观念的课程内容。

在第三学段，“图形的变化”中的各种图形的运动，尤其是“图形的投影”内容的安排，其核心目标也是发展学生的空间观念。

事实上，空间观念的培养在图形的认识以及图形的证明过程中，都会有所体现，因为对几何图形的认识、证明中对图形特点的观察等，也需要想象，也有根据他人的描述画出图形的过程，因此，很好的认识空间观念的含义与意义，在图形与几何内容学习中抓住典型内容，利用一切可以利用的学习材料，就可以将空间观念的培养贯穿在这个学习过程中。

2. 促进空间观念发展的教学策略

（1）现实情境和学生经验是发展空间观念的基础

空间观念的形成基于对事物的观察与想象，而现实世界中的物体及其关系是学生们观察的最好材料，学生的已有经验也是观察、想象、分析的基础，因此教学中，结合学生们熟悉的现实问题情境，是发展学生空间观念的有效策略。

例如，绘制学生自己房间或学校的平面图；描述从家到学校的路线图；描述观察到的情境的画面；描述游乐园中各种运动的现象等等，这些问题既是他们生活中熟悉的，又是在数学学习中需要重新审视和加工的。平时看到的东西，要进行回忆，在头脑中想象、加工之后的再现，已经是数学的抽象了，这其中即渗透了空间观念发展的元素了。

无论是教材的开发者还是教师的教学设计，开发和利用现实世界中丰富的资源，城市的建筑与立交桥，乡村的院落与山水，我们生活的广阔空间和其中的大量实物，为我们提供了一个鲜活的大课堂，供我们观察、想象与描述。

（2）利用多种途径发展学生的空间观念

从《标准》对空间观念的描述和有关的课程内容的分析中，我们能够感觉到，发展学生的空间观念应该是有多种途径的。生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。

教学中教师应结合教学内容恰当地安排学习的活动，创造条件使学生有机会从事上述的活动来发展空间观念。

例如，我们可以在小学高年级安排这样的折纸活动：将一张正方形的纸对折后，再对折一次，然后用剪刀剪出一个小洞。再把纸完全展开。请画出或从下面四个图中选择它的展开图。

（3）在学生的思考、想象过程中发展空间观念

空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要不断的经验的积累、想象力的丰富，因此教学中要为学生提供足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析。

这其中还有观察与想象的相互关系问题。观察与描述往往是空间观念发展的基础，而想象与再现则是更高一层次的空间观念的表现。

如果在教学中，我们提出这样的问题：如图（1）所示，桌子上摆着三件物品，图（2）是从上面看到的物品的图片，其中的a、b、c、d和e五点表示从四周观察三件物品的不同地点。请判断下边的一组图分别是从a、b、c、d和e五点中的哪一点看到的。

对于学生来讲，可能直接的观察与想象是有些困难的，有的教师会模拟地创设这样一个情景，让学生直接去观察具体物体的摆放场景，然后进行判断。这样做确实能够降低纯粹靠想象做出判断的难度，但同时也失去了学生想

象的机会。因此，教师不妨让学生先想一想，尝试着做出判断，然后再实际的看一看，在实际看到的和想像的之间进行比较，这样将由助于学生积累想象的经验，提高对物体之间关系进行把握的能力，发展学生空间观念。

第四节几何直观

一、对几何直观的认识

顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。爱因斯坦（Einstein）曾说过一句名言：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”（爱因斯坦文集，第一卷，许良英、范岱年译，商务印书馆，1976，284）

“数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本、主要研究对象。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注如何研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在数学—几何—图形这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。这正如20世纪最伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中所谈到的，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。

从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相联。事实上，很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，以至于高中的解析几何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面加深了对图形性质的本质认识，另一方面对几何直观能力也是一种提升。由此也可以看到，在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。

几何直观与“逻辑”、“推理”也是不可分的。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么？而是通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。

有些数学研究的对象是可以“看到的”，可以“触摸的”，而很多数学研究对象是“看不见，摸不着”的，是抽象的，这是数学的一个基本特点。但是，数学中那些抽象的对象绝不是无根之木、无源之水，它的“根和源”一定是具体的。例如，我们看不到“七维空间”，但是，我们知道“颜色可以由七个基色组成：红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”，由不同成分的七个基色组成一种颜色，这样，“由七基色组成颜色”就是理解“七维空间”的“可以看到的源”，“红、澄、黄、绿、青、蓝、紫”七个数就可以决定一个颜色。当然，在颜色中，不能取负值，颜色空间不是七维空间，它仅仅是帮助我们联想的“实物”和基础。在数学中，需要依托“一、二、三维空间”去想象和思考“高维空间”的问题，这就是几何直观或几何直观能力。

几何直观在研究、学习数学中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望数学教师重视它，在日常教学中帮助学生不断提升这种能力。

二、《标准》中的几何直观

在高中数学课程标准（试验稿）中，也关注了几何直观：“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。”在义务教育数学课程标准中，把几何直观作为数学课程标准10个核心概念之一，这是一个进步。《标准》明确指出“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

在数学课程中，几何内容是很重要的一部分。关于几何课程的教育价值，最主要的应该有两个方面：一方面，几何能培养学生的逻辑推理能力；另一个方面，它也能培养学生几何直观能力。但目前，在部分教师中对此在认识上存在着一定的局限性，在几何教学中他们仅仅重视培养逻辑推理能力，忽视了对学生几何直观能力的培养。我们

应全面地理解几何教育价值，重视几何直观。

在教学和指导学生学习时，认识和理解“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”这一点是非常重要的。它表明，我们不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。

正如前面所指出的，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆得到的结果。总之，图形可以帮助我们把困难的数学问题变容易，把抽象的数学问题变简单，对于数学研究是这样，对于学习数学也是如此。学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力。这种几何直观能力能使我们更好地感知数学、领悟数学：数学逻辑和数学直观对数学都是重要的，他们也是相互交织、关联的，直观中有逻辑，逻辑中有直观。

在义务教育阶段，许多重要的数学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征（如小学的分数概念、路程问题等），学会从两个方面认识数学的这些对象是非常重要的，即数形结合是认识数学的基本角度，与其说是方法，不如说这是基本要求。从这一点看，不注重数形结合在数学上就没有学明白。

三、几何直观的培养

1.在教学中使学生逐步养成画图习惯

在日常教学中，在指导学生学习数学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维，无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。

2.重视变换——让图形动起来

几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是“对称”图形，例如，球、圆锥、圆台、正多面体、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等，都是“不同程度对称图形”；另一方面，在认识、学习、研究“不对称图形”时，又往往是运用这些“对称图形”为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。

3.学会从“数”与“形”两个角度认识数学

在前面的论述中，多次反复强调了这一点，数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。

4.掌握、运用一些基本图形解决问题

把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了上面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。

第五节数据分析观念

一、数据分析观念的意义及含义

也许有人可能会提出这样的问题，统计不就是计算平均数、画统计图吗？这些事情计算器、计算机就能做得很好，还有必要花那么多精力学习吗？确实，在信息技术如此发达的今天，计算平均数、画统计图等内容不应再占据学生过多的时间，事实上它们也远非统计的核心。在义务教育阶段，学生学习统计与概率的核心目标是发展“数据分析观念”。一提到“观念”，显然它就绝非等同于计算、作图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的对一组数据的“领悟”，由一组数据所想到的、所推测到的；以及在此基础上，对于统计与概率独特的思维方法和应用价值的认识。

在《标准》中，将数据分析观念解释为：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的

数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”

在这段表述中，点明了两层意思。第一，点明了统计的核心是数据分析。“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图像，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术”[1]。第二，点明了数据分析观念的三个重要方面的要求：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。这三个方面也正体现了统计与概率独特的思维方法。

二、对数据分析观念要求的分析

我们来对数据分析观念上述三个方面的要求做一简要分析：

1.体会数据中蕴涵着信息

统计学是建立在数据的基础上的，本质上是通过数据进行推断。义务教育的重要目标是培养适应现代生活的合格公民。而在以信息和技术为基础的现代社会里，充满着大量的数据，需要人们面对它们做出合理的决策。因此，数据分析观念的首要方面是“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息”。不妨看《标准》中的一个例子。

[案例1]（《标准》例19）

新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。

[说明] 借助学生身边的例子，体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一反三。教学中可作如下设计：

（1）全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他的原则。

（2）鼓励学生讨论收集数据的方法。例如，可以采用一个同学提案、赞同举手的方法；可以采取填写调查表的方法；可以全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等等。必须事先约定，每位同学最多可以同意几项。

（3）收集并表示数据，参照事先的约定决定购买水果的方案。

要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，购买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原则。

在这个例子中不难看出，首先需要设计合适的例子，鼓励学生收集数据、整理数据、分析数据，从而做出决策和推断。并在此基础上，体会数据中蕴涵着信息，体会数据分析的价值。

2.根据问题的背景选择合适的方法

“统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果。…因此，统计学对结果的判断标准是“好坏”，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术”[2]。

