高三数学一轮复习专题：函数与方程.doc
函数与方程
一．课标要求：
1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．命题走向
函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。 三．要点精讲
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数
))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的零点：
１）△＞０，方程02
=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(
0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：
①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；
②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；
即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；
从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2
+n 。
（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=
2
1
(p +q )。 若－
a
b
2
2)=m ，f (q )=M ；
若x 0≤－a b 2 b 2)=m ； 若－ a b 2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。 （3）二次方程f (x )=ax 2 +bx +c =0的实根分布及条件。 ①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小?a ·f (r )<0； ②二次方程f (x )=0的两根都大于r ???? ????>?>->-=?0)(, 2,042r f a r a b ac b ③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根??????? ??>?>?<- <>-=??; 0)(,0)(,2, 042p f a q f a q a b p a c b ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根?f (p )·f (q )<0，或f (p )=0(检验)或 f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ，q )内成立。 四．典例解析 题型1：方程的根与函数零点 例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) （2）设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。 解析： （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y =-x +3的图象(如图)。它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排 除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比 较困难了。实际上这是要比较0x 与2的大小。当x =2时，lg x =lg2， 3-x =1。由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C 。 （2）原方程等价于???? ???-=-->->->-x a x x x a x x )3)(1(0030 1 即? ??<<-+-=313 52 x x x a 构造函数)31(352 <<-+-=x x x y 和a y =，作出它们 的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得： ①当31≤ 13= a 时，原方程有一解； a ②当4 133< 13> a 时，原方程无解。 点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x +x =3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。 例2．（2005广东19）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+， (7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==。 （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性； （Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论。 解析：由f (2－x )=f (2+x ),f (7－x )=f (7+x )得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数, 由)14()4() 14()() 4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=??? ?+=-+=- )10()(+=?x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T 又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数; (II)由)14()4() 14()() 4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=??? ?+=-+=- )10()(+=?x f x f (III) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f 故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[－2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[－2005,2005]上有802个解。 点评：解题过程注重了函数的数字特征“(1)(3)0f f ==”，即函数的零点，也就是方程的根。 题型2：零点存在性定理 例3．（2004广东21）设函数()ln()f x x x m =-+，其中常数m 为整数。 （1）当m 为何值时，()0f x ≥； （2）定理：若函数()g x 在[,]a b 上连续，且()g a 与()g b 异号，则至少存在一点 0(,)x a b ∈，使得0()0g x = 试用上述定理证明：当整数1m >时，方程()0f x =在2,m m e m e m -??--??内有两个实根。 解析：（1）函数f (x )=x －ln(x +m),x ∈(－m,+∞)连续，且 m x x f m x x f -==+- =1,0)(,1 1)(''得令 当x ∈(－m,1－m)时,f ’ （x ）<0,f (x )为减函数,f (x )>f (1－m) 当x ∈(1－m, +∞)时,f ’ （x ）>0,f (x )为增函数,f (x )>f (1－m) 根据函数极值判别方法，f (1－m)=1－m 为极小值，而且 对x ∈(－m, +∞)都有f (x )≥f (1－m)=1－m 故当整数m ≤1时，f (x ) ≥1－m ≥0 (2)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f (1－m)=1-m<0, 函数f (x )=x －ln(x +m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数. , )1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m e f m e m m e m e m e f m m m m m -->>=+---=------ 由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使 而当整数m>1时， ),1121(0 32 ) 12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-?