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20含有字母系数的一元一次方程和一元二次方程

20含有字母系数的一元一次方程和一元二次方程、无理方

程、二元二次方程

1. (2015年汕尾中考)已知关于x 的方程2

220x x a ++-=. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根. 【考查内容】一元二次方程的根.

【解】（1）依题意有：224(2)0a =-->Δ，解得a ＜3 .

（2）依题意得：1 + 2 + a – 2 = 0 ，解得 a =-1.∴原方程为2

230x x +-= 解得11x =，23x =- ∴a =－1，方程的另一根为23x =-.

2.(2015年六盘水中考)已知1x ＝3是关于x 的一元二次方程042

=+-c x x 的一个根，则方程的另一个根2x 是 . 【考查内容】一元二次方程.

【解析】将1x ＝3代入得c ＝3，所以原方程为2

430x x -+＝，解得1x ＝3，2x ＝1，故答案为1.

3. (2015年成都中考)关于x 的一元二次方程0122

=-+x kx 有两个不相等实数根，则k 的

取值范围是( )

A.1->k

B.1k -≥

C.0k ≠

D.1->k 且0k ≠ 【考查内容】根的判别式【答案】D

【解析】首先要是一元二次方程，则0k ≠，然后有两个不相等的实数根，则0?>，则有

224(1)01k k ?=-?->?>-，所以1k >-且0k ≠，因此选择D.

4.(2015年成都中考)如果关于x 的一元二次方程2

0ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个

根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）

①方程2

20x x --=是倍根方程；

②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22

450m mn n ++=；

③若点()p q ，在反比例函数2y x

=的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；

④若方程2

0ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，(4)N t s -，都在抛物

线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54

. 【考查内容】一元二次函数综合运用【答案】②③

【解析】研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有

2902b a c -

=；我们记29

K b ac =-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：

对于①， 2

102

K b ac =-

=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29

(2)(2)02

K n m m n =---=?22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然

2pq =，而29

302

K pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，(4)

N t s -，知，1455222b t t b a a ++--==?=- ，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为22150105094550093

ax ax a x x x -+=?-+=?=，253x =，

因此本选项错误.综上可知，正确的选项有：②③.

5. (2015年成都中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝a 2

x －2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于

点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为

，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

备用图第5【考查内容】函数的综合应用【解】（1）A （－1，0），

∵直线l 经过点A ，∴0＝－k ＋b ，b ＝k ，∴y ＝kx ＋k ，令a 2x －2ax －3a ＝kx ＋k ，即a 2

x －

( 2a ＋k )x －3a －k ＝0.∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标为4.∴－3－k

＝－1×4，∴k ＝a .∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a .

（2）过点E 作EF ∥y 轴，交直线l 于点F .设E （x ，a 2

x －2ax －3a ），则F （x ，ax ＋a ）， EF ＝a 2

x －2ax －3a －( ax ＋a )＝a 2

x －3ax －4a .ACE S △＝AFE S △－ CFE S △＝

( a 2

x －3ax －4a )( x ＋1 )－12( a 2x －3ax －4a )x ＝12( a 2

x －3ax －4a )＝

a 2

32x ?

?- ??

?－258a .∴△ACE 的

面积的最大值为-

258a .∵△ACE 的面积的最大值为 54，∴-258

a ＝54 ，解得a ＝-2

第5题图（3）令a 2x -2ax -3a ＝ax ＋a ，即a 2

x -3ax -4a ＝0，解得1x ＝-1，2x ＝4.∴D （4，5a ）.∵y ＝a 2

x －2ax －3a ，∴抛物线的对称轴为x ＝1，设P （1，m ）.①若AD 是矩形的一条边，则Q （－4，21a ）m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P （1，26a ）∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°. ∴2

AD ＋2

PD ＝2

AP ，∴25＋2(5)a ＋2(14)-＋2(265)a a -＝2(11)--＋2(26)a ，即2

＝

17 ，∵a ＜0，∴a ＝7-.∴1P （1，7

-）.

