pvt关系和状态方程

气体状态方程 练习题

气体状态方程 练习题 1．关于气体分子，下列说法中正确的是 （ ） A ．由于气体分子间的距离很大，气体分子可以看作质点 B ．气体分子除了碰撞以外，可以自由地运动 C ．气体分子之间存在相互斥力，所以气体对容器壁有压强 D ．在常温常压下，气体分子的相互作用力可以忽略 2．关于密闭容器中气体的压强，下列说法正确的是 A ．是由于气体分子相互作用产生的 B ．是由于气体分子碰撞容器壁产生的 C ．是由于气体的重力产生的 D ．气体温度越高，压强就一定越大 3．一定质量的理想气体 A ．先等压膨胀，再等容降温，其温度必低于初始温度 B ．先等温膨胀，再等压压缩，其体积必小于初始体积 C ．先等容升温，再等压压缩，其温度有可能等于初始温度 D ．先等容加热，再等温压缩，其压强必大于初始压强 4．一个绝热气缸，气缸内气体与外界没有热交换，压缩活塞前缸内气体压强为p ，体积为V 。现用力将活塞推进，使缸内气体体积减小到 2 V ，则气体的压强（ ） A ．等于2p B. 大于2p C. 小于2p D. 等于2 P 5．如图所示，将一气缸悬挂在弹簧下，缸内密闭了一定质量的理想气体，活塞与缸壁间的摩擦不计，若缸内气体的温度升高到某一数值， 下列物理量发生变化的是（ ） A ．活塞的高度h B ．缸体的高度H C.气体的压强p D.弹簧的长度L

6．一玻璃管开口朝下没入水中，在某一深度恰好能保持静止，假如水面上方的大气压突然降低一些，则试管的运动情况是（） A．加速上升 B. 加速下降 C. 保持静止 D. 无法判断 7．封闭在贮气瓶中的某种理想气体,当温度升高时,下面哪个说法是正确的( ) (容器的膨胀忽略不计) A.密度不变,压强增大 B. 密度不变,压强减小 C. 压强不变,密度增大 D. 压强不变,密度减小 8．密闭容器中装有一定质量的气体（） A．当密闭容器压强不变时,温度越高,气体的体积越小 B．当密闭容器体积不变时,气体温度越高压强越大 C．当压缩气体体积时,气体压强一定增大 D．当压缩气体体积时,气体压强可能不变 9．如图所示，两个容器A和B容积不同，内部装有气体，其间用细管相连，管中有一小段水银柱将两部分气体隔开。当A中气体温度为t A，B中气体温度为t B，且t A=t B，水银柱恰好在管的中央静止。若对两部分气体加热，使它们的温度都升高相同的温度，下列说法正确的是（） A．水银柱一定保持不动 B．水银柱将向上移动 C．水银柱将向下移动 D．水银柱的移动情况无法判断 10.如图所示，一端封闭的玻璃管开口向下竖直倒插在水银槽中，其位置保持固定。已知封闭端内有少量空气。若大气压强变小一些，则管中在水银槽水银面上方的水银柱高度h和封闭端内空气的压强p将如何变化( ) A.h变小，p变大 B.h变大，p变大 C.h变大，p变小 D.h变小，p变小

控制系统状态方程求解

第2章 控制系统的状态方程求解 要点： ① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点： ① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解 一 线性定常系统状态方程的解 1 齐次状态方程的解 考虑n 阶线性定常齐次方程 ? ? ?==0)0()()(x x t Ax t x & （2-1） 的解。 先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为 ? ??==0)0(x x ax x & （2-2） 对式（2-2）取拉氏变换得 )()(0s aX X s sX =- 移项 0)()(x s X a s =- 则 a s x s X -= )(

取拉氏反变换，得 00 0!)()(x k at x e t x k k at ∑∞ === 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理： 定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 00 0!)()(x k At x e t x k k At ∑∞ === （2-3） 式中，∑∞ ==0 !)(k k At k At e 推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 ???==00 )()()(x t x t Ax t x & （2-4） 的解为 0)(0 )(x e t x t t A -= （2-5） 齐次状态方程解的物理意义是)(0 t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始 状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0 t t A e -又称为定常系统的状态转移 矩阵。 (状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法) 从上面得到两个等式 ∑∞ ==0 !)(k k At k At e ])[(11---=A sI L e At 其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法

气体的pvt关系

第一章气体的pVT关系 物质的聚集状态：气态gas 流体结构最简单 液态liquid 结构最复杂 固态solid 凝聚体 另外还有：等离子态、超固态、中子态等 §1.1 理想气体ideal /perfect gas状态方程一、理想气体状态方程 三个经验定律：波义耳定律：恒温下一定量气体V∞1/p 盖-吕萨克定律：恒压下一定量气体V∞T 阿伏加德罗定律：同温同压同体积气体分子数相同理想气体状态方程：pV = nRT SI单位:Pa m3mol K R=8.3145J?K-1?mol-1 V m = V/n n = m/M ρ = m/V (P8)例:用管道输送天然气，当输送压力为200kPa，温度为25℃时，管道内天然气(可视为纯甲烷)的密度是多少? 二、理想气体模型 E = E吸引+ E排斥= －A/r6＋B/r12 两大假设： ①分子之间无相互作用 ②分子本身不占有体积

