2021年广西柳州高中、南宁二中两校联考高三上学期第一次考试数学(理)试题
2021年广西柳州高中、南宁二中两校联考高三上学期第一次
考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{1,0,1}A =-，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{1,0,1}-
B ．{1,1}-
C ．{0}
D ．?
2．已知复数()()121z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．5人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A ．12
B ．36
C ．72
D ．120
5．如图是2021年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论
①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；
②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．函数3
()x x
x f x e e
-=+ 在[6,6]-的图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．要得到函数()cos(2)6
f x x π
=-的图像，只需将函数()sin 2g x x =的图像（ ）
A ．向左平移6
π
个单位 B ．向右平移6
π
个单位 C ．向左平移
3π
个单位 D ．向右平移
3
π
个单位 8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知等比数列{}n a 满足11
4a =,()35
441a a a =-,则2a =（ ） A ．2
B ．1
C ．
12
D ．
18
10．定义在R 上的函数()f x 满足：①()1y f x =-的图象关于直线1x =对称；②对任意的(]
12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，不等式
()()1212
0f x f x x x ->-成立．令1
32a =，
4log 3b =，8log 5c =，则下列不等式成立的是（ ）
A ．()()()f b f c f a >>
B ．()()()f c f a f b >>
C ．()()()f b f a f c >>
D ．()()()f c f b f a >>
11．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0,0a b >>）的右焦点为,,F A B 是双曲线的一条渐
近线上关于原点对称的两点，0AF BF ?=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B
C ．2
D 12．已知向量,,a b c 满足1=a ,3b = ,3
2
a b ?=- ,,30a c b c ?--?=，则c 的最大值等于（ ）
A ．
B ．7
C ．2
D ．2
二、填空题
13．已知函数()(,)x f x ae b a b R =+∈在点(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+，则
a b -=_______．
14．设实数,x y 满足约束条件220402
x y x y y --≤??+-≥??≤?
，则y
z x =的最大值是_______.
15．5
112x x x x ????+- ????
???的展开式中常数项为______． 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．
三、解答题
17．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．
cos 0A A +=
，a =
b =
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ?的面积．
18．自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？ 19．如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，1
2
AB BC AD ==
，E 为AD 中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ?沿BE 翻折到图2中1A BE ?的位置得到四棱锥
1A BCDE -．
（1）求证：1CD A C ⊥ （2
）若1,2
A C A
B BE ==，求二面角1B A E D --的余弦值． 20．
已知函数3
21()3
f x x ax bx =
++，且'(1)0f -=． （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点
1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．
21．已知动圆M 过定点()2,0A 且在y 轴上截得的弦长为4。 （1）求动圆M 的圆心M 的轨迹Γ的方程；
（2）过点A 的动直线与曲线Γ交于,B C 两点，点D 在曲线Γ上，使得BCD ?的重心G 在x 轴上，直线BD 交x 轴于点Q ，且点Q 在点A 的右侧，记ABG ?的面积为
1,S DGQ ?的面积为2S ，求
1
2
S S 的最小值。 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y α
α
=??
=?（α为参数）.以坐标原点O 为
极点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求1C ，2C 交点的直角坐标； （2）设点A 的极坐标为4,3π??
??
?
，点B 是曲线2C 上的点，求AOB 面积的最大值. 23．已知函数f （x
的定义域为R ．
（Ⅰ）求实数m 的取值范围．
（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足21
32n a b a b
+=++时，求7a+4b 的最小值．
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
用列举法表示集合B ，然后用集合交集的定义求出A B .
【详解】
因为{|21,}B y y x x A ==-∈，{1,0,1}A =-，所以{}3,1,1B =--，因此有
{}1,1A B ?=-，故本题选B.
