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多尺度方法在力学中的应用

作者杨陶令张鹏

指导老师苏先樾

１．背景概述

多尺度科学是一门研究各种不同长度或者时间尺度相互耦合现象的一门科学。多尺度科学的研究领域十分宽广，涵盖的学科之多难以一一罗列。在诸如流体动力学、复合材料力学、生物力学、环境科学、化学、地质学、气象学和高能物理之类的各门科学中，多尺度科学及其相应的方法发挥着相当重要的作用。正如同随机现象和非线性科学受到了广泛的重视一样，多尺度科学因其处于当代科学的许多极富挑战性问题的核心地位，未来的发展前途不可限量。

在材料科学领域中，材料的动态特性就是多尺度的问题。金属的塑性变形问题是从位错流动着手研究的，但是位错理论本身并不能预测塑性流动率和屈服强度——位错与晶界、点缺陷以及原子振动之间的相互作用才是导致诸如应变强化和材料强度特性动态变化等现象的主导因素。所以将固体的微观结构与原子层次的组成成分相结合来预测固体材料的宏观特性，就是材料科学的宏伟理想，并可期望达到人工设计材料的终极目标。

在气象学领域中，在大气环流模拟中计算尺度的典型数量级为100km，但是局部降水量、水汽含量以及某些风暴系统的数量级则要

小得多，因而必须在较小尺度层次上进行模拟，这也是典型的多尺度问题，应该用多尺度方法来处理。

必须说明的是，正是因为多尺度科学广泛的应用背景，多尺度方法作为一种研究的手段和方法，在各种截然不同的研究领域的应用过程中，往往与该研究领域的具体背景相结合，具有一定的特殊性。从算法的角度来说，与线性方程组的解法等常规算法不同的是，目前多尺度方法本身没有固定的算法格式，它所体现的更多的是一种研究的需求和应用的思想，在程序上的实现必须结合具体的研究模型，这将在下文中得到充分的体现。

２．多尺度的力学分析方法

在多尺度的分析方法中已经发展了若干力学分析的方法，目前比较典型算法有：宏观－细观平均化计算方法、材料强度的统计计算方法等。下面将详细介绍这两种方法。

２.１宏观－细观平均化计算方法

典型的宏观－细观平均化算法是：利用材料的细观周期性的胞元模型和强调宏观与细观之间相连接的广义自洽模型相结合所进行的计算。首先讨论胞元模型。胞元是材料的一个基本结构，它嵌含材料的细观几何和相结构的要素。就复合材料来说，胞元应嵌含颗粒形状、颗粒百分比、颗粒分布几何、基本结构、界面状况等要素。自洽方法是考虑宏观和细观交互作用的研究方法。广义自洽方法则是将平均化

的小尺度的胞元与大尺度的宏观等效介质进行自洽连接。

把宏观－细观平均化计算方法在多尺度思想上作一定的推广，即并不要求达到细观尺度，而是相对于宏观大尺度来说，胞元尺寸构成相对的小尺度。一个典型的例子就是复合材料等效模量计算中常用的复合圆柱模型。下面就以复合圆柱模型（图１）为例，给出一个多尺度计算的具体算例。

我们的问题是计算横向剪切模量23 。在图２中我们为了视觉上的清晰起见，夸大了胞元的尺寸。实际上，我们只取出宏观等效均匀介质中周期性分布的一个微小胞元，虽然胞元本身并没有达到细观尺度，但是可以肯定的是，胞元的尺寸与周围的宏观等效均匀介质相比起来，在尺度上已经相差很大的数量级。而在计算的过程中，我们将

分别考虑较小尺度的胞元内的物理量和胞元周围较大尺度的等效均匀介质中的物理量，然后再通过广义自洽方法将平均化的小尺度的胞元与大尺度的宏观等效均匀介质进行自洽连接。

在无限远场的剪切变形条件下，根据力学知识，我们可以计算出在大尺度的宏观等效均匀介质中，位移场是：

θκμθ

κμθ2sin ])1(2[42cos ])1(2[4333

323

333

323c r

a r

b b r b u

c r

b a r b b r b

u e re +---

+++=

在平均化的小尺度的胞元中，基体和纤维内的位移场分别是：

θκκμθκκμθ2s i n ])1()

3[(42cos ])1()3[(42

22233

233

32233b r

c r b

d b r a b r b u b r

b c r b d b r a b r b u m m m

m m m m rm

+---+=

++++-=

和

θκμθ

κμθ2sin ])

3[(42cos ])3[(411

1133d b r

a b

r b u d b r

a b

r b u f f

f f f rf -+=

+-=

其中

f m m νκνκνκ43434323

-=-=-= 连接小尺度的胞元和大尺度的宏观等效均匀介质的条件在不同的问题中可能不尽相同，在我们以上考虑的这个问题中，这一条件就是连续性条件，即θθσσu u r r ,,,在界面b a r ,=上连续。这样就得到了一系列方程，另外再补充其他一些方程，例如应用能量原理得到的方程，可以想见，以上问题就归结为解一个非线性方程组，而我们所要求的23μ只是其中的一个未知量。以上这个具体问题的求解比较特殊，消去不相关的未知元1a 、2a 等，只留下23μ，我们得到一个二次方程：