三、 摩尔气体常数 对理想气体，R=pV m /T ；对实际气体，R=(pV m /T)p →0 R =N A . k =6.0221367*1023×1.380658*10-23=8.314511J/K .mol §1.2 理想气体混合物 一、混合物的组成 三种表示法：摩尔分数x ，质量分数w ，体积分数φ (混合前， 某纯组分的体积与各纯组分体积总和之比) 二、理想气体混合物的状态方程 pV = nRT =m M RT 如M 空气 =∑ x i M i = 0.21M O 2 + 0.79M N 2 = 28.851g/mol 三、道尔顿分压定律 Dalton ’s law of partial pressure 分压，即某组分气体它对混合气体总压的贡献，显然 p B = p 总 . x B ∑p B = p 总 对混合理想气体， p B = p 总. x B = p 总 . n B /∑n B = n B RT / V

理想气体状态方程式

第1章第零定律与物态方程 一、基本要点公式及其适用条件 1.系统的状态和状态函数及其性质 系统的状态—就是系统物理性质和化学性质的综合表现，它采用系统的宏观性质来描述系统的状态，系统的宏观性质，也称为系统的"状态函数"。 系统的宏观性质（状态函数）—就是由大量（摩尔级）的分子、原子、离子等微观粒子组成的宏观集合体所表现出的集团行为，简称"热力学性质"或“热力学函数”如p、V、T、U、H、S、A、G等。 Z=f(x,y)表示一定量、组成不变的均相系统，其任意宏观性质(Z)是另两个独立宏观性质(x,y)的函数。状态函数Z具有五个数学特征： (1)，状态函数改变量只决定于始终态，与变化过程途径无关。 (2)，状态函数循环积分为零，这是判断Z是否状态函数的准则之一。 (3)，系Z的全微分表达式 (4)，系Z的 Euler 规则，即微分次序不影响微分结果。 (5)，系Z、x、y满足循环式，亦称循环规则。 2.热力学第零定律即热平衡定律： 当两个物态A和B分别与第三个物体C处于热平衡，则A和B之间也必定彼此处于热平衡。T=t+273.15，T是理想气体绝对温标，以"K"为单位。t是理想气体摄氏温标，以"℃"为单位。 绝对温标与摄氏温标在每一度大小是一样的，只是绝对温标的零度取在摄氏温标的 -273.15℃处，可以看出，有了绝对温标的概念后，只需确定一个固定参考点(pV)0p=0，依国际计量大会决定，这个参考点选取在纯水三相点，并人为规定其温度正好等于 273.16K。 3.理想气态方程及其衍生式为: ；式中p、V、T、n单位分别为 Pa、m3、K、mol；R=8.314J·mol-1·K-1，V m为气体摩尔体积，单位为 m3·mol-1，ρ为密度单位kg·m-3，M 为

气体的pVT关系

第一章 气体的pVT 关系 §1.1 理想气体状态方程 （1）状态方程 状态方程：处于一定聚集态（气体、液体或固体）的物质都有一些可以直接测量的物理量，如p 、V 、T 等，这些物理量之间存在一定的函数关系，用来描述物质状态各物理量之间的函数关系的数学表达式称物质的状态方程（也称物态方程）。 气体的状态方程可写为：0f p V T n =（，，，） p － 压力 V － 体积 T － 热力学温度（绝对温度） n － 气体的物质的量 （2）理想气体状态方程 1、波义尔定律（Boyle ） 波义尔定律：在恒温条件下，一定量任何气体的体积与其压力成反比，即： 1V p ∝，或 .pV cont = 2、盖-吕萨克定律（Gay-Lussac ） 盖-吕萨克定律：在恒压条件下，一定量任何气体的体积均与其绝对温度成 正比，即：T V ∝，或 .V cont T = 3、阿伏加德罗定律（A. Avogadro ，1811) V / n ＝cont (T, p 一定) 4、理想气体状态方程 理想气体状态方程：pV nRT = 或：m pV RT =，m V V n = （摩尔体积）

