算法之概率法求圆周率π

算法之概率法求圆周率π

利用面积法求圆周率，在1*1的正方形面积画半径为1的四分之一圆，用四分之一圆的圆心作为坐标原点。随机产生0~1范围内一定数量的坐标点，落入四分之一圆的个数和落入整个正方形个数之比等于两者的面积之比。

C++算法如下：

#include

#include

#include

#include

#define N 10000//定义点的个数

typedef struct{float x,y;} point;//定义点的坐标

point dot[N];

float dist[N];

float xdot;

void producedot()//产生0~1范围的点坐标

{

srand((unsigned) time(NULL));

for(int i=0;i

{

dot[i].x=rand()%N;

xdot=dot[i].x/N;

dot[i].x =xdot;

dot[i].y =rand()%N;

xdot=dot[i].y/N;

dot[i].y =xdot;

//cout<

}

}

void distance()//求出所有点到（0，0）点的距离

{

for(int i=0;i

{

dist[i]=dot[i].x *dot[i].x +dot[i].y*dot[i].y;

}

}

int countin()//统计四分之一圆内点的个数

{

int n=0;

for(int i=0;i

{

if(dist[i]<1)

{

n++;

}

}

return n;

}

int countall()//统计在正方形内的点的个数

{

int n=0;

for(int j=0;j

{

if(dot[j].x>0 && dot[j].y<1 && dot[j].y>0 && dot[j].y <1)

{

n++;

}

}

return n;

}

int main()

{

producedot();

distance();

float n=countin();

float all=countall();

cout<<"四分之一圆内个数："<

float pai=4*n/N;

cout<<"pai值为："<

}

输出结果：

圆周率计算公式

圆周率计算公式Revised on November 25, 2020

12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=

452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=

892 π= 902 π=25434 912 π= 922 π= 932 π= 942 π= 952 π= 962 π= 972 π= 982 π= 992 π= 1002 π=31400 12~1002 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900 312=961 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225 362=1296 372=1396 382=1444 392=1521 402=1600 412=1681 422=1764 432=1849 442=1936 452=2025

用列举法求概率

《用列举法求概率》 教学目标： 教学过程 1.创设冲突，导入新课 问题1：一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标上标号,标号是1,2,3，随机的摸取一个小球，然后放回，再随机摸取一个小球，你能求出两次摸取的小球的编号之和是奇数的概率吗？(此问题较简单，学生自己解决，以便复习前面知识。) 问题2：若上面的问题中，第一次取出不放回，再取出一个小球，那么两次取出的小球标号之和相同的概率是多少？和问题1中的答案相同吗？ 师生引导学生对所画图形进行观察；若将图形倒置，你会联想到什么？ （出示问题2的树形图卡片） 生：图形很像一棵树。 师：（点睛）既然像一棵树，我们就称这种方法为“树形图法”。树形图法和昨天学习的列表法是求随机事件概率的两种常用方法，也可以说是列举法求概率的“左膀右臂”。 问题3：若以上问题2条件不变，在摸完第2次后把球放回，再摸一次，三次摸到的小球之和为奇数的概率怎么求？ 设问：用列表法如何？能解决这个问题吗？ 师：今天我们就一起走进“树形图法”探究概率，希望同学们积极参与。 2.典例精析，应用新知 例题：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C 、D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I 。从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H 适时提问：通过这题的解答，你能归纳出“树形图法”求概率的过程吗？ 生：（小组讨论后，共同归纳） 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”法。运用树形图法求概率的步骤如下： ⑴ 画树形图； ⑵ 列出结果，确定公式 中 m 和 n 的值； ()m P A n =()m P A n =

圆周率的计算历程及意义

圆周率π的计算历程及意义 李毫伟 数学科学学院数学与应用数学学号:080412047 指导老师:王众杰 摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平. 关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序 1、实验时期 通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来 π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3 中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π和2这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率. 早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之

用列举法求概率 习题精选

用列举法求概率习题精选 一、选择题 1．某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购物满100元者得奖卷一张，多购多得，每10000张奖券作为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率应该是（） A． 1 10000 B． 50 10000 C． 100 10000 D． 151 10000 2．如图所示为正方形花园，ABGF是正方形，AB为2米，BC为3米，若小鸟任意落下，则落在阴影框中的概率为（） A．1 2 B．1 3 C．12 25 D．13 25 3．甲、乙、丙三人共同完如图所示的两个转盘游戏，设左盘指针所指数字为a，右盘指针所指数字为b，规定a和b之和大于7时甲获胜，a和b之和等于7时乙获胜，a和b 之和小于7时丙获胜，那么在该游戏中，获胜的可能性是（）