0)()(

23223=++C B A m

m μμ

μμ 其中A ，B ，C 是材料常数的函数，可以由给定的具体材料来决定，其形式不是本文所要讨论的重点，故不再赘述。

通过复合圆柱模型，我们可以总结出宏观－细观平均化算法的流程图，如图３所示。

2．2材料强度的统计计算方法

在材料强度的统计计算方法中，应用比较成熟的是有关带有强相互作用共线裂纹的脆性材料强度的统计计算。这个算法与宏观－细观平均化算法有所不同，宏观－细观平均化算法连接了宏观尺度和细观尺度，换句话说，我们可以很明确地看到在尺度上的大幅度的跳跃。而带有强相互作用共线裂纹的脆性材料强度的统计计算这一算法，它注重的则是裂纹或者间距在尺度上小幅度的涨落，所以我们用统计理

论来处理这种涨落。

这个算法的核心思想是：用微裂纹长度和间距的统计分布来描述它们在尺度上的涨落，进而来确定材料的统计强度。下面将通过一个具体的脆性材料强度统计计算的例子来介绍这个算法。

含有共线裂纹的无限大平板的破坏几率的统计分析算例：

问题描述：

无限大平板，包含N个共线裂纹，无穷远处作用有均匀拉应力σ∞a：半裂纹长

c：裂纹间距

a和c都是统计变量[见图4(a)]，它们的统计分布用函数f(a)、p(c)来表示，都是正态分布，c-,c+,a-,a+是c和a的下届和上届。

求解应力强度因子非常繁琐，为简化问题，我们主要考虑相邻的两个微裂纹之间的强相互作用，这两个相邻的微裂纹的长度用a’以及a’’表示，其它裂纹用周期性分布的裂纹代替（裂纹长度及间距分别是2a0以及c0），如图4 (b)所示。

图4 (a) 裂纹长度不同，间距不同

(b) 只考虑临近的两裂纹之间的强相互作用，简化成远场裂纹为周期性分布

A 点的SIF （stress intensify factor ）：

00000''',,,A c c a a K a a a a σ??= ???

F 是无量纲函数

为分析简便起见，下面具体计算一个特例：N 个长度相同的裂纹，间距不同（即a ’=a ’’=a 0）

则f(a)是Dirac delta 函数δ(a-a 0)当a ’=a ’’=a 0时，c 的分布函数p(c)是一个正态分布，c 的取值范围为（c-,c+），平均间距为0()c c c c cp c dc +

==?。

考虑到当a ’=a ’’=a 0时，K A 是一个c/a 0单调递减函数，见图5

图5 应力强度因子K A 曲线（N ＝100，a ’=a ’’=a 0时）

σ∞的临界值σ

∞

可被给定为

(

,1,1,)th c c F a a σ∞-

K IC 是基体断裂刚度，对给定的σ∞，有一个与之对应的临界裂纹间距c cr 1，满足

00(,1,1,)cr c c F a a = 由以上两式可知： 1．

如果σ∞＜σ

∞

，应力小于使基体断裂的最小应力，裂纹不会

扩展。

2．如果σ∞≥σ

∞

，则间距小于c cr 1的相邻裂纹将连通。

裂纹连通后，裂纹长度和间距的分布函数p(c)和f(a)将改变

1()()()1cr p c p c H c c α

-- 1

01000(24)12()()[(24)(24)]11cr p a a f a a a H a a c H a a c αδαα

---=-+-------

上式中：

1()cr

c c p c dc α-=?代表连通概率

H 代表Heaviside step 方程

f 1(a)的第一部分代表那些没有连通的裂纹，它们的长度仍然是2a 0

第二部分代表连通的裂纹部分

第一次扩展后的微裂纹长度及间距的期望值分别是

100

1221122()cr

a c a a a f a da +=?

111()cr

c c c cp c dc +

这是一个循环的过程

第一次扩展后的微裂纹右端点SIF 为

11111,,1,right a c c K a a a σ??

= ???

如果K right ≥K IC ，该裂纹将和临近的期望长度为12a 的裂纹连通。与12a 相关联，我们又可以找到一个临界裂纹间距，用c cr 2表示，满足

211111,,1,cr IC c a c K a a a σ

??= ???

上式表明，如果裂纹间距c 在 (c cr 1, c cr 2)范围内，这个长度为2a 1的裂纹将和临近的期望长度为12a 的裂纹连通，这一扩展过程的概率为

211()cr

c c p c dc ?

当这一步骤重复n 次后裂纹长度变为

10112242(1)()n

k n k a a n a c c c ==+-++∑

第k 次扩展后的裂纹间距期望值为

1111() 2,3,...()k

k cr

c c k

c c cp c dc c k p c dc

=??

其中c cr k 代表第k 次扩展的临界裂纹长度，由下式给出

1111

1,,1, 2,3,...k

cr k IC c a c K k a a a σ

-??

== ???

裂纹间的总连接次数M 可用下式求得

()2

/M IC M a K a σπ

∞-<

≤

对于长度为2a 1的裂纹，如果M ＝1，那么它的破坏概率为1；否则等于成功链接概率1

f 112

()()n cr

c c n P c p c dc ==∏?

进而该裂纹的存活概率为s 1f 1()1()P c P c =- 根据WLT ，我们又可得到存活概率{}{}11

()s 1f 1f 111()1()exp ()()Np c dc P c P c NP c p c dc =-≈-

累积存活概率为

{

}

1surv f exp ()()cr

c c P N P c p c dc -

=-?

最终，我们可以得到对于含有N 个微裂纹的脆性材料的破坏概率为

（σ∞≥σ

∞

时）

{}

1fail f 1exp ()()cr

c c P N P c p c dc -

=--?