为了使学生对此有所体会，《标准》提出了数据分析观念第二方面的内涵——“了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法”。这里不妨看一下《标准》中对于案例38的说明：“条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势”，因此需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。总之，“统计学对结果的判断标准是‘好坏’”[3]，而不是“对错”。

3.通过数据分析体验随机性

我们知道，推断性数据分析的目的是要通过数据来推测产生这些数据的背景，称这个背景为总体。我们假定总体是未知的，我们的目的是通过样本来推断总体。而在调查或者实验之前，我们不可能知道数据的具体取值。也就是说，数据可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一样的，这就是数据随机性的由来。

在《标准》中将“通过数据分析体验随机性”作为了数据分析观念内涵的第三方面。数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。举一个《标准》中的例子（例40）：袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。再举一个案例（例22），学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，这可以让学生感悟数据的随机性；更进一步，还可让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息，比如，通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间。

在本小节，我们主要分析了数据分析观念的内涵，关于数据分析观念的培养，我们在后面的章节中会有较多论述，这里不再赘述。

第六节运算能力

运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能。《标准》在学段目标的“知识技能”部分，对各学段运算分别提出了明确的要求：

第一学段：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的量；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。

第二学段：体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数；掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。

第三学段：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。

运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，成为不可或缺的内容。

《标准》所提出的课程目标中的很多方面，如：获得“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力等，都与运算的学习有关，运算对实现课程目标发挥着重要的支撑作用。

一、对运算能力的认识

根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。

《标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简捷。换言之，运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。

《标准》是在总目标的四个方面之一的“数学思考”中提出运算能力的：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维。”这说明运算能力是数学思考的重要内涵。不仅如此，运算能力对《标准》在总目标中提出的其他三个方面——知识技能、问题解决和情感态度的目标的整体实现，同样是不可缺少的基本条件。

二、运算能力的特征

运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习而逐步形成的。要使学生通过各种运算和对代数式、方程、不等式的变形以及重要公式的推导，通过用概念、法则、性质进行简单的推理，发展逻辑思维能力。

运算的正确、灵活、合理和简捷是运算能力的主要特征。

首先要保证运算的正确，为此，必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。如前所述，在每一学段，《标准》对运算提出的要求，都是和相关的数学知识一并提出的。

然后，在适度训练，逐步熟悉的基础上，清楚地意识实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐渐减少在实施运算中，思考概念、法则公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算的顺畅，力求避免失误。

一题多解和多题一解出现在运算过程中是十分普遍的，即一般性与特殊性往往同时出现在实施运算的过程中，一题多解体现了运算的灵活性，多题一解则体现了运算的普适性。一题多解和多题一解的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理和简洁。

要充分重视估算。《标准》在每个学段的学段目标和内容标准中，都强调了估算，提出了具体的要求，配备了一定数量的案例。

第一学段：在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计

（案例3）；能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（案例6）。第二学段：理解估算的意义。结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（案例23）；在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（案例26，案例27）；会用方格纸估计不规则图形的面积（案例33）。第三学段：掌握必要的运算（包括估算）技能；能用有理数估计一个无理数的大致范围（案例47）；经历估计方程解的过程（案例52）；会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

估算是重要的运算技能，进行估算需要掌握一定的方法，需要积累一定的经验，需要避免出现过大的误差；估算又是运算能力的特征之一，进行估算需要经过符合逻辑的思考，需要有一定的依据，需要使估算的结果尽量接近实际情境，能对实际问题做出合理的解释。

运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。因此，在实际教学过程中，既不能让学生的运算能力在已有的水平上停滞不前，也不能超越知识的内容和其他能力水平孤立地发展运算能力。应该贯穿于师生共同参与数学教学活动的全过程中，并体现发展的适度性、层次性和阶段性。

适度性：运算能力需要经过多次反复训练，螺旋上升逐步形成，在这一过程中，安排一定数量的练习，完成一定数量的习题是必不可少的。题量过少，训练不足，难以形成技能，更难以形成能力；然而题量过多，搞成题海战术，反而会使学生产生厌学情绪，适得其反。目前，学生的课业负担过重，数学课程的作业量过大是重要原因之一。把握学习内容的要求，进行适量训练，科学安排，应是发展运算能力的要求。

层次性：安排一定数量的练习，完成一定数量的习题对形成运算能力不可缺少，但训练的难度一定要适当，要从数学教学的全局出发，合理调控。义务教育的主要任务是打基础，数学尤其如此，训练题要有一定的数量，更要有合理的质量。以二次根式为例，如果没有最简二次根式的概念，没有分母有理化的要求，就会使教学无所适从，既造成教学的困惑，又影响高中阶段的进一步学习。

[1] 史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].东北师范大学出版社.2008（6）.第147页

[2]史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].东北师范大学出版社.2008（6）.第143页

[3]史宁中.数学思想概论——数量与数量关系的抽象[M].东北师范大学出版社.2008（6）.第143页

安排为训练题，那就过于繁琐，过分强调技巧，增加了负担，对今后学习的作用也不大，应当避免。由此可见，层次性也是发展运算能力的要求。

阶段性：由前可知，《标准》对运算和运算能力的要求是分学段提出的，每个学段的要求都体现了一定的学段特征，力求符合学生的认知规律，这是完全必要的，适宜的。这也表明，阶段性也应是发展运算能力的要求。

三、运算能力的培养与发展

运算能力的培养与发展是一个长期的过程，首先伴随着数学知识的积累和深化。正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算技能，发展运算能力的前提。运算能力的培养与发展自然包括运算技能的逐步提高，而更应引起关注的是运算思维素质的提升和发展。在义务教育阶段，运算能力的培养、发展要经历如下过程：

1. 由具体到抽象

第一学段理解万以内的数，初步认识小数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算。第二学段认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。第三学段掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；掌握合并同类项和去括号的法则，进行简单的整式减法、减法和乘法运算；利用乘法公式进行简单计算；进行简单的分式加、减、乘、除运算；了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算；解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加减消元法，解二元一次方程组；用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；解数字系数的一元一次不等式。

无论是学习和掌握数与式的运算，解方程和解不等式的运算，一开始总是和具体事物相联系的，以后逐步脱离具体事物，抽象成数与式，方程与不等式的运算。直至到高中阶段进行更为抽象的符号运算，如集合的交、并、补等运算，命题的或、且、非等运算。运算思维的抽象程度，是运算能力发展的主要特征之一。

2. 由法则到算理

学习和掌握数与式的运算，解方程和解不等式的运算，在反复操练，相互交流的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对怎么算？怎样算的好？为什么要这样算？等一系列问题的思考，这是由法则到算理的思考，使运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。

《标准》规定了一系列与算理相关的内容。

第二学段：探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

第三学段：除了“理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算”外，算理的内容和要求进一步强化，在学习方程解法之前，要求“掌握等式的基本性质”；在学习不等式解法之前，要求“探索不等式的基本性质”；为此，《标准》提供了案例53：小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？在此案例中，不仅给出了详细的解题方案和过程，并指出：这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。对于初中的学生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。在一元二次方程的内容中，《标准》不仅设置了“能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程”，而且增加了“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”；“*了解一元二次方程的根与系数的关系”等内容，表明不仅要学习和掌握解一元二次方程的运算方法，更要思考和领悟解一元二次方程的算理。

3. 由常量到变量

函数在第三学段是重要的内容。函数概念的引入，运算对象从常量提升到变量。运算的内容更加丰富多彩，《标准》中不仅有“能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值”；“会利用待定系数法确定一次

函数的表达式”；“会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标”等直接进行运算的内容；还包括与运算密切相关的内容，如：“能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析”；“用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系”；“结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论”；“根据一次函数的图像和表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k

＜0时，图像的变化情况”；“能根据已知条件确定反比例函数的表达式”；“根据图像和表达式 y =(k≠0)探索

并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况”；“*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数”。

由常量到变量，表明运算思维产生了新的飞跃，运算能力也发展到一个新的高度。

4. 由单向思维到逆向、多向思维

逆向思维是数学学习的一个特点。在第二学段，《标准》规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系”。在第三学段，又增加了乘方与开放的互逆关系。到高中阶段，更有指数与对数，微分与积分等互逆关系。运算的互逆关系，是逆向思维的重要表现形式之一。

运算也是一种推理，在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化，思维方向是互逆的，更是相辅相成的。

在实施运算的过程中，还会遇到多因素的情况，各个因素相互联系，相互制约，又相辅相成，更加需要思考不同的思维方向，不同的解题思路和不同的解题方法，通过比较，加以择优选用。这是运算思维达到一个新的高度的

重要标志，是运算能力的培养与发展的高级阶段。

由于思维定势的消极作用，逆向思维和多向思维的难度较大，在实施运算的过程中，对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要学生引导进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练，灵活多样，合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。

