福建省厦门市2015年中考数学试题及答案(word版)

2015年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试

数 学

（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）

准考证号 姓名 座位号

注意事项：

1．全卷三大题，27小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．

3．可直接用2B 铅笔画图．

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正

确） 1. 反比例函数y ＝1

x

的图象是

A ． 线段

B ．直线

C ．抛物线

D ．双曲线

2. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有

A .1种

B . 2种

C . 3种

D ．6种

3. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 A . －2xy 2 B . 3x 2 C . 2xy 3 D . 2x 3

4. 如图1，△ABC 是锐角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，

则点C 到直线AB 的距离是 A . 线段CA 的长 B .线段CD 的长 C . 线段AD 的长 D .线段AB 的长 5. 2—

3可以表示为

A ．22÷25

B ．25÷22

C ．22×25

D ．（－2）×（－2）×（－2）

6．如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AC ，AB 上， 若∠B ＝∠ADE ，则下列结论正确的是

A ．∠A 和∠

B 互为补角 B ． ∠B 和∠ADE 互为补角

C ．∠A 和∠ADE 互为余角

D ．∠AED 和∠DEB 互为余角

图2

7. 某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x 元的衣服以(4

5x －10) 元出售，则下列说法中，能正确表

达该商店促销方法的是

A . 原价减去10元后再打8折

B . 原价打8折后再减去10元

C . 原价减去10元后再打2折

D . 原价打2折后再减去10元

8. 已知sin6°＝a ，sin36°＝b ，则sin 2 6°＝

A . a 2

B . 2a

C . b 2

D ． b

9．如图3，某个函数的图象由线段AB 和BC 组成，其中点 A （0，43），B （1，12），C （2，5

3

），则此函数的最小值是

A ．0

B ．12

C ．1

D ．5

3

图3

10．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于

点D ，则该圆的圆心是 A ．线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点 B ．线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点 C ．线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点 D ．线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点

图4

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11．不透明的袋子里装有1个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机

摸出一个球，则摸出红球的概率是 ． 12．方程x 2＋x ＝0的解是 ．

13．已知A ，B ，C 三地位置如图5所示，∠C ＝90°，A ，C 两地的距离是

B ，

C 两地的距离是3 km ，则A ，B 两地的距离是 km ；若A 地在C 地的正东方向，则Ｂ地在C 地的 方向．

14．如图6，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是边AD 的中点， 图5

若AC ＝10，DC ＝25，则BO ＝ ，∠EBD 的大小约为 度 分．（参考数据：tan26°34′≈1

2

）

15．已知(39＋813)×(40＋9

13

)＝a ＋b ，若a 是整数，1＜b ＜2，则a ＝ ． 图6

16．已知一组数据1，2，3，…，n （从左往右数，第1个数是1，第2个数是2，第3个数是3，依此类

推，第n 个数是n ）．设这组数据的各数之和是s ，中位数是k ，则s ＝ （用只含有k 的代数式表示）． 三、解答题（本大题有11小题，共86分）

17．（本题满分7分）

计算：1－2＋2×(－3)2 ． 18．（本题满分7分）

在平面直角坐标系中，已知点A （－3,1），B （－2,0）C （0,1）,请在图7中画出△ABC ，并画出与△ABC

关于原点O 对称的图形． 图7 19．（本题满分7分）

计算：x

x ＋1＋x ＋2x ＋1

．

20．（本题满分7分）

如图8，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ， AD ＝3 ，AB ＝5，求DE

BC

的值．

图8 21．（本题满分7分）

解不等式组???2x ＞2，

x ＋2≤6＋3x .

22.（本题满分7分）

某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示．

若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？

23．（本题满分7分）

如图9，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上． 若DE ＝DF ，AD ＝2，BC ＝6，求四边形AEDF 的周长．

图9

24．（本题满分7分）

已知实数a ，b 满足a －b ＝1，a 2－ab ＋2＞0，当1≤x ≤2时，函数y ＝a

x （a ≠0）的最大值与最小值之

差是1，求a 的值．

25.（本题满分7分）

如图10，在平面直角坐标系中，点A （2，n ），B （m ，n ）（m ＞2），D （p ，q ）(q ＜n ），点B ，D 在直线y ＝1

2x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，

CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2．

求证：四边形ABCD 是矩形．

图10

26．（本题满分11分）

已知点A （－2，n ）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上． （1）若b ＝1，c ＝3，求n 的值； （2）若此抛物线经过点B （4，n ），且二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的最小值是－4，请画出点

