第3章习题答案
第三章习题
习题3—1
1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一.
1）y x y sin '+=； 2）31
'-=x y ； 3）y y ='.
解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一.
2）因为31
),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界，
所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一.
.
2． 求初值问题
?????=--=,
0)1(,22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.
解 设22),(y x y x f -=，则4),(m ax ),(==∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以
4
1)41,1min(),min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：411≤
+x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则
0)1()(0=-=y x ?，3131)0(0)(3121-=
-+=?-x dx x x x ?， 42
11931863])3131([0)(34712322+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x ?. 在区间411≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 32
2)!
12()()(h ML x x +≤-??. 取22),(max max ),(),(=-=??=∈∈y y y x f L R
y x R y x ，故241)41()!12(24)()(322=+?≤-x x ??. 3． 讨论方程312
3y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.并求通过点)0,0(O 的一切解.
解 设3123),(y y x f =，则32
2
1-=??y y f )0(≠y .故在0≠y 的任何有界闭区域上),(y x f 及y y x f ??),(都是连续的，因而方程在这种区域中满足解的存在唯一性定理的条件.显然，0=y 是过)0,0(O 的一个解.又由312
3y dx dy =解得23
)(C x y -±=.其中0≥-C x . 所以通过点)0,0(O 的一切解为0=y 及,,,
)(,023C x C x C x y >≤?????-=.,,)(,023C x C x C x y >≤?????--=如图. 4． 试求初值问题 1++=y x dx
dy ，0)0(=y ， 的毕卡序列，并由此取极限求解.
解 按初值问题取零次近似为0)(0=x y ，
一次近似为 20
121)10()(x x ds s x y x +=++=?， 二次近似为 3220261]1)21([)(x x x ds s s s x y x ++=+++=?
, 三次近似为 432320324131]1)61([)(x x x x ds s s s s x y x +++=++
++=?, 四次近似为 !5)!5!4!3!2(2!5134131)(5
54325432
4x x x x x x x x x x x x x y --++++=+?+++=， 五次近似为 !
6)!6!5!4!3!2(2)(6
654325x x x x x x x x x y --+++++=，
一般地，利用数学归纳法可得n 次近似为
)!1()!1(!4!3!22)(1
1432+--?????
?++++++=++n x x n x x x x x x y n n n 2)!1()!1(!4!3!2121
1432-+--?????
?+++++++=++n x x n x x x x x n n ， 所以取极限得原方程的解为
22)()(lim --==+∞
→x e x y x y x n n .
5． 设连续函数),(y x f 对y 是递减的，则初值问题
),(y x f dx
dy =，00)(y x y =的右侧解是唯一的.
证 设)(1x y ?=，)(2x y ?=是初值问题的两个解，令)()()(21x x x ???-=，则有0)(000=-=y y x ?.下面要证明的是当0x x ≥时，有0)(≡x ?.
用反证法.假设当0x x ≥时，)(x ?不恒等于0，即存在01x x ≥，使得0)(1≠x ?，不妨设0)(1>x ?，由)(x ?的连续性及0)(0=x ?，必有100x x x <≤，使得0)(0=x ?，0)(>x ?，10x x x ≤<.
又对于
],[10x x x ∈，有00201)()(y x x ==??，?+=x x dx x x f y x 0)](,[)(101??，?+=x x dx x x f y x 0
)](,[)(202??，则有 )()()(21x x x ???-=?-=x
x dx x x f x x f 0)]}(,[)](,[{21??，10x x x ≤<. 由0)()()(21>-=x x x ???（10x x x ≤<）以及),(y x f 对y 是递减的，可以知道：上式左端大于零，而右端小于零.这一矛盾结果，说明假设不成立，即当0x x ≥时，有0)(≡x ?.从而证明方程的右侧解是唯一的.
习题3—3
1． 利用定理5证明：线性微分方程 )()(x b y x a dx
dy += （I x ∈） )1( 的每一个解)(x y y =的（最大）存在区间为I ，这里假设)(),(x b x a 在区间I 上是连续的.
证 )()(),(x b y x a y x f +=在任何条形区域{}
∞<<-∞≤≤y x y x ,),(βα（其中I ∈βα,）中连续，取[])(max ,x a M x βα∈=，[])(max ,x b N x βα∈=，则有 N y M x b y x a y x f +≤+≤)()(),(.
故由定理5知道，方程)1(的每一个解)(x y y =在区间],[βα中存在，由于βα,是任意选取的，不难看出)(x y 可被延拓到整个区间I 上.