第七节推理能力

推理在数学中具有重要的地位。诚如《标准》所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。学习数学就是要学习推理。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。

一、对数学推理的认识

数学推理直接与命题有关。在数学中，我们随时会对思维对象作出一种断定。如：“是无理数”，“

不是等腰三角形”。我们把这种对客观事物的情况有所肯定或否定的思维形式叫作判断。判断作为一种思维形式，与表示它的语句有密切关系。在数学中把表示判断的语句称为命题。而数学推理则是以一个或几个数学命题推出另一个未知命题的思维形式。

上述对数学推理的解释更多是基于形式逻辑的角度，如果从数学内部看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联，数学推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。

二、《标准》中的推理能力

1.合情推理与演绎推理

推理能力在数学中是属于数学思考（思维）能力中的一种，因此《标准》在数学思考的目标表述中作了明确的要求，指出：要“发展合情推理和演绎推理能力”。合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理（即推理的结论不一定成立的推理）的特称。归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理。它的思维进程是从特殊到一般。按照它考虑的对象是否完全而又分为完全归纳推理和不完全归纳推理。由于完全归纳推理考查了推理前提中所有的对象或类，所以若前提成立，结论也一定成立，因此完全归纳推理不是或然的推理而是必然的推理。合情推理中的归纳推理一般指不完全归纳推理。

类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它所在另一属性也相同或相似的一种推理。它是从特殊到特殊的推理。如由分数类比分式，由分数基本性质得到分式基本性质；由二维空间的三角形类比三维空间的四面体，由二维空间的勾股定理得到三维空间的毕达哥拉斯定理等。类比推理也是一种或然性的推理。

而演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的结论一定真）。它的思维进程是从一般到特殊。他的基本形式是三段论。

2.合情推理与演绎推理功能不同，相辅相成

波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”（波利亚《数学与猜想》），因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。正如《标准》指出：“两种推理功能不同，相辅相成。”

在数学学习活动中，我们会经常遇到同时采用两种推理方式来求得问题解决的情形如这样一个例：

探索过圆外一点所画的圆的两条切线的长有什么关系？

教学中可引导学生经历这样的的过程：

（2）证明结论的正确性。如图2，连接和。因为和是⊙的切线，则，

即和均为直角三角形。又因为和，则与全等。于是有

，。

这是通过演绎推理证明图形性质的过程。

由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。

在传统数学教学中，往往重演绎，轻归纳、类比，只满足于证明现成结论，学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程。而在数学中发现结论往往比证明结论更重要。《标准》提出培养合情推理能力，对培养学生的创新意识提供了支撑。

三、关于学生推理能力培养

在整个义务教育阶段，对学生推理能力的培养是内容学习和目标达成的一条主线，也是一个逐渐提升的长期过程。如下几个方面在教学中应该加以注意。

1.推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中

这是《标准》中提出的非常明确的要求。这里的“贯穿整个数学学习过程”应该有这样几层含义：其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合实践等所有领域内容。其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理表述概念定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在证明教学中，更要让学生遵循证明规则，通过数学推理、证明数学结论。其三，它也应贯穿于整个数学学习的环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试……，在所有的这些学习环节，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑。当然，“贯穿整个数学学习过程”也应包括推理能力的培养应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展。

2.通过多样化的活动，培养学生的推理能力

反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。《标准》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。

如《标准》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单猜想”（一学段），“在观察、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（二学段），“在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）。教师要认真体会《标准》所提出的这些要求，针对学生推理能力的培养，在课堂教学中开拓出更加有效的、多样化的活动途径。

3.使学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程

在“猜想——证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。

例如，引导学生发现如下的运算规律：

15×15=1×2×100+25=225，

25×25=2×3×100+25=625，

35×35=3×4×100+25=1225。

观察后，引导学生思考是否有一般性的结论呢？可以猜想：如果用字母a代表一个正整数，则有如下结论：(a×10+5)2= a( a+1)×100+25。

但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明：

。

这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，有些问题是可以通过具体问题去得出结论，然后通过一般性证明来验证自己所发现结论的，这就是数学推理带给我们的乐趣。

第八节模型思想

模型思想是此次修订标准新增的核心概念。尽管原标准在课程实施部分的“教学建议”中曾提到了“建立模型”一词，但数学模型、建模等概念并未出现在义务教育阶段课程目标及内容标准的文字表述之中。这次随着“模型思想”的列入，我们会看到关于数学模型的相关提法会在《标准》的多个部分出现。特别的，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容紧密关联。作为第一线教师应对《标准》中模型思想的含义及要求准确理解，并把这要求落实于课堂教学之中。

一、对数学建模的认识

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。

这种结构有两个主要特点：其一，它是经过抽象舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；其二，这种结构是借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。对数学模型可以从两个层次上去理解：广义的理解是把那些凡是针对客观对象加以一级或多级抽象所得到的形式结构都视为客观对象的模型；狭义的理解是指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学模型。在中小学阶段数学中的数学模型一般指后者。

数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。这一过程的步骤可用如下框图来体现：

上述步骤中最重要的是抽象成数学模型这一步骤。这些步骤反映的是一个相对严格的数学建模过程，义务教育阶段特别是小学的数学建模视具体课程内容要求，不一定完全经历所有的环节，这里有一个逐步提高的过程。

二、《标准》中模型思想的含义及要求

1．模型思想是一种数学的基本思想

在原课标中，“模型”一词出现在第三学段的教学建议之中，其提法是“教学应结合具体的数学内容采用‘问题情境——建立模型——解释、应用与拓展’的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好理解数学知识的意义……”。显然，在这里数学建模及其过程更多地被看成是一种教学活动过程和模式，强调的是其教学上的意义。修订后的《标准》将数学基本思想作为“四基”之一提出，必然引出这样的问题：数学基本思想主要指哪些思想呢？现在模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，这实际上已经明示它是数学基本思想之一。史宁中教授在《数学思想概论》中提出这样的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”（史宁中，《数学思想概论》第一辑，东北师范大学出版社，2008.6，第一页）。从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。

作为中小学课程中的模型思想应该在数学本质意义上给学生以感悟，以形成正确的数学态度。正因为如此，《标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。它鲜明地表述了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且它也是实现上述目的的基本途径。

数学与外部世界的联系，是数学发展到今天在其自身的舞台上最精彩的表演。从第四章第一节的分析可知，今日之数学已突破了传统的应用范围而向人类几乎所有的知识领域渗透，而各门科学向着“数学化”发展，也成为当今科技发展的一个重要趋势。这里的“渗透”、“数学化”说到底就是数学模型的运用，作为基础教育的数学不能不关注数学发展的这一特点。

从当前各国数学课程改革来看，通过数学建模来建立数学与外部世界的联系也成为共同关注点。如美国课程标准将“数学联系”作为重要目标，“认识到并能应用数学于数学以外的情境中”是数学联系的主要内涵。该标准还强调，各种水平的数学学习，应包括有机会解决在数学以外的情境中产生的问题，既可与其他学科建立联系，又可与学生的日常生活相联系。

在加强数学与外界联系方面，《标准》在总目标中也明确提出：“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”。标准修改后的这个新提法与模型思想这一要求是一致的和相互呼应的。

2．关于建立和求解模型的过程要求

前面我们已介绍了数学建模的一般步骤。《标准》以义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简

化为这样三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能，更有思想、方法，也有经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也会得到培养。

3．模型思想体现在《标准》的许多方面

正因为模型思想从本质意义上体现着数学的基本思想，所以它渗透于《标准》的许多方面。比如，《标准》中有如下提法：“经历数与代数的抽象、运算与建模过程”（数与代数总目标）；“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型思想”，“体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”（三学段目标）；“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程”（“综合与实践”内容标准）等等，除此之外，在教学实施、教材编写、评价、案例等部分都有关于模型思想的具体要求，在课程实施中要注意这一特点。

一、模型思想的培养

1.模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟

模型思想作为一种思想要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程，在这一过程中，学生总是从相对简单到相对复杂，相对具体到相对抽象，逐步积累经验，掌握建模方法，逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，逐步渗透模型思想。比如在一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、简单几何体和平面图形的过程和简单数据收集、整理的过程，使学生能学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，提出一些力所能及的数学问题；在二学段，通过一些具体问题，引导学生通过观察分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价等关系式；在三学段，主要是结合相关概念学习，引导学生运用函数、不等式、方程、方程组、几何图形、统计表格等分析表达现实问题，解决现实问题。

总之，模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴含于概念、命题、公式、法则的教学之中，并与数感、符号感、空间观念等的培养紧密结合。模型思想的建立是一个循序渐进的过程。

2.使学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《标准》中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。

上述活动过程完全可以结合相关课程内容有机进行。比如，关于方程的教学，过去我们是从概念到概念，强调的是方程定义、类型、解法、同解性讨论等等比较“纯粹”的知识、技能，而现在，我们可以让学生从丰富多样的现实具体问题中，抽象出“方程”这个模型，从而求解具体问题。其过程如下：