利用直接数值模拟进行校验

图6 统计预测与直接数值模拟的对比

（其中N g 意义为直接数值模拟中，在同样的s 和N 下，生成N g 个不同裂纹分布状态进行计算，显然N g 越大越精确）

另外，Weibull 提出用如下带三个参数（m,σu ,σ0）的分布函数描述脆性材料的强度

()1exp((

))m

u W σσσσ-=-- W(σ)是应力为σ时的破坏概率（横轴为

IC K ，σu

表明累积破

坏概率开始增长的位置，σ

标示了破坏概率曲线的过渡区的尺度，

无量纲的参数m （称为Weibull 模量）描述了脆性材料中的裂纹分布

特性。上式可化为

ln ln()ln()ln()1()

u m m W σσσσ=---

即上式在一个lnln-ln 的Weibull 图中为一条斜率为m 的直线

如果前面分析的累积破坏概率函数可以用Weibull 分布近似，那么它应该在lnln-ln 的Weibull 图中呈直线。我们可以把数据在Weibull 图中标示出测定Weibull 模量m ，也可以估计m,σu ,σ0这三个参数与s 和N 之间的关联。

这就是采用统计方法对材料强度进行多尺度分析的例子，例子中推算出了材料的破坏概率，并利用直接数值模拟进行校验，最后用分布进行拟和。

以上详细介绍的是宏观－细观平均化计算、材料强度的统计计算这两种力学上的多尺度分析方法。最后还需要强调的是，正如我们前文所说，多尺度方法是迎合研究过程中的具体需要而产生的一种计算思想，它本身没有固定的计算格式，不论是在力学方面，还是在其他领域，多尺度方法的应用都必须结合其具体的研究模型来展开。

参考文献

1．“材料的多尺度力学与强韧化设计”，《力学2000》P39-47，杨卫、黄克智；

2．“多尺度科学：面向二十一世纪的挑战”，《力学进展》，1998年第28卷第4期；

3．Statistical strength of brittle solids with strongly interacted micro-cracks, Int J Solids Structs, 1998, 35:995-1008, Zhang SL, Li T, Yang W；

4．《计算方法引论》，徐萃薇编，高等教育出版社；

5．《细观力学》课堂笔记；

6．《复合材料力学》课堂讲义。

《振动力学》习题集(含答案解析)

《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。图E1.1 解：系统的动能为： ()22 2 121x I l x m T &&+= 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2 212212236 16121x l m m x l m x ml T &&&+=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω=&和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω

1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。图E1.2 解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222224321212 1θθθ&&&mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθ n =&和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。图E1.3 解：系统的动能为： 22 1θ&J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθ n =&和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω

世界十大数学难题

难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题难题”之二：霍奇(Hodge)猜想难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想难题”之四：黎曼(Riemann)假设难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想难题”之八：几何尺规作图问题难题”之九：哥德巴赫猜想难题”之十：四色猜想美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。 “千僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。“千僖难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四：黎曼(Riemann)假设

现代数学的特点和现状-丁伟岳

我主要回答同学们的一些问题。这些问题中大部分都是关系现代数学大局的问题，很深刻，也很难回答。这种问题是没有标准答案的，每个人会有不同的答案。我今天讲的是我的个人意见，同学们可以参考，但不一定正确。 1．现代数学的特点和现状有的同学问：听说现代数学分支非常细，不同分支的人彼此不了解，这样还能出现总揽全局的数学大师吗？此外，数学的复杂是否使它远离“简单性”这个朴素的自然法则？这是一个很大的问题，提这个问题的同学希望从总体上了解现代数学，这是非常好，非常值得鼓励的。但是要把这个问题说清楚并不容易。确实，现代数学分支繁多。按美国数学会的分类，数学科目可以分成60多个大类，每个大类下面又有几十个子类，总计有3500个以上的子类。肯定没有人能把所有这些分支都了如指掌，甚至于一个分支的专家也很难把分支里的所有数学了解得一清二楚。但是，真正影响大局的数学却没有那么多。这就像世界上有200多个国家，但是影响全球格局的却只有少数大国。这种影响大局的数学可以叫做“主流数学”。即便在主流数学中也不是所有的问题都是平等的，还有主次之分。因此，如果能抓住主流数学中的主流问题，大体上就可以说是“总揽全局”了。至于说“大师”，他不仅能总揽全局，而且能通过他的工作影响全局。这样的人肯定很少，但也不能说一个没有，这要由历史来做定论。那么，为什么现在出不了牛顿，欧拉，高斯，黎曼这样的大师了呢？这有两个原因。首先，时势造英雄；不是每个时代都会出旷世英雄的。其次，即便是这样的英雄，他的历史地位也要经过历史的考验，并不是在当时就能确立的。那么哪些是主流数学呢？回顾历史，现代基础数学从17世纪开始发源，经过18-19世纪的大发展和20世纪的完善，现代数学的基础部分，包括代数和数论，几何与拓扑，分析学的所有主要分支，我们叫这些为经典分支，都进入了成熟期。所谓成熟是指，理论已经十分完善，而内在的发展动力则减弱了。因此，基础数学的单独分支的自身发展已不再是主流。取而代之的是综合与交叉，集多个分支的方法来解决以前无法解决的重要问题。费尔马猜想和庞加莱猜想相继被证明就是最好的例证。在我看来，现代数学的另一个特点是应用数学的兴起，随着现代科学技术的迅速发展各个方面对数学的需求日益增长，推动了应用数学的崛起，它正成长为数学中一个不可忽视的主流。从重要问题的来源看，基础数学内部一些最主要的问题是来自数论，拓扑以及几何，例如克莱研究所的7大问题中4个是关于纯数学的，两个来自数论（黎曼猜想，BSD猜想），一个拓扑（庞加莱猜想），一个代数几何（Hodge猜想）。[另外3个多少与应用有关：Navior-Stokes方程（流体力学），P-NP问题（计算复杂性），Yang-Mills理论（理论物理）。] 近年来，理论物理对基础数学的影响越来越大，这是值得注意的。数学的复杂性不在于它的分支繁多，而在于它的深度和难度越来越大。世界既有简单的一面，又有复杂的一面。科学家的任务是把复杂的东西分析和解剖，化繁为简，找出对

