谈谈数学中的间接证明

谈谈数学中的间接证明

山东省沂水县高桥镇初级中学王瑞辉 276400

许多数学命题可以按照从条件推导结论的顺证法证明，而有些命题用顺证法不易证明或根本不可能；这时就需要我们证明和这个命题等价的命题，从而间接地证明了原来命题，这种证明方法叫间接证明。间接证明常用的方法有反证法和同一法两种。现在我们谈一谈这两种方法的应用及注意事项。

一、反证法

所谓反证法就是从反面入手，即“?假设结论不成立，从假设出发，进行正确的推理，得出明显的矛盾，因此假设错误”，于是间接地证明了原来命题的正确性。

其实反证法就是这样一个思维过程：我们假设“结论不成立”，结合某些已知条件经过正确的推理，得出新结论与“已知条件”或“公理”或“已知的定理”或“定义”等相矛盾。这个矛盾是怎样产生的呢？推理过程没有错、已知条件没有错、已知公理、定理没有错、定义没有错；这样唯一有错的是一开始的“假设结论不成立”，而“结论成立”和“结论不成立”是对立的，两者必然有一个正确，既然“结论不成立”有错误，这就足以证明结论必然成立了。

这里就用反证法时，如何否定结论、证明过程中出现的矛盾的几种情况和何时宜用反证法分别举例说明。

（1）、如何否定结论

否定结论有两种方法：(i)、直接假设结论不成立。（ii）、假设结论的反面不成立。

（2）、证明过程中出现的几种矛盾类型。

（i）、在证明过程中得到的新结论与公理矛盾。

例１、求证：两条直线相交只有一个交点。

已知：直线m,n相交于点P。求证：直线m,n只有一个交点P。

证明：假设“直线m,n只有一个交点P”不成立，则直线m,n不止有一个交点P，不妨设直线m,n有两个交点，?设另一个交点为Q，这时有两条不同的直线m,n同时经过两个不同的点P，Q。即P，Q两点确定了两条直线m,n。这与公理“两点确定一条直线”相矛盾。所以假设错误，?即m,n的交点不能多于一个；所以“两条相交直线只有一个交点”。

（ii）、在证明过程中得到的新结论与已知定理相矛盾。

例２、求证：在一个三角形中不可能有两个钝角。

已知：∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ是△ＡＢＣ的三个内角。

求证：∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ中不可能有两个钝角。

证明：假设△ＡＢＣ中有两个钝角；不妨设∠Ａ、∠Ｂ都为钝角；

则?<∠∠+∠180B A ，此时?>∠+∠+∠180C B A 。这与定理“三角形的内角和为180°”相矛盾。因此假设错误；所以“在一个三角形中不可能有两个钝角”。

（iii ）、在证明过程中得到的新结论与“已知条件”相矛盾。

例３、圆内两条非直径的弦不可能互相平分。

已知：如图AB 、CD 为⊙O 内两条非直径的弦，

且AB ，CD 相交于占Ｅ。

求证：AE ＝BE 和CE ＝DE 不能同时成立。

证明：假设AE ＝CE 和BE ＝DE 同时成立，则四边形ACBD 为平行四边形，则DBC DAC ∠=∠。又由于四边形ACBD 为圆内接四边形，则?=∠+∠180DBC DAC ；所以?=∠90DBC 。所以DC 为直径。这与已知条件“AB 、CD 为Ｏ两条非直径的弦”相矛盾。因此假设错误；所以“圆内两条非直径的弦不可能互相平分。”

（iv ）、证明过程中得到的新结论与“临时性的假设”相矛盾。

例４、求证：质数有无限多个。

证明：假设质数有有限个，不妨设质数仅有n 个；它们分别为n x x x x ,,,321 。则数1321+n x x x x 显然均不能被n x x x x ,,,321 整除。这时该数要么是不同于n x x x x ,,,321 的质数；要么是一个能被n x x x x ,,,321 以外的质数整除的数；?不管哪一种情况，这时出现了n+1个质数。这与我们的假设“只有n 个质数”相矛盾。 因此假设错误，所以“质数有无限多个”。