A．甲大 B．丙大 C．乙大 D．一样大 4．学校的一排房子被分成三个形状和面积都相等的三个宿舍，从左到右依次称为1号宿舍，2号宿舍，3号宿舍，一只鸽子落在这排房子的房顶上，那么与鸽子落在2号房顶上的概率不相同的是（） A．一个口袋装有除颜色外都相同的2个黄球和1个红球，从中摸出1个黄球 B．从一幅抽掉大，小王和所有红桃的扑克牌中任意抽取一张牌，这张牌是方块 C．从两张足球票和一张篮球票中抽取一张，这张票是篮球票（票的大小、颜色及背面都一样） D．一个学习小组共有6名同学，其中4名男同学，2名女同学，最先到校的是女同学 5．某班级举行文艺晚会，如图是他们的头镖用的靶子，图中9个小方格的形状和大小完全一样，中间的一个小方格有被平均分成四个小三角形，规定投中阴影部分可获得钢笔一枝，投中标有“○”的方格可获得铅笔一枝，投中标有“△”的方格可获得圆珠笔一枝，投中为标符号的两个小三角形设么也得不到，小方投镖一次就中靶，那么（） A．他获得钢笔的概率是1 36 B．他获得铅笔的概率最大 C．他获得圆珠笔的概率是1 3 D．他一定会获得一种奖品

圆周率的计算方法

圆周率的计算方法 古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。 ?Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 Machin.c 源程序 还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin 公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。 关于FFT算法的具体实现和源程序，请参考Xavier Gourdon的主页 ?Ramanujan公式 1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

条件概率

条件概率 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 , ∴P(A|B)=9/14. , 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式 ∴P(A|B)=1/2. , , 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 解.设事件A i表示“第i次取到白球”.(i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 . 由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 . 事件B表示“从乙袋中取到的是白球”. 显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意 P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ; P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ; 由全概率公式 P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25. 6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率. 解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”; 事件B表示“最后取到的是2号球”.

数学实验：怎样计算圆周率

怎样计算 姓名： 学号 班级：数学与应用数学4班

实验报告 实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。 实验环境：Mathematica软件 实验基本理论和方法： 方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值） 其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形， 由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图

图一 扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值： n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。 方法二：泰勒级数法 其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数 计算。 方法三：蒙特卡罗法

其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。 实验内容、步骤及其结果分析： 问题1：在方法一中，取n=1000，通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。 分析：图一中的扇形面积S实际上就是定积分。 与有关的定积分很多，比如的定积分

用列举法求概率练习题

用列举法求概率练习题（4） ◆随堂检测 1．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5、6、7的三张扑克牌中.随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜，这个游戏___________.（填“公平”或“不公平”） 2．如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4、5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为P（偶数），指针指向标有奇数所在区域的概率为P（奇数），则P（偶数）_______P（奇数）（填“>”“<”或“=”）． 3．有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有A、B、C、D和一个等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张. （1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用A、B、C、D 表示）； （2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜，若至少有一个等式成立，则小强胜.你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利，为什么？ ◆典例分析 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当2张牌的牌面数字相同时，小王赢；当2张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由. 分析：游戏规则公平与否的问题是概率在生活中的一个重要应用.解决这类问题，关键要看双方获胜的概率是否相等，若双方获胜的概率相等，则公平，否则就不公平.所以首先要

谈条件概率常见问题解题方法

谈条件概率常见问题解题法 摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条 件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。 关键词:条件概率，事件、样本空间 1.条件概率的概念 一般地，设B A ,为两个事件，且0)(>A P ，称=)|(A B P ) ()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 关于条件概率，有下面的定理: 定理1:设事件A 的概率0)(>A P ，则在事件A 已经发生的条件下事件B 的 条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商: =)|(A B P ) ()(A P AB P 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积: )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 性质：1. ()P B A =1- )|(A B P 2.条件概率P(B ∣A)与积事件P(AB)概率的区别 )|(A B P 与)(AB P 这是两个截然不同的事件概率．设B A ,是随机试验对应的样本空间Ω中的两个事件，)(AB P 是事件B A ,同时发生的概率，而)|(A B P 是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求)(AB P 时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间Ω中进行讨论；而求)|(A B P 时，所考虑的样本空间就不是Ω了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式)(AB P =)|(A B P )(A P )0)((>A P 给出了它们之间的联系。 3.条件概率的解题方法： 解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。求解简单条件概率问题，有五种基本方法: （1） 化为古典概型解决 )()(n )()()(A n B A A P B A P A B P ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数 （2） 化为几何概型解决 )()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,) A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等 （3） 条件概率公式法 如果0)(>A P ,则先在原样本空间Ω中计算)(AB P 和)(A P ，再按公式 =)|(A B P ) ()(A P AB P 计算