(完整版)振动力学试题

1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。解：系统的动能为 2 2 1?=θJ T 2k 和3k 相当于串联，则 32θθθ += 3322θθk k = 联立以上两式得 θθ3 23 2k k k += θθ3223k k k += 系统的势能为 ( )[]2 2 33222213 23 23212 1212121θ θθθk k k k k k k k k k U +++= ++= 利用θωθn =? 和U T =可得 () () 3232132n k k J k k k k k +++= ω 2.面积为S ，质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=，S 2为薄板总面积，ν为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。求系数μ。

解：平面在液体中上下振动时： 02=++? ? ?kx x S x m μ d n d n T T m k πξ ωωπω2-1,220==== k S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==?= k S k 2 22 --1μξ= 2020220 -2-22T T T ST m k S k T T T T d d d πμμ=?= 3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ，求系统的频率方程。解：

先求刚度矩阵。令0x 1,==θ得： 22212111a k b k a a k b b k k +=?+?= b k 221-k = 令1,0==x θ得： a k k 212-= 222-k k = 则刚度矩阵为：?? ? ? ??+=2222221--k a k a k a k b k K 再求质量矩阵。令0,1==? ?? ?x θ ，得： 0,3 1 212111==m a m m

阿诺德_数学科学与牛顿力学300年

A.I.Arnold:数学科学与天体力学300年 Prince 发表于2007/11/16 21:53:00 数学科学与天体力学300年原载于数学传播第十三卷第四期 V.I. Arnold 高非译;王继海校自从牛顿《自然哲学数学原理》问世至今，已整整三百年了。牛顿这一著作奠定了现代理论物理学基础，对科学发展全部进程，都产生了巨大影响。书中不少章节，现已发展成为理论，对此，已写出了成千上万的书。 1. 牛顿的书，主要为了论述如何解决如下数学问题：证明在到与吸引中心的距离平方成反比的引力作用下，被吸引物体沿椭圆运动，而吸引中心在其中一个焦点上(当初始速度足够大时，物体也可能沿其它锥截曲线──拋物线和双曲线──运动)。换句话说，即根据牛顿万有引力定律，推出刻卜勒行星第一定律(行星沿备圆轨道运行，太阳位于其中一个焦点上)。为此目的，牛顿远远地发展了力学的数学工具，从大家熟知的牛顿三定律直到月球摄动理论。 2. 无论是万有引力定律还是牛顿定律，都不是牛顿发现的。惯性定律(牛顿第一定律)始于伽利略。惠更斯在1659年推导了圆周运动的向心力公式(为此，需要掌握牛顿第二定律)。1663年，惠更斯在伦敦皇家科学院会议上，叙述了能量和动量守值规律。刻卜勒(1609)写道：「如果地球停止吸引，所有海水都将涌入月球。」引力平方反比定律，已见于1645年I. Biot 所著书中。激发牛顿认真研究引力的推动力，是虎克的一封信。虎克是始建于1662年的皇家科学院的学监，根据规

定，学监有责任在每间举行的科学院会议上演示二三种证明某些自然定律的实验。这些定律不一定是他本人的发现，也可得知于和其它学者的通讯，或取自出版物等，只要求是由实验证明成立的定律。虎克忠实地完成了自己的使命，在长达四十年的期间里，证明了大量自然规律。他个人，一生中发现的规律达五百以上。其中一些规律，至今仍以虎克命名，如弹性基本定律：回复力正比于对平衡位置的偏离。其它一些规律，被归属于另外的作者(如气体弹性定律，作为助手虎克的发现，首先在博伊尔的书中发表，现称为波义耳─马略特定律)。 3. 由于每周都必须证明几项自然规律，虎克常常很匆忙，无暇顾及自己所发现规律的数学表述。1679年底至1680年初，在与牛顿的通信中。虎克把自己关于引力的一些想法告知牛顿： (1)被中心力所吸引的物体，当力的大小反比于距离平方时，将沿偏心的类椭圆线(即类似于椭圆的曲线)运动； (2)实验已经证明，地球引力随高度增加而减小； (3)如同弹性力在趋向平衡位置时变弱一样，当物体向矿井下落时，引力也将减弱，因此(在无阻力情况下)落体轨道将类似椭圆，其中心即在地球中心处。虎克未能精确确定轨道形状。看来，他用图解法积分运动方程，或者利用了某种特殊的模拟计算器(虎克曾对沿平面、球面，或者其它曲面运动的摆进行实验，他指出，这些实验，视表面不同模拟的引力规律亦不同)。 4. 虎克希望，牛顿以其卓越的数学方法，定能证明轨道的椭圆性。牛顿也的确完成了这一任务。他用几何方法的证明曾经是(而且仍然是)异常复杂，这使牛顿清楚地意识到，虎克「所断定的比他所知道的要多」。因此，在进一步的工作中，他避免引用虎克。哈雷在1686年曾劝说牛顿在《原理》中提及虎克(虎克在1666年和1674年就发表过关于引力的论文)，在与哈雷的通信中牛顿曾以一段话表达了自己关于数学家(牛顿)与物理学家(虎克)对待科学的差异，这些话时至今日仍有现实意义，牛顿写道：「发现一切的数学家，应满足于驮重的牲畜和枯燥无味的计算者的角色，而另一个人，他什么也不能证明，只是攫取一切，潜望一