P （x －1，x 2＋bx ＋c ）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．

27．（本题满分12分）

已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．

（1）如图11，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；

（2）如图12，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°．

当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．

图11

2015年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试

数学参考答案

说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应

评分.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）

11. 1

2 12. 0，－1 13. 5；正北

14. 5，18,26 15. 1611 16. 2k 2－k

三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（本题满分7分）

解： 1－2＋2×(－3)2

＝－1＋2×9

＝17. ……………………………7分 18．（本题满分7

解： ……………………………7分

19．（本题满分7分） 解：

x

x ＋1＋x ＋2x ＋1

＝2x ＋2x ＋1

……………………………5分 ＝2 ……………………………7分 20．（本题满分7分）

解：∵ DE ∥BC ，

∴ △ADE ∽△ABC . ……………………………4 ∴ DE BC ＝AD

AB . ……………………………6分 ∵ AD AB ＝3

5

，

∴ DE BC ＝3

5. ……………………………7分

21．（本题满分7分）

解：解不等式2x ＞2，得x ＞1. ……………………………3分 解不等式x ＋2≤6＋3x ，得x ≥－2. ……………………………6分

不等式组???2x ＞2，

x ＋2≤6＋3x

的解集是x ＞1. ……………………………7分

22.（本题满分7分）

解：由题意得，

甲应聘者的加权平均数是6×87＋4×90

6＋4＝88.2. ……………………………3分

乙应聘者的加权平均数是6×91＋4×82

6＋4＝87.4. ……………………………6分

∵88.2＞87.4，

∴甲应聘者被录取. ……………………………7分

23．（本题满分7分）

解：∵AB ＝AC ，E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，

∴AE ＝AF ＝1

2AB . ……………………………1分

又∵DE ＝DF ，AD ＝AD ，

∴△AED ≌△AFD . ……………………………2分

∴∠EAD ＝∠F AD .

∴AD ⊥BC ， ……………………………3分 且D 是BC 的中点.

在R t △ABD 中，∵E 是斜边AB 的中点， ∴DE ＝AE . ……………………………6分 同理，DF ＝AF .

∴四边形AEDF 的周长是2AB . ∵BC ＝6，∴BD ＝3.

又AD ＝2， ∴AB ＝13.

∴四边形AEDF 的周长是213. ……………………………7分

24．（本题满分7分）

解1：由a －b ＝1，a 2－ab ＋2＞0得，a ＞－2. ……………………………2分

∵a ≠0，

（1）当－2＜a ＜0时， ……………………………3分 在1≤x ≤2范围内y 随x 的增大而增大， ∴ a

2

－a ＝1. ∴ a ＝－2 ……………………………4分 不合题意，舍去.

（2）当a ＞0时， ……………………………5分 在1≤x ≤2范围内y 随x 的增大而减小， ∴ a －a

2

＝1.

∴ a ＝2. ……………………………6分

综上所述a ＝2. ……………………………7分

解2：（1）当a ＜0时， ……………………………1分 在1≤x ≤2范围内y 随x 的增大而增大， ∴ a

2

－a ＝1. ∴ a ＝－2. ……………………………2分 ∴ b ＝－3.

而a 2－ab ＋2＝0，不合题意，

∴a ≠－2. ……………………………3分 （2）当a ＞0时， ……………………………4分 在1≤x ≤2范围内y 随x 的增大而减小， ∴ a －a

2

＝1.

∴ a ＝2. ……………………………5分 ∴ b ＝1. 而a 2－ab ＋2＝4＞0，符合题意，

∴ a ＝2. ……………………………6分 综上所述， a ＝2. ……………………………7分

25.（本题满分7分）

解1：∵ AB ∥CD ，

∴∠EAB ＝∠ECD ，∠EBA ＝∠EDC . ∵ BE ＝DE ，

∴ △AEB ≌△CED . ……………………………1分 ∴ AB ＝CD ＝4. ∵AB ∥CD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形. ……………………………2分 A （2，n ），B （m ，n ）（m ＞2）， ∴ AB ∥x 轴，且CD ∥x 轴.

∵ m ＞2，∴m ＝6. ……………………………3分 ∴n ＝1

2

×6＋1＝4.

