矩阵指数函数的性质与计算
矩阵指数函数的性质与计算PROPERTIES AND CALCULATION OF MATRIX EXPONENTIAL FUNCTION
指导教师姓名：
申请学位级别：学士
论文提交日期：2014年6月 8日
摘要
矩阵函数是矩阵理论的重要组成部分，而矩阵函数中的一个最重要的函数就是矩阵指数函数，它广泛地应用于自控理论和微分方程。本文深入浅出地介绍了矩阵指数函数，并进一步探讨如何借助矩阵指数函数分析相关问题。文章以齐次线性微分方程组求解基解矩阵为出发点引出矩阵指数函数的概念，证明求解矩阵指数函数就是求解齐次线性微分方程组的基解矩阵，然后得到矩阵指数函数的一些基本性质。本文的重点是讨论矩阵指数函数的五种计算方法。其中，前三种方法广泛适用于各种矩阵，虽然计算过程复杂程度不同，但都需要计算矩阵特征值，如遇高阶矩阵或复特征值，则特征值的计算会变得异常麻烦。后两种方法较特殊，虽然缺乏普适性，只能计算特殊矩阵的指数函数，但却避过了特征值计算，简化了运算过程。最后，本文具体阐述矩阵指数函数在微分方程求解中的应用。
关键词：矩阵指数函数；Jordon 标准形；微分方程组
ABSTRACT
Matrix function is an important part of the matrix theory. And among the matrix function, there is a special and important function that is matrix exponential function. It has been widely used in automatic control theory and differential equations. This paper introduces profound theories on matrix exponential function in simple language, furthermore, it explores how to use matrix exponential function analysis related issues. Through the basic solution matrix of homogeneous linear differential equations, this paper draws out the concept of matrix exponential function. In this part, the author proves that solving matrix exponential function is to solve the basic solution matrix of the homogeneous linear differential equations. Then, some basic properties of matrix exponential function can be derived. The focus of this paper is on the discussion of five kinds of calculation on matrix exponential function. The first three methods can be applied to general cases. Although each method is different, in complexity, all of them need to compute the matrix eigenvalues. The calculation on high-order matrix or complex eigenvalues will be in trouble frequently. The latter two methods is more special for they can only calculate special matrix exponential function. These methods simplify the operation process instead of calculating eigenvalues, but their shortcomings are obvious. At the final part of this paper, the article expounds the application of matrix exponential function in different equations when solving the function in reality.
Key words: Matrix exponential function; Jordon normal form; Differential equations
目录
1 前言 (1)
1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史 (1)
1.2 本文的主要内容 (2)
2 预备知识 (3)
3 矩阵指数函数的性质 (7)
3.1 矩阵指数 (7)
3.1.1 关于级数
! k k
k
A t
k ∞
=
∑的收敛性 (7)
3.1.2 矩阵指数A e的性质 (8)
3.1.3 常系数线性微分方程基解矩阵 (10)
3.2 矩阵指数函数的性质 (100)
3.2.1 矩阵函数 (100)
3.2.2 矩阵指数函数的性质 (111)
4 矩阵指数函数的计算方法 (177)
4.1 矩阵指数函数的一般计算方法 (177)
4.1.1 Hamilton‐Cayley求解法 (177)