多尺度方法综述

跨原子/连续介质（第一类）多尺度分析的各种方法按照其控制方程的类型可分成两类，基于能量的方法和基于力平衡的方法一、基于能量的方法假定系统的总能量由原子区，握手区（可无），连续介质区构成 tot A H C ∏=∏+∏+∏ 其中，握手区和连续介质区的能量是由有限元法近似求得的。基于能量的方法一个最大的缺陷是很难消除耦合能量的非物理效应“鬼力”。鬼力产生的原因：假设全区域采用原子进行计算，则其能量为： ,,atom atom A atom C ∏=∏+∏ 对位移进行求导，可得 ,,atom A atom C f u u α αα?∏?∏=--?? 在平衡时：,,atom A atom C u u αα ?∏?∏=-?? 同理，对于无握手区的多尺度能量法，在平衡时，满足方程： A C u u αα?∏?∏=-?? 同时因为在两种方法中，,A atom A ∏=∏ 即对于多尺度能量法需满足方程：,C Atom C u u αα ?∏?∏=?? 因为在多尺度能量法的计算中，连续介质区的能量是由有限元法近似求得的，与原子计算的能量不一致，所以会产生“鬼力”。 1. QC 法（1998, Tadmor E B, OrtizMand Phillips R 1996 Quasicontinuum analysis of defects in solids Phil. Mag. A 73 1529–63）在之前的报告中阐述过，本周的阅读中暂无改进内容 2. CLS 法（1999，Broughton JQ, Abraham F F, BernsteinNand KaxirasE1999 Concurrent coupling of length scales: methodology and application Phys. Rev. B 60 2391–403）提出该方法的作者是基于自身对于MEMS （Micro-Electro-Mechanical

机械行业振动力学期末考试试题(doc-11页)(正式版)

… 2008年振动力学期末考试试题第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：系统动能： % m 1动能： m 2动能： m 3动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ~ ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。物体B 动能：2212 1 x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21 = θ。轮子动能： )83 (21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R R m x m J v m T c =+=+=ω \ x

牛顿对经典力学的贡献

牛顿对经典力学的贡献一、认识牛顿艾萨克·牛顿艾萨克·牛顿爵士是人类历史上出现过的最伟大、最有影响的科学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术和神学。他在1687 年7月5日发表的不朽著作《自然哲学的数学原理》里用数学方法阐明了宇宙中最基本的法则——万有引力定律和三大运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是“人类智慧史上最伟大的一个成就”，由此奠定了之后三个世纪中物理界的科学观点，并成为现代工程学的基础。牛顿为人类建立起“理性主义”的旗帜，开启工业革命的大门。牛顿逝世后被安葬于威斯敏斯特大教堂，成为在此长眠的第一个科学家。二、牛顿力学 1679年，牛顿重新回到力学的研究中：引力及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨论。他将自己的成果归结在《物体在轨道中之运动》（1684年）一书中，该书中包含有初步的、后来在《原理》中形成的运动定律。《自然哲学的数学原理》（现常简称作《原理》）在埃德蒙·哈雷的鼓励和支持下出版于1687年7月5日。该书中牛顿阐述了其后两百年间都被视作真理的三大运动定律。牛顿使用拉丁单词“gravitas”（沉重）来为现今的引力（gravity）命名，并定义了万有引力定律。在这本书中，他还基于波义耳定律提出了首个分析测定空气中音速的方法。三、牛顿对经典力学的贡献所谓经典力学，是指研究在低速情况下宏观物体的机械运动所遵循的规律的力学。经典力学的基本定律是牛顿运动定律或与牛顿定律有关且等价的其他力学原理。

牛顿在前人积累的大量动力学知识的基础上，又通过自己反复观察和实验，提出了“力”、“质量”和“动量”的明确定义，并将它们与伽利略提出的“加速度”联系起来，总结出了物体机械运动的三个基本定律。牛顿的这三个定律是人类对自然界认识的一个大飞跃，它为经典力学奠定了坚实的基础，决定了300多年来力学发展的方向，并且对其他学科的发展产生了巨大的影响，至今仍是自然科学的基础理论之一。牛顿的一生不仅为经典力学奠定了基础，而且在热学、光学、天文和数学等方面也都作出了卓越的贡献。牛顿(1642—1727)是一位伟大的物理学家、数学家和天文学家。他在自然科学史上占有独特的地位。他的科学巨著《自然哲学的数学原理》的出版,标志着经典力学体系的建立。经典力学理论体系的科学成就和科学的方法论启迪了人类征服自然的无穷智慧,对现代化科学技术发展和社会进步产生了极其深远的影响。牛顿经典力学认为质量和能量各自独立存在，且各自守恒，它只适用于物体运动速度远小于光速的范围。牛顿力学较多采用直观的几何方法，在解决简单的力学问题时，比分析力学方便简单。经典力学的基本定律是牛顿运动定律或与牛顿定律有关且等价的其他力学原理，它是20世纪以前的力学，有两个基本假定：其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。20世纪以来，由于物理学的发展，经典力学的局限性暴露出来。如第一个假定，实际上只适用于与光速相比低速运动的情况。在高速运动情况下，时间和长度不能再认为与观测者的运动无关。第二个假定只适用于宏观物体。在微观系统中，所有物理量在原则上不可能同时被精确测定。因此经典力学的定律一般只是宏观物体低速运动时的近似定律。因为牛顿的力学与现代力学（以量子力学和相对论为主导）有很大差别，牛顿的力学虽然在高速和微观领域不正确（由于受当时认识水平的局限），但其在一般情况下（低速、宏观），可以很容易地处理问题（也就是说牛顿力学虽然错误但还是有用的），所以就打算把它们分别起个名字。起什么名字呢？最后，一个叫经典力学，一个叫现代力学。牛顿三大定律力学三大定律和万有引力定律，它是研究经典力学的基础。

