大学物理振动章节的公式

21221=++=+'+''A r A r y A y A y

弹簧振子模型

x +2x = 0 圆频率 =m k x=A cos(t+) E=E P +E K =m 2A 2/2=k A 2/2 由能量关系求振动规律 E=12m* ξ2 +12k*2 m*

ξ+k*=0

直接: = (k*/m*)1/2 (t)=A cos (t+)

1阻尼振动微分方程及其通解

微分方程

m x = kx b x x + 2 x + 02

x =0

02

=k/m 阻尼系数 =b/2m

2. 通解

令: x=e －t x 1 x =-x+e －t x 1 x =-2x -2x+e －t x 1x 1+(02-2)x 1=0

(1) = 0

x 1=0 ——临界阻尼 x(t)=(c 1+c 2t) e t

(2) > 0

x 1-2x 1=0 ——过阻尼 x(t)=(c 1e t +c 2e t

) e t = ( 2

02 ) 2 欠阻尼振动

1. 欠阻尼振动

’= 2

20δω-

x(t)= e t x 谐 = Ae t

cos(’t+’) 周期T’=’/2, 初相’, 位相

’=’t+’

v= x =Ae t [’sin ’+cos ’]

E =1

2mA 2e 2 t (02+2

cos2’+’sin2’)

2. 小阻尼振动

<<’ 0 T’ <<1

E kA 2e 2 t /2=m 02A 2e 2 t /2=E 0e 2 t

3. 品质因数Q=2E

E -?

小阻尼( <<’): Q ’/20/2

3 受迫振动的稳态解

0 震动频率；’等价震动频率；外力频率

m x =kx b x +f x +2 x +02

x=h cos t

02

=k/m =b/2m f=Fcos t h=F/m

受迫振动通解=Ae t cos(’t+’)+Acos(t+)

A() =h ()ωωδω022222

4-+(2共振= 02

22) =arctan --20

22δω

ωω (-

,0 ]

E=mA 2[2sin 2(t+)+02 cos 2

(t+)]/2 常数 E 以2简谐振动

=mA2(2+ 02)/4

1. 功率

策动力功率N动=fv=F A[sin(2t+)+sin]/2

=F Asin/2 =m2A2>0

阻力功率N阻=f r v= bv2 = b 2A2sin2(t+) 0

= m2A2

=0时特点: ,v最大——速度共振E=m02A2/2=const (非守恒) N动+N阻=0 = /2

4. 简谐振动的合成

A=[A12+A22+2A1A2cos]1/2212