3.通过数学建模改善学习方式

数学建模不同于单纯的数学解题，它是一个综合性的过程。这一过程所具有的问题性、活动性、过程性、搜索性等特点给学生数学学习方式的改善带来了很大的空间。如下一些学习方式都可以在数学建模中尝试：（1）小课题学习方式。让学生自主确定数学建模课题，设定课题研究计划，完成以后最后提交课题研究报告。基于数学建模的小课题研究针对不同的年龄段应该有不同的层次和不同的水平，但不管何种层次和水平，关键是要引导学生根据

数学课程标准中的十个核心概念

在《义务教育阶段数学课程标准（修订稿）》中十个核心概念的内涵在标准当中，设计了十个核心概念，和原来的标准实验稿相比有所增加，有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。1、数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。建立数感，有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。2、符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得一个结论具有一般性。符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和数学思考的重要的形式。3、空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。4、几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学的学习中，发挥着重要的作用。5、数据分析的观念是指：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物，每次收到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律，数据分析是统计的核心。6、运算能力是指能够根据法则和运算正确的进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算力，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。7、推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用这样一种思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理。演绎推理是从已知的事实出发，按照一些确定的规则，然后进行逻辑的推理，进行证明和计算，是这样一个过程。换句话说，从思维形式的角度，是从一般到特殊这样一个过程，在几何的证明当中，实际上都是这样一种推理的形式。合情推理是从已有的事实出发，评论一些经验、直觉，通过归纳和类比等等这样一些形式，来进行推断，来获得一些可能性结论这样一种思维方式。和演绎推理相不一样的地方，它往往是从特殊到一般这样一种推理，所以合情推理得到的结论，知道不一定是对的，通常可能称之为猜想、推测是一个可能性结论。8、模型思想的建立，使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。9、应用意识就是强调数学和现实的联系，数学和其他学科的联系，如何运用所学到的数学，去解决现实中和其他学科中的一些问题，当然也包括运用一部分数学，去解决另一个数学里的问题。10、创新意识培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心。 在《义务教育阶段数学课程标准（修订稿）》中十个核心概念的内涵在标准当中，设计了十个核心概念，和原来的标准实验稿相比有所增加，有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。1、数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。建立数感，有助于学生理解现

议论文写好核心段落

写好核心段落学会分析说理 议论文是议论说理的文章。说理的实质就是运用论据证明论点的正确，它主要借助于概念、判断和推理来进行。而通常的议论文，也不是每一段都是用来论证的，按段落的内容侧重大致可分为阐释性段落和 论证性段落。阐释性段落主要是提出或总结观点、阐释概念，一般用于总起段、过渡段、总结段等，这些段落写法比较简单。论证性段落是展开论证推理的段落，是议论文形成说服力的关键，按其地位来分，又 可以分为一般性论证段落和核心论证段落。尤其是核心论证段落，写法复杂多变，写好了，一篇文章就成 功了一大半。 怎样写好核心论证段落呢？要从思想上认识到：核心论证段落是集中、充分展示自己思维品质和表达 水平的地方，要力求在结构形式、论述深度、语言美化等方面尽可能地完美，让读者眼前为之一亮。 第一、要掌握核心论证段落的基本结构。核心论证段落层次往往较多，但组合不必弄得太繁复，应追求中心清楚、层次明晰。所以一般采取总分的结构。形成“主题句+支撑句”的形式。中心句可以岀现在段落的任一位置，但通常位于段首。支撑句从不同的角度、深度、广度来证明主题句。支撑句可以按并列、递进、转折、因果、条件、承接等关系组合。常规形式： 主题句+支撑句①+支撑句②+支撑句③+支撑句④+支撑句⑤ ……换 句话说，核心论证段落应该依次包含如下五种功能不同的句子：观点句、阐释句、材料句、分析句、结论句。主题句（观点句）也可以根据需要用连续的两到三句表达，也可以在段落的开头出现，然后在其他位置变换侧重点重现，从而强化论证。有时主题句短小精炼，可以不必作具体的议论性的阐释。 例1:虚怀若谷，是人高尚情操的表现，也只有具备了这一点，才是健全的品格。①（主题句，观点 句）三国周瑜，年少有为，才智过人，堪称一代儒将。②（支撑句1,材料句）可是面对足智多谋、“运筹 帷幄决胜千里之外”的诸葛孔明，周瑜不是虚心向他人学习，而是嫉妒诸葛亮的才华，不肯承认诸葛亮比自己棋高一着的事实，反而发出“既生瑜，何生亮”的慨叹，最终忧愤而死。③（支撑句2，分析句）这一 史实说明了嫉妒的危害，它就像绊脚石，阻碍我们的发展，使我们不能清楚地认识自己的缺点，更不利于健康品格的形成。④（支撑句3，结论句） 上面一段话就是一个典型的核心论证段落，采用了例证法。由四个句子组成。“主题句”是第一句， 二、三、四句是支撑句，第二句和第三句是转折关系，第三句和第四句之间是承接关系。整段话清晰明白，有理有据。 例2:五十年代初，钱学森冲破重重阻拦，终于回到了新中国的怀抱。美国海军次长金波尔在得知他要回国时，立即给美国移民当局写信，声称：“我宁肯把这家伙毙了，也不能让他回国。因为对我们来说至关重要的东西，他知道得太多了。任何时候，他一个人都足以抵得上五个现代加强机械师。”可见，知识就是力量。 这里的分析空洞，先是讲述材料，然后直接得岀结论，缺乏分析说理的具体过程，材料的讲述是叙事性的，如果不跟分析说理结合起来，不仅论述无力，而且文体特征也不鲜明。 【改文】知识就是力量。（观点句）它首先是一种难以量化的、伟大的精神智慧，当然更可转化为具体的、可见的、巨大的物质力量。（阐释句）一介书生，手无缚鸡之力，却可以坐知天下之事。（材料句）凭什么？知识，以及知识带来的预见性。（分析句）史蒂芬?霍金，被卢伽雷氏症（肌萎缩性侧索硬化症）禁锢在轮椅上 20多年，全身能“活动”的，除了眼睛，只剩一根食指，但这并不影响他能够成为继爱因斯坦之后当代最伟大的理论物理学家、享有国际声誉的伟人、超人。（材料句）靠什么？知识一一关于宇宙奥秘：天体物理、时空本 质的最新知识，最富有想象力、创造力的智慧。（分析句）可见，知识能够改变世界，知识能够决定命运，知识 能够给人自由。（结论句）？ 例3 : “知羞耻成人”，一直都是仁人志士立身做人的宝贵经验和修身养性的重要法宝。（______ 句）清代 学者朱起凤年轻时在一家书院教书，因为没有弄清“首施两端”和“首鼠两端”两词通用，而错判学生的作

叙事学分析

叙事学分析 第十章叙事学分析 一、从叙事学的角度看文学 韦勒克曾说：“无论从质上看还是从量上看，关于小说的文学 理论和批评都在关于诗的文学理论和批评之下”。（韦勒克、沃伦： 《文学理论》，三联书店，１９８４年，第２３６页。）这一论断 至少是符合20世纪中期以前的文学理论与批评的现状的，但这一 现状与最近一百多年来小说在文学史上的地位却极不相称。 之所以会出现小说理论与批评长时间落后于诗歌理论与批评 这样的情况，与小说批评一直找不到自己的突破口有关。由于诗 歌语言在节奏、韵律、平仄等方面与日常语言相比有很大差异， 形式因素十分突出，因而从语言学、文体学的角度规定与把握诗 歌的本质不仅是可行的，而且也是很容易被想到的思路。对小说 而言，情况却复杂得多。一方面，小说语言与日常语言在形式上 的差异比诗歌要小得多，小说语体往往是混杂不纯的，因而传统 的以语词选择为核心的形式研究在面对小说这一文体时总是显得 力不从心。另一方面，小说内容层面的东西（人物、情节、故事） 又太容易吸引批评家的注意力，从而使小说话语层面的东西很容 易被掩蔽。中外小说批评几乎都是从最直观的地方开始的。只要 我们稍微涉猎一些19世纪和20世纪初的小说批评，就会发现它们毫无例外都是以情节和人物为核心而展开的批评。这种以人物 和情节为中心的旧式批评，没有抓住小说文体的要害，没有提炼 出概括小说文体本质特征的核心范畴，因而使得小说批评缺乏牢