R － 摩尔气体常数（或气体常数）。R =8.314J.K -1.mol -1。 理想气体的特点：①分子自身无体积； ②分子间无相互作用力。 精确实验证明，只有在压力趋近于零的极限情况下，各种气体才严格服从理想气体的状态方程。 理想气体状态方程的推导： 已知气体的状态方程可写为：0n T V P f =） ，，，（ 化为：），，（n T P f V = 有： dn n V dT T V dP P V dV T P n P n T ，，，??? ????+??? ????+??? ????= 根据波义尔定律：.cont PV = 得：P V P C P V 2n T -=-=??? ????， 根据盖-吕萨克定律：.cont T V =，即 'C T V = 有：T V 'C T V n ,P ==??? ???? 对于一定量气体（dn = 0），有：dT T V dP P V dV +-= 化为：T dT P dP V dV +-= 积分得：lnV +lnP =lnT +cont.，即 .cont T PV ?= 若气体为 1 mol ，则常数写为R ，有 RT PV m = 对于 n mol 气体，有 nRT PV = §1.2 理想气体混合物 （1）道尔顿（Dalton ）分压定律 气体能以任意比例相互混合，而液体、固体一般不能。

气体状态方程

推导 宁业栋

摘要：气体状态方程是化学学习中的一个重要工具，在高中的学习中主要使用的是理想气体方程。然而在现实生活中更加实用的是实际气体方程，又被称为Van der waals方程。本文通过对理想气体方程和Van der waals方程的推导探究对于气体状态造成影响的因素。 关键词：气体状态方程影响因素推导历史

一、理想气体状态方程的历史

文艺复兴后期，科学界开始其启蒙运动。在化学方面，化学成为了一门独立的学科，而不是炼金术士和炼丹术士的工具。化学的“文艺复兴”主要以气体问题的研究为主。当时人们并不知道气体的微观构成，但对于气体的宏观行为的研究因此进行了几个世纪。1662年，英国物理学家Robert Boyle根据实验结果提出了Boyle定律*。18世纪，法国科学家Amontons Grillaume和Jacque Alexandre Cesar Charles 均先后发现：一定质量的气体，在保持压强不变的情况下，温度每升高（降低）1℃，增加（减小）的提及等于它在0℃时的体积的1/273。19世纪初，法国科学家Gay-Lussac经多种气体的实验，终于确定了这一关系，后人称为Gay定律。这个Gay总结了他和基友Boyle和Charles的成果，总结出了一个让高中生头疼的方程式，就是 PV=nRT 注释： *：Boyle定律为P1×V1=P2×V2

二、理想气体 假设有一种气体，同时它的分子只有位置而不占提及，是一个质点；且分子间没有互相的吸引力，不遵循万有引力定律，分子之间和容器之间发生的碰撞不会造成动能的损失。这种气体就被称为理想气体。 这种气体明显是不存在的，只是人为规定的一种气体模型。因为理想气体将气体状态问题简化了许多，所以在中学阶段我们使用理想气体模型进行气体状态的研究。 在研究中发现，在高温低压的情况下某些气体的性质可以接近理想气体。因为在高温低压的条件下，分子间的间距极大，一方面可以忽略气体分子自身的体积，另一方面也使分子间的作用力微乎其微。所以尽管理想气体是一种人为模型，不过在现实的研究中仍然有意义，尤其对于中学阶段的粗略研究。

第三章线性系统状态方程的解

第三章 系统的分析——状态方程的解 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： )()(t Ax t x =& 线性定常连续系统： Ax x =& 初始条件：00x x t == ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为 )0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：) (0 0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法——直接求解 设Ax x =&的解是t 的向量幂级数 Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中ΛΛ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t === 为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x =&，得： Λ ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A

上式对于所有的t 都成立，故而有： ????? ??????======00 3 230 21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M 且有：00x b = 故以上系数完全确定，所以有： Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ΛΛ++++ +=k k t b A k t b A t Ab b 020200! 1 !21 )0()! 1!21(22x t A k t A At I k k ΛΛ+++++= 定义（矩阵指数或矩阵函数）： ∑∞==+++++=022! 1!1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e ΛΛ 则 )0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x =&两端取拉氏变换，有 )()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =- )0()()(1X A sI s X ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(1 1x A sI L t x ?-=--

流体的PVT关系和状态方程

流体的P-V-T关系和状态方程 教学目的要求 能熟练掌握流体（特别是气体）的各种类型的P、V、T 关系（包括状态方程法和对应状态法）及其应用、优缺点和应用范围。 定性认识流体P-V-T 行为； 掌握描述流体P-V-T 关系的模型化方法，了解几种常见的状态方程； 掌握对比态原理和普遍化状态方程 掌握计算真实气体混合物P-V-T 关系的方法，并会进行计算。 了解液体的P-V-T关系 教学内容 在化工过程的分析、研究与设计中，流体的压力p、体积V 和温度T 是流体最基本的性质之一，并且是可以通过实验直接测量的。而许多其它的热力学性质如内能U、熵S、Gibbs自由能G 等都不方便直接测量，它们需要利用流体的p –V –T 数据和热力学基本关系式进行推算。因此，流体的p –V –T 关系的研究是一项重要的基础工作。 纯流体的P-V-T关系 气体的状态方程 对应态原理和普遍化关联式 真实气体混合物的P-V-T关系 液体的P-V-T关系 状态方程的比较、选用和应用 纯流体的P-V-T关系 纯物质在平衡态下的p –V –T 关系，可以表示为三维曲面，如 图2－1。