多尺度方法在复合材料力学研究中的进展

多尺度方法在复合材料力学分析中的研究进展摘要简要介绍了多尺度方法的分量及其适用范围，详细论述了多尺度分析方法在纤维增强复合材料弹性、塑性等力学性能中的研究进展，最后对多尺度分析方法的前景进行了展望。关键词多尺度分析方法，复合材料，力学性能，细观力学，均匀化理论 1 引言多尺度科学是一门研究不同长度尺度或时间尺度相互耦合现象的跨学科科学，是复杂系统的重要分支之一，具有丰富的科学内涵和研究价值。多尺度现象并存于生活的很多方面，它涵盖了许多领域。如介观、微观个宏观等多个物理、力学及其耦合领域[1]。空间和时间上的多尺度现象是材料科学中材料变形和失效的固有现象。多尺度分析方法是考虑空间和时间的跨尺度与跨层次特征，并将相关尺度耦合的新方法，是求解各种复杂的计算材料科学和工程问题的重要方法和技术。对于求解与尺度相关的各种不连续问题。复合材料和异构材料的性能模拟问题，以及需要考虑材料微观或纳观物理特性，品格位错等问题，多尺度方法相当有效。复合材料是由两种或者两种以上具有不同物理、化学性质的材料，以微观、介观或宏观等不同的结构尺度与层次，经过复杂的空间组合而形成的一个多相材料系统[2]。复合材料作为一种新型材料，由于具有较高的比强度和比刚度、低密度、强耐腐蚀性、低蠕变、高温下强度保持率高以及生物相容性好等一系列优点，越来越受到土木工程和航空航天工业等领域的重视。复合材料是一种多相材料，其力学性能和失效机制不仅与宏观性能（如边界条件、载荷和约束等）有关，也与组分相的性能、增强相的形状、分布以及增强相与基体之间的界面特性等细观特征密切相关，为了优化复合材料和更好地开发利用复合材料，必须掌握其细观结构对材料宏观性能的影响，即应研究多尺度效应的影响。如何建立起复合材料的有效性能和组分性能以及微观结构组织参数之间的

现代数学的发展趋势.doc

第四章现代数学的发展趋势一、现代数学的发展趋势内容概括与古典数学相比，现代数学的发展从思想方法的角度看具有一些新的特征，本章内容通过数学的统一性、数学在自然科学和社会科学中的广泛应用、数学机械化的产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展这些方面来认识和理解现代数学的发展趋势。下面从以下几个方面来分析： ● 数学的统一性 ● 数学应用的广泛性 ● 计算机与数学发展 1．数学的统一性所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。 ● 数学的统一性发展的三个阶段（1）数学从经验积累到严格的演绎体系建立，其特征逐步明显，在中世纪时，从研究对象和方法来看，初等数学有了一定的统一性。特别是17世纪解析几何的诞生，使数学中的代数与几何统一起来，说明统一性是数学的特征。生了变革，结果是数学分支愈来愈多，数学表现的更加多样化。因此，需要重新认识数学的统一性。为此，数学家们作了很多努力，到20世纪30年代，法国的布尔巴基（Bourbaki）学派提出，利用数学内在联系和公理化方法从数学各个分支中提炼出各种数学结构。他们认为数学的发展无非是各种结构的建立和发展，“数学好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，……。” (2)布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构（即代数结构、序结构和拓扑结构），然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、布尔代数结构等等。他们认为整个数学或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类，用数学结构能统一整个数学，各个数学分支只是数学结构由简单到复杂，由一般向特殊发展的产物。数学的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。（3）20世纪下半叶，数学已经发展成一个庞大的理论体系，数学分工愈来愈细，分支愈来愈多，分支之间的联系愈来愈不明显，但是，数学学科的统一化趋势也在不断加强，主要体现在数学的不同分支领域的数学思想和数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起：例如微分拓扑学的建立、发展；整体微分几何研究的突破；代数几何领域的进展；多复变函数理论以及其他数学分支的突破和发展都有密切的联系。

力学中的数学方法-张量-2

2. Kronecker δ 符号
一、 Kronecker 符号定义为：
?1, i = j δ ij = ? ?0, i ≠ j
δ ij 可确其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，定一单位矩阵：
?δ 11 δ 12 δ 13 ? ?1 0 0? ?δ ? = ?0 1 0 ? δ δ 22 23 ? ? ? ? 21 ? ?0 0 1 ? ? ?δ 31 δ 32 δ 33 ? ? ?
1