4.1.2 微分方程系数求解法 (211)
4.1.3 Jordon块求解法 (233)
4.2 矩阵指数函数的特殊计算方法 (266)
4.2.1 矩阵指数函数展开法 (277)
4.2.2 Laplace变换法 (27)
4.3 矩阵指数函数方法比较 (28)
5 矩阵指数函数在微分方程中的应用 (300)
6 总结 (333)
参考文献 (334)
致谢 (35)
1 前言
1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史
在数学中，矩阵（Matrix）是很常用的工具，虽然Matrix亦有―子宫，或者控制中心的母体，孕育生命的地方‖此类含义，然而矩阵却与生物没有太大的关联，矩阵（Matrix）是指在二维空间里的数据纵横分布形成的表格，最先起源于方程组的各项系数和常数所组成的方阵。矩阵的系统概念首先被英国的著名数学家凯利提出。
实际上，虽然矩阵（Matrix）这个概念诞生于19世纪，矩阵本身却有着非常古老的历史，早在很久以前就已发现幻方以及古老的拉丁方阵等关于矩阵方面相关研究记录。在我们平时遇到的相关问题中，在解决线性方程方面问题的时候都会用到矩阵，在古代中国，也有很多类似于矩阵方面研究载，在魏晋的刘徽所编著的数学巨著《九章算术》中，就已经提到了怎样求解线性方程组增广矩阵。书理用类似分离系数法的方法来表示线性方程组，在其一行乘以一个非零实数、把其中一行中和另一行相减等运算技巧，类似现在矩阵变换里面的初等变换。然而由于当时世界各地并没有系统的矩阵研究，也没有相关概念，所以仅仅以线性方程内的表示方法为标准和相关的处理方式记录在书中。
在正常的逻辑中，矩阵系统这个概念应该在行列式之前被提出，但是在实际的数学历史中却正好相反。在对行列式研究的体系慢慢完善起来之后，矩阵才慢慢进入数学家们的视野。在该领域的数学家中，日本非常有名的关孝和（1683年）与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）（微积分理论的提出者之一）在大致相同的时地独自建立了行列式理论。在这以后这一理论不断发展，其经常被用来求解线性方程组。1750年，加布里尔·克拉默提出了克莱姆法则。随后，由于研究的需要，行数等于列数的行列式在解决重要的数学问题是有很大的局限性，无法满足实际需要。
于是矩阵便应运而生。矩阵的当代概念体系在19世纪慢慢完成。实际上矩阵的概念与行列式的概念有本质上的区别，其使用也有很大的不同。在这一领域的数学家中，1850年，英国的詹姆斯（James Joseph Sylvester）最开始使用矩阵这个名字将数字构成的矩形阵列和最开始的行列式分离。
矩阵论体系的创立者一般被认为是英国著名数学家凯莱（Cayley），他将矩阵这个数学概念完全独立为一个新的数学对象，矩阵里面很多相关性质先在行列式问题的讨论中业已被发现，所以矩阵的概念的提出很容易被人接受。在1858年，凯莱（Cayley）在他所写的《矩阵论的研究报告》里面有体系地说明了矩阵的一些基本理论。在这篇报告里面作者规定了矩阵相等、算法、转置和矩阵基本概念，
如逆矩阵的加法，给出了系列，互换性和约束力的概念。除此之外，凯莱（Cayley）亦在报告里写下了方阵的特征方程以及特征根还有矩阵的少许基本结论。
此外，在之后关于矩阵系统的研究中，也有很多其他的数学家做出了重要的发现。德国数学家弗洛伯纽斯（Frobenius）最先提出了最小多项式的概念，矩阵中秩的概念介绍、不变的因素和主要因素、正交矩阵的相似变换，矩阵的其他概念，如合同、不变的因素和主要因素理论的逻辑排列的形式等等。在1854年，约丹首次发现了把一般矩阵化为标准型的方法。1892年，梅茨勒（Metzler）使用并发展了矩阵函数及其相关概念并用它们整理出矩阵幂级数的形式。另外，庞加莱（Poincare）以及傅立叶（Fourier）还探讨了与无限阶矩阵相关的一些问题。到了这个时候，矩阵体系业已很完善了。
1.2 本文的主要内容
矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数函数。本论文的题目是矩阵指数函数的性质和计算，所以主要论述便是性质和计算。在文章的开始，本文会论述矩阵的相关发展与历史，在第二章会对本文用到的基本数学知识进行介绍，在文章的第三章，本文将会从齐次微分方程引入矩阵指数的概念，关于性质和计算部分主要在第四与第五章进行论述，性质部分论述了矩阵函数的性质，同时介绍了矩阵指数函数的相关特性；第五章将会介绍三种矩阵指数函数的计算方法，并会对这三种方法进行对比。最后本文将会介绍矩阵指数函数在微分方程中的应用。
2 预备知识
为了课题讨论中便于理解，引入研究此论文所需矩阵的相关知识概念：在这
里，
n n
F ?表示对数域F 上n n ?矩阵的全部线性空间，因此n n C ?表示n n ?复矩阵集。
1、矩阵的谱
矩阵A 通过数学运算计算出来的特征值的集合就是一个矩阵的谱，通过数学表达式表示出来也就是：()
A σ表示A 的谱，即
(){}
A A σλλ=是的特征值；
2、矩阵的谱半径
设A 是阶数为n n ?的矩阵，其中矩阵的特征值是i λ，1,2,,i n =，若写作数
学表达式也就是：
(){}
max A A ρλλ= 是的特征值为A 的谱半径。即矩阵A 的谱
半径是矩阵A 中所有的特征值中最大模的值；如果矩阵特征值是虚数，则谱半径是特征值实部与虚部的平方和的算术平方根。 3、矩阵的化零多项式与它的最小多项式
定义 2.1给定矩阵, 如果多项式1110()m m m m p λαλαλαλαλ--=++
++满足
()0p A =，则称()p λ是A 的化零多项式。
定义2.2 在A 的化零多项式中，各项中次数最低同时首项的系数为1的化零多项式可以称作是A 的最小多项式，记为()A λψ。
依据高等代数的基本定理，在复数域的范围里可以有如下证明：