圆周率计算公式

圆周率计算公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=

452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=

圆周率计算公式

12π=3.14 22π=12.56 32π=28.26 42π=50.24 52π=78.5 62π=113.04 72π=153.86 82π=200.96 92π=254.34 102π=314 112π=379.94 122π=452.16 132π=530.66 142π=615.44 152π=706.5 162π=803.84 172π=907.46 182π=1017.36 192π=1133.54 202π=1256 212π=1384.74 222π=1519.76 232π=1661.06 242π=1808.64 252π=1962.5 262π=2122.64 272π=2289.06 282π=2416.76 292π=2640.74 302π=2826 312π=3017.54 322π=3215.36 332π=3419.46 342π=3629.84 352π=3846.5 362π=4069.44 372π=4298.66 382π=4534.16 392π=4775.94 402π=5024 412π=5278.34 422π=5538.96

432π=5805.86 442π=6079.04 452π=6358.5 462π=6644.24 472π=6936.26 482π=7234.56 492π=7593.14 502π=7850 512π=8167.14 522π=8490.56 532π=8820.26 542π=9456.24 552π=9498.5 562π=9847.04 572π=10201.86 582π=10562.96 592π=10930.34 602π=11304 612π=11683.94 622π=12070.16 632π=12462.66 642π=12861.44 652π=13266.5 662π=13677.84 672π=14095.46 682π=14519.36 692π=14949.54 702π=15386 712π=15828.74 722π=16277.76 732π=16733.06 742π=17194.64 752π=17662.5 762π=18136.64 772π=18617.06 782π=19103.76 792π=19596.74 802π=200.96 812π=20601.54 822π=21113.36 832π=21631.46 842π=22155.84 852π=22686.5 862π=23223.44

用列举法求概率知识点总结

用列举法求概率知识点总结 武穴市石佛寺中学 朱江怀 【知识点一】随机摸球 [例题1]在一个不透明的袋子里放入除颜色外完全相同的2个红球和2个黄球,摇匀后摸出一个记下颜色,放回后摇 匀,再摸出一个,则两次摸出的球均是红球的概率为( ) A. 41 B.31 C.21 D.4 3 [例题2]两个布袋中分别装有除颜色外，其他都相同的2个白球，1个黑球，同时从这两个布袋中摸出一个球，请 用列表法表示出可能出现的情况，并求出摸出的球颜色相同的概率. [例题3]一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠 子，都是蓝色珠子的概率为( ) A. 2 1 B.31 C.41 D.61 [例题4]袋子中装有白球3个和红球2个共5个球，每个除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球. (1)P(摸到白球)=__________,P(摸到红球)=__________, P(摸到绿球)=__________,P(摸到白球或红球)=__________; (2)P(摸到白球)__________P(摸到红球)(“>”“<”或“=”). [例题5]有10张形状、大小都一样的卡片，分别写有1至10十个数，将它们背面朝上洗匀后，任意抽一张，抽得 偶数的概率为_______。 【知识点二】抽取扑克牌 [例题1]一副扑克牌抽出大小王后，只剩下红桃、黑桃、方块、梅花四种花色52张，则任取一张是红桃的概率是 ________; [例题2]一副扑克牌，任意从中抽一张. (1)抽到大王的概率；(2)抽到A 的概率；(3)抽到红桃的概率；(4)抽到红牌的概率；(5)抽到红牌或黑牌的概率. 【知识点三】抛掷骰子