曲面上分单相区及两相共存区。曲线AC 和BC 代表汽液共存的边界线，它们相交于点C，C 点是纯物质的临界点，它所对应的温度、压力和摩尔体积分别称为临界温度Tc、临界压力pc 和临界体积Vc。 将p –V –T 曲面投影到平面上，则可以得到二维图形。图2－2 和 2－3 分别为图2－1投影出的p –T 图和p –V 图。 图2－2 纯物质的p –T 图图2－3 纯物质的p –V 图 图 2－2 中的三条相平衡曲线：升华线、熔化线和汽化线，三线的交点是三相点。高于临界温度和压力的流体称为超临界流体，简称流体。如图2－2，从A 点到B 点，即从液体到汽体，没有穿过相界面，即是渐变的过程，不存在突发的相变。超临界流体的性质非常特殊，既不同于液体，又不同于气体，可作为特殊的萃取溶剂和反应介质。近些年来，利用超临界流体特殊性质开发的超临界分离技术和反应技术成为引人注目的热点。 图 2－3 是以温度T 为参变量的p –V 图。图中包含了若干条等温线，高于临界温度的等温线曲线平滑并且不与相界面相交。小于临界温度的等温线由三个部分组成，中间水平段为汽液平衡共存区，每个等温线对应一个确定的压力，即为该纯物质在此温度下的饱和蒸气压。曲线AC 和BC 分

气体状态方程

2018届高考物理一轮复习第十三章选修3-3第2讲：气体状态方程 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、知识清单 1．气体实验定律 1．气体分子运动的特点 (1)分子很小，间距很大，除碰撞外，分子间的相互作用可以忽略。 (2)气体分子向各个方向运动的气体分子数目都相等。 (3)分子做无规则运动，大量分子的速率按“中间多、两头少”的规律分布。 (4)温度一定时，某种气体分子的速率分布是确定的，温度升高时，“中间多、两头少”的分布规律不变，气体分子的速率增大，分布曲线的峰值向速率大的一方移动。 2．气体的三个状态参量 (1)压强；(2)体积；(3)温度。 2．气体实验定律的比较 3．平衡状态下气体压强的求法 1.液片法：选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象，分析液片两侧受力情况，建立平衡方程，消去面积，得到液片两侧压强相等方程，求得气体的压强. 2.力平衡法：选取与气体接触的液柱(或活塞)为研究对象进行受力分析，得到液柱(或活塞)的受力平衡方程，求得气体的压强. 3.等压面法：在连通器中，同一种液体(中间不间断)同一深度处压强相等.液体内深h处的总压强p＝p0＋ρgh，p0为液面上方的压强. 4．气体压强的产生 1.产生的原因 由于大量分子无规则运动而碰撞器壁，形成对器壁各处均匀、持续的压力，作用在器壁单位面积上的压力叫做气体的压强. 2.决定因素 (1)宏观上：决定于气体的温度和体积.

(2)微观上：决定于分子的平均动能和分子的密集程度. 5．理想气体实验定律的微观解释 1．等温变化 一定质量的气体，温度保持不变时，分子的平均动能一定。在这种情况下，体积减小时，分子的密集程度增大，气体的压强增大。 2．等容变化 一定质量的气体，体积保持不变时，分子的密集程度保持不变。在这种情况下，温度升高时，分子的平均动能增大，气体的压强增大。 3．等压变化 一定质量的气体，温度升高时，分子的平均动能增大。只有气体的体积同时增大，使分子的密集程度减小，才能保持压强不变。 二、经典习题 6．如图所示的四个图象中，有一个是表示一定质量的某种理想气体从状态a等压膨胀到状态b的过程．这个图象是() 7．(多选)(2014·静安模拟)一定质量的理想气体，从图示A状态开始，经历了B、C，最后到D状态，下列判断中正确的是() 图5 A．A→B温度升高，压强不变 B．B→C体积不变，压强变大 C．C→D体积变小，压强变大 D．D点的压强比A点的压强小 8．(2014·普陀区二模)如图2－6，是一定质量的理想气体，在状态变化过程中的p-V图线，气体沿直线A→B→C→D→E变化，则气体在此变化过程中5个状态对应的最高与最低的热力学温度之比为() 图2－6 A．9∶5B．4∶1 C．5∶4 D．12∶5