∴ B （6，4）. ∵△AEB 的面积是2，

∴△AEB 的高是1. ……………………………4分 ∴平行四边形ABCD 的高是2. ∵ q ＜n ， ∴q ＝2.

∴p ＝2， ……………………………5分 即D （2，2）. ∵点A （2，n ），

∴DA ∥y 轴. ……………………………6分 ∴AD ⊥CD ，即∠ADC ＝90°.

∴四边形ABCD 是矩形. ……………………………7分

解2：∵AB ∥CD ，

∴∠EAB ＝∠ECD ，∠EBA ＝∠EDC . ∵ BE ＝DE ，

∴ △AEB ≌△CED . ……………………………1分 ∴ AB ＝CD ＝4.

∵AB ∥CD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形. ……………………………2分 ∵A （2，n ），B （m ，n ）（m ＞2）， ∴ AB ∥x 轴，且CD ∥x 轴.

∵ m ＞2，∴m ＝6. ……………………………3分 ∴n ＝1

2

×6＋1＝4.

∴ B （6，4）.

过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，

∵△AEB 的面积是2，

∴EF ＝1. ……………………………4分 ∵ q ＜n ，

∴点E 的纵坐标是3. ∴点E 的横坐标是4.

∴点F 的横坐标是4. ……………………………5分 ∴点F 是线段AB 的中点.

∴直线EF 是线段AB 的中垂线.

∴EA ＝EB . ……………………………6分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AE ＝EC ，BE ＝ED .

∴AC ＝BD .

∴四边形ABCD 是矩形. ……………………………7分 26．（本题满分11分）

（1）解：∵ b ＝1，c ＝3，

∴ y ＝x 2＋x ＋3. ……………………………2分 ∵点A （－2，n ）在抛物线y ＝x 2＋x ＋3上，

∴n ＝4－2＋3 ……………………………3分 ＝5. ……………………………4分 （2）解：∵点A （－2，n ），B （4，n ）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，

∴???4－2b ＋c ＝n ，16＋4b ＋c ＝n .

∴b ＝－2. ∴顶点的横坐标是－b

2

＝1.

即顶点为（1，－4）. ∴－4＝1－2＋c .

∴c ＝－3. ……………………………7分 ∴P （x －1，x 2－2x －3）.

∵将点（x ，x 2－2x －3）向左平移一个单位得点P （x －1，x 2－2x －3）， ∴将点（x ，x 2－2x －3）的纵坐标随横坐标变化的函数的图象向左平移 一个单位后可得点P （x －1，x 2－2x －3）的纵坐标随横坐标变化的函 数的图象. ……………………………8分

设p ＝x －1，q ＝x 2－2x －3，

则q ＝p 2

－4.

画出抛物线q ＝p 2

－4的图象. ……………………………11分 27．（本题满分12分） （1）证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC ＝90°，

∴∠ABC ＝90°.

∴∠ABE ＝90°. ……………………………1分 ∵AC 平分∠DCB ，

∴∠ACB ＝∠ACD . ……………………………2分 ∴AB ＝AD . ……………………………3分

∵EB ＝AD ，

∴EB ＝AB . ……………………………4分

∴△ABE 是等腰直角三角形. ……………………………5分

（2）直线EF 与⊙O 相离.

证明：过O 作OG ⊥EF ，垂足为G .

在Rt △OEG 中， ∵∠OEG ＝30°，

∴OE ＝2OG . ……………………………6分 ∵∠ADC ＝90°,

∴AC 是直径. 设∠ACE ＝α，AC ＝2r . 由（1）得∠DCE ＝2α，

又∠ADC ＝90°， ∴∠AEC ＝90°－2α. ∵α≥30°，

∴（90°－2α）－α≤0. ……………………………8分 ∴∠AEC ≤∠ACE .

∴AC ≤AE . ……………………………9分 在△AEO 中，∠EAO ＝90°＋α， ∴∠EAO ＞∠AOE .

∴EO ＞AE . ……………………………10分 ∴EO －AE ＞0.

由AC ≤AE 得AE －AC ≥0.

∴EO －AC ＝EO ＋AE －AE －AC

＝（EO －AE ）＋（AE －AC ）＞0. ∴EO ＞AC . 即2OG ≥2r .

∴OG ＞r . ……………………………11分 ∴直线EF 与⊙O 相离. ……………………………12分