（v ）、证明过程中得到的新结论 “前后”自相矛盾。

例５、求证：若m,n 是奇数，则方程02=++n mx x 不可能有整数根。。

证明：假设方程02=++n mx x 有整数根21,x x ；

则由根与系数的关系知???=-=+n

x x m x x 2121 E C A D B

由n 为奇数，且由假设知21,x x 为整数；可得21,x x 均为奇数（该结论用反证法易证得，若21,x x 中有一个为偶数，则21x x 为偶数，即n 为偶数；这与已知n 为奇数相矛盾）；这时21x x +＝奇数＋奇数＝偶数，由m x x -=+21得m 为偶数，而已知m 为奇数；这时出现了“偶数＝奇数”的矛盾。所以方程02=++n mx x 没有整数根。

（3）、从命题的结论看，下列几种类型宜用反证法。

（i ）、存在性命题（结论中涉及“至少..”或“至多...”）

例6、求证：13个人中至少有两个人同一月生日。

证明：假设13个人中不存在两个人同一月出生，则这13个人的生日均不在同一个月；这时出现一年中有13个月，这与“一年有12个月”相矛盾。因此假设错误；所以13个人中至少有两个人在同一个月出生。

（ii ）、结论中证唯一性的命题。如例１

（iii ）、结论中涉及到“无限”的。如例４

（iv ）、结论以“否定判断”出现的。

例７、求证：数列1111,,1111,111,11 中没有完全平方数。

证明：假设数列中的某一个数1111 =x (k 个1)为完全平方数，?于是存在整数a ，使得2a x =；由x 为奇数得a 为奇数，不妨设12-=n a (n 为整数)；则()()22221481421a n n n n n =-=-+=-+;则x 是形式为4n+1的数；而11...1是形式为4n+3的数，这个矛盾说明111...1不能为完全平方数。

（v ）、对于直接证法难以证明或说服力不强或证结论反面要比证结论更简洁时宜用反证法。

例８、已知：z y x ,,为实数，且1=++yz xz xy 。求证：xyz z y x =++一定不成立。 证明：假设xyz z y x =++成立，则()1-=+xy z y x

(1)当01≠-xy 时，1-+=xy y x z ，把1

-+=xy y x z 代入1=++yz xz xy 得012222=+++y x y x ，由平方的非负性知该结论显然不成立。

（2）当01=-xy 时，结合假设得0=+y x ，即y x -=代入1=++yz xz xy 后化简

得

12-=y ,显然该结论也不成立。

综合（1）和（2）得假设不成立；所以xyz z y x =++一定不成立。

二、同一法

我们在证明某个图形具有某种性质时，直接证明不易，可运用同一法。

只有符合同一法则的命题才能运用同一法，如果一个命题的条件和结论都是唯一存在的，而且所指的概念是同一个概念，同时这个命题的逆命题的条件和结论也都是唯一存在的，而且所指的概念是同一个概念，这样的命题和它的逆命题等价，这时我们称这个命题符合同一法则，（或同一原理）。

运用同一法的一般步骤是：

1、 要证明某图形具有某种性质，我们先作一个具有要证的性质的图形；

2、 证明所作的图形符合已知条件；

3、 同时证明所作的图形与已知的图形是全等的或重合的。

4、 从而说明原图形具有某种性质。

现举例说明同一法的运用：

例9、运用同一法证明“勾股定理的逆定理”

已知：如图在?ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别

为a,b,c ；且222c b a =+。 求证：∠=∠TR C 。

证明：作、、、C B RT A ?，使得.BC C B ,AC C A TR B C A a b ＝＝＝＝，＝、、、、、、、∠∠

由勾股定理得22222B A

AB c b a ==+＝、、，所以AB B A ＝、、；所以、、、

C B A ABC ??? （SSS ）

而，所以＝、、、∠∠TR B C A ∠=∠TR C 。

三、反证法与同一法的联系与区别

反证法和同一法都是间接证法，但反证法是利用原命题和它的逆否命题的等价性来证明，而同一法是证明符合同一法则的命题，即原命题和它的逆命题等价的命题。由于所依赖的根据不同，证法所适用的范围也不同，同一法只适用符合同一法则的命题，这样的命题较少；由于任何命题均和它的逆命题等价，所以反证法适用于各种命题，对于能用同一法证明的命题也能够用反证法证明，但能够用反证法证明的命题不一定能够用同一法证明。 B C b c A

参考书目：王连笑著<<反证法漫谈>>

柯召、孙琦编著<<数论讲义>>