【点睛】
本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合B 是解题的关键. 2．D 【分析】
先利用复数的乘法求出复数z ，再根据共轭复数的定义求出复数z ，即可得出复数z 在复平面内对应的点所处的象限． 【详解】
()()2121123z i i i i i =+-=+-=+，3z i ∴=-，
所以， 复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第四象限，故选D ． 【点睛】
本题考查复数的除法，考查共轭复数的概念与复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题． 3．B 【分析】
根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】
运行第一次， =1k ，2212312s ?==?- ，
运行第二次，2k = ，2
222322
s ?==?- ，
运行第三次，3k = ，2
222322
s ?==?- ，
结束循环，输出=2s ，故选B . 【点睛】
本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 4．C 【分析】
由分步原理，先排除去甲、乙两人外的3人，再将甲、乙两人从4个空中选2个插入即可得解. 【详解】
解:先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共3
3A =321??=6种不同的排法，
再将甲、乙两人从4个空中选2个插入共2
4A =12种不同的排法，
即5人并排站成一行，如果甲乙两个不相邻，那么不同的排法种数是61272?=， 故选C. 【点睛】
本题考查了排列组合中的不相邻问题，属基础题. 5．C 【分析】
根据图表逐项判定即可 【详解】
变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误. 故选C . 【点睛】
本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题 6．C 【分析】
利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及()2f 与1的大小关系辨别函数()y f x =的图象．
【详解】
()()
()3
3
x x x x x x f x f x e e e e
----==-=-++，
所以，函数()y f x =为奇函数，排除D 选项； 当0x >时，30x >，则()0f x >，排除A 选项；
又()32222
28
21f e e e e --==>++，排除B 选项．故选C ．
【点睛】
本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题． 7．A 【解析】 【详解】
解：将函数g （x ）＝sin2x ＝cos （2x 2π-
）的图象向左平移6
π
个单位，可得函数()26f x cos x π?
?=- ??
?的图象，
故选A ． 8．A 【分析】
根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图 【详解】
解：正方体1111ABCD A B C D -中，
过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分后， 剩余部分的直观图如图：
则该几何体的正视图为图中粗线部分． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题． 9．C 【解析】
试题分析：由题意可得()2
35444412a a a a a ==-?=,所以34
1
82a q q a =
=?= ,故211
2
a a q ==
,选C. 考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算. 10．D 【分析】
先由已知得出函数的奇偶性及单调性，再比较,,a b c 的大小关系，运算即可得解. 【详解】
解：由()1y f x =-的图象关于直线1x =对称；则函数为偶函数， 由对任意的(]12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，不等式()()1212
0f x f x x x ->-成立，
则函数在(],0-∞为增函数， 综上可得在[)0,+∞为减函数， 又1
3
48
2log 3log 50>>>，
所以 ()()()f c f b f a >>， 故选D. 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性及单调性，属中档题. 11．C 【分析】
先由已知条件求出AF 的中点M 的坐标，再代入到另一条渐近线方程中求解即可. 【详解】
解：由双曲线22
22:1x y C a b
-=，
则其渐近线方程为b
y x a
=±， 因为0AF BF ?= 由图可知：
AO BO FO c ===
不妨设A (),a b -,则B (),a b -, 又(c,0)F ，可得AF 的中点坐标为M ,22c a b -??
??
?， 所以22
b b
c a
a -=?， 解得：2c
e a
==，
故选C.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率的求法，属中档题. 12．A 【分析】
由150AOB ∠=，30ACB ∠=,即点,,,A O B C 四点共圆， 再利用余弦定理、正弦定理求解即可. 【详解】
解：OA =a ，OB b =，OC c =， 设由1a =，3b =，32
a b ?=-
，
所以cos AOB =∠ 所以150AOB ∠=， 又,30a c b c <-->=， 则30ACB ∠=
即点,,,A O B C 四点共圆，要使c 最大，即OC 为圆的直径， 在AOB 中，
由余弦定理可得2AB =2OA +22cos OB OA OB AOB -??∠=7,
即,
又由正弦定理可得：2sin AB
R AOB
==∠
即c 最大值为 故选A. 【点睛】
本题考查了向量模的运算及正弦定理、余弦定理，属难度较大的题型. 13．3 【分析】
由f （x ）＝ae x +b ，得f '（x ），因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1，故（0，f （0））适合方程y ＝2x +1，且f ′（0）＝2；联立可得结果．
【详解】
由f （x ）＝ae x +b ，得f '（x ）＝ae x ，
因为函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是y ＝2x +1，
所以()()01'02f a b f a ?==+??==??