第一章气体的pVT关系

第一章 气体的pVT 关系 主要内容 1.理想气体和理想气体状态方程 （1）理想气体 凡在任何温度、压力下均服从B V 的气体称为理想气体。 理想气体具有两个特征： (Ⅰ)分子本身不占有体积。 (Ⅱ)分子间无相互作用力。 （2）理想气体状态方程 nRT pV = RT pV =m 理想气体状态方程适用于理想气体和低压条件下的实际气体。 2.道尔顿分压定律和阿马格分体积定律 （1）分压力 分压力定义为：在总压力为p 的混合气体中，任一组分B 的分压力B p 等于它的物质的量分数B y 与混合气体中压力p 之积。 即 p y p B B = p p =∑B B 此二式适用于理想气体混合物和非理想气体混合物。 对于理想气体有 V RT n p B B = （2）道尔顿定律 道尔顿定律：混合气体的总压力等于各组分单独存在于混合气体的,T V 条件下所产生压力的总和。 即 V RT n p /)(B B ∑= 此定律适用于混合理想气体和低压混合气体。 （3）分体积 分体积B V 是所含n B 的B 单独存在于混合气体的,T P 条件下占有的体积。 )/(B B p RT n V = V y V B B = 两式适用于理想气体和低压条件下的混合气体。 （4）阿马格定律 阿马格定律：混合气体各组分的分体积之和与总体积相等，即

p RT n V V V /)(,B B B B ∑∑== 3.实际气体的PVT 性质 （1）实际气体的PVT 性质 RT pV nRT pV Z /)/( def m = 理想气体状态方程与实际气体状态方程有偏差，偏差值为修正因子，称压缩因子Z 。 Z 的数值直接表示出实际气体对理想气体的偏差程度。 （2）范德华方程与维里方程 ①范德华方程 气体物质的量为1mol 的范德华方程：()m 2m a p b V RT V ? ?+-= ??? a 、范氏方程只适用中压范围。 b 、当p →0时，范氏方程可还原为理想气体方程。 ②维里方程 +++=+??? ??'+??? ??'+'=2211Cp Bp A V C V B A pV 4.实际气体的液化与临界性质 （1）饱和蒸气压与沸点 在一定温度下，当液(或固)体与其蒸气达成液(或固)、气两相平衡时，此时气相的压力则称为该液(或固)体在该温度下的饱和蒸气压，简称蒸气压。 沸点：当液体饱和蒸气压与外压相等时，液体沸腾，此时相应的温度称为液体的沸点。 正常沸点：101.325KPa 外压下的沸点。水是373.15K 。 （2）实际气体的液化 气体加压所允许的最高温度称为临界温度，以T c 表示; 气体在临界温度时发生液化所需的最小压力称为临界压力，以p c 表示； 物质在临界温度、临界压力的摩尔体积成为临界摩尔体积，以V m,c 表示。 T c 、p c 、V m,c 称为物质的临界参数。它是物质固有的一种特性参数。物质处在临界温度、临界压力下的状态称为临界状态。 5.对比参数、对应状态原理 （1）对比参数 r c r m,c m r c T T T V V V p p p === p r 、T r 、V r ：分别称对比压力、对比温度、对比体积，又统称为气体的对比参数。 对比参数反映了气体所处状态偏离临界点的倍数。

实际气体状态方程

5．3 实际气体状态方程 研究实际气体性质首先要求得出精确的状态方程式。对实际气体状态方程己作了百余年的研究，导得了许多不同形式的方程，至今仍在不断地发展和改进。得出状态方程有两种方法。一是直接利用由实验得到的各种热系数数据，按热力学关系组成状态方程。这种方法己在4-4节作过简单的介绍；二是从理论分析出发，考虑气体分子运动的行为而对理想气体状态方程引入一些常数加以修正，得出方程的形式，引入常数的值则根据实验数据确定。这一节着重介绍这一种方法。 5．3．1 范德瓦尔斯状态方程 1873年范德瓦尔斯针对理想气体模型的两个假定(分子自身不占有体积；分子之间不存在相互作用力)，考虑了分子自身占有的体积和分子间的相互作用力，对理想气体状态方程进行了修正。分子自身占有的体积使其自由活动空间减小，在相同温度下分子撞击容器壁的频率增加，因而压力相应增大。 如果用表示每摩尔气体分子自由活动的空间，参照理想气体状态方程，气体压力应为。另一方面，分子间的相互吸引力使分子撞击容器壁面的力量减弱，从而使气体压力减小。压力减小量与一定体积内撞击器壁的分子数成正比，又与吸引它们的分子数成正比，这两个分子数都

与气体的密度成正比。因此，压力减小量应与密度的平方成正比，也就是与摩尔体积的平方成反比，用表示。这样考虑上述两种作用后，气体的压力为 或写成 (5-24) 这就是范德瓦尔斯导出的状态方程式，称为范德瓦尔斯状态方程式。它在理想气体状态方程的基础上又引入两个常数：； 做范德瓦尔斯常数，其值可由实验测定的数据确定。 范德瓦尔斯方程的引出，是从理论分析出发导出气体状态方程的一个典型例子。范德瓦尔斯方程只不过是用两个常数很粗略地考虑了气体内分子运 动的行为，所以还不能精确地表述气体的关系。但是，它为用理论方法研究状态方程开拓了道路。特别是它在定性上能反映出物质气—液相