性质2.1 设 n n A C ?∈,12,,...,r λλλ是A 中的r 个特征值，他们互不相同，()A λψ为矩阵A 的最小多项式同时1212()()()()r d d d A r λλλλλλλψ=--???-,其中
11(1,2,,),r
i i i d i r d m =≥=???=∑
如果函数()f x 的导数值拥有足够多阶，同时一下m 个值(称()f x 在影谱上的值) (1)'(),(),...,(),1,2,...,i d i i i f f f i r λλλ-=有意义，则可以说函数()f x 在A 矩阵的谱影上有定义。
一个函数在给定矩阵的谱上可以没有定义。
4、 矩阵级数
定义2.3：设{}k A 是m n c ?的矩阵序列，在这里()k k m n ij A a C ?=∈，矩阵集{}
k A 的无穷和1
2
3
k
A A A A +++???++???称为矩阵的级数，记为1
k k A ∞
=∑.这里相对正整数1
k ≥而言，可以记作1k
k
i
i S A ==∑。()
k S 可以被称为矩阵级数1
k k A ∞
=∑的部分和，如果此矩
阵序列是收敛，同时此矩阵序列有极限S ，即lim k
k S S →∞
=，则矩阵级数1
k k A ∞
=∑可以
被证为收敛的，同时S 可以称为矩阵级数1
k
k A ∞=∑的和，记作1
k k A S ∞
==∑。如果矩阵
级数不收敛，则可称作发散的。 定义2.4：设n n A C ?∈，矩阵级数形如
20120
k
k k k k c A
c I c A c A c A ∞
==+++++
∑，
可以被称为矩阵幂级数。 5、齐次微分方程组
在线性微分方程组
'()()x A t x f t =+ （2.1）
如果()0f t ≠则称（2.1）为非齐次线性的， 如果()0f t =则为齐次线性的，此时方程形式为
'()x A t x =
通常上式称为对应于（2.1）的齐次线性微分方程组。
6、正定矩阵
在线性代数的领域中，一个正定矩阵(positive definite matrix)偶尔会被简称作正定阵。在双线性代数的领域中，正定矩阵似复数中的正实数的性质。对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）是和正定矩阵相对应的线性算子。正定矩阵的定义分为广义的定义和狭义的定义。广义的定义：设一个n 阶方阵M ，如果对任何z (z 是非零向量)，如果都存在 '0z Mz >，在这里z 的
转置表示为'z ，就可以将M 称作一个正定矩阵。例如：一个n 阶的矩阵B ，E 表示一个单位矩阵，a 指正实数。aE B +在a 足够大的时候，aE B +就可以被称作一个正定矩阵（在这里B 必须是一个对称矩阵）。狭义定义：M 是n 阶的实对称矩阵，同时M 是正定的，在这里当且仅当，M 对于所有的非零实系数向量z ，都存在'0z Mz >。在这里z 的转置可以表示为'z 。 7、Hermitian 矩阵
A 是n 阶复方阵，在这里如果A 的对称单元互为共轭，也就是说A 的共轭转置矩阵就是它自己，则方阵A 是埃尔米特矩阵(Hermitian Matrix)。明显可以看出Hermitian 矩阵是实对称阵的推广。
推论
A 是n 阶Hermitian 矩阵，同时A 也是正定（半正定）矩阵的充分必
要的条件是矩阵A 中所求得的所有的特征值都大于等于0。 8、Jordan 矩阵
形如下列的由主对角线为特征值，次对角线为1的Jordan 块按对角排列组成的矩阵称为Jordan 形矩阵,而主对角线上的小块方阵i J 称为Jordan 块.
1
2
00
s J J J J ?????
?=??????
， 1
010
i i
i i
i i n n
J λλλ??????
?=??????。 9、范德蒙矩阵
范德蒙矩阵是法国数学家范德蒙(Vandermonde,AlexandreTheophile, 1735～1796) 提出的一种各列为几何级数的矩阵。其形式如下：
211
11212222
13332
11
11
1n n n n m m m V αααααααααααα----??
?????
???????=???????
??????
?
在范德蒙矩阵中，矩阵的行数是m ，矩阵的列数是n ，则矩阵拥有最大的秩
min(,)m n 。
10、酉矩阵
定义2.5 如果一个n n ?的复数矩阵，这个矩阵满足条件：
**n U U UU E ==
在这里，*U 是U 的共轭转置，n E 是n 阶单位矩阵，U 可以被称作酉矩阵。
3 矩阵指数矩阵指数函数的性质
在计算常系数线性微分方程的时候时，主要考虑的是齐次线性微分方程组
'x Ax =，这个方程组的基解矩阵的结构非常重要，在这里，本文所研究的主要问
题--矩阵指数函数At e 和齐次线性微分方程组'
x Ax =的基解矩阵的求解密切相
关。
在本章中，将从齐次线性微分方程组基解矩阵的求解开始，对矩阵指数的概念进行研究，然后再对矩阵指数函数的性质进行详细讨论，在本章的3.1矩阵指数函数中，本文将会一步一步将矩阵指数函数和齐次线性微分方程组'x Ax =联系起来，并证明矩阵()At t e Φ=就是齐次线性微分方程组'x Ax =的基解矩阵。在3.2 节矩阵指数函数的性质中，本文将先简单介绍矩阵函数的概念，在介绍矩阵指数函数时，会先从指数函数的概念中推出类似的矩阵指数函数的性质，并对它们进行一一证明。 3.1矩阵指数
首先，齐次线性微分方程组可以简单的表示为
'x Ax = （3.1）
这里A 是n n ?常数矩阵。本文将运用代数的方法寻求（3.1）的一个基解矩阵。
为了求解（3.1）的基解矩阵，需要定义矩阵指数A e 。
如果A 为一个是n n ?常数矩阵，那么我们可以将A e 定义为下面的矩阵级数的和
20!