第5题图②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为（

32，52

），Q （2，－3a ）， m ＝5a －(－3a )＝8a ，则P （1，8a ），∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°，∴2

AP ＋2

＝2AD .∴2(11)--＋2(8)a ＋2(14)-＋2(85)a a -＝25＋2(5)a .即2

a ＝1

，∵a ＜0，∴a ＝1

.∴2P （1，－4）. 综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形.点P 的坐标为（1

，）或（1，－4）

第5

11上海山阳中学模拟

6.下列方程中是二项方程的是（）

A.04=+x x

B.05=x

C.13=+x x

082

=+x 【考查内容】二项方程【答案】D

【解析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x ，这项的次数就是方程的次数；另一项是常数项，方程右边是0，故选D.

7.解方程组：22

252()x y x y x y +=???

-=+??①

②

. 【考查内容】解方程组

【解】①式方程为25x y +=，②式方程为2

2()x y x y -=+.

解法一：由②得：()()()2x y x y x y +-=+，则0=+y x 或02=--y x .

组成新方程组为：???=+=+052y x y x 或?

??=--=+025

2y x y x .

解得原方程组的解???=-=5511y x 或???==13

2y x .

解法二：由①得：52x y =-③，把③代入②得：)25(2)2522y y y y +-=--（，整理得：2318150y y -+=.解得：11=y ，52=y .当11=y 时31=x ；当52=y 时

52-=x .所以原方程组的解是: ???==13

1y x , ??

?=-=55

2y x . 8.解方程:232

2+=-x mx （1≠m ）.

【考查内容】解方程.

【解】移项得：22

23mx x -=+.化简得：2(1)5m x -=.∵1m ≠,∴2

x m =

-.当10m -<时， 2501x m =

<-∴原方程无实数解.当10m ->时， 25

x m =>-. ∴

1)x =

=，

2x ==所以1>m 时原方程的

解是x ==1

9.在下列所给出的方程中,无理方程是（） A.022

=-x B.

231=+x C.013

=+x D.23

1=+x 【考查内容】无理方程

【答案】D

【解析】根号内含有未知数的方程才是无理方程,故只有D 正确. 14上海松江模拟

10.解方程组：222

40.40x y x xy ?-=?

?-+=??①②

【考查内容】解方程组

【解】由方程①,得02=+y x 或02=-y x .将它们与方程②分别组成方程组,得

（Ⅰ）2

2040

x y x xy +=??

-+=?或（Ⅱ）2

2040

x y x xy -=??

-+=? .方程组（Ⅰ）,无实数解；解方程组

（Ⅱ）,得 24x y =??=?

或2

4x y =-??=-?,所以原方程组的解是1124x y =??=?或2224x y =-??=-?.

14上海松江月考

11.如果关于x 的方程x k x =-25有实数根2=x ，那么k = .

【考查内容】解无理方程.

【答案】3

【解析】把2=x 2=，两边平方得1024k -=，解得3k =，检验：当3k =时，原方程的左边＝右边，所以3k =. 14上海松江月考

12.下列关于x 的方程中，一定有实数根的是（）

A.011=++x

B.x x -=-23

C.01=+x

D.122-=-++x x 【考查内容】方程的根. 【答案】C

【解析】0，∴

10=不成立，故A 选项错误；x x -=-23，

∴30x -…，即3x …，但是此时20x -<，方程不成立，故B 0=的

解为1x =-，所以方程有实数根，故C 是非负数，故D 选项错误.故选C. 14上海松江月考

13.解方程：42-=+x x . 【考查内容】解无理方程

【解】两边平方得：2

2816x x x +=-+，即：2

9140x x -+=，()()270x x --=，

计算得出：2x =或7.经检验：2x =是增根，7x =是方程的根.故7x =. 14上海松江月考

14.解方程：2725=--+x x . 【考查内容】解无理方程

【解】方程两边平方得：52774x x ++--=，即：

324x --=，则：367x -=，两边平方得：

2293636812140x x x x -+=+-，即：2481760x x -+=.