固的理论基础，无法超越教条式批评和印象式批评的局限，而拥 有广阔的自我发展空间。这种状况只有到20世纪60年代以后， 法国叙事学建立起来的时候，才得到了改观。 叙事学（法文的narratologie,英文译为narratology）一词由法 国结构主义学者托多罗夫在1969年出版的《〈十日谈〉语法》一书中首次使用。用托多罗夫的话说，这是一门“关于叙事作品的 科学” ，“主要是研究叙事文和故事之间的关系，叙事文和叙述 行为之间的关系，以及故事和叙述行为之间的关系。” （见张德寅 编选：《叙述学研究》第１９１页。中国社会科学出版社，１９８９年。）实际上，在此之前，有关叙事学的理论就以诸如叙事作品结构分 析、叙事语法、叙事诗学、叙事话语等不同名称在法国文学研究 和文学批评中出现，但并没有引起理论界太大的关注。叙事学理 论的影响力的扩大最初直接得益于结构主义理论的传播。70年代 以后，叙事学已经成为西方文学理论和批评界广泛关注的一种理 论，这一理论不但由法国波及英美等其它国家，而且在理论形态 上也日趋完善。 托多罗夫的叙事学研究是从用“故事”与“话语”这两个概 念来区分叙事作品的素材与素材的表达方式开始的。托多罗夫认 为，“故事” 是按实际时间及实际的因果关系排列的事件，“话语” 则是指对故事的艺术处理或形式上的加工。在以后的西方叙事学 研究中，尽管不同的理论家对叙事作品的层次划分有不同的看法， 但托多罗夫的这一区分仍然是叙事学研究的起点。作为一种修辞 批评，叙事学批评关注的是叙事作品的话语层面而不是其故事层 面。这正是叙事学批评与传统的关于叙事作品的批评之间的差异

议论文写作中核心概念的运用

议论文写作中核心概念的运用 训练引语概念是思维的起点，是构成判断和论证的最基本元素。正确地理解和运用概念，是进行正确思维的必要条件。同样，在议论文写作中概念的理解和运用至关重要。对于那些含有核心概念的作文题来说，它几乎决定着审题的成败和立意深刻与否；在写作过程中，它也是论证是否深入、说理是否透彻的标志之一。编写此节的目的，就是让考生认识到概念在审题与写作中的重要性，有意识地运用概念使论证更加深入、完美。 佳作：(2016江苏高考优秀作文)根据以下材料，选取角度，自拟题目，写一篇不少于800字的文章；文体不限，诗歌除外。 俗话说，有话则长，无话则短。有人却说，有话则短，无话则长——别人已说的我不必再说，别人无话可说处我也许有话要说。有时这是个性的彰显，有时则是创新意识的闪现。 个性是什么 [标题采用设问形式直接追问材料中的核心概念之一：个性。] 在当今时代，追求个性，彰显自我成了很多青少年的口头禅，然而对于个性的真意，又到底有几人懂得呢？于是，有很多年轻人就给个性找到了一些标识，且自以为是地傲娇了一番。 标签一：个性就是奇装异服？ [小标题领起的内容之一，就是对个性内涵的一种肤浅理解。] 读了这么多年书，我们看到形形色色的热门装束，从喇叭裤到七分裤，再从七分裤到乞丐装。倘若你耐不住寂寞偏要上一趟街，那就必须要有强大的心理承受能力，不然很可能导致精神错乱。前一阵子，网上流传着一个段子，说有位老先生看见个姑娘进了男厕所，禁不住瘫倒在厕所外，口中哀叹，仿佛觉得自己晚节不保，女孩怎么能进了男厕呢？不一会儿，人出来，愣是在花红柳绿间看到两撇线条分明的小胡子。老人哭笑不得，噌的一声就从地上爬了起来。这样的新贵走在大街上，的确很扎眼。奇装异服，花里胡哨，看着个性十足，其实性别不分！ 标签二：个性就是谈吐散漫？ [肤浅理解个性含义的表现之二。] 二十一世纪了，个性就像春天苗儿，疯长疯长地，在各行各业蔓延开来。见到老人，不叫大爷了，改称老头了；见到姑娘，不叫小姐了，改称美女了；见到班主任，不叫老师了，改称老班了。称呼改了，变了味儿了，听着挺时新的，后味儿却透着难以言说的散漫和不尊重。音韵流得那么美的汉语词汇，愣是搞成了奇腔怪调。散漫的谈吐反以个性的帽子穿梭在人中，如若你不找一顶戴着，还有人批评你落伍了，跟不上时代了，严重者便给你扣上没有个性的破帽子。谈吐散漫了，惊天笑话不断，那魅力无边的汉语言文字就这样被个性散漫掉了吗？ 标签三：个性就是行为出位？ [肤浅理解个性含义的表现之三。] 若论青年中翘楚，郭敬明必然是很多年轻人的偶像，文采了得，谈吐了得，打扮了得，行为更了得。最出位的莫过于受到舆论批判的电影《小时代》，片中那些青年男女在灯红酒绿生活中的出位行为，仿佛都刻满了郭敬明的影子。这个曾经的校园才子，因为抄袭事件而备受世人诟病的青年才俊，处处显现出自己个性张扬的一面，似乎自我感觉已是集三千宠爱于一身的王者。可惜了，这样的光环只能是昙花一现。是时候好好深思一下什么才是真正的个性了。 [对前面三种个性含义理解进行一一否定。] 个性究竟是什么？不是给头发变个色，也不是给衣服破个洞，更不是像洪素珠一样处处

十个核心概念是什么

十个核心概念是什么？怎么理解？ 有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。 1、数感主要是指关于数与数量，数量关系，运算结果估计等方面的感悟。它有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 2、符号意识主要是指能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得结论具有一般性。 3、空间观念主要是指根据物体特征，抽象出的几何图形，根据几何图形想象出所描写实物，想象出实物的方位和它们的相互位置关系，描述图形的运动和变化，根据语言的描述，画出图形等等。 4、几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 5、数据分析的观念是指：了解在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断。体会数据中蕴含着信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。 6、运算能力是指能够根据法则和运算进行正确的运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。 7、推理能力是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活当中，经常使用的一种思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理。 8、模型思想是使学生体会和理解数学与外物世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括，从现实生活或具体情境中，抽象出数学问题，用数学符号，建立方程、不等式、函数等数学模型的数量关系和变化规律，然后求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步的形成模型的思想，提高学习数学兴趣和应用意识。 9、应用意识说白了就是强调数学和现实的联系，数学和其他学科的联系，如何运用所学到的数学，去解决现实中和其他学科中的一些问题，当然也包括运用数学知识去解决另一个数学问题。 10、标准里面提出创新意识培养，是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中，学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心等。

“叙事学”(Narratology)

“叙事学”（Narratology) 叙事学(Narratology法文中的“叙述学 ”(narratology)，是由拉丁文词根narrato（叙述）加上希腊文词尾logie（科学）而构成的。七卷本的《大拉霍斯法语词典》是这样解释“叙述学”一词的：“人们有时用它来指称关于文学作品结构的科学研究。”新版《罗伯特法语词典》对该词所下的定义则是：“关于叙事作品、叙述、叙述结构以及叙述性的理论。”两种定义颇有出入，但有一点却是共同的，即：它们都重视对文本的叙述结构的研究。简单说来，叙述学就是关于叙述本文的理论，它着重对叙事文本作技术分析。 尽管“叙事学”一词在1969年才由托多罗夫(T.Todorov)正式提出，但人们对叙事的讨论却早就开始了。柏拉图对叙事进行的模仿(mimesis)／叙事(diegesis)的著名二分说可以被看成是这些讨论的发端。李斯特(Thomas Lister)于1832年就利用“叙述视点”来分析小说作品，同时期的另一位学者洛克哈特(John Gibson Lockhart)更是使用这一术语来探讨如何使作者与自己的作品保持恰当的 “距离”。殷企平等：《英国小说批评史》，上海外语教育出版社2001年版，第78页。 后来经过亨利．詹姆斯(Henry James)的全面讨论，福斯

特(E.M.Forster)和马克．肖尔(M.Schorer)等的深入发挥，叙述视点成为小说批评（自然也包括叙事学）中最为重要的术语之一。 托多罗夫首次提出叙事学一词时，给"Narratology"的定义是：叙事学：关于叙事结构的理论。为了发现结构或描写结构，叙事学研究者将叙事现象分解成组件，然后努力确定它们的功能和相互关系。Todorov,T.Grammaire du Dｅcameron[M].Mouton:The Hague,1969.p69。 托多罗夫综合各家论述，借用语言学中的关键术语，对最小叙事单元、序列和文本进行了描述。他认为，叙事中的最小单位是一些基本命题，可以是表示行动元的命题，如：“X是国王”，也可以是表示动作的命题，如 “X娶了Y”。五个命题构成一个序列：表示初始平衡的命题——表示外力侵入的命题——表示失去平衡 的命题——表示恢复平衡力量的命题——表示新平衡的命题。而序列按照嵌入、接续、交替等方式结合起来就构成完整的叙事文本。Selden,R.A Reader's Guide to Contemporary Literary Theory[M].Kentucky:University Press of Kentucky,1986.p60-61. 法国人类学家兼结构主义者列维－斯特劳斯(L.Strauss)对神话进行研究之后，发现在浩如烟海的神话底下隐藏着某些永恒的普遍结构，任何特定的神话都可以被浓缩成这些结