2!!k m
A
k A A A e E A k m ∞
===+++???++???∑， （3.2）
其中E 是指n 阶的单位矩阵，矩阵m A 是A 的m 次幂。特别的，在这里，我们可以设定0A E =，0!1=。这个级数对于所有的A 都是收敛的，所以A e 是个确定的矩阵。特别的，对所有的元都为0的零矩阵0，有0e E =。
此时，若令
0()
!k k
k A t x k ∞
==∑
代入（3.1）中
03212
'()'
!
02!!
()!k k
k m m
k k
k A t x k A t A t A A t m A t A Ax
k ∞
=+∞
===++++???++???+==∑∑
这与At
e 十分相似，但是此时并不能确定二者关系如何，接下来，会对二者的
关系进行讨论。
3.1.1关于级数At e 的收敛性
易知对于一切正整数k ，有
!!
k
k
A A k k ≤， 又因为任意矩阵A ，A 是一个确定的实数，所以数值级数
22!!
m
A A
E A m +++???++???
是收敛的（上式和为1A
n e -+）。假设矩阵级数任意项的范数都小于相对应的收敛数值级数的相应项，那么我们可以推得此矩阵级数为收敛的，所以（3.2）先对所有矩阵A 全是绝对收敛的。
进一步指出，级数
0!
k k
At
k A t e k ∞
==∑ （3.3） 在所有有限区间上是一致收敛的。
实际上，相对所有正整数k ，当
c
t ≤（c 为一个正常数）时，可以存在
!!
!
k
k
k
k k k
A t A c A t k k k ≤≤
，
而数值级数()
0!
k
k A c k ∞
=∑
是收敛的，所以（3.3）是一致收敛的。
因为（3.3）是一致收敛的，所以可以对（3.3）进行求导。在3.1.3节的证明过程中会用到此证明结果。
3.1.2矩阵指数A e 的性质
1.如果矩阵A 和B 是可交换的，即BA AB =，则
()A B A B e e e += （3.4）
事实上，由于矩阵级数（3.3）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，其中包含级数的收敛性不受项的重新排列影响和级数的和以及乘法运算的性质等都能够运用到这里来，由二项式定理以及BA AB =可得到
()
000()!!()!k
l k l A B K k l A B A B e
k l k l -∞
∞
∞+===??+==??-??∑∑∑ （3.5） 另一方面，由绝对收敛级数的乘法定理得
0000!!!()!i j
l k l A B
i j k l A B A B e e i j l k l -∞
∞∞
∞====??==??-??
∑
∑∑∑ （3.6） 比较（3.5）以及（3.6），推得（3.4）. 2.对于任何矩阵A ，存在1()A e -，且
1()()A A e e --=
实际上，A 和A -是可交换的，所以在（3.4）中，令B A =-，本文推得
(())0A A A A e e e e E -+-===，
因此，可以推得
1()()A A e e --=.
如果T 是非奇异矩阵，则
1
1()T
AT
A e T e T --=. (3.7)
事实上
()
1
1()
1111
11!
!!()k
T
AT k k k k k A T AT e E k T A T E k A E T T
k T e T
--∞
=-∞
=∞-=-=+=+??
=+ ???
=∑
∑
∑
这就是本文所需要证明的。
3.1.3常系数线性微分方程基解矩阵
在之前的两个小节中，本文已经证明了（3.3）的收敛性同时也介绍了矩阵指数相关性质。在本节，会阐明矩阵指数函数与常系数线性微分方程的基解矩阵的关系（即定理3.1），并对此关系进行证明。 定理3.1 矩阵
()At t e Φ= （3.8）
是（3.1）的基解矩阵。且(0)E Φ=.