计算得出：44x =或4，经检验：44x =是增根，4x =是方程的根，所以原方程的根是4x =. 14上海杨浦测验

15.解方程组：2222

320

x xy y x y ?-+=??+=??. 【考查内容】二元二次方程组.

【解】由22

320x xy y -+=得020.x y x y --==，

原方程组化为 2205x y x y -=??+=?，22

5x y x y -=??+=?

，

分别解这两个方程组，得原方程组的解是：x y ?=??

?=??

，x y ?

=??

21x y =??=?，21x y =-??=-?.

14浙江温州1

16.若一元二次方程2

210kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是 . 【答案】1k ≤且0k ≠

【解析】k ≠0，且2(2)40k ?=--≥，解得1k ≤且0k ≠. 15广东东莞模拟

17.如果4,

(1) 6.x y x m y +=??

--=?

中的解,x y 相同，则m = .

【考查内容】解方程组【答案】1-

【解析】因为解,x y 相同，即x y =，所以24x =，即2x y ==，代入得

2(1)26m --?=，解得1m =-.

15广东预测卷（四）

18.由于受H7N9的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅度下降，由原来每斤12元连续两次降价a %后售价下调到每斤5元，根据题意，可得方程为（）

A.2

12(1%)5a += B.2

12(1%)5a -= C.12(1%)5a -= D.2

12(1%)5a -= 【考查内容】含有字母系数的一元二次方程

【答案】B

【解析】根据题意有，当价格一次降价a %时，可列方程12(1－a %)，所以当价格两次降价a %时，方程为2

12(1%)a -，由于两次降价后售价下调到5元，故可列方程：2

12(1%)5a -=，故选B.

15广东中考预测（三）

19.已知关于x 的方程 ()2120a x x a -++-=. （1）若该方程的一个根为2，求a 的值及另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有实数根．【考查内容】实数和方程

【解】（1）将x ＝2代入方程2(1)20a x x a -++-=，得4（1－a ）+2＋a －2＝0，解得a ＝3

. ∴方程为03

312=-+-

x x ，解得1212x x ==，.所以方程的另一根为1．（2）证明：①当1=a 时，方程为1201x x +-==，解得.②当1≠a 时，方程是一元二

次方程，∵2214(1)(2)(23)0a a a ?=---=-≥，∴方程有实数根.综上

所述，不论a 取何实数，该方程都有实数根．

15广东中考预测（三）

20.关于x 的一元二次方程210x x p -+-=有两个实数根12x x 、,则p 的取值范围是

______________.

【考查内容】解一元二次方程.

【答案】54

p ≤ 【解析】210x x p -+-=有两个实数根，所以0?≥，即2(1)41(1)540p p --??-=-≥，

所以5

p ≤.

15广东珠海九洲中学

21.已知关于x 的方程2

30x x m -+＝

的一个根是1，则m = . 【考查内容】一元二次方程

【答案】2

【解析】将1x ＝

代入方程可得130m -+＝，2m ＝. 15江苏连云港灌云中学二模

22.若关于x 的一元二次方程2

210nx x --=无实数根,则一次函数(1)y n x n =+-的图象不经过( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限【考查内容】函数图像【答案】C 【解析】因为一元二次方程无实根故?<0,即4+4n <0,得n <-1,则一次函数斜率为负与y 轴的

截距为正,故图像不经过第三象限.

15山东淄博临淄期中

23．已知关于x 的一元二次方程（a +c ）2

x +2bx +（a －c ）=0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．

（1）如果x =－1是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根．【解】（1）ABC △是等腰三角形；理由：∵1x =-是方程的

根,∴2

()(1)2()0a c b a c +?--+-=,∴20a c b a c +-+-=,∴0a b -=, ∴a b =,∴ABC △是等腰三角形；

（2）ABC △是直角三角形；理由：∵方程有两个相等的实数根,

∴2

24)()0b a c a c -+-=（）（,∴2

4440b a c +=－,∴2

a b c =+,

∴ABC △是直角三角形；

（3）∵当ABC △是等边三角形,∴2)2()0a c x bx a c +++-=（,可整理为：

2220ax ax +=,∴20x x +=,解得：1201x x ==-，.