气体的pVT关系

第一章 气体的pVT 关系 重点： 理想气体的定义及微观模型，理想气体状态方程式及其应用，混合气体中组分气体分压、分体积的概念及道尔顿定律和阿马格定律。 难点： 实际气体的临界状态及临界参数用，道尔顿定律和阿马格定律的应用范围。 重要公式 1.n PV RT = RT pV =m 2.y B B P P = B B P P =∑ 3.B B V V =∑ n /B B V RT P ??= ??? ∑ ()m 2m a 4.b P V RT V ??+-= ?? ? 5.n PV Z RT = 气体、液体、固体是物质的三种主要聚集状态。这三种状态是由构成物质的大量质点（如分子、原子等）的相互作用力的大小所决定的。在通常情况下，气体物质的空隙大，气体分子间的距离比起分子的直径来说要大的多。因此气体是 一种分子间相互作用力很小的物质聚集态。 由于气体分子间作用力小，气体分子可通过热运动克服分子间的相互作用力而充满任何形状的容器的空间，且具有很大的可压缩性。另一方面，随着气体压力的减少，一定量的气体的体积增加，分子间的距离也随之增大，使得分子间作用力趋于更小 。因此在低压时分子间相互作用力往往小得可以忽略的地步。故气体同液体、固体相比较，气体是一种最简单的聚集状态，其物理量之间的相互关系、彼此之间的依赖规律也要简单的多。这就为热力学的研究提供了一个方便的体系。再则，由于气体具有良好的流动性与混合性，而使得它成为化工生产过程中不可缺少的物质。也就是说，研究气体既有理论意义，又有实际意义。 研究气体的性质，就是要讨论气体的P —V —T 关系,也就是气体的状态方程。气体的状态方程一般有两种来源：一是利用实验测量得到的数据归纳出来的，二

理想气体状态方程专题训练

理想气体状态方程专题训练 一、封闭气体压强计算 1.在图中，各装置均静止，已知大气压强为P0 ，液体密度为ρ，求被封闭气体的压强p 2.如图所示，一个横截面积为S的圆筒形容器竖直放置．金属圆板A的 上表面是水平的，下表面是倾斜的，下表面与水平面的夹角为θ，圆板 的质量为M．不计圆板与容器内壁之间的摩擦．若大气压强为p0，则求 被圆板封闭在容器中的气体的压强p. 3.如图所示，光滑水平面上放有一质量为M的汽缸,汽缸内放有一质量为m、可在气缸内无摩擦滑动的活塞，活塞面积为S，现用水平恒力F向右推汽缸，最后汽缸和活塞达到相对静止状态，求此时缸内封闭气体的压强P。（已知外界大气压为P0）

二、理想气体状态方程的基础应用 4.一定质量的理想气体由状态A经过状态B变为状态C，其有关数据如p-T图象甲所示．若气体在状态A的温度为-73.15℃，在状态C的体积为0.6m3．求： （1）状态A的热力学温度； （2）说出A至C过程中气体的变化情形，并根据图象提供的信息，计算图中V A的值；（3）在图乙坐标系中，作出由状态A经过状态B变为状态C的V-T图象，并在图线相应位置上标出字母A、B、C．如果需要计算才能确定坐标值，请写出计算过程． 三、单一封闭气体问题 5.一足够长的粗细均匀的玻璃管开口向上竖直放置，管内由15cm长的水银柱 封闭着50cm长的空气柱．若将管口向下竖直放置，空气柱长变为多少cm？ （设外界大气压强为75cmHg，环境温度不变） 6.在如图所示的气缸中封闭着温度为400K的空气，一重物用绳索经 滑轮与缸中活塞相连接，重物和活塞均处于平衡状态，这时活塞离 缸底的高度为10cm，如果缸内空气变为300K，问： （1）重物是上升还是下降？ （2）这时重物将从原处移动多少厘米？（设活塞与气缸壁间无摩擦）

求解系统的状态方程

求解系统的状态方程 一、实验设备 PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台 二、实验目的 (1)掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵 (2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应； (3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线； (4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。 三、实验原理及相关基础 (1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程” (2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础 （3）控制理论实验台使用指导 四、实验内容 (1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵 （a）

（b） 代码： syms lambda A=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t) （c） 代码： syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t) (2) 已知系统

a) 用MATLAB求状态方程的解析解。选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。观察并记录这些曲线。 （1） 代码： A=[0 1; -2 -3]; B=[3;0]; C=[1 1]; D=[0]; u=1; syms t; f=expm(A*t);%状态转移矩阵 x0=0; s1=f*B*u; s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解 状态曲线： （2）A=[0 1;-2 -3]; syms t; f=expm(A*t); X0=[1;0]; t=[0:0.5:10]; for i=1:length(t); g(i)=double(subs(f(1),t(i))); end plot(t,g)

利用 MATLAB 求解系统的状态方程

实验报告 实验名称利用 MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用 MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用 MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用 MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用 MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用 MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数 step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数 impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数 lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数 initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性