证明
有定义易知(0)E Φ=.（3.8）对t 求导，我们得到
2321
'()()'
1!2!(1)!()
At k k At t e A t A t A t A k Ae A t -Φ==+++???++???+
-==Φ
这就表明，()t Φ是（3.1）的解矩阵。 又有det (0)det 1E Φ==。
因此(1)Φ是（3.1）的基解矩阵。证毕。
根据定理3.1，我们能够使用此基解矩阵得知（3.1）的解()t ?全拥有以下形式
()()At t e c ?= （3.9）
这里c 是一个常数向量。
由此，求解（3.1）基解矩阵的问题便可以转化为对矩阵指数函数的求解。 3.2 矩阵指数函数的性质
在上一章矩阵指数中我们从求解常系数线性微分方程组的过程中认识到了矩阵指数的概念，并且了解到了（3.8）就是就是常系数微分方程组的基解矩阵。 在本章开始我们将简单的介绍矩阵函数的性质，再对矩阵指数函数的性质进行描述与证明. 3.2.1矩阵函数
定理3.2.1 假设()p λ和()q λ是两个互相不一样的多项式，在这里A 是一个n 阶矩阵，那么()()p A q A =他的充要条件就是在A 的影谱上()p λ和()q λ的值对应相等，即
()()()(),(1,2,...,1)k k i i i p q i d λλ==-
通过利用矩阵多项式，以下将写出矩阵函数的定义． 定义3.2.2 设在n 阶矩阵A 的影谱上函数()f x 有定义，即
()(),(1,2,...,;0,1,2,...,1)k i i f i s k d λ==-
它的值是确定值．如果()p λ是一个多项式，同时符合
()()()(),(1,2,...,;0,1,2,...,1)k k i i i f p i s k d λλ===-
那么矩阵函数()f A 可以定义作()()f A p A =。
定理 3.2.3 设n n A C ?∈，在这里矩阵A 的谱()f x 半径为ρ，如果函数()f x 的幂级数的表示式是
0()k k k f x c x x ρ∞
==<∑，
则当ρ<+∞时
0()k k k f A c A ∞
==∑
根据定理3.2.3 可以推出很多关于矩阵函数的幂级数表示式，列举其中3个
211
2!!
A n e E A A A n =+++???++???；
3521111
sin (1)3!5!(21)!n n A A A A A n +=-
+???+-+???+; 242111cos (1)2!4!(2)!
n n A E A A A n =-
+???+-+???; 3.2.2矩阵指数函数的性质
若把矩阵指数函数At e 中A 换为11?矩阵，会发现，此时矩阵指数函数便变成了指数函数，作为基本函数之一的指数函数，同时也作为特殊的矩阵指数函数，指数函数的性质在矩阵指数函数中是否可以应用，接下来，本文将会以此对矩阵指数函数的性质一一列举出来，并进行论证。
定理 3.2.4 设,n n A B C ?∈，()e f λλ=是复值函数，并且在()A σ有定义，那么矩阵指数函数At e ，拥有下面7条性质：
（1）(),A A A e e e C λμλμλμ+=+∈ （2）cos sin ,(1)iA e A i A i =+=-
（3）如果A 和B 可交换，也就是说当AB BA =时，有A B B A A B e e e e e +==； （4）对于任何矩阵A ，A e 总是可逆的，同时1()A A e e --=； （5）
()At
At At d e Ae e A dt
==； （6）det()At trA e e =，其中1122nn trA a a a =++???+是A 的迹。
（7）设定B 是Hermite 正定矩阵，那么有唯一Hermite 矩阵Q ，使Q B e =。 证明
(1) 由定理3.2.1 知
()
00()!1()()!k k
A k k
m m K m k k m A e
k C A A k λμλμλλ∞
+=∞-==+=??
=?
?∑
∑∑
若命1k m -=，则
()
001
()()(1)!
A m m l
l m m l e
C A A m λμλμ∞
∞
++===+∑∑
但由于()
!!
m l m l m C l m ++=
，于是有 ()
00
()()()()!!m l
A A A m l A A e
e e m l λμλμλλ∞
∞+====∑∑
反之亦然．
（2）由定理3.2.1 知
0234
2435!
1112!3!4!
1111
()()
2!4!3!5!cos sin k k
iA
k A i e k E iA A iA A E A A i A A A A i A ∞
===+-
-+-???
=-+-???+-+-???=+∑ （3）在满足()AB BA =的情况下，二项式公式
()k
k
m k m m k m A B C A B -=+=∑
成立，因此
0001
()!
1
()!A B
k
m k
m k m m k m m e
A B k C A B k ∞
+=∞-===+=∑
∑∑ 在证明(1)过程中的式子可以整理为
00!!m I m I A B m I ∞
∞==∑∑或00!!m I
m I B A m I ∞
∞==∑∑ 故A B B A A B e e e e e +==。
（4）矩阵指数函数满足0e E =，根据(1)得
()A A A A e e e E +--==
故1()A A e e --=
（5）矩阵指数函数的幂级数表示式对于给定矩阵A 和对所有t 都是绝对收敛的，同时满足对所有的t 都是一致收敛，因此
01
100()!(1)!
!
