重庆育才中学高三第一次月考
数学试题卷(理科)
数学试题卷(理科)共4页,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并收回。 特别提醒:
14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.
1.已知全集U =R ,集合{23}A x x =-≤<,1{2,0}x B y y x -==≥,则U A B =I e
A .{}|03x x ≤< 2. 由观测的样本数据算得变量x 与y 满足线性回归方程$0.60.5y x =-,已知样本平均数5x =,
则样本平均数y 的值为
A.0.5
B.1.5
C.2.5
D.3.5
3.已知向量(1,2)a =r ,(3,2)b =-r
,且向量ka b +r r 与2a b -r r 平行,则实数k 的值为
22S S k =+
0,1S k ==
1k k =+
7题图
A.12
-
B.1
2 C.2- D.2
4.已知命题p :若a b >,则2
2
a b >;q :“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件. 则下列命题是真命题的是
A .p q ∧
B .p q ?
∧
C .p q ??∧
D .p q ?
∧
5.已知等差数列{}
n a 的前n 项和为n S ,若27a =,
686a a +=-,则n S 取最大值时,n 的值为
A.3
B.4
C.5
D.6 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是
A .1683+.1643+ C .4883+.483+ 7.阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为58,则判断框中应填入的条件为 A .3k ≤
B .4k ≤
C .5k ≤
D .6k ≤
8.某天连续有7节课,其中语文、英语、物理、化学、 生物5科各1节,数学2节.在排课时,要求生物课 不排第1节,数学课要相邻,英语课与数学课不相邻, 则不同排法的种数是
A .408
B .480
C .552
D .816
9.设F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点,O 为坐标原点,点,A B 分别在双曲线的两
条渐近线上,AF x ⊥轴,BF ∥OA ,0AB OB ?=u u u r u u u r
,则该双曲线的离心率为
A 2
B 3
C .
322 D 23
10.在ABC ?中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c .已知1
sin sin sin 3
A B C -=,32b a =,
2218a ac ≤+≤,设ABC ?的面积为S ,2p a S =-,则p 的最小值是
6题图
俯视图
侧视图
正视图
2
2
4
23
4
14题图
P
D
C
B
A
A
.9
B
.
9
C
D
.
8
二、填空题:本大题6个小题,考生作答5个小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡相
应的位置上.
11.复数
4212i
i
+-+的虚部为 .
12.圆22(1)5x y ++=上的点到直线290x y -+=的最大距离为 .
13.设常数1a >,实数,x y 满足log 2log log 3a x x x a y ++=-,若y
,则x 的值
为 .
考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.
14.如图,已知切线PA 切圆于点A ,割线PBC 分别交圆于
点,B C ,点D 在线段BC 上,且2DC BD =,BAD PAB ∠=∠
,PA =4PB =,则线段AB 的长为__________.
15.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C
的方程为2,
2x t y t
?=?=?(t 为参数),直线l 的方程为cos sin 0k k ρθρθ--=(k 为实数) ,若直
线l 交曲线C 于A ,B 两点,F 为曲线C 的焦点,则
11AF BF
+的值为_________. 16.设函数()12f x x x a =-+-,若关于x 的不等式2
1()14
f x a ≥
+对x R ∈恒成立,则实
三、解答题:本大题6个小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程,并
答在答题卡相应的位置上.
17.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)
设函数21
()cos(
)cos sin ()22
f x x x x π
π=----. (Ⅰ) 求函数()f x
的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ) 若()110f α=
-,且3(,)88
ππα∈,求()8f π
α-的值.
18.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分)
某居民小区有,,A B C 三个相互独立的消防通道,通道,,A B C 在任意时刻畅通的概率分 别为
495
,,5106
. (Ⅰ) 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率;
(Ⅱ) 在对消防通道A 的三次相互独立的检查中,记畅通的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列和
数学期望E ξ.
19.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,AC AB ⊥,
AD DC ⊥,60DAC ∠=o ,2PA AC ==,1AB =,点E 在棱
PC 上,且DE PB ⊥.
(Ⅰ) 求CE 的长;
(Ⅱ) 求二面角A PB C --的正弦值.
20.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分) 已知0a >,函数1()ln(1)2
x
a f x a x =-++. (Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调性;
(Ⅱ) 当函数)(x f 存在极值时,设所有极值之和为()g a ,求()g a 的取值范围. 21.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如图所示,已知椭圆C 的方程为2
212
x y +=,12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点,直线:(0)AB y kx m k =+<与椭圆C 交于不同的,A B 两点.