的秩为 n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为 n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题2.1 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=0.5; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0:0.5:10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')

气体状态方程的发展及应用

气体状态方程的发展及应用 （方源成楚旸陈其伟张少斐北京大学化学与分子工程学院100871） 摘要：气体状态方程是描述宏观气体p-v-t行为的解析式方程，在科学研究及工业生产方面发挥着重要的作用。本文通过对气体状态方程历史的回顾与各种气体状态方程的分析和评价，给出了判断气体方程如何应用之标准，并对气体状态方程的研究应用方向作出了判断。 关键词：气体状态方程历史应用判断标准 1.气体状态方程的历史 文艺复兴后期，科学界开始其启蒙思想运动。化学方面，这一运动以气体问题研究为主。当时的人们并不清楚气体的微观构成，但对于气体宏观行为的研究从此进行了几个世纪。1 662年，英物理学家Robert Boyle根据实验结果提出Boyle定律。18世纪，法国物理学家A montons Grillaume和Jacques Alexandre Cesar Charles均先后发现：一定质量的气体，在保持压强不变的情况下，温度每升高（或降低）1℃，增加（或减小）的体积等于它在0℃时 体积的1/273 。1800年左右，法国另一位化学家Gay-Lussac经多种气体的实验，最终确立 了这一关系，后世称之为Gay-Lussac定律。19世纪中期，法国科学家Clapeyron综合Boyl e定律与Charles- Gay-Lussac定律，把描述气体状态的三个参量归并于一个方程，即PV/T= C（恒量）。后于1874年经Менделе?ев推广，人们开始普遍使用现行理想气体状态方程： PV = nRT 为了解释这些从实验里总结出的经验规律,Boyle曾提出两种微粒模型：第一种模型认为气体粒子相互挤在一起，他们每一个都具有弹性；第二种模型认为气体粒子并非挤在一起，而是处于剧烈运动之中。Daniel Bernoulli于1738年给上述第二种模型一个更精确的说明，并由此提出了气体压强的碰撞理论，很好地解释了Boyle定律。但这一理论在当时并未获得应有的重视。约100年后，一位英国杂志编辑赫拉派斯独立地提出Bernoulli曾提出过的气 体理论。1848年，Joule在赫拉派斯的工作基础上，测量了许多气体的分子速度，在他的推动下，这一理论获得了越来越多人的关注，是为气体分子运动论之先驱。此后不久，Rudol f Clausius引入统计概念，精确解释了Boyle定律与Gay-Lussac定律。伴随着众多气体定律与气体模型的提出，人们对气体的研究进一步发展，分子运动论越来越成熟。它基于从分子微观运动出发，运用统计力学研究气体的方法。根据这个理论理想，气体状态方程得到了很好的解释。 此外，人们根据这一理论的研究方法，开始尝试对实际气体进行描述。于是，众多的实际气体状态方程被提出。其中最早的为1873年提出的范德瓦尔斯方程式(Van der Waals Eq uation of State)。二十世纪上半叶，量子力学与统计力学的飞速发展又为纯理论性的气体状态方程——维里方程的产生与成熟提供了可能。与此同时，为提高状态方程结果的精确度，人们不断引入经验参数，最著名参数方程的是1928年提出的Beattie-Bridge man方程式与1

控制系统状态方程求解

第三章控制系统状态方程求解 3－1 线性连续定常齐次方程求解 所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为： ………………………………………………………(3 －1) 上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。 我们知道，标量定常微分方程的解为： ………………（3 －2） 与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即： ………………………………(3 －3) 其中为与X（t）同维的矢量。 将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：

上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即： 即: ……………………………………………（3－4） 将系统初始条件代入（3－3），可得。代入（3－4）式可得： (3) 5） 代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：

(3) 6) 我们记： (3) 7） 其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为： (3) 8） 当（3－1）式给定的是时刻的状态值时，不难证明： (3) 9） 从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记： (3) 10） 所以：