2． 讨论下列微分方程解的存在区间：
1）)1(-=y y dx dy ； 2）)sin(xy y dx dy =； 3）21y dx
dy +=. 解 1）因)1(),(-=y y y x f 在整个xOy 平面上连续可微，所以对任意初始点),(00y x ，方程满足初始条件00)(y x y =的解存在唯一. 这个方程的通解为x
Ce y -=11.显然0=y ，1=y 均是该方程在),(∞-∞上的解.现以0=y ，1=y 为界将整个xOy 平面分为三个区域来讨论.
ⅰ）在区域1R {}10,),(<<+∞<=y x y x 内任一点),(00y x ，方程满足00)(y x y =的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能与0=y ，1=y 两直线相交，因而解的存在区间为),(∞-∞.又在1R 内，0),( ⅱ）在区域2R {} 1,),(>+∞<=y x y x 中，对任意常数0>C ，由通解可推知，解的最大存在区间是)ln ,(C --∞，又由于0),(>y x f ，则对任意200),(R y x ∈，方程满足00)(y x y =的解)(x y ?=递增.当-∞→x 时，以1=y 为渐近线，且每个最大解都有竖渐近线，每一条与x 轴垂直的直线皆为某解的竖渐近线. ⅲ）在区域3R {} 0,),(<+∞<=y x y x 中，类似2R ，对任意常数0>C ，解的最大存在区间是),ln (+∞-C ，又由于0),(>y x f ，则对任意300),(R y x ∈，方程满足00)(y x y =的解)(x y ?=递增.当+∞→x 时，以0=y 为渐近线，且每个最大解都有竖渐近线.其积分曲线分布如图（ ）. 2）因)sin(),(xy y y x f =在整个xOy 平面上连续，且满足不等式 y xy y y x f ≤=)sin(),(， 从而满足定理5的条件，故由定理5知，该方程的每一个解都以+∞<<∞-x 为最大存在区间. 3）变量分离求得通解)tan(C x y -=，故解的存在区间为)2,2(ππ+- C C . 3．设初值问题 )(E ： 2)(2)32(y x e y y dx dy +--=，00)(y x y = 的解的最大存在区间为b x a <<，其中),(00y x 是平面上的任一点，则-∞=a 和+∞=b 中至少有一个成立. 证明 因2)(2)32(),(y x e y y y x f +--=在整个xOy 平面上连续可微，所以对任意初始点),(00y x ，方程满足初始条件00)(y x y =的解存在唯一. 很显然3=y ，1-=y 均是该方程在),(∞-∞上的解.现以3=y ，1-=y 为界将整个xOy 平面分为三个区域来进行讨论. ⅰ）在区域1R {}31,),(<<-+∞<<∞-=y x y x 内任一点),(00y x ，方程满足00)(y x y =的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能与3=y ，1-=y 两直线相交，因而解的存在区间为 ),(∞-∞.这里有-∞=a ，+∞=b . ⅱ）在区域2R {}1,),(-<+∞<<∞-=y x y x 中，由于0)1)(3(),(2)(>+-=+y x e y y y x f ，积分曲线单调上升.现设),(000y x P 位于直线1-=y 的下方，即10- 类似可证，对3R {}3,),(>+∞<<∞-=y x y x ，至少有-∞=a 成立. 4． 设二元函数),(y x f 在全平面连续.求证：对任何0x ，只要0y 适当小，方程 ),()(22y x f e y dx dy x -= )1( 的满足初值条件00)(y x y =的解必可延拓到+∞<≤x x 0. 证明 因为),(y x f 在全平面上连续，令),()(),(22y x f e y y x F x -=，则),(y x F 在全平面上连续，且满足0),(),(≡-≡x x e x F e x F . 对任何0x ，选取0y ，使之满足00x e y <.设方程)1(经过点),(00y x 的解为)(x y ?=，在平面内延伸)(x y ?=为方程的最大存在解时，它的最大存在区间为),[0βx ，由延伸定理可推知，或+∞=β或为有限数且+∞=-→)(lim 0x x ?β .下证后一种情形不可能出现. 事实上，若不然，则必存在β ?e x >)(.于是必存在),(00βx x ∈，使0 0()x x e ?=，x e x <)(?（00x x x <≤）.此时必有 0) (000'>=≥x x x x e dx de x ?， 但0),())(,()(00000'===x x e x F x x F x ??，从而矛盾. 因此，+∞=β，即方程)1(的解)(x y ?=（00)(y x y =）必可延拓到+∞<≤x x 0.