圆周角定理练习题(A)

《圆周角定理》练习题

一．选择题（共16小题）

1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°

第1题图第2题图第3题图

3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°

5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°

第4题图第5题图第6题图

6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）

A．50°B．40°C．30°D．20°

7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）A．40°B．50°C．60°D．70°

8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°

第7题图第8题图第9题图

9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°

10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）

A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2

C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2

11．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°

第10题图第11题图第12题图

12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°

13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°

14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD 的度数等于（）

A．90°B．60°C．45°D．30°

15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°

第10题图第11题图第12题图

16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°

二．填空题（共8小题）

17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．

第17题图第18题图第19题图

18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C=°．

19．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为cm．

20．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是．

第20题图第21题图第22题图

21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为cm．

22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．

三．解答题（共16小题）

25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．

26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠

BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．

27、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．

28．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°

（1）求∠EBC的度数；

（2）求证：BD=CD．

29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．

30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．

（1）求证：AE=CE；．

31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．

（1）求证：BE=CM．

（2）求证：AB﹣AC=2BE．

32．如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．

33．如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．

34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．

35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．

36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．

37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？

38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．

39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．

40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．

41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？

42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC 分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？

43．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．

44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．

求证：（1）F是BC的中点；

（2）∠A=∠GEF．

45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．

《圆周角定理》2222222222

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）

1．（2012?呼伦贝尔）如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）

A．152°B．76°C．38°D．14°

【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，

又∵∠BOC=76°，

∴∠A=76°×=38°．

故选C．

2．（2015?眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）

A．30°B．35°C．40°D．45°

【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，

∴∠OAC=45°，

∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴∠B=∠AOC=45°．

故选D．

3．（2010秋?海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∠1和∠3符合圆周角的定义，

∠2顶点不在圆周上，

∠4的一边不和圆相交，

故图中圆周角有∠1和∠3两个．

故选B．

4．（2015?珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）

A．25°B．30°C．40°D．50°

【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，

∴=，

∴∠DOB=2∠C=50°．

故选：D．

5．（1997?陕西）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）

A．130°B．140°C．145°D．150°

【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB

∵∠AOB=80°

∴∠E=∠AOB=40°

∴∠ACB=180°﹣∠E=140°．

故选：B．

6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）

A．50°B．40°C．30°D．20°

【解答】解：连接OP，

可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，

∵MN为直径，

∴∠MOP+∠NBP=180°，

∴∠MAP+∠NBP=90°，

∵∠PBN=50°，

∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°．

故选B．

7．（2007?太原）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC 的度数为（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【解答】解：∵∠ABD=20°

∴∠C=∠ABD=20°

∵CD是⊙O的直径

∴∠CAD=90°

∴∠ADC=90°﹣20°=70°．

故选D．

8．（2013?苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）

A．55°B．60°C．65°D．70°

【解答】解：连结BD，如图，

∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，

∴∠ABD=∠CBD，

而∠ABC=50°，

∴∠ABD=×50°=25°，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=90°﹣25°=65°．

故选C．

9．（2009?枣庄）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）

A．25°B．30°C．35°D．50°

【解答】解：∵∠AOC=130°，

∴∠BOC=50°，

∴∠D=∠BOC=25°．故选A．

10．（2013秋?沙洋县校级月考）如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）

A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2 C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2

【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，

根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4，∠2＞∠6，

∴∠4＜∠1=∠3＜∠2，

故选B．

11．（2012秋?天津期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【解答】解：连接BC，

∵AB是半圆的直径

∴∠ACB=90°

∵∠BAC=60°，

∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，

∴∠D=∠ABC=30°．

故选A．

12．（2009?塘沽区二模）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）

A．15°B．20°C．25°D．50°

【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°，

∴，

∴∠ADB=∠AOC=25°．

故选C．

13．（2012秋?宜兴市校级期中）在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）

A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°

【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，

∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°，

∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°．

∴弦AB所对的圆周角是：42°或138°．

故选C．

14．（2011?南岸区一模）如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD 交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（）

