《三年经典(数学)》2014届高三一轮必备“高频题型全掌握”8.三角函数的性质及其图像

【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌握系列》8.三角函数的性质及其图像

1.（20132福州模拟）函数f(x)=Asin(ωx+φ)

（其中A>0,ω>0,|φ|<

2

π

）的图象如图所示，为 了得到g(x)=sin3x 的图象，则只要将f(x)的图 象( )

(A)向右平移

4π个单位长度 (B)向右平移12π

个单位长度 (C)向左平移4π个单位长度 (D)向左平移12

π

个单位长度

2.（浙江省调研）曲线y=2sin(x+4π)cos （x-4π)与直线y=1

2

在y 轴右侧的交点按

横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3、…,则|P 2P 4|等于( ) （A ）π （B ）2π （C ）3π （D ）4π

3.(20122长沙模拟）若a 、b 、c 是△ABC 的三边，直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=1相离，则△ABC 一定是( )

（A ）直角三角形 （B ）等边三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形

4.(易错题)若α，β∈(0，2π)，cos (α－)2βsin(2

α－β)＝－1

2，则cos(α

＋β)的值等于( )

11A B C D 2222

-

-（） （） （） （） 5.已知tan α和tan(

4

π

－α)是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是( )

（A ）b=a+c （B ）2b=a+c （C ）c=b+a （D ）c=ab

6.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为( )

（A ）（B ）

（C ）（D ）

7.已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜2

π

）的图象如图所示，则 f （0）=_______.

8.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1

2

CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面

积为3，则∠BAC ＝________.

9.定义一种运算：(a 1，a 2)?(a 3，a 4)＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f(x)＝2sinx) ?(cosx ，

cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为_______.

10.（20122龙岩模拟）已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0,|φ|<2

π

)的最大值

为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线x=3π

是其图象的一条对称轴，则符合条

件的函数解析式是_________.

11.（13分）(20122宜春模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，

|φ|<2

π

)的部分图象如图所示：

(1)求函数f(x)的解析式并写出其所有对称中心；

(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称，求g(x)的单调递增区间.

答案解析

1.【解析】选B.由函数f(x)的图象知A ＝1，

5222T 4(

),3,21243T

3

ππππ?-=π∴ω===π＝

()()()3f x sin(3x ),f ()0sin()0,

44

||,,f x sin(3x )sin[3(x )],

24412g x sin3x B.

12

ππ

∴=+?=+?=ππππ

?<∴?=∴=+=+π

=又即又向右平移个单位长度，即得的图象，故选 2.【解析】选A.2sin(x+

4π)cos(x-4π)=2sin 2(x+4π)=1-cos ［2(x+4

π

)］=1+sin2x ，其最小正周期为π,又|P 2P 4|显然是一个周期，故选A.

3.【解析】选D.

1,>

即a 2+b 2

于是222

a b c cosC 0,2ab

+-=<

所以C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形.

4.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得α－2β和2

α

－β的度数，再根据条件作出判断，进而求得cos(α＋β).

【解析】选B.∵α，β∈(0，2

π

)，

422224πβππαπ

∴<α<<β<－－，－－，

由cos (α－2β)

和sin (2α－β)＝1

2

- ，

可得α－

2β＝±6π， 2α－β＝－6π

， 当α－2β＝－6π，2

α－β＝－6π

时，

α＋β＝0与α，β∈(0，2

π

)矛盾；

当α－2β＝6π，2

α－β＝－6π时，α＝β＝3π

，

此时cos (α＋β)＝1

2

- .

5.【解题指南】利用根与系数的关系得到tan α和tan(4

π

-α)与系数a,b,c 的关系，再利用正切的两角和公式得到a,b,c 的关系.

【解析】选C.b tan tan()4a

c tan tan()4a π?

αα???π?αα??

＋－＝－，

－＝ b

a tan tan ()1c 441a

b c 1b a c c a b.

a a

ππ

∴αα∴∴∴－

＝［－＋］＝＝，

－－＝－，－＝－，＝＋ 6.【解析】选A.在△PAB 中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m, sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

12=

= 由正弦定理得:

PB AB

,sin30sin15=??

160

PB 30

,?∴==

∴树的高度为PBsin45°

=30

3

2

7.【解析】由图象知最小正周期2132T 2344πππ

=-=π=ω

（），

故ω=1，

又x=34

π时，f （x ）=2，

即2sin （34π+φ）=2，可得φ=-4π

+2k π，k ∈Z

又∵|φ|＜2π，∴φ=-4

π

.

所以f （x ）=2sin （x-4π），f （0）=2sin （-4

π

）

.

答案：

8.【解析】由∠ADB ＝120°知∠ADC ＝60°，

又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝1

2

AD 2DC 2sin60°＝3

， 所以DC ＝

－1)，

又因为BD ＝

1

2

DC ，所以BD

1， 过A 点作AE ⊥BC 于E 点，

则S △ADC ＝1

2

DC 2AE ＝3

所以AE

，又在直角三角形AED 中，DE ＝1， 所以BE

，在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ， 所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°， 在直角三角形AEC 中，EC ＝

3， 所以tan ∠ACE

＝

AE 2EC 所以∠ACE ＝75°，

所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°. 答案：60°

【方法技巧】巧解三角形

解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成，这种方法是最基本的，也是很重要的方法.有些三角形问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想，往往可以构造设计一个恰当的三角形，借助于平面几何、解三角形等知识去解决.

9.【解析】由题意可得A ＝2，m=2,24,T π

ω==

∴y=2sin(4x+φ)+2. 又直线x=

3

π

是其图象的一条对称轴， 54k k Z),k k Z).

326

||,,

26

πππ

∴?+?=π+∈∴?=π-∈ππ

?<∴?=（（又

∴所求函数解析式为y=2sin(4x+6

π

)+2. 答案：y=2sin(4x+

6

π

)+2 10.【解题指南】(1)先由图象直接得A ，求得周期T 进而求得ω,代入点求得φ，这样得解析式求得对称中心. (2)利用对称中心为P （4，0），求得g(x)的解析式，再求单调递增区间.

【解析】(1)由图可得，A ，T

2

＝6－(－2)＝8， 所以，T ＝16，ω＝

8π，

则此时f(x)sin(8

π

x ＋φ)，

将点(2)代入，可得φ＝4

π

.

∴f(x)sin(8πx ＋4

π

)；

对称中心为(8k －2,0)(k ∈Z).

(2)由g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称，得g(x)＝－f(8－x)，

∴g(x)sin ［8π(8－x)＋4

π

］

552sin(x)2sin(x )4884ππππ

－－，

令52k x 2k ,2842

ππππ

π≤≤π－－＋得16k ＋6≤x ≤16k ＋14,

即g(x)的单调递增区间为［16k ＋6,16k ＋14］(k ∈Z).