>>--+ +>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m Θ 类似地，当整数m>1时，函数f (x )=x -ln(x +m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f (1-m) 与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使 故当m>1时，方程f (x )=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。 点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。 例4．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()( C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()( 解析：由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项D 正确，见实例“1)(2 +=x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其不存在实数解” 。 点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。 题型3：二分法的概念 例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（） A ．“二分法”求方程的近似解一定可将)(x f y =在[a ,b ]内的所有零点得到； B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(x f y =在[a ,b ]内的零点； C ．应用“二分法”求方程的近似解，)(x f y =在[a ,b ]内有可能无零点； D ．“二分法”求方程的近似解可能得到0)(=x f 在[a ,b ]内的精确解； 解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。 点评：该题深入解析了二分法的思想方法。 例6．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。那么所取误差限ξ是（ ） A ．0.05 B ．0.005 C ．0.0005 D ．0.00005 解析：由四舍五入的原则知道，当)4455.0,4445.0[10∈x 时，精度达到445.010=x 。此时差限ξ是0.0005，选项为C 。 点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。 题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解 例7．借助计算器，用二分法求出x x 32)62ln(=++在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。 解析：原方程即023)62ln(=+-+x x 。 令23)62ln()(+-+=x x x f ， 用计算器做出如下对应值表 观察上表，可知零点在（1，2）内 取区间中点1x =1.5，且00.1)5.1(-≈f ，从而，可知零点在（1，1.5）内； 再取区间中点2x =1.25，且20.0)25.1(≈f ，从而，可知零点在（1.25，1.5）内； 同理取区间中点3x =1.375，且0)375.1( 点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。 例8．借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确到1.0）。 分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？ 略解：图象在闭区间a [，]b 上连续的单调函数)(x f ，在a (，)b 上至多有一个零点。 点评：①第一步确定零点所在的大致区间a (，)b ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点 例9． 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明。 证明：由题意可知 ))(()(21x x x x a x x f --=-， a x x x 1021< <<<Θ, ∴ 0))((21>--x x x x a , ∴ 当时，x x f >)(。 又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <, 综上可知，所给问题获证。 点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式。 例10．已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x . （1）如果4221<< 解析：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x 。 （1）由0>a 及4221<< ?><0 )4(0 )2(g g ，即???>-+<-+034160124b a b a ， 即??? ???? <+?--<-?+, 043224,043233a a b a a b 两式相加得 12 b ，所以，10->x ； （2）由a a b x x 4)1()(22 21--=-, 可得 1)1(122+-=+b a 。 又01 21>=a x x ，所以21,x x 同号。 ∴ 21 )1(12202 2 1b a x x 或?????+-=+<<-<1 )1(120 22 12b a x x , 即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或??? ????+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g 解之得 41< b 或4 7 >b 。 点评：条件4221<< 题型6：一元二次函数与一元二次不等式 例11．设，若，，, 试证明：对于任意，有。 解析：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1, ∴ ()()()()0)),1()1((2 1 ),0211(21f c f f b f f f a =--=--+= , ∴ ()()()()()2 22102121x f x x f x x f x f -+? ?? ? ??--+???? ??+=. ∴ 当01≤≤-x 时， ()()()(). 4 5 45)21(1)1(22122102 121222 222 222 22≤++-=+--=-+???? ??-+???? ??+-=-+-++≤-?+-?-++?≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f 当10-≤≤x 时， ()()()()222102 121x f x x f x x f x f -?+-?-++?≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+??? ? ??+-+???? ??+= . 4 545)21(1 22≤+--=++-=x x x 综上，问题获证。 点评：本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,。 例12．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有 解析：由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(， ∴ )0()),1()1((2 1 )),0(2)1()1((21f c f f b f f f a =--=--+= ， ∴ ()2 221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+? ?? ? ??--+???? ??+=。 由时，有，可得 , 1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f 。 ∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f , ()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f 。 （1）若[]2,22-?- a b ，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ))2(,)2(max()(max f f x f -= ∴ 此时问题获证. （2）若[]2,22-∈- a b ，则当[]2,2-∈x 时， )2,)2(,)2(max()(max ?? ? ??