历史上一些圆周率计算方法

历史上一些圆周率计算方法 从古至今，计算圆周率一直挑战着人类的探索能力极限，人们为此提出了效率越来越高的计算方法。可是，你知道多少圆周率的另类计算法呢？今天我们就来和大家分享一下，历史上出现的几个最奇怪的圆周率计算法。 功亏一篑的人肉计算记录 电脑计算圆周率屡破记录，但新时代对机器的信任和依赖使得人们已经主动放弃了自己手动演算的能力。为了打破手算圆周率的记录，让人们重新拾回对自己演算能力的信心，澳大利亚一个 16 岁的小伙子决定人肉计算圆周率的前 100 位。他挑选了圆周率的一个广义连分数公式，准备了 2000 张草稿纸，并精心地规划了一番。从此开始，他总是把这厚厚的一叠草稿纸带在身边。不管是在家还是在学校，他都端坐在草稿纸面前，不停地挥动着手中的笔。他很快成为了学校的一道风景线——无视上下课铃声，雷打不动地做着枯燥的加法和除法。 2 年后的某堂历史课上，就在他书写最后一个除法竖式时，悲剧发生了：新来的代课老师发现他有小动作，点名叫他起来回答问题。当他无视老师继续埋头苦算时，不明真相的代课老师一怒之下抢过草稿纸，并撕成了无数碎片。 最辗转的计算方法 在一本统计学读物中，为了告诉读者在日常生活中数字无处不在，作者统计出了自家厕所的卷筒纸平均每多少天换一次，乘以平均每天的大便次数，乘以平均每次大便需要扯下来的卫生纸张数，乘以每一截卫生纸的长度，乘以把一长截卫生纸对折 10 次的厚度，除以 1024 ，除以自动切割机从卷筒纸最外层切到最里层（厚度为 R-r ）的时间，除以切完整个卷筒纸（剩余的 R+r ）还需要的时间，除以切割机移动的速度，得出了圆周率近似值。 作者顺便指出，若读者愿意，还可以在末尾乘以平均每个男人拥有的 jj 根数。 用生命换来的圆周率 这个多少有些标题党了，但实际情况就是如此——这个 3.14 真的是由无数人的鲜血换来的。 2003 年，美国纽约警方搜集了 30 年来发生在斑马线上的车祸，从里面抽取了所有身高在 5 英尺 6 英寸到 8 英寸之间（大概从 1.68 米到 1.73 米）的遇难行人，统计了他们的尸体与斑马线相交的概率，并应用Buffon 投针实验理论得到了圆周率的近似值。纽约警方还专门发表了文章，称由此他们得出，行人被撞事故是完全随机的，一切都是遵循大自然的规律的。文章末尾请求出行人看开一些，生命在规律面前弱不禁风，该发生的总会发生。 凶案现场也有圆周率

圆周率π的计算方法

圆周率π的计算方法 圆周率的计算方法 古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。 1、 Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 用马青公式计算Pi至小数点后100位程序 program Pi_Value; {$APPTYPE CONSOLE} //将Pi计算精确小数点后100位 //Machin公式

//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) uses SysUtils; const N=100; S=2*N+50; aNum=5; bNum=239; type Num=array [1..S] of byte; //初始化数组 procedure AZero(var arr:Num); var i:smallint; begin for i:=1 to S do arr:=0; end; //除法 procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); var c,y,i:smallint; begin c:=0; for i:=1 to S do begin y:=arr+c*10; c:=y mod b; arr:=y div b; end; end; //加法 procedure Addition(var arr:Num;const b:Num); var i,y,c:smallint; begin c:=0; for i:=S downto 1 do

圆锥体计算方法

圆锥体计算方法 圆锥体的体积=底面积×高×1/3(圆锥的体积是等底等高圆柱体的三分之一)=1/3πr2h 圆柱体的表面积=高×底面周长+底面积×2 即S圆柱体=(π×d×h)+(π×r2×2) 圆锥的体积 一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积. 根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h)，得出圆锥体积公式： V=1/3Sh(V=1/3SH) S是底面积，h是高，r是底面半径。 圆锥的表面积 一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积. S=πl2×(n/360)+πr2或(α*l^2)/2+πr2(此α为角度制)或πr(l+r)(L表示圆锥的母线) 圆锥的计算公式 圆锥的侧面积=母线的平方×π×360百分之扇形的度数 圆锥的侧面积=1/2×母线长×底面周长 圆锥的侧面积=π×底面圆的半径×母线 圆锥的侧面积=高的平方*3.14*百分之扇形的度数 圆锥的表面积=底面积+侧面积S=πr2+πrl (注l=母线) 圆锥的体积=1/3底面积×高或1/3πr2h 圆锥的母线：圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。 圆锥的其它概念 圆锥的高： 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高圆锥只有一条高。 圆锥的侧面积： 将圆锥的侧面积不成曲线的展开，是一个扇形 圆锥的母线： 圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。一般用字母L表示。 知识总结：一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。 要知道了锥度的计算公式,你的问题就都可以解决了. 公式是C=（D-d)/L C表示锥度比D 表示大端直径d表示小端直径L表示锥的长度①已知锥度比C，小头直径d，总长L，则