二、
δ ij 的性质
2

三、例题
例题1：若
e1 , e 2 , e 3
是相互垂直的单位矢量，则
ei ? e j = δ i j
e i ? e i = e1 ? e1 + e 2 ? e 2 + e 3 ? e 3 = 3
δ i i = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3
ei ? ei = δ i i
3

注意：
δ i j与δ ii不同
是一个数值，即
δ ii δi j
例题2：
δ ii = 3
的作用：1）换指标；2）选择求和。
Ai → Ak
δ k i Ai = δ k k Ak = Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
4

例题3：
Tk j → Ti j
δ i kTk j = δ i iTij = Tij
特别地，
δ i kδ k j = δ ij , δ i kδ k jδ jm = δ i m
5

浅谈自己对数学史和数学的认识教学提纲

浅谈自己对数学史和数学的认识

浅谈自己对数学史和数学的认识 1，我对数学的发展史的认识数学，根据现代的很多地方的高校的数学教材的定义：“数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。”想想，数学这门来自生活，科学进而影响我们的生活，并且从一个人一开始就伴随我们一生的学科，它对个人，社会的重要性便可想而知。美国著名文学家克莱因在他的《西方文化中的数学》中曾经说过：“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”我想这句话在对我们有这相当答的启示作用，数学本来是一门很抽象的学科，他说研究的东西就是抽象现实中的物理，化学，生物等各方面的问题，然后建立相关的解决模型，以这样的方式来改变我们的生活和历史的进程；并且以它需要的精神：严谨和理性来处理世间的好多的问题都成了历史的绝唱：像阿基米德的测试密度的模型，伽利略的日心说，甚至曹冲称象......哪一件事情没有涉及到数学知识的运用？

就是因为这门学科的无比重要性，从人类文明的开始，就开始简单的研究这门科学，并且用它解决一些简单的生活问题，像人类刚开始自己的文明的时候用石子计数，用手指来数自己的羊，这些东西看起来是非常简单的事情，但是这样的东西对我们一无所知的祖先而言却是一个非常大的进步，这意味着我们的祖先开始自己的抽象的思维，用无关的东西来记录已有东西的数量。步入奴隶社会后人类开始有自己的语言，这时候数学有了跟进一步的发展：古埃及，古巴比伦，中国等文明源地开始有自己的语言，数字。这就是代表数学跟进一步的开始抽象了。大家可能会想写个123吧，两三岁的小孩子都会的，但是，当时却不是这样的，因为我们的祖先不像我们一样的聪明，他们能抽象的表示数据已经像今天的我们向太空迈出的那一小步了，曾经有位名人说过：“数学从一诞生开始就预示着人类将成为最高级的生物。”我想这句话很深刻的解释了人类和低等动物的本质上的区别。从封建社会建立开始，数学有了自己专门的学科，封建社会发展繁荣的国家还曾今涌现过一批批的数学家和出色的数学作品：像《九章算术》，祖冲之和他的圆周率计算，一直到后来拿破仑时代的傅里叶.....当然，由于这个时期的思想封闭和约束特点，这些数学的发展相当缓慢，但是这个时期的数学发展却带给世界一个全新的局面，让人类的认识从现实到抽象，从感性到理性，然后真正的意识到世界是什么样子：通过数学方面的知识，天文学开始飞速的发展，化学开始崛起，物理学各种真理被解释，各种自然现象也得到揭示，医学为人类带来健康，生物学有了点起色。人类的思想开始走向自由，走向现代化。

多尺度法初识和应用

多尺度法初识和应用摘要：简要介绍多重尺度发的中心思想，另外，举例说明多重尺度法在求解方程中的应用。非线性问题的研究非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。线性与非线性的意义 “线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。 “非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲线。最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统。多尺度法的基本思想多尺度法首先是由Sturrock(1957) 、Cole(1963) 、 Nayfeh(1965)等提出的,此后得到进一步的发展。上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形式为的方程所控制的系统，设方程的解为将原点移至中心位置是合适的。于是有 ()0=+q f q +++=+=22100x x q x q q εε0q q =

振动力学期末考试试题和答案

振动力学期末考试试题和答案振动力学(试题) 2008 一、填空(每空2分) 1、设周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为,T ,,, 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为,,, , 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 动的幅值为,,, 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,,,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为,,,,,, 6、写出多自由度系统再频率域的输入与输出之间的关系,,,,, 7、写出瑞利商的表达式,,,,,, r8、多自由度系统中共存在个主固有频率，其相应的主振型,,, 正交。 9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于M、K是否正交,,,,(答是或否) 10、写出如图T-1所示梁的左端边界条件,,,,,,,,,, y L x K 图T-1 二、(20分)系统如图T-2所示，杆AB为刚性、均质，长度为,总L 质量为，弹簧刚度为，阻尼系数为。求系统的固有频率及阻mck

尼因子。图T-2 三、系统如图T-3所示。求系统的固有频率与主振型。 k k k k k m m m X X X 123 图T-3 四、五、(20分)简支梁如图T-5所示，弹性模量为E，质量密度为，, 横截面积为A，截面惯性矩为J。求梁在中央受集中弯矩M下的响应。(假设梁的初始状态为零)

图T-5 答案一、填空(每空2分) 1、周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为 T2/,T 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为, c ,, 2mk 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 p10动的幅值为 ,,B222k,,,,，(1)(2) 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,正,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为加权(M,K)正交: 0()ij,0()ij,,,TTTT ,,,,M,K,,,ijijMij(),Kij(),pipi,, 6、写出多自由度系统在频率域的输入与输出之间的关系 21,其中 xHP()()(),,,,HKMiC()(),,,,,， TXKX7、写出瑞利商的表达式 ()RX,TXMX r8、多自由度系统中共存在个重固有频率，其相应的主振型,,加权(M,K)正交。 MK9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于、是