高考作文精选的核心概念

精心整理 高考作文的核心概念 材料作文题中有时会明确显示写作的核心概念，2015年江苏卷核心概念为“智慧”，2014年江苏卷核心概念为“青春”，有时核心概念是隐藏在材料里面，需要我们弄清材料的内容挖掘出材 ；再如 青春孕育着所有的希望，十六七岁的青年，在人生的航道上，应该珍惜青春，感受多彩的生活，编织斑斓的梦想，实现精神的成长。青春虽然美好，但你没有理由骄矜，毕竟需要汗水的浇灌；生命虽然漫长，但你没有理由挥霍，毕竟转瞬即逝，我们应让青

春的精神不朽，让生命的长度延长，让生命宽度拓展。 阅读和教养 杜甫诗云：“笔落惊风雨，诗成泣鬼神。”流芳百世的经典佳作，它们或豪放、或婉约，或绚丽，或冲淡，或典雅、或通俗，充分展示出了文学的魅力。 现在为什么要提倡阅读经典作品？当下的阅读状况如何？让书籍成为你精神的家园，让流浪的心灵回归安宁的世界，请坚守人类心灵的栖息地。 识字，不等于有知识；有知识，不等于有教养，为什么人需

要不断的反省自己？怎样才能成为一个有教养的人？现在，是我们深入思考这些问题的时候了。 家和家园 个人都有自己的家，都有自己的家园。家乡的山川草木、风土人情和血溶于水的亲情，连同那关于故土的传说，都是我们成 不忘国，不忘家，他们懂得家对他们的意义有多重要，也明白他们的回国是为了给后代创造一个更好的家。 人生旅途中，我们有时会觉得无家可归。但人性的可贵之处在于追求永恒的归宿。这种归宿常常隐藏在人的灵魂深处。

人类的灵魂深处有哪些精神家园可以庇护我们浮躁的心？ 心若没了归宿，到哪里都是流浪。 沧海霁月，迁客骚人，把心伴于真纯，安于恬然，归于宁静。林和靖在“疏影横斜水清浅，暗香浮动月黄昏”的幽静中找到了一个真纯的世界供心灵栖居；陶渊明在“晨兴理荒秽，带月荷锄 益进步的今天，人与自然的关系更需要我们深切关注。 柴静，让2015春天不再寂静。柴静推出的雾霾调查报告《穹顶之下》，再次引发了人们对生态环境的关注。当今社会，经济水平和科学技术不断提高，物质生活的丰盈带给我们更多感官的享

义务教育数学十大核心概念

关于数学学习内容的若干核心概念 在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。 一、数感 1.数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。 2.如何培养学生的数感： 第一，重视低学段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系； 第二，紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感； 第三让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验。 二、符号意识 1.符号意识⑴主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；⑵知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。⑶建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。 2.如何培养学生的符号意识： 第一，在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识； 第二，结合现实情境培养学生的符号意识； 第三，在数学问题解决过程中分钟学生的符号意识。 三、空间观念 1.空间观念主要是⑴指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；⑵想象出物体的方位和相互之间的位置关系；⑶描述图形的运动和变化；⑷依据语言的描述画出图形等。 2.如何培养学生的空间观念 第一，很好地认识空间观念的含义及意义，在图形与几何内容的学习中抓住典型内容，就可以将空间观念的培养贯穿于这个学习过程中； 第二，促进空间观念发展的教学策略： ⑴现实情境和学生经验是发展空间观念的基础；

高三议论文训练(核心段落)

高三语文议论文学案（四） 主备人：章双梅 审核人：孙 振 1 写好议论文的核心段落 一、概念与方法 议论文是议论说理的文章。说理的实质就是运用论据证明论点的正确，它主要借助于概念、判断和推理来进行。通常的议论文，按段落的内容侧重大致可分为阐释性段落和论证性段落。阐释性段落主要是提出或总结观点、阐释概念，一般用于总起段、过渡段、总结段等。论证性段落是展开论证推理的段落，是议论文形成说服力的关键，按其地位来分，又可以分为一般性论证段落和核心论证段落。核心论证段落是集中、充分展示自己思维品质和表达水平的地方，要求在结构形式、论述深度、语言等方面尽可能地完美，让读者眼前为之一亮。核心论证段落写好了，一篇文章就成功了一大半。 核心论证段落特征及要求： 第一：基本结构——一般采用 “主题句+支撑句”的形式。支撑句从不同的角度、深度、广度来证明主题句。支撑句可以按并列、递进、转折、因果、条件、承接等关系组合。层次往往较多，但组合不必弄得太繁复，应追求中心清楚、层次明晰。一般有一个核心素材。 第二、综合运用常规的说理方法，如假设分析、比较分析、因果分析、引用分析、类比分析等。 第三、巧妙联系时代，将人的行为表现放在特定的社会大环境中；能透过现象看到本质，透过行为挖掘内在的精神品质、追问意义等。 第四、语言力争有文采，铿锵有力。多用熟语；整散结合；多用修辞等。 二、片段分析示例 怯行者们勾肩搭背散步时，少数独行者仍在路上摸索。【主题句】 《逍遥游》这部不朽之作出自庄子，人们大多赞叹豁达胸襟，却未曾注意庄子也是独行者。【点明庄子是个独行者】在那样一个“权势制文势”的时代，面对楚庄王做官的邀请，【分析庄子所处的时代、处境】庄子只回以：持竿不顾。二大夫再三劝请，只得“吾愿曳尾于涂中”的坚守。【叙写庄子的表现】即使前方天寒地冻，路遥马亡，庄子仍像一棵独行的树，在清风夜唳中以独行者的身份守护心灵的月亮。【阐明庄子行为的意义】 当我们大多昧昧沉睡时，独行者已整装待发，越过荆棘，涉过荒山，如徐霞客。在60万字的《徐霞客游记》背后是他作为独行者的坚持，只身一人穿过23个省份，因为他知道，有些路再暗再远也只能独行。【由庄子的独行联系到徐霞客的独行】 无论是持竿不顾的庄子，还是独行的徐霞客，他们都是远超当时时代的独行者，独行的脚印印在过去的岁月，而取得的成就却超越时代的限制，直至今日，直至未来。【由点到面，再次阐明独行的意义】 点评：这个语段以庄子为核心素材论述独行的意义，节选的语段围绕“怯行者们勾肩搭背散步时，少数独行者仍在路上摸索”这个主题句，叙写了庄子所处的时代特征、庄子对庄王做官邀请的拒绝、徐霞客在多数人昧昧沉睡时的独行，分析了二位独行者独行的意义，并由点及面，阐明独行的意义：“独行的脚印印在过去的岁月，而取得的成就却超越时代的限制，直至今日，直至未来。”语段的语言铿锵有力，富有文采。是议论文核心段落的典范。 三、学着分析 （一）阅读下面的文章，分析文章4、5节的层次，分析是如何形成文章说理的核心段落。 拒绝平庸 如果可以，我们要做一只会唱歌的麻雀。 总有人有着美丽的梦想，“飞上枝头做凤凰”，可那终究只是个梦想。平凡如我们，与浩茫世界甚至抵不上一粟之于沧海，不就只能是一只小小的麻雀吗？ 我们接受平凡，但我们拒绝平庸。 拒绝平庸，首先需要我们甘于平凡，这并不是一个悖论。飞上高枝的麻雀又有几只呢？剩下的我们， 还是不要做这种不切实际的梦了吧。诗人阿多尼斯有一句话，“不是时间使你衰老，而是妄图留住青春 使你衰老。”我觉得这句话改一改放在这里也是合适的，“不是平凡使你平庸，而是妄图登上高位使你平庸”。我说这话，并不是想让大家放弃追求和奋斗，只是说，既然我们只是平凡的人，为什么不享受平凡的快乐呢？心中充满利欲和扭曲的“出人头地”之愿，纵然一步步登上地位的高峰，却依旧是一步步滑向平庸的深渊。坦然地接受平凡，做一个心无杂念的纯净的人，纵使“饭疏食，饮水，曲肱而枕之”，又有谁会说锦衣玉食能比这来得畅快而有深意呢？ 我猜你要质疑，难道甘于平凡就不会平庸吗？我当然不会同意这样的观点。所以我说，我们要做会唱歌的麻雀。你问我什么叫做会唱歌？就是在我们平凡的生活中做出属于我们自己的不平凡的事。我最喜欢的童话作家安徒生，生长在鞋匠的家庭。他很可能也过完鞋匠平凡的一生，但他选择用自己的笔唱出自己的歌，唱出下层劳苦人民的歌。他本是一只平凡的麻雀，却用歌声为自己的羽毛镀上金色。 也许我们并不能像他一样，但却依然可以唱出自己的歌。说到底，“平庸”便是碌碌无为无所事事，而我们的“歌声”，给自己和他人的人生打上烙印，我们便自然不会平庸。譬如郭明义，他的“歌声”便是他的爱心和善举。即便是现在，他依旧只是一个平凡的工人，可他的生活，难道还是平庸的生活吗？我们甘于平凡，但心中自要有一股不平凡的信念，才能在平凡的人生轨迹上，留下不平凡的印迹。 如果可以，我们要做一只平凡的快乐的麻雀，骄傲地唱着自己的歌。这歌声中自有一种力量，能够让我们远离平庸，唱出属于我们自己的精彩人生。 简评：在“拒绝平庸”的呼声中，我们听到了一只平凡“麻雀”唱响的精彩之歌。文章开宗明义，“我们要做一只会唱歌的麻雀”。“麻雀”者，芸芸众生也。作者先化用诗人的名言，劝诫大家坦然地接受平凡，争取做一只只“心无杂念的纯净的”“麻雀”。但仅此远远不够，还要“会唱歌”。文章取譬恰当，意蕴隽永，缜密的层进文思中显现着作者独到的解读，其中也不乏深刻、精当的点题之句。 （二）阅读《核按钮》第288页《我言秋日胜春朝》(学生《核按钮》第185页)，分析文章3、4、5节的层次，分析是如何形成文章说理的核心段落。 四、写一写 根据以下材料，提取中心，确定恰当的立意，并围绕立意写一段论证与段。要求：中心明确、层次明晰且富有变化，语言生动有力。 诗人普希金说，那过去的一切都会成为亲切的怀念。 画家黄永玉说，世上常有人放着前头的好景不看，转过身朝向过去，只认为过去的都好。