A．90°B．60°C．45°D．30°

【解答】解：连接AD，

∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵CD是∠ACB的角平分线，

∴=，

∴AD=BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°．

故选C．

15．（2015秋?合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）

A．60°B．50°C．40°D．30°

【解答】解：连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠A=∠CDB=40°，

∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．

故选B．

16．（2013?万州区校级模拟）如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）

A．30°B．50°C．60°D．70°

【解答】解：∵∠BAD=30°，

∴=60°，

∵AB是圆的直径，AB⊥CD，

∴==60°，

∴=180°﹣60°=120°，

∴∠AEC==×120°=60°．

故选C．

二．填空题（共8小题）

17．（2016?大冶市模拟）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD 等于40°．

【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，

∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，

∴∠DOE=40°，

答案为40°．

18．（2015?历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB的度数是65°．

【解答】解：连结BD，如图，

∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，

∴∠ABD=∠CBD，

而∠ABC=50°，

∴∠ABD=×50°=25°，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=90°﹣25°=65°．

故答案为65°．

19．（2013秋?滨湖区校级期末）如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB 上不与A、B重合的任意一点，则∠C=130°．

【解答】解：在优弧AB上取点D，连结AD、BD，如图，

∴∠D=∠AOB=×100°=50°，

∵∠D+∠C=180°，

∴∠C=180°﹣50°=130°．

故答案为130．

20．（2008秋?苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．

【解答】解：连接OC．

根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B，

根据三角形的外角的性质，得∠PCQ＞∠A，

则∠B＞∠A．

故答案为第二种．

21．（2015?黄岛区校级模拟）在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为4cm．

【解答】解：连接OA，OB，

∵∠ACB=30°，

∴∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=2cm，

∴⊙O的直径=4cm．

故答案为：4．

22．（2014春?海盐县校级期末）如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．

【解答】解：连结OA、OB，∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角，如图，

∵弦AB等于半径R，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠APB=∠AOB=30°，

∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°，

即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．

故答案为60°；是30°或150°．

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 600 3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ A D B O C E 4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

C A P O D C E O A D B 7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。 8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5 10.下列说法中，正确的是（） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

九年级圆垂径定理弦弧圆心角圆周角提高练习

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角提高练习 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 A2如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五 个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤ , 正确结论的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? A4．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠B 大小为 ( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．65° 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 A6、如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2， 120=∠AOB ，则弦AB 的长是 （ ） （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）23 B7．如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠OA Ｂ＝２８°，则∠C 的大小是（ ） A ．６２° B ．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （第2题图） （第3题图） （第4题图）

圆心角圆周角垂径定理及其应用

第一课时辅导讲义

4、圆周角定理及其推论（重点） 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。 即：在△ABC中，∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∟C=90° 5.垂径定理的应用（难点） （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的的弧， 垂径定理的表现形式：如图5-2-8所示， 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 C B A O O E D C B A

考点一：圆心角，弧，弦的位置关系 例1、（2006?）如图，BE是半径为6的圆D的1/4圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值围是（） 例2、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（） 例3、（2007?）如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其 中正确结论的序号是 例4.（2005?江）如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2√3，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且 在BD上，则四边形ABCD的面积为 考点二：圆周角定理 例1如图，三角形ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．连接DE，已知DE=EC．下列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（） 例2、（2011?）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角

垂径定理和圆周角定理的复习

二、同步题型分析 关于垂径定理 例题1、如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB=8，CD=2，则EC 的长为（ ） 【变式练习】1如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P ．若CD=8，OP=3，则⊙O 的半径为（ ） 【变式练习】2、如图，在⊙O 中，OC⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ） 例题2、如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ） 【变式练习】1、如图．Rt△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB=4，AC=3，D 是弧AD 的中点，CD 与AB 的交点为E ，则 DE CE 等于（ ） 【变式练习】2如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC= 2 1 ∠BOD，则⊙O 的半径为（ ） 【变式练习】3在半径为13的⊙O 中，弦AB∥CD，弦AB 和CD 的距离为7，若AB=24，则CD 的长为（ ） 例题3、如图，以M （-5，0）为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长（ ） 【变式练习】1、已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） 【变式练习】2如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC 的长

圆周角定理及其推论.pdf

通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1） 教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义 定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1） 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.

垂径定理-圆周角与圆心角的关系

圆 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形 六．会用切线, 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试

一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ， 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． A B D C O · E

圆周角定理及推论

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。 以下分五种情况证明 【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时： 图1 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D 解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时： 图2 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和）

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA（） ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。） 【证明】情况4：圆心角等于180°： 圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC（BC弧） ∠OCB=∠OBC= 2 1 ∠AOC（AC弧） ∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5：圆心角大于180°： 图5 圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E， ∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°） ∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB 二、圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E