经典力学基本原理

经典力学基本原理经典力学是以牛顿运动定律为基础，在宏观世界和低速状态下，研究物体运动的基础学科。在物理学里，经典力学是最早被接受的力学基础。经典力学的理论有一种简洁的、深刻的美，这些定律中包含了内在而优雅的数学内涵，因此非常有必要将这些内容介绍给高年级的大学生们。因此本书主要是针对对于现代数学感兴趣的物理学高年级本科生和研究生，书中将用拓扑场论和微分几何来建立经典力学的数学框架。本书同样针对将重要物理问题作为研究对象的数学系高年级本科生和研究生。本书共分为43章：1.向量、张量和线性变换；2.外代数和行列式；3.霍奇星算子和向量叉积；4.运动学和活动标架：从角速度到规范场；5.微分流形：正切和余切包络；6.外微积分：微分形式；7.通过微分形式的向量计算；8.斯托克斯定理；9.活动标架的嘉当方法；10.机械约束：弗罗贝尼乌斯定理；11.流形和李微分；12.牛顿定律：惯性和非惯性框架； 13.牛顿定律的简单运用；14.势理论：牛顿万有引力定律； 15.离心力和科氏力；16.谐振子：傅里叶变换和格林函数； 17.原子的经典模型：能级；18.动力学系统及稳定性；19.多粒子系统和守恒律；20.刚体动力学：运动的欧拉-泊松方程；

21.完整约束的拓扑学和系统；22.矢量丛上的联络：正切丛上的仿射联络；23.向量平移；24.几何相、规范场和可变形体力学：佛科摆（The Foucault Pendulum）；25.力和曲率；26.GaussBonnetChern定理和完整性；27.黎曼几何中的曲率张量；28.标架丛和主从：标架丛上的联络；29.变分法，欧拉-拉格朗日方程，弧长和短程线的一阶变分；30.弧长的二阶变分，指数形式和雅克比场；31.经典力学的拉格朗日表达式：最小作用量的哈密顿原理，约束运动中的拉格朗日乘数； 32.小扰动和正态振型；33.经典力学的哈密顿表达式：运动的哈密顿方程；34.对称和守恒；35.对称顶点；36.正则变换和辛群；37.生成函数和哈密顿-雅克比方程；38.可积性，不变环面和作用角变量；39.哈密顿动力学中的辛几何，哈密顿流和PoincaréCartan积分不变量；40.辛几何中的达布定理； 41.KolmogorovArnoldMoser （KAM）定理；42.同宿环纠缠和不稳定性；43.限制性三体问题。本书是本领域研究生课程的优秀教科书，也为理论力学专业人员提供了详尽的参考资料。适合力学专业、数学专业、物理专业的研究生、博士生和相关的科研人员阅读。甘政涛，博士研究生（中国科学院力学研究所）

力学中的数学方法-变分法

变分法

取极值必须满足z 1696年瑞士数学家约翰、贝努里提出的“最速降线问题”，发表于《教师学报》，引起广泛关注。z 1697年该杂志刊登了牛顿、莱布尼兹、洛比达和贝努里兄弟的解法，殊途同归！ z 虽蕴含着天才思想，但还是不能建立起变分法！z 历史安排了大数学家尤拉，1734年解决了更广泛的最速降线问题，但他还不满意。最终他找到了，1736年的论文： §4.1 变分法基本概念与基本理论历史往事——导致变分法建立的著名问题: [()](,,)b a J y x F x y y dx ′=∫ d ()0d F F y x y ???=′??z 拉格朗日改进了尤拉证明，非常简洁，1755年告诉了尤

一. 基本概念变分法就是求泛函极值的方法．变分问题即是求泛函的极值问题． 1. 泛函变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．先看一个例题：

考虑著名的最速降线落径问题。如图1 所示，已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T最小． y x A B(x,y)

此时质点的速度是 d 2d s gy t =从A 滑到B 所需的时间为 d B A t t T t =∫21+[()]d 2B A y T y x x gy ′=∫d 2B A s gy =∫21+d 2B A y x gy ′= ∫

y ′x T ()y x ()y x [()]T y x 式中代表对求一阶导数．我们称上述的为的泛函，而称为可取的函数类，为泛函的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数的那种含义）．泛函定义：一般来说，设C 是函数的集合，B 是实数或复数的集合如果对于C 的任一元素 ()y x 在B 中都有一个元素J 与之对应，所谓泛函不过是更广泛意义下的函数关系罢了！ J ()y x [()] J J y x =则称为的泛函，记为

上海交通大学2008年振动力学期末考试试题

上海交通大学2008年振动力学期末考试试题第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角：系统动能： m1动能： m2动能： m3动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：上式求导，得系统的微分方程为：

固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。物体B动能：轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：

固有频率为：第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：系统动力学方程为：频率方程为：解出系统2个固有频率：，

2008年期末振动力学考试试题

2008年振动力学期末考试试题大学期末考试https://www.sodocs.net/doc/f812766586.html, 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量 m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角：系统动能： m1动能： m2动能： m3动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：

上式求导，得系统的微分方程为：固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。物体B动能：轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能：系统势能：

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：固有频率为：第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：