大头直径D=C*L+d ②已知大头直径D，锥度比C，总长L，则小头直径d=D-C*L ③已知大头直径D，小头直径d，锥度比C，则总长L=(D-d)/C ④已知大头直径D，小头直径d，总长L，则锥度比C=（D-d)/L 各种管材理论重量计算公式、钢材理论重量计算公式1、角钢：每米重量=0.00785×（边宽+边宽—边厚）×边厚 2、管材：每米重量=0.02466×壁厚×（外径—壁厚） 3、圆钢：每m重量=0.00617×直径×直径(螺纹钢和圆钢相同） 4、方钢：每m重量=0.00786×边宽×边宽 5、六角钢：每m重量=0.0068×对边直径×对边直径 6、八角钢：每m重量=0.0065×直径×直径 7、等边角钢：每m重量=边宽×边厚×0.015 8、扁钢：每m重量=0.00785×厚度×宽度 9、无缝钢管：每m重量=0.02466×壁厚×(外径-壁厚) 10、电焊钢：每m重量=无缝钢管 11、钢板：每㎡重量=7.85×厚度 12、黄铜管：每米重量=0.02670×壁厚×（外径-壁厚） 13、紫铜管：每米重量=0.02796×壁厚×（外径-壁厚) 14、铝花纹板：每平方米重量=2.96×厚度 15、有色金属密度：紫铜板8.9 黄铜板8.5 锌板7.2 铅板11.37 16、有色金属板材的计算公式为：每平方米重量=密度×厚度 17、方管: 每米重量=(边长+边长)×2×厚×0.00785 18、不等边角钢：每米重量=0.00785×边厚(长边宽+短边宽--边厚) 19、工字钢：每米重量=0.00785×腰厚[高+f（腿宽-腰厚）] 20、槽钢：每米重量=0.00785×腰厚[高+e（腿宽-腰厚）]

数学实验怎样计算圆周率

怎样计算 姓名: 学号 班级:数学与应用数学4班 实验报告 实验目的:自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值,并学会计算的近似值的方法。 实验环境:Mathematica软件 实验基本理论与方法: 方法一:数值积分法(单位圆的面积就是,只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值) 其具体内容就是:以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系,则单位圆在第一象限内的部分G就是一个扇 形, 由曲线()及坐标轴围成,它的面积就是,算出了S的近似值,它的4倍就就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图

图一 扇形G中,作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0,1](也就就是扇形在x轴上的半径)分成n等份(n=20),相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分()。每部分就是一个曲边梯形:它的左方、右方的边界就是相互平行的直线段,类似于梯形的两底;上方边界就是一段曲线,因此称为曲边梯形。如果n很大,每个曲边梯形的上边界可以近似的瞧成直线段,从而将近似的瞧成一个梯形来计算它的面积;梯形的高(也就就是它的宽度)h=1/n,两条底边的长分别就 是与,于就是这个梯形面积 可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的与T就可以作为扇形面积S的近似值: n越大,计算出来的梯形面积之与T就越接近扇形面积S,而4T就越接近的准确值。 方法二:泰勒级数法

其具体内容就是:利用反正切函数的泰勒级数 计算。 方法三:蒙特卡罗法 其具体内容就是:单位正方形的面积=1,只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例,就能立即得到S,从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值,方法就是在正方形中随机地投入很多点,使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等,瞧其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k 的近似值。能够产生在区间[0,1]内均匀分布的随机数,在Mathematica 中语句就是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x,y,则以(x,y)为坐标的点就就是单位正方形内的一点P,它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件就是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。 实验内容、步骤及其结果分析: 问题1:在方法一中,取n=1000,通过计算图一中扇形面积计算的 的近似值。

条件概率试题

2.2.1 条件概率 【学习要求】 1．理解条件概率的定义． 2．掌握条件概率的计算方法． 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 【学法指导】 理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件 概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB) P(A) 也可以利用缩小样本空间的观点计算. 1．条件概率的概念 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P(B|A)∈． (2)如果B与C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝.