圆(垂径定理、圆心角、圆周角)基础题练习

圆（垂径定理、圆心角、圆周角）基础题练习 1如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为 3.如图，同心圆中，大圆的弦AB被小圆三等分，OP为弦心距，如果PD=2cm，那么BC=________cm． 4.如图，OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？ 5.如图所示，已知在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，证明：AC=BC 6.已知，如图，△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4cm，求⊙O的直径 7.如图，是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600㎜，求油面的最 大深度． 8.已知：如图，△ABC内接于⊙0，AE⊥BC，AD平分∠BAC．求证：∠DAE=∠DAO． 圆心角、圆周角 1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数

5.如图，图中相等的圆周角有 A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 6.如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=60°，则∠OBC的度数为________度． 7.如图示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小． 8.已知：如图，点D的坐标为（0，6），过原点O，D点的圆交x轴的正半轴于A点．圆周角∠OCA=30°，求A点的坐标． 9.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径． 10如图，已知：AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，求证：AC=BD 11.已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm． （1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长． 12.如图，OA⊥BC，∠AOB=50°，试求∠ADC的大小 如图，⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD 13.如图，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=35°，求∠AOB的度数． . 14.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数．

垂径定理、圆周角与圆心角

圆1 一、知识点 1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。） 4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。） 5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。 推论：圆的两条平行弦所夹弧。 6、与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 7、垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 二、例题 (泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（） A．45 B．60 C．75 D．90 2．(PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）`

垂径定理圆周角与圆心角的关系复习题

【知识点总结】 1．圆是 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形． 2．圆是轴对称图形，它的直径所在的直线都是对称轴；又时中心对称图形，它的中心是圆心． 3．垂径定理：（图1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 4．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 5．顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 6．圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；?90的圆周角所对的弦是直径． 8．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 圆易错点 1．注意考虑点的位置 在解决点与圆的有关问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等． 例１．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3，最远距离为cm 5，则⊙O 的半径为 cm ． 例2．BC 是⊙O 的一条弦， ?=∠120BOC ，点A 是⊙O 上的一点（不与B 、C 重合），则BAC ∠的度数为 ． 2．注意考虑弦的位置 在解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类． 图3 图4

例3．在半径cm 5为的圆中，有两条平行的弦，一条为cm 8，另一条为cm 6，则这两条平行弦的距离是 ． 例4．AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两条弦，且?=∠30BAC ，?=∠45BAD ，则CAD ∠的度数为 ． 考点1：基本概念和性质 考查形式：主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题，常以选择题的形式出现． 例5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 考点2：圆心角与圆周角的关系 例6.如图1,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. B A A (1) (2) (3) 例7..如图2,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________. 例8..如图3,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 考点3：垂径定理 考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决． 例9．如图，在⊙O 中，有折线OABC ，其中8=OA ，12=AB ，?=∠=∠60B A ，则弦BC 的长为（ ）。 Ａ．19 Ｂ．16 Ｃ．18 Ｄ．20 1．下列命题中，正确命题的个数为（ ）. ①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③?90的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等． A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ． 4个 2.下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C

圆周角定理及推论

1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证

明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点： 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点： 运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键： 探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评： （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知

问题： 如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

九年级上册垂径定理,圆心角及圆周角的综合测试题

九年级上册垂径定理，圆心角及圆周角的综合测试题 班级＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如下图，已知ACB ∠是⊙O 的圆周角，50ACB ∠=?，则圆心角AOB ∠是（ ） A ．40? B. 50? C. 80? D. 100? 2.已知：如上图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ⌒上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 3.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60° 4.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块 5.如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2， 则等边三角形ABC 的边长为（ ） A B C ． D ．6.下列命题中，正确的是（ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A ．①②③ B ．③④⑤ C ．①②⑤ D ．②④⑤ 7、如上图，AB 是半圆直径，∠BAC=20°，D 是AC 的中点，则∠DAC 的度数是（ ） A . 30° B. 35° C. 45° D . 70° 8、 下面每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） 9、 已知AB 是⊙O 的直径，AC, AD 是弦，且 ，AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是 ( ) A. 45°或60° B. 60° C . 105° D. 15°或105° 10、如图，AB 是⊙的直径，弦CD 垂直平分OB ，则∠BDC=（ ） A. 20° B.30° C.40° D.50° 二、填空题（每题3分，共24分） 11、如图．⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25o ，则∠AOB 的度数为_______． 12.如图．AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50 o ．则∠ADC=_______． 13. 如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，连结AB 、BC 、AC 、OA 、OB ，且∠BAO=25°， 则∠ACB 的大小为___________. 14. 已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE= . 15、 如图，AB 是⊙O 的直径，C, D, E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2 = . （第5 题） 第7题 第11题 13题 第12题 14题 15题