!k k At k k k k I I
I I I I At At d d A t e dt dt k kA t k A t A I A t A I Ae e A
∞
=-∞
=∞
=∞=??= ???
=-=??= ???
==∑∑∑∑
（6）设1112(,,,)r A PJP Pdiag J J J P --==???，在这里J 为A 的Jordan 标准型，则
121(,,,)i J J J A e Pdiag e e e P -=???，
1
112!(1)!
i i i
i i
i
i
i
i i
i J d d e e e e d e e e e
e λλλλλλλλ???
???
??
-????
=?
????????
?， 所以
1212112211221det det det((,,,))det()
det det det i r r r r J J J A J J Jr d d d d d d trA
e P diag e e e P e e e e e e e e λλλλλλ-++???+=???=???=???==
（7）因B 是正定的Hermite 阵，其特征值均为正数。
因此令 ()ln f λλ=，那么()f λ在()B σ上有定义，
又设()g e λλ= ，()g λ为整函数，()B λσ?∈，()(())f g f e λλλ== ，
()f B B e =，
又()(())f g f e λλ=也是整函数，若()B λσ∈，()(())f g f e λλλ== ， 从而()f B B e = .
同时()(())T T f B f B =．如果将H B B =表示为矩阵B 的共轭转置， 即知H B B =，且(())()H f B f B =． 令()Q f B =，Q 唯一，并有Q B e =
假使()n A M C ∈是正规矩阵，()H
A A H e e =，可以推导得
()H
A A H e e = （3.10）
另一方面，若n n A C ?∈符合式（3.10），那么A e 是正规矩阵，即 定理3.2.5 设n n
A C
?∈，A e 是正规矩阵的充分必要的条件为()H
A A H e e =成立。
接下来研究的问题是：如果一个非正规的矩阵A 符合式(3.10)的条件，那么这个
矩阵A 拥有什么样的结构呢?为了研究此问题，需要提前证明一个引理 引理 1 设n n A C ?∈， ()f z 为一个复值函数，定义域f D C ?．矩阵方程 ()f X A =能够求解的充分必要的条件为：对任何()a A σ∈，总存在f z D ∈，使得()f z a =。 证明 必要性．
设存在 ()n X M C ∈，有()f X A =． 记的Jordan 标准形是
1,det 0X X PJ P P -=≠
式中：{}1212(),(),...,()r X n n n r J diag J z J z J z =
i n 是Jordan 块的阶数，1i r ≤≤，由引理可知
{}
{}
1211
2()(),((),...,())r n n n r A f x Pdiag J z f J z J z P
-==，
从而有 ()(),1,2,...,k f z A k r σ∈=， 即存在()a A σ∈，有
()f z a =
充分性．
设对任何()a A σ∈，方程()f z a =有解存在． 令A 的Jordan 标准形是
{}
1111111(),(),...,(),...,()r A t r r rt r J diag J a J a J a J a =
于是存在可逆矩阵()A P M C ∈，使()f z a =,于是作
{}112,,...,X X r x J P diag X X X P -=
式中：(),1,2,...,;1,2,...,k kt k X M C k r i t ∈==
{}
1()(),...,(),1k k k k kt k f X diag J a J a k r =≤≤
从而有
{}112()(),()...,()X x r x f J P diag f X f X f X P -=
()A X J f J =
数学教案-指数函数与对数函数的性质及其应用.doc
数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。
指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数
函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1)
x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x
指数与指数函数练习题及答案
！ 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x . （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 2 1- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21 ）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） )
指数与指数函数测试题
指数与指数函数测试题https://www.sodocs.net/doc/f74515332.html,work Information Technology Company.2020YEAR
指数与指数函数测试题 编制：陶业强 审核：高二数学组 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、 1 132 12-- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 2 、44 等于（ ） A 、16a B 、8 a C 、4a D 、2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ） A 、6 B 、2± C 、2- D 、2 4、函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3) b a 1 1<；(4)1133 a b >；(5)1133a b ???? < ? ????? 中恒成立的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8、函数21 21 x x y -=+是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数
12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理
第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 () Im M λ≤其中，ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x x =λ， H x x 1=， 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ （'∑表示不含i ＝j ） n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑
() n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为： ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ，但 2 x 1 =，所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中，ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =，ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+，ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义：设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。