15上海杨浦模拟 24.如果x =2是方程

x a +=-的一个根，那么a 的值是( ) A.0 B.2 C.－2

D.－6

【考查内容】求解方程中的变量. 【答案】C

【解析】∵x =2是方程

112x a +=-的一个根，∴x =2满足1

x a +=-，将x =2代入112x a +=-有1

212

a ?+=-，解得2a =-，故选C. 15浙江杭州模拟 (4)

25.已知二次函数22(3)(3)y kx k x k =+-+-的图像开口向上，且k 为整数，且该抛物线与x 轴有两个交点（a ，0）和（b ，0）.一次函数1(2)y k x m =-+与反比例函数2n

y x

=的图象都经过(,)a b . （1）求k 的值；

（2）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出12y y >时，x 的取值范围. 【考查内容】函数综合应用. 【解】（1）由题意得，抛物线与x 轴有两个交点，故令y =0，即2

2(3)(3)0kx k x k +-+-=，则()()2

43430k k k ?=--->，解得k <3 ，

∵二次函数的图像开口向上，故k >0，又∵k 为整数且20k -≠， ∴k =1 .

（2）由（1）得，2

42y x x =--，

令2

420x x --=得x x =2 ∴a +b =4,ab =2-，

把（a ，b ）代入1y x m =-+，2n

y x

得：m =a +b =4, n =ab =2-， ∴一次函数的表达式为14y x =-+ ，

∴反比例函数的表达式为22y x

=- ，

当12y y >时，2x <02x <<.

15浙江杭州模拟(2)

26.若方程组21

ax y ax y -=??

+=?的解满足条件x y =，则a = ．

【考查内容】据方程组求变量值. 【答案】3

【解析】()224154ax y ax y y --+=-=-=-，所以1y =，

()222156ax y ax y ax -++==+=，又x y =，所以3a =.

15上海模拟 27.

3.=

【考查内容】解方程的基本方法

【解】

3=得

到291x x +=--

；整理得到6=；最后得出答案2x =. 15上海模拟

28.

方程x =的根 . 【考查内容】方程的求解. 【答案】4.

【解析】对方程两边同时平方的，2

34x x =+且340x +…，可以得出1x =-或4x =，但

x -…，因此答案为4.

15上海模拟 29.解方程组 2

212320

x y x xy y +=??

-+=?.

【考查内容】解二元一次方程、二元二次方程组

【解】212x y +=中122x y =-,代入2

320x xy y -+=，得到123,4y y ==；将y 的值代入122x y =-，得到1163x y =??=?，224

x y =??=?.

解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点．教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用．教学过程: 一、引入新课问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为二、讲授新课引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？解为：无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为：当Δ≥0时有实根；当Δ＜0时，有一对共轭的虚根．例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以解：例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值．解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6．我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？例3 求方程x 2-2ix-5=0的解．解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ．练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.

含参数的一元二次方程的整数解问题

数学思维的教育第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 1

对于一元二次方程ax2+ bx+ c=O(a ≠0)的实根情况，可以用判别式Δ =b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质. 本讲结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时，方程 2 2 (m-1)χ -6(3m-1)x + 72= 0 有两个不相等的正整数根. 2 2 解法1首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1. Δ =36(m-3) > 0 ,所以m≠ 3 .用求根公式可得 6 12 Xl = ----------- 7J X i W -------------- 7- m —1 IIl + 1 由于X1, X2是正整数，所以 m1=1, 2, 3, 6, m+1=1, 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 这时X1=6, X2=4. 2 解法2首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1.设两个不相等的正整数根为χ1, χ2,则由根与系数的关系知 6(3m T) 72 m - I m - 1 所以m-1=2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72,即卩 2 m=3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 19, 25, 37, 73, 只有m=4, 9, 25才有可能，即m=±2, ± 3 , ± 5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于X的方程 2 2 2 2 a X -(3a -8a)X + 2 a -13a +15=0 2