圆周角及推论

课题：圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾： (1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义 【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角． 2．如图，下列图形中是圆周角的是( C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】

认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ．理由如下： ? ????OA ＝OC ?∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ?∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ， ∴∠ADC ＝12 ∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12 AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )． 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测 达成目标 【当堂检测】

圆的定义、垂径定理、圆心角、圆周角练习

圆的定义、垂径定理、圆心角、圆周角练习 1.如下图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数 是50o，则∠C的度数是（） A）50o B）40o C）30o D）25o 第1题图第2题图 2.如上图，两正方形彼此相邻,且大正方形内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径为（）． A）(45) + cm B） 9 cm C）45cm D）62cm 3.⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( ) A．AB>2AM B．AB=2AM C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定 4.如上图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3）， M是第三象限内OB上一点，BMO ∠=120，则⊙C的半径为（） A. 6 B. 5 C 3 D. 32 5.如下图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 第5题图第6题图第7题图

6.如上图，扇形的半径是cm 2，圆心角是? 40，点C为弧AB的中点，点P在直线OB上，则PC PA+的最小值为cm 7.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与 A、B重合）， 则cos C的值为 . 8.圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数 为： . 9.已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°， 求∠C及∠AOC的度数． 10.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长． 11.如图，AB为⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD ,延长OC、OD分别交⊙O于E、F， 证明：AE=BF.

9 垂径定理 圆心角 圆周角定理(

垂径定理圆心角圆周角定理 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 1、平分弦所对的两条弧） 2、平分弦（不是直径） 3、垂直于弦 4、过圆心 推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。 推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 [垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。] 圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 （1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。 圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。 2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 切线定理 （定义）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （数量法d=r）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。 判定定理：1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。 有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂线，证半径（d=r）

练习 一选择题： 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48° C．52°D．58° 2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°， AO∥DC，则∠B的度数为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°， 则∠BOC是（） A．100° B．110° C．120° D．130° 4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上 移动，则OM取值范围是（） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( ) A．15°B．28° C.29°D．34°

中考数学一轮专题复习 垂径定理 圆心角 圆周角定理

垂径定理圆心角圆周角定理 一选择题： 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48°C．52°D．58° 2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（） A．100° B．110° C．120° D．130° 4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠

A．15°B．28° C.29°D．34° 7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( ) 8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（） A. B. C． D. 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20o，则∠ACB，∠DBC分别为（） A．15o与30o B．20o与35o C．20o与40o D．30o与35o 10.图中∠BOD的度数是（） A．55° B．110° C．125° D．150° 11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）

垂径定理,圆周角定理练习题

C A P O D C E O A D B 九年级 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 一，填空题 1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 2.. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。 3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。 （2题图 ） （ 1题图 ） （3题图） 4. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。 5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 6. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） （4题图） (5题图) （6题图） （9题图） 7. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ） 8. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） 9. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 10. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长 23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________； 11. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以点C 为圆心，4cm 为半径作圆。则A 、B 、C 、D 四点在圆内有_____________。

圆周角圆心角垂径定理练习

江苏通海中学周飞 初三数学周末练习 班级：姓名：学号： 一．选择题（共8小题） 1．（2013?丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（） 5C 2．（2012?茂名）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD=6，则DE=（） 则OP的长为（） 4．（2013?黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（） ．． 6．（2007?仙桃）如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点， ∠AOE=60°，则∠COE是（）

二．填空题（共8小题） 9．（2009?郴州）如图，在⊙O中，，∠A=40°，则∠B=_________度． 10．如图，在⊙O中，=，如果∠AOC=65°，则∠BOD=_________． 11．（2011?阜新）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为_________度． 12．（2010?湘西州）如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB=_________．13．（2013?漳州）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为_________厘米． 14．（2013?西宁）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB=_________．

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垂径定理、心周角复习 —、知识点 1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴, 3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线， 所以不能说“圆的对称轴是直径而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线'：） 4、___________________________________________________ 、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、 半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心《） 5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径,并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过,并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，眩且平分弦所对的另一条弧。 6、与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质， %1圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. %1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的瓠相等. %190°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. %1如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. %1圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 7、垂径定理及推论： %1垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条或 %1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条如 %1弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条如 %1平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦 20.（温州）（本题8分）如图，在正方形ABCD中,AB=4, 0为对角线BD的中点,分别以OB, 0D为直径作。 Oi, 0O2. o “I ----- 7^^^ （/\ ⑴求02 01的半径； （2）求图中阴影部分的面积.