--=a b f f f x f 又()72411214)1()1(2022422<=+?+≤--?+=?+≤-=?? ? ??-f f a b f b a b c a b c a b f ， ∴ 此时问题获证。 综上可知：当时，有。 点评：研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，)1(-f ，)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。 要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值。 题型7：二次函数的图像与性质 例13．（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y =ax 2 +bx 与指数函数y =（ a b ）x 的图象只可能是（ ） 解析一：由指数函数图象可以看出0 2 4a b ，其顶点坐标为（－a b 2，－a b 42），又由0 1 <－a b 2<0.观察选择支，可选A 。 解析二：求y =ax 2 +bx 与x 轴的交点，令ax 2 +bx =0，解得x =0或x =－ a b ，而－1<－a b <0.故选A 。 点评：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。 例14．（2002全国高考题）设a ∈R ，函数f (x )=x 2 +|x －a |+1,x ∈R. （1）讨论f (x )的奇偶性 （2）求f (x )的最小值. 解：（1）显然a =0时，f (x )为偶函数， 当a ≠0时，f (a )=a 2 +1, f (－a )=a 2 +2|a |+1 f (a )≠f (－a ), f (a )+f (－a )≠0 ∴ 此时f (x )为非奇非偶函数. （2）首先应先去掉绝对值，再进行讨论. ①当x ≤a 时，4 3)2 1(1)(2 2 ++-=++-=a x a x x x f . 若2 1 ≤ a ,则f (x )在区间（-∞，a ]上单调递减， ∴ f (x )的最小值为f (a )=a 2 +1.(如图(I)) 若21> a ，则f (x )在区间（-∞，a ]上的最小值为a f +=4 3 )21(（如图II). ②当x ≥a 时，4 3)2 1(1)(2 2 +-+=+-+=a x a x x x f ， 若21-≤a ，则f (x )在[a ,+∞]上的最小值为a f -=-43 )21(（如图III ）。 若2 1 - >a ，则f (x )在[a ,+∞]上单调递增。 则f (x )在[a ,+∞]上的最小值为f (a )=a 2 +1.(如图IV)。 综上，当21-≤a 时，f (x )最小值为a -4 3 。 当21 21≤<- a 时，f (x )最小值为a 2+1。 当21> a 时，f (x )最小值为4 3 +a 。 点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想。 题型8：二次函数的综合问题 例15．（2005浙江文20）已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+。 (Ⅰ)求函数()g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--； (Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围。 解析：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则 000 0,,2 .0,2 x x x x y y y y +?=?=-???? +=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上 ∴()2 2 2 22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()2 1210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2 210x x -+≤，此时不等式无解。 当1x <时，2 210x x +-≤，解得112 x -≤≤。 因此，原不等式的解集为11,2 ??-??? ? 。 （Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+ ①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数， 1λ∴=- ②11.1x λ λλ -≠-= +当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ λλλ-<-≤-<-+当时,解得 ⅱ）111,10.1λ λλλ ->-≥--<≤+当时,解得 0.λ≤综上， 点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 例16．已知函数x z a x f 2 2)(- =。 （1）将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到函数)(x g y =，求函数)(x g y =的解析式； （2）函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，求函数)(x h y =的解析式； （3）设)()(1 )(x h x f a x F +=，已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ，求实数a 的取值范围。 解析：(1)()();22 22 2 ---=-=x x a x f x g (2)设()x h y =的图像上一点()y x P ,，点()y x P ,关于1=y 的对称点为()y x Q -2,，由点Q 在()x g y =的图像上，所以 y a x x -=- --222 2 2 ， 于是 ,22 22 2 --+-=x x a y 即 ();22 222 --+-=x x a x h （3）22)14(2411)()(1)(+-+?? ? ??-=+= x x a a x h x f a x F 。 设x t 2=，则21 444)(+-+-= t a t a a x F 。 问题转化为：7221 444+>+-+-t a t a a 对0>t 恒成立. 即 ()0147442 >-+--a t t a a 对0>t 恒成立. （*） 故必有044>-a a .（否则，若044<-a a ，则关于t 的二次函数() 14744)(2 -+--=a t t a a t u 开口向下，当t 充分大时，必有()0 a 时，显然不能保证（*）成立.） ，此时，由于二次函数()14744)(2 -+--= a t t a a t u 的对称轴0847>-= a a t ，所以，问题等价于0 ????<-?-?->-0144447044a a a a a ， 解之得： 22 1 < 014,044>->-a a a ，故21 444)(+-+-=t a t a a x F 在a a a t --=4) 14(4取得最 小值()214442 +-?-=a a a m 满足条件。 点评：紧扣二次函数的顶点式,44222 a b ac a b x a y -+ ??? ? ? +=对称轴、最值、判别式显合力。 五．思维总结 1．函数零点的求法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 2．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。 （1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。 （2）数形结合：二次函数()0)(2 ≠++=a c bx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美 的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数()0)(2 ≠++=a c bx ax x f 在区间]2,(a b - -∞和区间),2[+∞- a b 上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。 2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程教案 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f（x)(x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f(x）（x∈D）的零点．