(完整版)指数和指数函数练习题及答案
指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32
矩阵理论3.1 特征值界的估计
第三部分 矩阵特征值的估计 引言： 矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是很重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的。幸好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而只需有一个粗略的估计就够了。比如：在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A 的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内；在差分方程的稳定性理论以及自动控制理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复平面上的某一确定的区域中。 §1. 特征值的界的估计 引理1. n 阶复矩阵A ，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A 的特征值。即存在一个酉矩阵U 和三角矩阵T ，使T AU U T = 引理2. 设n n n n ij C a A ??∈=)(，则∑∑====n i n j F ij H A a AA tr 11 2 2 )( Proof :设n n ij H b AA B ?==)(则 ∑∑===++==n j j n n n j j j a a a a a a a a a b 1 2 11112121 11111111 ∑∑====n j j n j j j a a a b 1 2 21 2222
∑∑====n j ij n j ij ij ii a a a b 12 1 ∑∑∑======n i n j ij n i ii H a b B tr AA tr 11 2 1 )()( 引理3. A 为正规矩阵?A 酉相似于对角矩阵。 （注：正规矩阵：A A A A H H ?=?）即存在酉矩阵U 使 ),,,(21n H diag AU U λλλ = Th 1.设A 为n 阶矩阵，n λλλ,,,21 为其特征值，则： ?=≤∑∑∑===n i n i n j F ij i A a 1 11 2 2 2 λA 为正规矩阵，等号成立。 Proof:由引理1.存在酉阵U ，使T AU U H =（三角阵）——① 对①两边取共轭转置：U A U AU U T H H H H H ==)(——② ①?②得 H H H H T T U A U AU U ?=?)()( H H H T T U AA U ?=?（为酉阵） )()()(H H H H T T tr AA tr U AA U tr ?==? 即∑∑∑∑∑∑=======≥=n i n j n i n i i ii ij n i n j ij t t a 11 1 1 2 2 2 11 2 λ 设n n C A ?∈，令2 ,2H H A A C A A B -=+=， 则A =B +C ： 其中B 为Hermit 阵（即H B B =）实 C 为反Hermit 阵（即H C C -=）虚
指数函数及其性质教学设计
一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析
指数函数性质应用(一)
指数函数性质应用（一） 教学目标：1、掌握指数函数定义式的应用 2、会求定点，会求指数函数和其它函数综合的定义域，值域 难点，重点：性质的灵活运用 回顾指数函数的定义和性质 定义： 定义域： 值域： 过定点： 活动一：定义式的应用 例1、 若函数2(55)x y a a a =-+?为指数函数，求a 的值 例2、 若指数函数图像过点(2,4)，求(2)f 练习：函数223()(1)x x f x a m a +-=+>的图像恒过定点(1,10)，求m 活动二：过定点问题 复习平移变换(0)a > ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- 例3、 函数1x y a +=过定点 思考：函数1x y a +=的图像由x y a =的图像经过怎么样的平移得到的？ 例4、 函数12x y a -=+(0,1)a a >≠过定点 思考：函数12x y a -=+(0,1)a a >≠图像由x y a =图像经过怎么样的平移得到的？
例5、 函数3x y m =+的图像不经过第二象限，求m 的取值范围？ 思考：如果13x y m +=+呢？ 活动三：定义域、值域问题 例6、求下列函数的定义域、值域 （1）y y =153-x (3)y =2x +1 ⑷ 112x x y -+= 例7、设[0,2]x ∈求4425x x y =-?+的值域 例8、求下列函数的值域 ①31 31x x y -=+ ②3131x x y +=-
指数函数的性质及应用
对应学生用书P 110 基础达标 一、选择题 1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1 2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1 2 ) D ．(－12，1 2 ) 解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0. 答案：B 2．(2010·温州十校联考)函数y ＝2x ＋1 的图象是( ) 解析：函数y ＝2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x ＋1 的图象单调递增且过点(0,2)，故选A. 答案：A 3．函数y ＝(12)1－ x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 解析：定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝(1 2 )u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数， 且y ＝(1 2)u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝(12)1－ x 在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A. 答案：A
4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－ 1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－ 1.5＝21.5.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数， 且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2. 答案：D 5．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( ) 解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)， ∴f (x )在(0,2)内单调递减， ∴01，－10，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______________． 解析：因为x >0时，y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8>1，即a 2>9，解得a >3或a <－3.