解得a ＝2，b ＝﹣1．
a ﹣
b ＝3． 故答案为3． 【点睛】
本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题． 14．1 【解析】
y
z x
=
表示点(),x y 到()0,0的斜率， 由可行域可知，过点()2,2时，取最大值1． 15．40 【分析】
由二项式定理及展开式通项公式可得：5
12x x ??- ???展开式的通项公式为1r T +=r 5C 52r -(1)
r
-52r x -,再利用乘法的分配律运算即可得解.
【详解】
解：由5
12x x ??- ???展开式的通项公式为1r T +=r 5C 52r -(1)r
-52r x -,
则 5
112x x x x ????+- ????
???的展开式中常数项为25C 32-3
5C 22=40,
故答案为40. 【点睛】
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题. 16．1n
-
【解析】
原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=?-=，整理为：
1
111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，
即数列1n S ???
???
是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1
111n
n n S =-+--=- ，即1n S n
=-
. 【点睛】这类型题使用的公式是11n n
n S a S S -?=?
-? 1
2n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是
消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.
17．（1）1 （2
）12
【解析】 【分析】
（1）先求出A ,再利用余弦定理解出c 即可； （2）由三角形的面积公式求出1
3
ADB
ABC S S ?=，再求出ABC ?的面积即可得解. 【详解】
解：（1
cos 0A A +=， 所以2sin()06
A π
+=，
即56
A π=,
又a =
b =
则由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得： 2
340,c c +-= 解得1c =；
（2）如图，因为56A π
=,2CAD π∠= 则3BAD π
∠=,则1
sin 21sin 2
ABD ACD AB AD BAD
S S AC AD CAD ??∠=??∠=12
,
所以1
3
ADB ABC S S ?=，
又1sin
2ABC S AB AC BAC ?=
??∠
=11122?
=4
, 故ABD ?的面积为
12
.
【点睛】
本题考查了解斜三角形及三角形的面积，属中档题. 18．（1）
17100．（2）2
5
；（3）2200个 【分析】
（1）直接计算概率得到答案.
（2）列出所有情况，包含15个基本事件，满足条件的共有6个基本事件，计算得到概率. （3）按照比例关系计算得到答案. 【详解】
（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人， 所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[30，50）且未参加自由购的概率估计为17
100
P =． （2）设事件A 为“这2人年龄都在[50，60）”.
被抽取的年龄在[50
，60）的4人分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，
被抽取的年龄在[60，70]的2人分别记为b 1，b 2， 从被抽取的年龄在[50，70]的自由购顾客中随机抽取2人 共包含15个基本事件，
分别为a 1a 2，a 1a 3，a 1a 4，a 1b 1，a 1b 2，a 2a 3，a 2a 4，a 2b 1，a 2b 2，a 3a 4， a 3b 1，a 3b 2，a 4b 1，a 4b 2，b 1b 2， 事件A 包含6个基本事件，
分别为a 1a 2，a 1a 3，a 1a 4，a 2a 3，a 2a 4，a 3a 4， 则()62155
P A =
=； （3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3+12+17+6+4+2＝44人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为44
50002200100
?=． 【点睛】
本题考查了概率的计算，总体估计，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．（1）见解析 （2）7
- 【分析】
（1）先证明1CD A OC ⊥面，即可证明1CD A C ⊥；
（2）利用空间向量的运算，先建立空间直角坐标系，再利用空间向量的夹角公式运算即可得解. 【详解】
解：（1）由图1可知，四边形ABCE 为菱形， 则AC BE =，
则在图（2）中，1,BE A O BE CO ⊥⊥， 所以1BE A OC ⊥面， 又BE CD ∥， 所以1CD A OC ⊥面， 又1A C ?面1A OC 故1CD A C ⊥；
（2
）因为BE =
，所以23
π∠=
BAE ， 设AB=2,则11A O OC ==, 又
12
A C A
B =
所以12A OC π∠=
建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,0,0)O
，B ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)A
，(E
,(D -，
则(ED =- ,1(3,0,1)EA = 则面1A EB 的法向量为1(0,1,0)n =， 设面1A ED 的法向量为2(,,)n x y z =，
则22100n ED n EA ??=?