（2）三个等价关系 方程f(x）＝0有实数根?函数y＝f(x）的图象与x轴有交点?函数y＝f(x）有零点．(3）函数零点的判定（零点存在性定理) 如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f（b)〈0，那么,函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点,即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与零点的关系 Δ>0Δ＝0Δ〈0 二次函数y＝ax2＋bx ＋c（a〉0)的图象 与x轴的交点（x1，0),(x2，0）(x1,0）无交点 零点个数210 概念方法微思考 函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f（x)只有一个零点? 提示不能． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”） （1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×） （2）函数y＝f（x）在区间（a，b)内有零点(函数图象连续不断），则f（a)·f（b）<0.（×） （3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．（√） （4）f(x）＝x2,g(x）＝2x，h（x)＝log2x，当x∈(4，＋∞）时，恒有h(x)〈f（x) 高三二轮复习专题三 函数与方程及函数的应用 主备教师：xxx 审核：xxx 班级___________ 姓名____________ 【考试要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3、了解函数模型的广泛应用。 【高考试题回放】 1、（2011天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ． ()2,1-- Ｂ． ()1,0- Ｃ． ()0,1 Ｄ． ()1,2 2、（2011山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3 ()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 3、（2011湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系： ()30 02 t M t M -=，其中 M 为0=t 时铯137 的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克 4、（2011北京理6）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件 产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16 【课内探究】探究一、确定函数的零点 例1.设函数1()ln (0)3 f x x x x = ->，则f(x)（ ） A ．在区间1[,1],(1,)e e 内均有零点 B.在区间1[,1],(1,)e e 内均无零点 C.在区间 1 [,1]e 内有零点，在区间（1，e ）内无零点 D ．在区间 1 [,1]e 内无零点，在区间（1，e ）内有零点 函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 高一数学必修一函数与方程知识梳理 函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，以下是函数与方程知识梳理，请大家学习。 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy 的零点。 (2)方程0)(xf有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点 ①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。 ③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则 0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 (1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab 内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个 数)确定方法 ①代数法：函数)(xfy的零点0)(xf的根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。(3)零点个数确定 0)(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根; 0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根; 0)(xfy无零点0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定. 3、二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2)用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度 ②求区间(,)ab的中点c; ③计算()fc; (ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点; (ⅱ) 若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac (ⅲ) 若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的 圆梦教育中心高考数学专题 1. 若不等式x2+ax+1>0对于一切xe(O ,刃成立，则a的最小值是(). A. 0 B . — 2 C .—号 D . — 3 2. 已知函数f(x)=log a［&一?门对任意xw ［二，+1时，f(x)的递减区间为(). 5_ 5_ A.［车，+8) B.(l , 4 ］ 7_ 7_ C.［车，4-oo) D. ( 1 , T］ 4. 已知f(x)=asinx+b^/^- +4 (a, beR),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是(). A. - 5 B. - 3 C. 3 D. 5 5?己知卫各上J=l(a, b, ce R),则有(). ja A. b2>4ac B. b2>4ac C. b2<4ac D. b2<4ac 6. 方程lgx+x=3的解所在的区间为_______ o A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3, + -) 7. f(x)定义在R 上的函数,f(x+1)=-缶，当xw［—2,T］时，f(x)=x, 则f(-3.5)为() A.—0.5 B. — 1.5 C.1.5 D.—3.5 PA丄平而丄平而0, A,B为垂足，PA = 4,PB = 2,则AB 8.设P是60°的二而角a-l-0内一点, 的长为( ) A. 2^3 B. 2^5 C? 2>/7 D?4迥 9. 若函数Xx)=(l-m)?-2/7U-5 是偶函数，则7U) () A.先增后减 B.先减后增C?单调递增D?单调递减 10. 对任意非负实数x,不等式厂一皿)Sa恒成立，処I实数a的最小值是(). 1 2 3 A. 2 B. 2 C. D.才 专 题 函数与方程综合复习 教学目标 理解函数零点的概念，掌握函数零点的求法 理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握 运用二分法求简单方程近似解的方法。 重点、难点 函数零点与方程根的关系 运用二分法求方程的近似解，用二分法求方程的近似解的步骤 考点及考试要求 结合二次函数的图像，了解函数的零点和方程根的关系，判断一二 次函数根的存在性及根的个数 （2)根据具函数的图像，能够用二分法求相应方程的近示解 教学知识框架 1理解二次函数根与系数的关系 2了解函数的零点与根的关系 3掌握二分法求相应方程的近示解 考点一:方程的根与函数的零点 典型例题 1二次函数的性质的应用 例1.已知函数212()325 f x x x =--- （1）求函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点坐标 （2） 求函数的单调区间、最值、零点 （3)设图像与x 轴相交与（x 2，0）（x 1，0）求12x x -的值 (4) 已知71815(),()254 f f -=-不计算函数值，求的值 (5)不计算函数值，试比较115f ()()44 f --与的大小 2一次函数与二次函数的零点 例2.