叙事学的几个基本概念

“叙事”一词最早见于柏拉图的《理想国》，其中提出了对叙事进行的模仿（mimesis）/叙事（diegesis）的著名二分说。而“叙事学”一词最早由结构主义文学理论家托多罗夫提出。他在1969年发表的《〈十日谈〉语法》中写道：“……这部著作属于一门尚未存在的科学，我们暂且将这门科学取名为叙事学，即关于叙事作品的科学。” 其他关于叙事学的定义还包括：1.新版《罗伯特法语词典》对“叙事学”所下的定义：“关于叙事作品、叙述、叙述结构以及叙述性的理论。”2.七卷本的《大拉鲁斯法语词典》对“叙事学”的解释是“人们有时用它来指称关于文学作品结构的科学研究。”两种定义颇有出入，但它们都重视对文本的叙述结构的研究。3.托多洛夫：叙事学研究的对象是叙事的本质、形式、功能，无论这种叙事采取的是什么媒介，无论它使用的是文字、图画、声音。它着重研究的是叙事的普遍特征。尤其是故事的语法，即故事的普遍结构。4.热奈特：叙事学研究的范围只限于叙事文学，即以语言为媒介的叙事行为，它对故事不感兴趣，也不试图去概括故事的语法，而是着重研究反映在故事与叙事文本关系上的叙事话语，包括时序、语式、语态等。简单说来，叙述学就是关于叙述本文的理论，注重对故事和文本层面的研究。同时还着重对叙事文本作技术分析。 而叙事学作为一门学科正式确立是20世纪60年代，在结构主义与俄国形式主义影响下形成。它被明确定义为：“研究所有形式叙事中的共同叙事特征和个体差异特征，旨在描述控制叙事（及叙事过程）中与叙事相关的规则系统的学科。” 二、叙事学的起源及发展过程 1. 从思想渊源看，叙事学理论起源于20世纪20年代的俄国形式主义及弗拉基米尔·普洛普（Vladimir Propp）所开创的结构主义叙事先河。 首先，俄国形式主义者什克洛夫斯基等人发现了“故事”和“情节”之间的差异，“故事”指的是作品叙述的按实际时间顺序的所有事件，“情节”侧重指事件在作品中出现的实际情况，这些直接影响了叙事学对叙事作品结构层次的划分。他们提出“故事”和“情节”的概念来指代叙事作品的素材内容和表达形式，大致勾勒出其后经典叙事学研究所聚焦的故事与话语两个层面，以此来突出研究叙事作品中的技巧。其次，对叙事学影响直接、贡献最大的是俄国民俗学家、结构主义叙事学的先驱普洛普。他的代表作品《民间故事形态学》是叙事学的发轫之作。他通过对俄国100个民间故事的研究分析，打破了传统按人物和主题对童话进行分类的方法，认为故事中的基本单位不是人物而是人物在故事中的“功能”，由此从众多的俄国民间故事中分析出31个“叙事功能”。后来他的观点被列维—斯特劳斯接受并传到法国。 年代，大量关于叙事作品结构分析的作品开始涌现。较著名的有：1.法国叙述符号学家格雷马斯于1966年出版的《结构语义学》一书，主要研究叙事结构和话语结构。2.法国符号学家罗兰·巴特也于1966年发表了著名的《叙事作品结构分析导论》。他在论文中提出将叙事作品分为三个描写层次，即功能层（作品系统中最小的叙述单位，是故事中以相关项面貌出现的切分成分）、行为层（人物层）、叙述层（描写叙述作品本身过程中叙述者和读者得以获取意义的代码），以此分析读者对文本的横向阅读和纵向阅读。这篇论文为之后的叙事学研究提出了纲领性的理论设想。 叙事学经过30多年的发展，已经自成体系并不断壮大。20世纪80年代又兴起了“后经典叙事学”即“新叙事学”，推进了叙事学的进一步开拓和发展。

【全国通用】2019届高考语文二轮复习导学案：第7章_阐释辨析论证深入—议论文写作中核心概念的运用_含答案

学案17 阐释辨析，论证深入——议论文写作中核心概念的运用 学案引语概念是思维的起点，是构成判断和论证的最基本元素。正确地理解和运用概念，是进行正确思维的必要条件。同样，在议论文写作中概念的理解和运用至关重要。对于那些含有核心概念的作文题来说，它几乎决定着审题的成败和立意深刻与否；在写作过程中，它也是论证是否深入、说理是否透彻的标志之一。编写此学案的目的，就是让考生认识到概念在审题与写作中的重要性，有意识地运用概念使论证更加深入、完美。 品读佳作，体悟出彩理由 佳作：(2016·江苏高考优秀作文)根据以下材料，选取角度，自拟题目，写一篇不少于800字的文章；文体不限，诗歌除外。 俗话说，有话则长，无话则短。有人却说，有话则短，无话则长——别人已说的我不必再说，别人无话可说处我也许有话要说。有时这是个性的彰显，有时则是创新意识的闪现。 个性是什么 标题采用设问形式直接追问材料中的核心概念之一：个性。 在当今时代，追求个性，彰显自我成了很多青少年的口头禅，然而对于个性的真意，又到底有几人懂得呢？于是，有很多年轻人就给个性找到了一些标识，且自以为是地傲娇了一番。 标签一：个性就是奇装异服？ 小标题领起的内容之一，就是对个性内涵的一种肤浅理解。 读了这么多年书，我们看到形形色色的热门装束，从喇叭裤到七分裤，再从七分裤到乞丐装。倘若你耐不住寂寞偏要上一趟街，那就必须要有强大的心理承受能力，不然很可能导致精神错乱。前一阵子，网上流传着一个段子，说有位老先生看见个“姑娘”进了男厕所，禁不住瘫倒在厕所外，口中哀叹，仿佛觉得自己晚节不保，女孩怎么能进了男厕呢？不一会儿，人出来，愣是在花红柳绿间看到两撇线条分明的小胡子。老人哭笑不得，噌的一声就从地上爬了起来。这样的“新贵”走在大街上，的确很扎眼。奇装异服，花里胡哨，看着个性十足，其实性别不分！ 标签二：个性就是谈吐散漫？ 肤浅理解“个性”含义的表现之二。 二十一世纪了，个性就像春天苗儿，疯长疯长地，在各行各业蔓延开来。见到老人，不叫“大爷”了，改称“老头”了；见到姑娘，不叫“小姐”了，改称“美女”了；见到班主任，不叫老师了，改称“老班”了。称呼改了，变了味儿了，听着挺时新的，后味儿却透着难以言说的散漫和不尊重。音韵流转得那么美的汉语词汇，愣是搞成了奇腔怪调。散漫的谈吐反以个性的帽子穿梭在人群中，如若你不找一顶戴着，还有人批评你落伍了，跟不上时代了，严重者便给你扣上没有个性的破帽子。谈吐散漫了，惊天笑话不断，那魅力无边的汉语言文字就这样被个性散漫掉了吗？ 标签三：个性就是行为出位？ 肤浅理解“个性”含义的表现之三。 若论青年中翘楚，郭敬明必然是很多年轻人的偶像，文采了得，谈吐了得，打扮了得，行为更了得。最出位的莫过于受到舆论批判的电影《小时代》，片中那些青年男女在灯红酒绿生活中的出位行为，仿佛都刻满

