二次函数与三角形面积

二次函数与几何图形面积

例1.已知：抛物线的顶点为D (1, -4 ),并经过点E (4, 5),求:

(1) 抛物线解析式；

(2) 抛物线与x 轴的交点A 、B ,与y 轴交点C ；

(3) 求下列图形的面积△ ABD △ ABC △ ABE △ OCD △ OCE

y 二ax 2 ? bx ? c a = 0与x 轴相交于两点 A x 1,0 ，

距离为4,且厶ABC 的面积为6

1)求点A 和B 的坐标；

(2) 求此抛物线的解析式；

(3) 求四边形ACPB 勺面积。

例2.如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B.(1)求 抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA

PB,当P 点运动到顶点C 时，求△ CAB 勺铅垂高CD 及S.CAB ； (3)是否存在一点P ,使S △ PAE =9S ^CAB ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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变式训练2.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（一2, 0）,连

结OA 将线段0A 绕 原点0顺时针旋转120°,得到线段OB （ 1）求

点B 的坐标；（2）求经过A 、O B 三点 的抛物线的解析式；（3

）

变式训 练1.如图所示，已知抛物线

B X 2,0为：X2 ,与y 轴负半轴相交于点

C,若抛物线顶点P 的横坐标是1, A 、B 两点间的 D

在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点。，使厶BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△ PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△ PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

变式训练3.如图，抛物线y =-x2Ex c与x轴交于A（1,0）,B（- 3 ，0）两点。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上的第二象限上是否存在一点卩，使厶PBC的面积最大？，若存在，求出点

P的坐标及厶PBC勺面积最大值.若没有，请说明理由.

、课后作业:

1. 已知如图，矩形OAB(的长0A“，宽0C=1将厶AOC沿AC翻折得△ APC

(1)填空：/ PCB=—度,P点坐标为(，);

(2)若P, A两点在抛物线y二—4x2+bx+c上,求b, c的值，并说明点C在此抛物线上；

3

(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C, P点)上，是否存在一点M使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

2. 如图①，已知抛物线y =ax2，bx0)与x轴交于点A(1 , 0)和点B ( —3, 0)，与y轴交于点c.

(1)求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点巳使厶CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE CE求四边形BOCES积的最大值，并求此时E点的坐标.

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 错误！未找到引用源。的图象与x 轴交于A 、 B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于C (0，-3 )点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.

(1) 求这个二次函数的表达式.

(2) 连结PO PC,并把△ POCft CO 翻折，得到四边形POP 错误！未找到引用源。C,那 么是否存在点P ，使四边形POF 错误！未找到引用源。C 为菱形？若存在，请求出此时 点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

(3) 当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边 形ABPC 勺最大面积.

4. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A (-4，0)、B (2，0)， 与y 轴交于点C,顶点为D. E (1, 2)为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G.

(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标;

(2)在直线EF 上求一点耳使厶CDH 勺周长最小，并求出最小周长;

(3) 若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时,

并求出最大面积

.

△ EFK 的面积最大?

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