函数()f ()1-1,1x kx =+在区间上存在零点，求k 的取值范围 例3二次函数y=ax 2+bx+c 中，a.c <0则函数的零点的个数是 3函数零点的应用 （1)有关方程根的个数的应用 例4.已知对于一切实数x ∈R ，函数f(x)=f(x-2)成立，且方程f(x)=0有五个不同的实根，则这五个实根的和为 （2）利用函数零点解不等式 例5.二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的部分对应值如下表 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax 2+bx+c >0的解集是 高三文科数学三角函数专题测试题 1．在△ABC 中，已知a b ＝sin A cos B ，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) A . 6 B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C . 3 D . 32 在△ABC 中， AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2 ＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A 高一数学必修一公式 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集 合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋, 大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与 B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子 集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 高三数学专题复习（函数与方程练习题） 一、选择题 1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（ ） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］ 2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（ ） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ? （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ? （a ，b ） 3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋3 2 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2 π］∪（65π，π） D 、［0，2 π ］∪［32π，π） 4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝1 3 2+-m m ，则m 的取 值范围为（ ） A 、m ＜ 32 B 、m ＜32且m ≠－1 C 、－1＜m ＜32 D 、m ＞3 2 或m ＜－1 5、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（ ） A 、f (－1)＜f (3) B 、f (0)＞f (3) C 、f (－1)＝f (3) D 、f (0)＝f (3) 6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（ ） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定 7、函数y ＝log 2 1 (x 2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（ ） A 、［22 ，＋∞］ B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］ 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或 )A B ? A 中的任一元素都属 于B A ?(1)A A ?? (2) A C ?，则B C ?且B A ?若(3) A B =，则B A ?且B A ?若(4) A(B) 或 B A 真子集 A ≠?B （或B ≠ ?A ） B A ?中至少 B ，且有一元素不属于A 为非空子集） A （A ≠ ??）1（ A C ≠ ?，则 B C ≠ ?且A B ≠ ?若(2) B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素都属 于B ，B 中的任一元素 都属于A B ?(1)A A ?(2)B A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2个子集，它有21-个真子集，它有21-个非空子集，它有22-非空真 子集. 【1.1.3】集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且 }x B ∈ （1） A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或 }x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A 补集 U A e {|,}x x U x A ∈?且 ()U A A U =U e2 ()U A A =? I e1 （1不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> ， ||x a <看成一个整体，化成 ax b +把 型不等式来求解 ||(0)x a a >> （2()()()U U U A B A B =I U 痧 ?()()() U U U A B A B =U I 痧? 人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（） 2． 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（） 3． A. B. C. D. 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数? ??>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)( 2>++=a ax ax x f 若0,2121=+ 专题七：函数与方程思想 【思想方法诠释】 函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点． 1．函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等． 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 3．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x)=0，就是求函数y= f (x)的零点，解不等式f (x)>0(或f (x)<0)，就是求函数y= f (x)的正负区间，再如方程f (x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y= f (x)-g(x)与x轴交点问题，方程f (x)= a有解，当且仅当a属于函数f (x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要． 4．函数与方程思想解决的相关问题 （1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： ①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； ②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的． （2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： ①解方程或解不等式； ②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用； ③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系； ④构造方程或不等式求解问题． 