指数与指数函数练习题及答案
2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞） 10．已知函数f(x)=a x +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ）
指数函数及其性质教学设计
指数函数及其性质教案 一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景： 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。 问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课： 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以0
指数函数的性质应用教案解读
指数函数的性质应用教案 ●教学目标 (一)教学知识点 1.指数形式的函数. 2.同底数幂. (二)能力训练要求 1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质. 2.掌握指数形式的函数求定义域、值域. 3.掌握比较同底数幂大小的方法. 4.培养学生数学应用意识. (三)德育渗透目标 1.认识事物在一定条件下的相互转化. 2.会用联系的观点看问题. ●教学重点 比较同底幂大小. ●教学难点 底数不同的两幂值比较大小. ●教学方法 启发引导式 启发学生根据指数函数的形式特点来理解指数形式的函数，并能够利用指数函数的定义域、值域，结合指数函数的图象，进行同底数幂的大小的比较. 在对不同底指数比较大小时，应引导学生联系同底幂大小比较的方法，恰当地寻求中间过渡量，将不同底幂转化同底幂来比较大小，从而加深学生对同底数幂比较大小的方法的认识 ●教具准备 投影片三张 第一张：指数函数的定义、图象、性质(记作§２.６.２Ａ) 第二张：例题3(记作§２.６.２ B) 第三张：例题4(记作§２.６.２ C) ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上一节，我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质，现在进行一下回顾. (打出投影片内容为指数函数的概念、图象、性质)
［师］这一节，我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用. Ⅱ.讲授新课 ［例3］求下列函数的定义域、值域 （1）y =114 .0-x (2)y =153-x (3)y =2x +1 分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x 的取值范围. 解：(1)由x -1≠0得x ≠1 所以，所求函数定义域为｛x ｜x ≠1｝ 由1 1-x ≠0得y ≠1 所以，所求函数值域为｛y ｜y ＞0且y ≠1｝ 评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令1 1-x =t . 考查指数函数y =0.4t ，并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理. (2)由5x -1≥0得x ≥5 1 所以，所求函数定义域为｛x ｜x ≥5 1｝ 由15-x ≥0得y ≥1 所以，所求函数值域为｛y ｜y ≥1｝ (3)所求函数定义域为R 由2x ＞0可得2x +1＞1 所以，所求函数值域为｛y ｜y ＞1｝ ［师］通过此例题的训练，大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性. ［例4］比较下列各题中两个值的大小 (1)1.72.5,1.73
指数和指数函数练习题及答案
指数和指数函数专题 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 12．若函数y=3+2x-1 的图像经过定点P 点，则P 点坐标是（ ）
北师大版数学高一必修1练习 指数函数及其性质的应用
[A 基础达标] 1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( ) A.??? ?－53，1 B ．[－1，1] C.????1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53 ，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是??? ?－53，1. 2．设f (x )＝????12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝????12x 为减函数，排除B.故选D. 3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称． 4．函数y ＝????12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝????12u 是 减函数， 所以y ＝????12x 2 －2在[0，＋∞)上是减少的．
5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ????b a x 的图像只可能是( ) 解析：选A.由指数函数图像可以看出0高一指数与指数函数基础练习题
高一指数与指数函数基础练习试题 （一）指数 1、化简［3 2 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．212- B ．3 12- C ．2 12 - - D ．6 52- 3、化简 4 2 16 13 2 33 2)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是（ ） A ． a b B ．ab C ． b a D ．a 2b 4、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、1 132 12 -- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1 (027 .0143 23 1+-+-----=__________． 6、 32 113 2132)(---- ÷a b b a b a b a =__________． 7、48373)27102(1.0)972(032 221 +-++--π=__________。 8、)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 9 、416 0.250 3 21648200549 -+---）（）（） =__________。
10、已知),0(),(21>>+= b a a b b a x 求1 22--x x ab 的值。 11、若32 12 1=+-x x ，求 2 3 222 32 3-+-+-- x x x x 的值。 （二）指数函数 一、指数函数的定义问题 1、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 2、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。 3、若21025x =，则10x -等于 （ ） A 、 15 B 、15- C 、150 D 、1625 4、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比 较，变化的情况是（ ） A 、减少7.84% B 、增加7.84% C 、减少9.5% D 、不增不减 5、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f
(完整版)指数函数及其性质教案
2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .
指数函数的性质的应用教案
2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么？ 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0
３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)2 1 1 1( +=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。 变式训练一：已知函数)2 1 (1 +=x y (1)作出其图像；
高中数学必修一指数与指数函数练习题及答案基础题
指数与指数函数 一、选择题： 1已知集合11 -11=x|24,}2 x M N x Z +=<<∈｛，｝，｛ 则M N ?等于 A -11｛，｝ B -1｛｝ C 0｛｝ D -10｛，｝ 1、化简11111 32168421212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ）A 、1 132 1122--??- ? ?? B 、1 13212--??- ??? C 、1 3212-- D 、1321122-??- ??? 2、44366399 a a 等于（ ）A 、16 a B 、8 a C 、4 a D 、2 a 4、函数 ()2 ()1x f x a =-在R 上是减函数， 则a 的取值范围是（ ）A 、1>a B 、2 指数函数的概念及其性质 一、单选题(共11道，每道9分) 1.若函数满足，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 2.若函数是指数函数，则的值为( ) A.2 B. C. D.-2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 3.函数的定义域是( ) A.(-∞，2] B.["0，2"] C.(-∞，2) D.(0，2] 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的定义域 4.函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 5.若，则函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 6.若函数的图象恒过定点(1，2)，则b的值 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 7.不论a是何值，函数恒过一定点，这个定点坐标是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 8.若函数的图象在第一、三、四象限，则有 A.， B.， C.， D.， 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 9.函数在上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 10.函数在上的最小值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.10 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 11.已知函数，，若有，则b的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数综合题指数函数的概念及其性质(含答案)
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