一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 · 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）》 A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．

评卷人· 得分三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． · 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； : （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（ √ ）） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+．解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数，设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-

含参数的一元二次方程的整数解问题

第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题

对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质?本讲结合例题来讲解一些主要的方法? 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得 6 12 由于x i, X2是正整数，所以 m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 . 解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知 m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 ,

只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于x的方程 a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值. 分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来. 解因为a^O,所以 (3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15) B = 2? (3a2 -8a) ±(a2+ 2a) = 2? ，所以 3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3 ”—W -------------- 弘'-亦+ 5 Sj=------ 否------ =l_；所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 .

含有参数的一元二次方程专题

1 含参一元二次方程专题复习一、基础知识梳理㈠、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程根或解. ㈡、24b ac ?=-叫作一元二次方程的判别式： ⑴0?> 方程有两个不相等的实数根12b x a -+= ，22b x a --=; ⑵0?=方程有两个相等的实数根122b x x a ==- ; ⑶0?<方程没有实数根. ㈢、韦达定理：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x 、2x ，则122b x x a +=-；12c x x a =g . 二、基本技能习得㈠、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用；㈡、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”；㈢、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有相等的根. 三、基本思想导航注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想. ㈠、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法和韦达定理解决问题。例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程，使问题得到解决；㈡、转化思想：例2中在求12||A x x =-最值时，通过平方，把问题绝对值去掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解；㈢、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形式，从而实现了几何和代数的沟通；㈣、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”，如果是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类，认清楚是“有实数根”（0?≥）还是“不相等的实数根” （0?>）如例1、例3和例4. 在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方

一元二次方程(根与系数关系)

一元二次方程（根与系数关系专题测试）一、单选题（共10题；共30分） 1.已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（） A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于() A. 5 B. 6 C. －5 D. －6 4.是方程的两根，的值是（） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（） A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知，是一元二次方程的两个实数根且，则的值为（）. A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b，且则的值为（） A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题（共6题；共18分） 11.如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=﹣， x1x2= ，这就是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．利用韦达定理解决下面问题：已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根，则+ =________． 12.一元二次方程的两根为，则________

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的关系我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.

一元二次方程组教案

5.1.认识二元一次方程组教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。教学重难点：重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。课时安排：一课时教学设计教学准备幻灯片教学流程（一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注：一元：一个未知数一次：含有未知数的项的次数都是1次整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？（二）新课讲授 1、老牛与小马分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹，小马驮了 y 个包裹。）（小马老牛121-=+

想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次判断点：3、整式分母中不含未知数练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？（A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-?

数学：13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)

13.6（1）实系数一元二次方程上海市新中高级中学陶志诚一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计

六、教学过程设计（一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我们回顾一下：当240b ac ?=-≥ 时，方程有两个实数根：2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-，配方得

二元一次方程(组)含参问题

二元一次方程（组）含参问题二元一次方程（组）中经常会出现含有参数的题目，在解决这类问题之前，我们首先要搞清楚什么是未知数？什么是参数？二元一次方程（组）中的“元”就是未知数的意思，所谓的“二元”就是两个未知数，我们常用x 、y 、z 来表示。一般来说，初中阶段提及的整式方程或分式方程中，除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数（即参数），我们常用m 、k 等表示。在二元一次方程（组）中含参问题主要包括以下几种： 1.根据定义求参数什么是一元二次方程？含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程。即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1；③等号的左边和右边都是整式。例题1、若方程2 1 221=++-m n m y x 是二元一次方程，则mn=______. 例题2、已知关于x 、y 的二元一次方程()() ,6342232=++---n m y n m 则m=_______. 备注：除了要满足次数为1，还要满足系数不能为0. 2. 同解类问题什么是同解？两个方程组一共含有四个一元二次方程，这四个方程的解相同。例：已知x 、y 的方程组???-=+=-1332by ax y x 和方程组? ??=+=+3321123by ax y x 的解相同，求a 、b 值。 3.用参数表示方程组的解类问题