基本初等函数、函数与方程专题 1．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( ) 解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln [(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D ．故选A ． 2． 若0＜a ＜b ＜1，m ＝a b ，n ＝b a ，p ＝log b a ，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确的是( ) A ．n ＜m ＜p __ B ．m ＜n ＜p C ．p ＜m ＜n D ．p ＜n ＜m 解析：选B 由0log b b ＝1，而0 函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点 （1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数：()2 y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x →+∞，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x →+∞（或-∞）时，()f x →常 函数与方程（1） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=2x+5的零点是________ 2、已知关于x 的一元二次方程2x 2+px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是_______ 3、函数y=-x 2+8x-16在区间[3,5]上零点个数是____ 4、设函数?? ?-∞∈-+∞∈-=)1,(,2),1[,22)(2x x x x x x f ，则函数41)(-x f 的零点是______ 5、函数f(x)=ax+b 有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是_______ 6、定义在R 上的偶函数y=f(x)在[0，+∞)上单调递减，函数f(x)的一个零点为2 1，则不等式f(log 4x)<0的解集是_______ 7、求证：方程5x 2-7x-1=0的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。 8、已知函数f(x)=2(m-1)x 2-4mx+2m-1 （1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点； （2）如果函数的一个零点在原点，求m 的值。 函数与方程（2） 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______ 1、函数f(x)=3x-16在区间[3,5]上有____个零点 2、已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x 与f(x)的对应值表： 则函数f(x)存在零点的区间是______ 3、函数x x x f 2)2ln()(-+=的零点所在区间是（n,n+1），则正整数n=______ 函数知识点 一．考纲要求 注：ABC分别代表了解理解掌握 二．知识点 一、映射与函数 1、映射f：A→B 概念 （1）A中元素必须都有象且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2、函数f：A→B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域A 和值域B都是非空数集。函数y=f(x)是“y是x 的函数” 这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f 是表示对应法则， 它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与 x 轴至多有一个公共 点，但与 y 轴的公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决 定作用的 要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。判断方法如下： 1、作差（商）法（定义法） 2、导数法 3、复合函数单调性判别方法（同增异减） 三．函数的奇偶性 ⑴偶函数：)()(x f x f =- 设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1) () (=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=- 设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时， 1)() (-=-x f x f ※四．函数的变换 ①()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于y 轴对称得到的新的图像 就是()y f x =-的图像； -a -c -b d c b a y=f(x) o y x ? -a -c -b d c b a y=f(-x) o y x ②()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是()y f x =-的图像； 2019学年数学高一上册函数与方程专项练习方程，是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号=。精品准备了数学高一上册函数与方程专项练习，具体请看以下内容。 一、选择题： 1.(2019课标全国)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( ) A.(，0) B.(0，) C ) D.(，) 444224 2.方程|x2-2x|=a2+1 (a0)的解的个数是( ) A.1 B 2 C.3 D.4 3.(2019福建)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A.(-1,1) B.(-2,2) C (-，-2)(2，+) D.(-，-1)(1，+)2??x+2x-3，x0，4.函数f(x)=?的零点个数为()?-2+lnx，x0? A.3 B 2 C.1 D.0 5.已知三个函数f(x)=2x+x，g(x)=x-2，h(x)=log2x+x的零点依次为a，b，c，则( ) A.a 二、填空题(每小题5分，共15分) 116若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数 g(x)=bx2-ax-1的零点是_______.(答案- 23 7.已知函数f(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k，k+1) (kN*)，则k的值为________.(答案3) 8.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)=2014x+log2 014x，则在R 上，函数f(x) 零点的个数为________.答案3 9. (2019深圳模拟)已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+ln x，h(x)=x-x-1的零点分别为x1， x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________.答案x1 2??x-x-1，x2或x-1，10.若f(x)=?则函数g(x)=f(x)-x的零点为____________.答案12或1 ?1，-1 11.(13分)已知函数f(x)=4x+m2x+1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点. (m=-2时，f(x)有唯一零点，该零点为x=0.) 12.下列说法正确的有________： ①对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点. ②函数f(x)=2x-x2有两个零点. ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0. ④当a=1时，函数f(x)=|x2-2x|-a有三个零点. B组专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分) 1x1.