(Ⅰ) 若1k =-,2m =
,点P 在直线AB 上,
19题图
E
D
C
B
P
A
求12PF PF +的最小值;
(Ⅱ) 若以线段AB 为直径的圆经过点2F ,且原点O 到
直线AB
的距离为
5
. (1)求直线AB 的方程;
(2)在椭圆C 上求点Q 的坐标,使得ABQ ?的面积最大.
22.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=
(n N *
∈).
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设2n n n S P a =
,n T =
13521n n n P P P P T T -?????<<.
数学(理科)参考答案及评分意见
一、选择题:
1-5 BCABC ; 6-10 CBADB. 二、填空题:
11、2- ; 12、 ;13、1
8
; 14、15、1;16、[2,0]-. 三、解答题:
17、解:(Ⅰ) 2
1
()sin cos sin 2
f x x x x =--
Q …………………… 2分
1
(sin 2cos 2)12
x x =+-)14x π=+-, …………………… 4分 ()f x ∴的最小正周期为22
T π
π=
=. …………………… 5分 由222242k x k πππππ-≤+≤+,得388
k x k ππ
ππ-≤≤+,
()f x ∴的单调递增区间为3[,]()88k k k Z ππ
ππ-+∈. ………………… 7分
(Ⅱ)())112410f παα=
+-=-Q ,3
sin(2)45
πα∴+=. …………… 8分 由3(
,
)88ππ
α∈知2(,)42π
παπ+
∈,4
cos(2)45
πα∴+=-. ……………10分
())]18284f πππαα∴-=-+-sin[(2))]1244
ππ
α=+--
)cos cos(2)sin ]124444ππππ
αα=
+-+- …………… 12分
34(155=
+-310
=-. …………………… 13分 18、解:(Ⅰ)由已知通道,,A B C 畅通的概率分别为495
(),(),()5106
P A P B P C =
==, 设“至少有两个消防通道畅通”为事件D ,
()()()()()P D P ABC P ABC P ABC P ABC ∴=+++ ………………… 4分
4914151954955106510651065106=
??+??+??+??281
300
=
. ………… 6分 (Ⅱ) ξQ 的所有可能为0,1,2,3,
3311(0)()5125P C ξ∴===
,1234112(1)()55125P C ξ==?=, 2234148(2)()55125P C ξ==?=
,33
3464(3)()5125
P C ξ===. ………… 10分 ξ∴的分布列为:
……………… 11分
数学期望11248641201231251251251255
E ξ=?
+?+?+?=. ……………13分 19、解:(Ⅰ) 如图,以,,AB AC AP u u u r u u u r u u u r
分别为,,x y z 轴的正半轴方向,建立空间直角坐标系,则
(0,0,2),(0,0,0),P A (1,0,0),B 1
(0,2,0),(,0)22
C D -
. … 2分 过E 作EF AC ⊥于F ,由已知,得EF ∥PA ,
设EF h =,则(0,2,)E h h -. ………… 3分
3
,),(1,0,2)2
DE h h PB ∴=-=-u u u r u u u r .
DE PB ⊥Q ,20DE PB h ∴?=-=u u u r u u u r ,h =, ……… 5分 4
CE ∴==
…………………………………… 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得(0,2,2),(1,0,2)PC PB =-=-u u u r u u u r ,设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r
,
则 0,
n PC n PB ??=???=??r u u u r
r u u u r
.220,20y z x z -=?∴?-=?,取1z =,得(2,1,1)n =r . …………………… 9分 易知(0,2,0)AC =u u u r
是平面PAB 的法向量, …………………… 10分
cos ,n AC n AC n AC ?∴==
?r u u u r
r u u u r r u u u r …………………… 12分 则二面角A PB C --的正弦值为sin ,6
n AC =r u u u r . ……………………13分
F
z y
x
E D
C
B
P
A
20、解:(Ⅰ) ()f x 的定义域为(,)a +∞,2/22
1
1()()1x x a a f x x x x x a a
-+=-=--. …………… 2分 方程2
0x x a -+=的判别式14a ?=-. (1)若0?≤,即14
a ≥
时,在)(x f 的定义域(,)a +∞内,有/
()0f x ≥, ()f x ∴在定义域(,)a +∞上为增函数; ………………… 3分
(2)若0?>,即104
a <<
时,方程2
0x x a -+=有两个不同的实数根为:
12x x =
=12a x x <<. ()f x ∴
在(a
和)+∞上为增函数; ……………… 5分
在上为减函数. ………………… 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,当函数)(x f 存在极值时,1
04
a <<
, 且)(x f 在12,x x x x ==处取得极值. ………………… 8分 12121,x x x x a +==Q ,()f x ∴的所有极值之和为:
12()()()g a f x f x =+121211ln(