核心概念

关于数学“核心概念”“核心素养”“学科德育”浅析 山东省巨野县文昌路小学刘凤霞 【摘要】近来，不断有专家提出新的理念与学科术语，令老师们有些眼花缭乱。针对这种状况，笔者认为应该教给教师辨析概念的方法，而不是一味地传授概念，这样才能正本清源，真正明晰概念的真正内涵与外延。 【关键词】核心素养核心概念学科德育 【正文】 自从2011年新的课程标准颁布以来，各种新理念也纷至沓来。就数学学科来说，从一开始的“十大核心概念”，到现在都在讨论的“核心素养”，以及近来我们山东省教育厅的课题中提到的“学科德育”。看到这些，很多老师迷茫了，几乎找不到方向感。也难怪，老师们的教学理念毕竟有限，这么多的新鲜名词纷纷压过来，确实有些招架不了。 为此，我们必须对此进行一下思路的梳理与概念的辨析，这样才能正本清源，以使我们在今后的教学之路上有一个更清醒的认识。 一、梳理概念 数学课程标准明确指出数学“十大核心概念”包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。这十大核心概念在数学教材中大都独立存在，并且是螺旋上升的。

而数学核心素养则包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个部分。 从“核心概念”与“核心素养”界定的范围来看，二者之间有很多相互交叉之处（如下图）。 “学科德育”是山东省教育科学研究院提出的“十三五”规划重点课题，它针对每一学科都制定了不同的德育目标，就数学学科来说，数学学科实施德育主要通过习题演算、讨论交流、合作探究、社会实践等活动进行，侧重于逻辑推理、实践反思、数学审美与道德品质的统一。主要包括“思维严谨”、“理性精神”、“数学审美”、“爱国主义”。 小学数学核心概念、核心素养、学科德育对照表

(江苏专版)2020高考语文写作针对训练任务(十六)拎出核心概念,定义定意,阐释辨析教案

任务(十六) 拎出核心概念，定义定意，阐释辨析 任务情境无论是命题作文、材料作文还是任务驱动型作文，其材料中总包含一至两个核心概念。对这一两个核心概念的理解，关乎审题立意的准确、深刻。同时，理清核心概念是议论文写作的第一步，也是议论文论证的力量之源。因此，对于考场作文来说，正确理解其内涵，发挥好它在审题立意、展开论证方面的作用显得尤为重要。本任务试图帮你认识核心概念的运用以及理解它的方法。 品读佳作，体悟出彩理由 (2019·全国Ⅰ)题目见任务(十五)“品读佳作”部分。 以心中之爱，开脚下之路 亲爱的同学们： 大家好，今天我演讲的题目是“以心中之爱，开脚下之路”。 风因热爱风景而永不止息，雨因热爱人间而跌落云端，而人类因热爱生活而辛勤劳动，缔造了今日的繁华世界。提起“劳动”二字，可能大家想到的就是“苦”或“累”，但我今天想为劳动正名。《现代汉语词典》对“劳动”的解释有两层含义，一是指体力劳动；二是指人类创造物质或精神财富的活动。这样看来，“劳动”二字虽简短却意蕴丰富，值得我们深思。 由“劳动”词典义开始。 有人不愿意劳动，大多是将之狭隘地理解为体力劳动。的确，在这知识经济飞速发展的时代，更易获得较高劳动报酬的脑力劳动深受人们青睐，但就社会而言，二者都必不可少。劳动是耕作，春日播种，秋收冬藏，一畦畦土地既是农民的希望，也是国之根基；劳动是科研，天眼倾听宇宙声音，宇宙飞船探索星球奥秘，一项项突破既是科研工作者的汗水，也是国之动力。 紧承上文，指出应全面理解“劳动”的含义。 点明“劳动”的具体含义：两个整句对应其两层含义。 回眸亘古及今的人类历史，人类是用劳动描绘蓝图的。“民生在勤，勤则不匮”，从茹毛饮血到民智初开，从沐浴清化到现代文明，中国史乃至人类史都是一部劳动史、一部创造史。从遗迹当中，我们依稀可以窥见人类是如何用自己的双手在这片土地上“开辟天地”的。

2020年高考作文指导：议论文核心语段写作技巧

2020年高考作文指导：议论文核心语段写作 技巧 一、要掌握核心语段的基本结构 模式：主题句+支撑句1、2、3、4…… 核心语段的组合不必太繁复，应追求中心清楚，层次明晰，所以一般采取总分结构，形成“主题句+支撑句”的形式。 中心句通常位于段首。支撑句从不同角度、深度、广度来证明主题句。支撑句可以按并列、递进、转折、因果、条件、承接等关系组合。 例如：①虚怀若谷，是人高尚情操的表现，也只有具备了这一点，才是健全的品格。②三国周瑜，年少有为，才智过人，堪称一代儒将。③可是面对足智多谋“运筹帷幄决胜于千里之外”的诸葛孔明，周瑜不是虚心向他人学习，而是忌妒诸葛亮的才华，不肯承认诸葛亮比自己棋高一着的事实，反而发出“既生瑜何生亮”的慨叹，最终忧愤而死。 ④这一史实说明了嫉妒的危害，它就像绊脚石，阻碍我们的发展，使我们不能清楚地认识自己的缺点，更不利于健康品格的形成。 【分析】此段采用了例证法。由四个句子组成。“主题句”是①，②③④是支撑句。第2句和第3句是转折关系第3句和第4句之间是承接关系。整段话清晰明白，有理有

据。 主题句即观点句。其主要内容要用概括的关键词明确表达，后面的主题句才有充分展开分述的空间，也才能给结论留下回扣的对应点。例如： 自信比相信天命更有意义。(观点句)一般人通常喜欢相信天命，在他们的意识里，任何事物都归于上天的安排(过渡句)：生命从上天获得，健康有上天保佑，饮食靠上天赏赐，利益有上天赠与。(概括叙述现象)过分地相信上天，结果把自己的主权毫无条件地送给了神明，而不知道自己的命运要靠自己主宰的道理。(分析现象的危害)只有自信才能主宰自己的命运：黑暗的可以变成光明，悲伤的可以化为幸福，崎岖不平的道路可以铺成平坦光明的坦途。(阐释道理)要相信自己的生活幸福、精神愉快、前途光明都得靠自己争取，凡事靠自己的双手去创造，比依赖神明的支配不是更加实惠吗?(揭示普遍道理) 【分析】观点要靠事实说话，但这绝不意味着可以用观点加材料的简单公式便可以自然地得出结论。要知道，再典型的事例也只是个案，现象的背后都可能包含普遍的道理，但需要科学的归纳，理性的提炼。这个归纳和提炼的过程就是从感觉中提升感悟的过程。//这种思路通常的组织形式是：①段首观点句，②引用具体的事例(可以是单个经历，也可以是多则事件;可以是百态列举，也可以是世象组合。

议论文核心段落的写作方法指引

议论文核心段落的写作方法指引 议论文是议论说理的文章。说理的实质就是运用论据证明论点的正确，它主要借助于概念、判断和推理来进行。而通常的议论文，也不是每一段都是用来论证的，按段落的内容侧重大致可分为阐释性段落和论证性段落。 阐释性段落主要是提出或总结观点、阐释概念，一般用于总起段、过渡段、总结段等，这些段落写法比较简单。 论证性段落是展开论证推理的段落，是议论文形成说服力的关键，按其地位来分，又可以分为一般性论证段落和核心论证段落。尤其是核心论证段落，写法复杂多变，写好了，一篇文章就成功了一大半。 换句话说，一篇优秀的议论文离不开丰富的论据、充沛的情感和严密的逻辑三个方面，而构成这三个方面的部件就是议论文的主体段。一篇议论文如果能有几个联系密切并具有较强论证力度的主体段，那就会增加论证的深度、广度和厚度，颇具层次感，使议论文富有说服力。议论文出彩与否虽说与标题、开头和结尾有关，但更与主体段密切相关。作者的议论能力也主要体现在主体段。因此，写好议论文的主体段至关重要。 ★议论核心语段五步法： 1、第一步，写观点句：段的首句设置本段的分论点，准确鲜明。 开门见山，使阅卷老师明白你本段要论证什么问题。 2、第二步，写阐释句：紧跟观点句，力求清晰简洁易懂；可引用名人名言，从理论上对分论点进行论证（理论论证）。 要注意名人名言与分论点有关系，如没有联系，则不能起论证作用。 3、第三步，写材料句：列举典型事例，古今中外，正反事例均可。所举事例要紧扣分论点。写法上叙述讲究简明扼要，选材角度准确，多写与观点紧密相关的细节信息，其余无关的不要过多叙述。 4、第四步，写分析句：分析说理——紧扣主题，结合选材，对事实进行切中肯綮的深刻剖析。 这是本段最重要的一步，因为光列举一个两个事例，不进行分析说理，那举出的事例就不能成为分论点的论据，也就没有说服力了。 5、第五步，写结论句：联系实际，适当延伸，回应段首观点句 本段小结，照应本段开头，重申这一段的分论点。 1