已知函数f(x)=log2x-??3，若实数x0是方程f(x)=0的解，且0 A恒为负B.等于零C.恒为正D.不小于零 二、填空题(每小题4分，共12分) 2.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间 [1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.答案7 专题六 函数与方程及函数的应用 1. [2014·沈阳模拟]若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h(cm 与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( ) 2. [2014·长沙模拟]已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－13 x 3 ＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件 3. [2014·长春模拟]某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝ 4.1x －0.1x 2 ，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌汽车，则能获得的最大利润是( ) A. 10.5万元 B. 11万元 C. 43万元 D. 43.025万元 4. [2014·上海模拟]某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A. 略有盈利 B. 略有亏损 C. 没有盈利也没有亏损 D. 无法判断盈亏情况 5. [2014·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( ) A. 3000元 B. 3800元 C. 3818元 D. 5600元 6．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利( ) A ．25元 B ．20.5元 函数与方程典型例题习题 例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点， （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的零点； （3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系． 分析：可设函数解析式为2 y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ． 【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++， 由85937c a b c a b c =-??++=-??++=?解得128a b c =??=??=-? ， ∴2()28f x x x =+-． （2）令()0f x =得2x =或4-， ∴零点是122,4x x ==-． （3） (2)(4)0f f =， (1)(3)97630f f -=-?=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>． 点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <． 例2：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围． 分析： 【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3 ，符合题意； （2）0k ≠时，(0)1f =， 0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧； 0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k ??=--≥??-->??，解得01k <≤ 综上可得k 的取值范围为(,1]-∞. 追踪训练一 1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为 （ D ） ） A .1 B .0 C .2或0 D .2 2．已知01a <<则方程0log =+x a a x 的解的个数是（ A ） A .1 B .2 C .3 D .不确定 3．直线2 3+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ） A . 0，41,21- B .0，4 1- C .41,21- D .0，4 1,21- 4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是(1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5． 5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113 k ≥ . 6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7-． 专题01 函数与方程思想 思想方法诠释 1．函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想． 2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想. 【典例讲解】 要点一 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [解析] (1)当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a 2 －1. 设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝????t －a 2＋1＝????t －t ＋ln t 2＋1＝????t 2－ln t 2 ＋1.设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为3 2，故选D. (2)因为函数f (x )＝log 3(9x ＋t 2)是定义域R 上的增函数，且为“优美函数”，则f (x )＝x 至少有两个不等 实根，由log 3(9x ＋t 2)＝x ，得9x ＋t 2＝3x ，所以(3x )2－3x ＋t 2＝0有两个不等实根．令λ＝3x (λ>0)，则λ2－λ＋t 2 ＝0有两个不等正实根，所以????? Δ＝1－4t 2>0，t 2>0， 解得－12【新教材】 新人教A版必修一 函数与方程 教案
专题三函数与方程及函数的应用
高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选含答案
高一数学必修一函数与方程知识梳理
函数与方程练习题.doc
专题：函数与方程(章节练习)
高三文科数学三角函数专题测试题(后附答案)
高一数学必修一公式
(word完整版)高三数学专题复习(函数与方程练习题)
高三文科数学知识点总结
人教版数学必修一函数与方程练习题
专题7：函数与方程思想(理)
基本初等函数、函数与方程专题
全国高考数学复习微专题：函数的图像
高一数学函数与方程练习题
高考复习文科函数知识点总结
数学高一上册函数与方程专项练习
高三数学二轮复习汇编 专题六 函数与方程及函数的应用(无答案)(1)
函数与方程经典例题及答案
专题01 函数与方程思想(解析版)
相关文档
- 中考应用题专题函数与方程作业及答案
- 75高三数学专题复习(函数与方程练习题)-875
- 专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程
- 2015届高考数学(文)二轮专题课件：1.3函数与方程及函数的实际应用
- 函数与方程专题
- 专题：函数与方程
- 2020高考数学二轮微专题函数与方程考点考向考题点拨(50页)
- 专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程
- 函数与方程思想
- 专题一 集合,函数与方程(含详细解析)
- 专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程 (1)
- 2012年高考真题理科数学函数与方程专题
- 专题2.3 函数与方程(解析版)
- 高三数学 专题21 函数与方程思想课件 理
- 基本初等函数、函数与方程专题
- 高中数学竞赛专题一函数与方程思想
- 高三数学专题复习(函数与方程练习题)
- 专题时函数与方程
- 专题：函数与方程(章节练习)
- 专题01 函数与方程思想(解析版)