[一点通]求条件概率一般有两种方法： 一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A) ＝n(AB) n(A) ，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数． 二是直接根据定义计算，P(B|A)＝P(AB) P(A) ，特别要注意P(AB)的求法．[例1]一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ [思路点拨]先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同． [精解详析](1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸到白球”为AB，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果． ∴P(A)＝2×3 4×3 ＝ 1 2，P(AB)＝ 2×1 4×3 ＝ 1 6. ∴P(B|A)＝P(AB) P(A) ＝ 1 3. (2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，两次都摸到白球为事件A1B1. ∴P(A1)＝2×4 4×4＝ 1 2，P(A1B1)＝ 2×2 4×4 ＝ 1 4. ∴P(B1|A1)＝P(A1B1) P(A1) ＝ 1 4 1 2 ＝ 1 2. 故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为1 3；先摸1个白球后放回， 再摸出1个白球的概率为1 2.

圆周率的几种计算方法

圆周率的几种计算方法 姓名李至佳 学号 06205013 专业基础数学 摘要：本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法，正是圆周率这个数的特殊性，致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究的精确值。因此，用什么样的方法计算使其值更加精确，这是一个很值得研究的问题。 关键词：圆周率，计算方法，正多边形，连分数 一、很早以前就有了 从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起，经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的，而月亮由于地球的遮挡，有圆有缺。 椭圆、抛物线，双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮，或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古，数刚诞生时，肯定只在1和许多个之间有区别。而且，很早以前，就只考虑1和2这两个数。以后因为1个人有2只脚和2只手，2个人就有4只脚和4只手，1头家畜有4只脚，2头家畜有8只脚，等等。不久，就知道了比例的概念。 到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小，但对一个圆来说，其周长与直径之间的比例常数就是圆周率 二、的几种计算方法 有一个关于圆周率的歌谣，盛行于古代："山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐。" 圆周率是圆的周长与直径之比，表示的是一个常数，符号是希腊字母。人们为了计算圆周率，公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14，这被称为"徽率"。 在公元460年，祖冲之应用了刘徽的割圆术（也就是下面提到的正多边形的方法），算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的值，保持了1000多年的世界纪录。 1596年，荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索，把值推算到15位小数，打破了祖冲之长达1000多年的纪录，后来他本人又把这个数推进到35位。 18世纪初，圆周率达到72位。19世纪时，圆周率又求到140位、200位、500位。1873年，威廉欣克用了几十年时间，将π值算到707位。 到了1946年，世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国，有人在计算机上用了70个小时，算出圆周率达到2035位。1955年达到10 017位，1962年达到10万位。1973年达到100万位，1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算，将值推到新的顶点4.8亿位。 经过长时间艰苦的计算，值只是个近似值，这是一个永不循环的数学计算，也是数学史上的马拉松。 下面介绍几种计算的方法： （一）公元前利用正多边形计算 公元前1650年，埃及人著的兰德纸草书中提出＝（4/3） 3=3.1604。但是对的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。阿基米德计算值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。

列举法求概率

25.2 用列举法求概率(2课时) 第1课时 用列举法和列表法求概率 1．会用列举法和列表法求简单事件的概率． 2．能利用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的简单实际问题． 重点 正确理解和区分一次试验中涉及两个因素与所包含的两步试验． 难点 当可能出现的结果很多时，会用列表法列出所有可能的结果． 活动1 创设情境 我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这就是一个游戏双方获胜概率大小的问题． 下面我们来做一个小游戏，规则如下： 老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢．请问：你们觉得这个游戏公平吗？ 学生思考计算后回答问题：把其所能产生的结果全部列出来，应该是正正、正反、反正、反反，共有四种可能，并且每种结果出现的可能性相同． (1)记满足两枚硬币一正一反的事件为A ，则P(A)＝24＝1 2； (2)记满足两枚硬币两面一样的事件为B ，则P(B)＝24＝1 2 . 由此可知，双方获胜的概率一样，所以游戏是公平的． 当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目比较少时，我们看到结果很容易被全部列出来；若出现结果的数目较多时，要想不重不漏地列出所有可能的结果，还有什么更好的方法呢？我们来看下面的这个问题． 活动2 探索交流 例1 为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A ，B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A 上的数字分别是1，6，8，转盘B 上的数字分别是4，5，7(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)．每次选择2名同学分别拨动A ，B 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次)．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由． 在这个环节里，首先可以让学生自己用列举法列出所有的情况，很多学生会发现列出所有的情况会有困难，会漏掉一些情况．这个时候可以要求学生分组讨论，探索交流，然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性