已知方程组?? ?=+=-k y x k y x 232的解满足x+y=2，则k=________. 4.错解类问题遇到错解类问题怎么处理？不要讲解代入看错的方程里，代入另外一个方程中去。例：小明和小红同解一个二元一次方程组???=+=+)2(1)1(16ay bx by ax ，小明把方程（1）抄错，求得解为???=-=3 1y x ，小红把方程（2）抄错，求得解为? ??==23y x ，求a 、b 的值。 5. 整体思想类在做一元二次方程组的题目前，先要观察方程组的特点，不要急于直接用参数表示未知数，看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论。例：已知方程组? ??+=++=+15252k y x k y x 的解互为相反数，求k 的值。

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，

特殊的一元二次方程的解法—知识讲解.

一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（提高）【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

含参数的二元一次方程组的解法

含参数的二元一次方程组的解法二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。现选取几道题略作讲解，供同学们参考。一、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。例：已知方程与有相同的解，则a 、b 的值为。略解：由（1）和（3）组成的方程组? ??=-=+5235y x y x 的解是 ? ??-=+=21y x 把它代入(2)得 a=14；把它代入（4）得b=2。方法：是找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程，从而求出参数的解。二、根据方程组解的性质，求参数的值。例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数略解：由②得x=3y 2×3y-my=6 y=m -66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。三、由方程组的错解问题，示参数的值。例3：解方程组???=-=+872y cx by ax 时，本应解出???-==2 3y x 由于看错了系数c,从而得到解? ??=-=22y x 试求a+b+c 的值。方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。8273=-?-?）（c 2-=c 把???-==23y x 和???=-=2 2y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。（1）（2） ???=+=+4535y ax y x （3）（4） ???=+=-1552by x y x ① ② ???=-=-0362y x my x

含参数的一元二次方程的整数根问题

含参数的一元二次方程的整数根问题本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根．解法1 首先，m2-1≠0， m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知

所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18， 24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37， 73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2， ±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．

分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1， 3，5．例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值．

含参一元二次方程的解法

学科：数学专题：含参一元二次方程的解法主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析当系数中含有字母时，注意有实解的判断。题一题面：(x －m )2 =n ．(n 为正数) 金题精讲题一题面：解关于x 的一元二次方程 1. x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)． 2. x 2－2mx ＋m 2－n 2=0． 3. .0422 2 =-+-b a ax x 4. abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0) 解含参的一元二次方程：配方法、因式分解满分冲刺题一

题面：解关于x 的一元二次方程 1. ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-0 2 2. ()()()01222≠--=-b a x b a x 3. ()()() 0222222≠+-=-++b a b a bx a b ax 解含参的一元二次方程：因式分解题二题面：解关于x 的方程kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．解含参的方程，分类讨论。题三题面：已知关于x 的方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0，其中a ，b 为实数． (1)若此方程有一个根为2a (a ＜0)，判断a 与b 的大小关系并说明理由； (2)若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．一元二次方程的解，判别式。

讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：.,21m n x m n x +-=+= 金题精讲题一答案：1. .,2221n m m x n m m x +--=++-= 2. x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n . 3. .2 ,221b a x b a x +=-= 4. ?==b a x a b x 21, 满分冲刺题一答案：(1)121,c a x x a b -==- (2) 12,1a ab x a x b +==- (3)当b=0时，120x x ==；当b ≠0时，无实根。题二答案：k ＝0时，x ＝1；k ≠0时，.1,121==x k x 题三答案：解：(1)∵方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0有一个根为2a ，∴4a 2－4a 2－a ＋2b ＝0．整理，得2 a b = ． ∵0