1)ln(1)22
x x a a a x a x =-+++-++ 121212212ln(
1)x x x x x x a a a x x ++=-+++211ln(1)a a a a a =-+++1
a a
=+. …… 10分 当104a <<
时,1()g a a a =+为减函数,()g a ∴的取值范围是17
(,)4
+∞. … 12分 21、解:(Ⅰ) 由椭圆方程可得,焦点坐标为1(1,0)F -,2(1,0)F . ………… 1分
当1k =-
,m =
时,直线AB
的方程为y x =-+ ……………2分
则可得2(1,0)F 关于直线AB
的对称点为/21)F . ……………3分 12PF PF ∴+
的最小值为:/
12F F == ………… 4分
(Ⅱ)(1)设点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y . 由原点O 到直线AB
的距离为
5
=22
4(1)5m k =+.① … 5分 将y kx m =+代入2
212x y +=,得222(12)4220k x kmx m +++-=, 222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m ∴?=-+-=-+>,
2121222
422
,1212km m x x x x k k -∴+=-=++. ………………… 6分
由已知,得220AF BF ?=u u u u r u u u u r
,即1212(1)(1)0x x y y --+=. ………………… 7分
1212(1)(1)()()0x x kx m kx m ∴--+++=,即221212(1)(1)()10k x x km x x m ++-+++=,
22
222
224(1)(1)101212m km
k km m k k
--∴+?+-?++=++, 化简,得2
3410m km +-=.② ………………… 8分
由①②,得22
2
413[1(
)]54m m m
-=+,即42111010m m --=,21m ∴=.0k 12 m k =??∴?=-??,满足22 8(21)0k m ?=-+>.AB ∴的方程为112y x =-+. ………… 9分 (2)由(1)可知,AB 是定值,当椭圆C 上的点Q 使得ABQ ?的面积最大时,点Q 到直线AB 的距离为最大,即点Q 为在直线AB 的下方平行于AB 且与椭圆C 相切的切点.设平行于AB 且与椭圆C 相切的切线方程为1(0)2y x n n =-+<,由221,2 1 2 y x n x y ? =-+????+=??得 2 2322202 x nx n -+-=,28120n ∴?=-+= ,n ∴=, (n =舍去),…… 11分 从而,可得Q 的坐标为(,33 Q - -. ……………………… 12分 22、解:(Ⅰ) 12a =Q ,1lg[(1)]lg[(2)]lg 20n n n a n a ++-+-=, 1(1)12(2)n n n a n a ++∴ =+,即1221 n n a a n n +=?++, …………………… 2分 1n a n ?? ∴??+?? 是以首项为112a =,公比为2的等比数列. ………………… 3分 121 n n a n -∴=+,即1(1)2n n a n -=+?. ………………… 4分 (Ⅱ) 1 (1)2n n a n -=+?Q , 2123242(1)2n n S n -∴=+?+?+???++?, 23122232422(1)2n n n S n n -=?+?+?+???+++?. 两式相减,得 23122222(1)2n n n S n --=++++???+-+? 12(21)2(1)221 n n n --=+-+?- 2n n =-?, 2n n S n ∴=?. ………………… 6分 2n n n S P a = Q ,n T = 122(1)21n n n n n P n n -?∴==?+?+ ,n T ==. ① 先证明:13521n n P P P P T -?????<. 方法一: 13521 13521 2462n n P P P P n --?????=???????Q , 2 222213521 13521()()()()()2462n n P P P P n --∴?????=??????? 22 1925(21)41636(2)n n -=??????? 135211 3572 1 n -??????= +, ………………… 8分 13521n P P P P -∴?????<13521n n P P P P T -?????<. ……………… 9分 方法二:用数学归纳法证明如下: (1)当1n =时,左边112P == ,右边1T ===, 12 ,∴左边<右边,即不等式成立. ………………… 7分 (2)假设当n k =时,不等式成立,即13521k P P P P -?????< 那么,当1n k =+时, 左边13521211352121 22 k k k k P P P P P P P P P k -+-+=??????=?????? + 2122k k +<==+ < ===1k T +==右边,∴左边<右边. ∴当1n k =+时,不等式也成立. ………………… 9分 13521n n P P P P T -∴?????<对n N * ∈都成立. ② 再证明:n n T T < < 设函数()f x x x =,则导函数/ ()1f x x =. 令/ ()0f x =,得cos 2 x = , ∴在(0,)4π上有/()0f x <,即()f x 在(0,)4 π 上单调递减. ()(0)0f x f ∴<=,即x x <在(0,)4 π 上恒成立. ……………… 11分 又04π < ≤ <,即n n T T . ………………… 12分 综上可得:13521n n n P P P P T T -?????<<.