【例3－1】已知，求解：根据（3－7）式， 3－2 的性质及其求法 性质1： 【证】根据的定义式（3－7）， 【证毕】 性质2：① ②

高中物理气体的pVT关系

第一章习题解答 1.1物质的体膨胀系数αV与等温压缩率κT的定义如下： 试导出理想气体的、与压力、温度的关系 解：对于理想气体：PV=nRT , V= nRT/P 求偏导： 1.2 气柜储存有121.6kPa，27℃的氯乙烯（C2H3Cl）气体300m3，若以每小时90kg 的流量输往使用车间，试问储存的气体能用多少小时？ 解：将氯乙烯(M w=62.5g/mol)看成理想气体：PV=nRT , n= PV/RT n=121600?300/8.314?300.13 (mol)=14618.6mol m=14618.6?62.5/1000(kg)=913.66 kg t=972.138/90(hr)=10.15hr 1.3 0℃，101.325kPa的条件常称为气体的标准状况，试求甲烷在标准状况下的密度？ 解：将甲烷(M w=16g/mol)看成理想气体：PV=nRT , PV =mRT/ M w 甲烷在标准状况下的密度为=m/V= PM w/RT =101.325?16/8.314?273.15(kg/m3) =0.714 kg/m3 1.4 一抽成真空的球形容器，质量为25.0000g。充以4℃水之后，总质量为125.0000g。若改充以25℃，13.33kPa的某碳氢化合物气体，则总质量为25.0163g。试估算该气体的摩尔质量。水的密度按1 g.cm-3计算。 解：球形容器的体积为V=（125-25）g/1 g.cm-3=100 cm3 将某碳氢化合物看成理想气体：PV=nRT , PV =mRT/ M w M w= mRT/ PV=(25.0163-25.0000)?8.314?300.15/(13330?100?10-6) M w =30.51(g/mol)

流体的PVT关系和状态方程

流体的P-Ｖ-T关系和状态方程 教学目的要求 能熟练掌握流体（特别是气体）的各种类型的P、V、T 关系（包括状态方程法和对应状态法）及其应用、优缺点和应用范围。 ?定性认识流体P－V-T 行为; ?掌握描述流体P-Ｖ-Ｔ关系的模型化方法,了解几种常见的状态方程; ?掌握对比态原理和普遍化状态方程 ?掌握计算真实气体混合物P－V－T 关系的方法,并会进行计算。 ?了解液体的P-V-T关系 教学内容 在化工过程的分析、研究与设计中，流体的压力p、体积V 和温度Ｔ是流体最基本的性质之一,并且是可以通过实验直接测量的。而许多其它的热力学性质如内能U、熵Ｓ、Gi ｂｂｓ自由能G 等都不方便直接测量，它们需要利用流体的ｐ–Ｖ–T 数据和热力学基本关系式进行推算。因此,流体的p –Ｖ–T 关系的研究是一项重要的基础工作。 ２.1 纯流体的P-V－T关系 2.2 气体的状态方程 2.３对应态原理和普遍化关联式 ２.4 真实气体混合物的P-V-T关系 2.5 液体的P-Ｖ－T关系 2.6 状态方程的比较、选用和应用 2．1纯流体的Ｐ-Ｖ-T关系 ◆纯物质在平衡态下的ｐ–Ｖ–T 关系，可以表示为三维曲面，如图2-1。 曲面上分单相区及两相共存区。曲线ＡC 和BC 代表汽液共存的边界线,它们相交于点Ｃ，C 点是纯物质的临界点，它所对应的温度、压力和摩尔体积分别称为临界温度T c、临界压力p c 和临界体积Vｃ。 ◆将p –Ｖ–T 曲面投影到平面上,则可以得到二维图形。图２－2 和２－３分 别为图2-1投影出的p –Ｔ图和p –V 图。

图 2-2 纯物质的p –T 图 图 2-３ 纯物质的 ｐ –V 图 图 2-2 中的三条相平衡曲线：升华线、熔化线和汽化线,三线的交点是三相点。高于临界温度和压力的流体称为超临界流体，简称流体。如图2-2,从A 点到B 点,即从液体到汽体,没有穿过相界面,即是渐变的过程，不存在突发的相变。超临界流体的性质非常特殊,既不同于液体，又不同于气体，可作为特殊的萃取溶剂和反应介质。近些年来，利用超临界流体特殊性质开发的超临界分离技术和反应技术成为引人注目的热点。 图 ２－３ 是以温度Ｔ 为参变量的ｐ –Ｖ 图。图中包含了若干条等温线，高于临界温度的等温线曲线平滑并且不与相界面相交。小于临界温度的等温线由三个部分组成,中间水平段为汽液平衡共存区,每个等温线对应一个确定的压力，即为该纯物质在此温度下的饱和蒸气压。曲线ＡC 和BC 分别为饱和液相线和饱和气相线，曲线ACB 包含的区域为汽液共存区,其左右分别为液相区和气相区。 等温线在两相区的水平段随着温度的升高而逐渐变短，到临界温度时最后缩成一点 Ｃ。从图2-3 中可以看出，临界等温线在临界点上是一个水平拐点，其斜率和曲率都等于零,在数学上表示为: 0)(0)( 22=??=??Tc Tc V P V P 式（2－1)和（2－2)对于不同物质都成立,它们对状态方程等的研究意义重大。 纯物质P ＶT 关系的应用:超临界技术和液化气体成分的选择 2.2气体的状态方程 纯物质的状态方程(E ｑuation of Ｓt ａte, EOS) 是描述流体ｐ-V-T 性质的关系式，即： f （ p ， T, V ) = ０ 状态方程类型：立方型、多常数型、理论型； 混合物的状态方程从纯物质出发，通过引入混合规则，来计算混合物的热力学性质。 2.2.1 理想气体状态方程 假定分子的大小如同几何点一样，分子间不存在相互作用力，由这样的分子组成的气体