2011年高考试题数学文(新课标卷)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N === 则P 的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个
解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然P={}3,1，子集数为22
=4
故选B
（2）复数
512i
i
=- （A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+ 解析：本题考查复数的运算，属容易题。 解法一：直接法
512i i =-()()()
i i i i i +-=+-+22121215，故选C 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案。 （3）下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是 A. 3y x = B. 1y x =+ C. 21y x =-+ D. 2x y -= 解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题
可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是()0,+∞的增函数，故选B 。
(4).椭圆22
1168
x y +
=的离心率为 A. 13 B. 12 C. 33 D. 22
解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=
2
2
422==a c ,
故选D 。也可以用公式2
2
.211681122
2
=
∴=-
=-=e a
b e 故选D 。 （5）执行右面得程序框图，如果输入的N 是6， 那么输出的p 是
（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040
解析：本题考查程序框图，属于容易题。 可设11=P ,21=K 则322,2==K P ，
463,3
==K P
， 5244,4
==K P
， 61205,5
==K P ， 677206,6
==K P
，
输出720.故选B
（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A ）13 (B) 12 (C) 23 (D)
3
4
解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C.
他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共3中，故概率为
.3
1
93=故选A 。 （7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos 2θ=
（A ）45- （B ）35- (C) 35 (D) 4
5
解析：本题考查三角公式，属于容易题。 易知tan θ=2，cos θ=5
1±
.由cos2θ=2θcos 2
-1=3
5-
故选B
（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为
解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。
由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D
（9）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直。l 与C 交于A,B
两点，AB =12，P 为C 的准线上一点，则?ABP 的面积为 （A ）18 （B ）24 （C ）36 （D ）48 解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。
易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C 。 （10）在下列区间中，函数
的零点所在的区间为
解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选C 。
（11）设函数，则
（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称
（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称
（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π
对称
（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2
π
对称
解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。
解法一：f(x)=2sin(2x+2π)=2cos2x.所以f(x) 在（0，2
π
）单调递减，
其图像关于直线x = 2
π
对称。故选D 。
解法二：直接验证 由选项知（0，2
π
）不是递增就是递减，而端点值
又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然x =
4π
不会是对称轴
故选D 。
(12) 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x ∈[]11，-时 f (x) =x 2,那么函数y = f (x)
的图像与函数y =x lg 的图像的交点共有
（A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个
解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。 本题可用图像法解。易知共10个交点
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则k= 。
解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。 解法一：直接法 (a+b)(ka-b)=0展开易得k=1. 解法二：凭经验 k=1时a+b, a-b 数量积为0，易知k=1.
（14）若变量x ，y 满足约束条件 则z=x+2y 的最小值为 。
解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。 易得z=x+2y 的最小值为-6。
（15）△ABC 中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 。 解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。 有余弦定理得
1200
22
2
cos 2BC AC BC AC
AB
?-+=
所以BC=3，有面积公式得S=
4
3
15 1
9
（16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的
16
3
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 。 解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。 由圆锥底面面积是这个球面面积的163
得
16342
2=
R
r
π
π 所以2
3
=R r ，则小圆锥的高为,2R 大圆锥的高为23R ，所以
比值为3
1
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知等比数列{}a n
中，213a
=
，公比1
3
q =。 （I ）n S 为
{}
a n
的前n 项和，证明：12
n
n a S -=
（II ）设31323log log log n n b a a a =++???+，求数列n b 的通项公式。 解析：本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。
（I ） =
=??
? ??-311
3
1n n a ??
? ??31n
21
13
11113133n
n n S -=-???? ??-= ∴12
n
n a S -=
（II ）31323log log log n n
b a a a =++???+
=-（1+2+3+
+n ）=-2
)
1(+n n
∴数列n b 的通项公式为b n =-2
)
1(+n n （18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为平行四边形
。
60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ 底面ABCD 。
（I ）证明：PA BD ⊥
（II ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高。
解：（Ⅰ ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故PA ⊥BD
（Ⅱ）过D 作D E ⊥PB 于E ，由（I ）知BC ⊥BD,又PD ⊥底面ABCD ，所以BC ⊥平面PBD ，而DE ?平面PBD ，故DE ⊥BC,所以DE ⊥平面PBC
由题设知PD=1，则BD=3,PB=2， 由DE ﹒PB=PD ﹒BD 得DE=23,即棱锥D PBC -的高为2
3
（19）（本小题12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A 分配方和B 分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润。
解：本题考查概率的基本知识，属于容易题。
（Ⅰ）由实验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为100
8
22+=0.3所以用A 配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3。
由实验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为100
10
32+=0.42， 所以用B 配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.
（Ⅱ）由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率当且仅当
t ≥94,由试验结果知，t ≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润为
()[]4422542-4100
1
?+?+??=2.68（元） 2
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C
上
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值。
解析：本题考查圆的方程和直线和圆的关系。
（Ⅰ）曲线261y x x =-+与坐标轴的交点为（0,1）（3）0,22± 故可设圆的圆心坐标为（3，t ）则有()()
2
2
1-t 32
2
2
=+
+t 2
解得t=1,则圆的半径为
()313
2
2
=+
-t 所以圆的方程为()()9132
2=+--y x
（Ⅱ）设A(),1
1y x B(),2
2y x 其坐标满足方程组
0x y a -+= 2
()()9132
2
=+
--y x
消去y 得到方程012)82(22
2=+-+-+a x a a x 由已知可得判别式△=56-16a-4a 2
>0 由韦达定理可得a x x -=+421，2
122
21+-=a a
x x ①
由OA OB ⊥可得.02
1
21=+
y
y x x 又a x y +=
1
1a x
y
+=
2
2
。所以
20)(2
2121=+++a x x x x a ②
由①②可得a=-1,满足△>0，故a=-1。
（21）（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1
x
f x x >
-。 解析：本题考查导数的基本概念和几何意义，
（Ⅰ）22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x
α+-=
-+
由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,
1'(1),2
f f =??
?=-??即
1,
1,22
b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=
,1
1ln x
x x ++所以 ?
??
? ??---=--x x x x x f x
x 1ln 2111ln )(2
2
考虑函数 则h ′(x)=
(
)()x
x x
x x x 2
2
22
2
1122--=---
所以x ≠1时h ′(x)＜0而h(1)=0故
x ()1,0∈时h(x)>0可得ln ()1x
f x x >
- x ()∞+∈，1 h(x)<0可得ln ()1x
f x x >
- 从而当0x >，且1x ≠时，ln ()1
x
f x x >-。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为
ABC ?的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ?的顶点重合。
已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD,AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根。
（Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆； （Ⅱ）若90A ∠=?，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，
E 所在圆的半径。
解析：（Ⅰ）连结DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB=mn=AE ×AC 即
AB
AE
AC AD =,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE ～△ACB 因此∠ADE=∠ACB,所以C,B,D,E 四点共圆。
（Ⅱ）m=4,n=6,方程2140x x mn -+=的两根为2,12.即AD=2，AB=12 取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G,F 作AC,AB
的垂线，两垂线交于
点H ，连结D,H,因为C,B,D,E 四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于∠A=900
故GH ∥AB,HF ∥AC.从而HF=AG=5，DF=5，故半径为52. (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α
=??
=+?（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲线C 2
(Ⅰ)求C 2的方程
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=
与
C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1
x x ≤- ，求a 的值