??=?? ,
则00
y z ?+=?+=，
令1x =,
则3,y z =
=则2(1,3,3)n =-， 所以cos 12,n n ??=
1212
n n n n ?
=
, 又由图可知二面角1B A E D --为钝二面角， 故二面角1B
A E D --
的余弦值为.
【点睛】
本题考查了线线垂直的判定及利用空间向量求二面角的平面角的大小，属中档题. 20．（I ）21b a =-
（Ⅱ）当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为
(12,1)a --；
当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；
当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --． （Ⅲ）证明见解析． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）从导数出发，利用(1)0f '-=即得a 与b 的关系式：21b a =-（Ⅱ）求函数单调区间，关键研究导函数零点分布情况：因为导函数有两个零点：1x =-， 12x a =-，因此需分三种情况进行讨论，此时最容易遗漏相等的情况（Ⅲ）先根据极值求出M 、N 的坐标5
(1,),(3,9)3M N --，再联立方程确定线段MN 与曲线3
21()3
f x x ax bx =
++的交点，由32330x x x --+=易得1,1,3x x x ==-=，因此线段MN 与曲线 ()f x 存在异于M 、
N 的公共点11(1,)3
-
试题解析：解：（Ⅰ）依题意得 2
()2f x x ax b '=++，由(1)120f a b --'=+=得
21b a =- …2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 3
21()(21)3
f x x ax a x =
++-， 故 2
()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-'，令 ()0f x '=，则 1x =- 或
12x a =-
①当1a >时，121a -<-，当 x 变化时， (),()f x f x ' 的变化情况如下表
可得函数 ()f x 的单调增区间为(,12)a -∞--和 (1,)-+∞，单调减区间为 (2,1)a --．
②当1a = 时，121a -=-，此时()0f x '≥恒成立，且仅在 1x =-处 ()0f x '=，故函数()f x 的单调增区间为R ；
③当1a < 时，121a ->-，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和 (12,)a -+∞，单调减区间为 (1,12)a --
（Ⅲ）当 1a =- 时，3
21()33
f x x x x =
--，2()230f x x x =--='，121,3x x =-=．
由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为 (,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为 (1,3)-， 函数 ()f x 在 121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3
M N -- 直线MN 的方程为 8
13
y x =-
- 由3
2133
{81
3y x x x y x =
--=--得 32330x x x --+=
令32
()33F x x x x =--+，易得 (0)30,(2)30,F F =>=-<
()F x 的图像在 (0,2) 内是一条连续不断的曲线，
故 ()F x 在 (0,2)内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点 考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数极值
21．（1）2
4y x = （2
）
22
+ 【分析】
（1
=
，化简可得轨迹Γ的方程；
（2）分别设(,)B B B x y ,(,)C C C x y ,(,)D D D x y ,(,)G G G x y ， 联立直线与抛物线方程，求
得各点坐标，再结合三角形面积公式及均值不等式求1
2
S S 的最小值即可.
【详解】
解：（1）设圆心坐标为(),M x y ,
=，
化简得：2
4y x =，
轨迹Γ的方程为2
4y x =；
（2）设(,)B B B x y ,(,)C C C x y ,(,)D D D x y ,(,)G G G x y ，
令2(0)B y t t =≠，则2
B x t =
由于直线过点A ，则直线BC 的方程为22
22t x y t -=+，
代入2
4y x =得：22
2(2)
80t y y t
---=，
即28C ty =-，即4C y t =-, 即244(,)C t t
- , 又由于3B C D G x x x x ++=
，3
B C D G y y y y ++= ，
且BCD ?的重心G 在x 轴上， 则03
B C D
G y y y y ++=
= ，
则D B C y y y =--=42t t -+
,则22()D x t t
=-+ 则3B C D G x x x x ++==422
248
3t t t -+，
所以224((),2)D t t t t -+-+，422
248
(,0)3t t G t
-+ 所以直线BD 的方程为2
2()y t t x t -=-，
令0y =得：22x t =-，即2
(2,0)Q t -，
由于点Q 在点A 的右侧， 则222t ->，即24t >，