提公因式法基础知识讲解完整版
提公因式法基础知识讲
解
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
提公因式法（基础）
【学习目标】
1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个
多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整
式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式
分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的
系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字
母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而
正好是
除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因
式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的
公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”
号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的
各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相
等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋
1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错
误.
【典型例题】 类型一、因式分解的概念
1、观察下列从左到右的变形：
⑴()()3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+
⑶()2
2261266x xy y x y ++=+； ⑷()()22323294a b a b a b +-=-
其中是因式分解的有 （填序号）
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．
【答案】（3）.
【解析】
解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式，
(2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分
解．
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】（2014海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21 2+4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）
C.（a ﹣3）（a+7）=a 2+4a ﹣21 2+4a ﹣21=（a+2）2﹣25
【答案】B. 类型二、提公因式法分解因式
2、(1)多项式2363x xy -+的公因式是________；
(2)多项式324168mn m m --的公因式是________；
(3)多项式()()()x b c a y b c a a b c +--+----的公因式是________；
(4)多项式2(3)(3)x x x -+-的公因式是________．
【答案】(1)3 (2)4m (3)b c a +- (4)3x -
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因
式中也不含字母．公因式为3.
(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m ．公因式为4m .
(3)公因式是（b c a +-），为一个多项式因式．
(4)多项式可变形()()233x x x ---，其公因式是3x -．
【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）
A ．2x y -
B ．22x x +
C ．2x y 2+
D ．2x xy y 2-+
【答案】B ；
3、若()()()232
p q q p q p E ---=-，则E 是（ ）
A ．1q p --
B ．q p -
C ．1p q +-
D ．1q p +-
【答案】C ；
【解析】
解：()()23p q q p ---=()()21q p p q -+-．故选C ．
【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．
举一反三：
【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）
A ．1m +
B ．2m
C ．2
D ．2m +
【答案】D ；
解：()()()111m m m +-+-，
＝()()111m m -++，
＝()()12m m -+．
4、（2015春新沂市期中）分解因式：3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）.
【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【答案与解析】
解：原式=3x （a ﹣b ）+6y （a ﹣b ）=3（a ﹣b ）（x+2y ）．
【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
举一反三：
【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A ．()222129343abc a b c abc ab -=-
B ．()2233632x y xy y y x x y -+=-+
C ．()2a ab ac a a b c -+-=--+
D ．()2255x y xy y y x x +-=+
【答案】C ；
解：A.()222129343abc a b c abc abc -=-，故本选项错误；
B.()2233632x y xy y y x x -+=-+，故本选项错误；
C.()2a ab ac a a b c -+-=--+，正确；
D.()22551x y xy y y x x +-=+-，故本选项错误．
类型三、提公因式法分解因式的应用
5、若0232=-+x x ，求x x x 46223-+的值.
【答案与解析】
解： 由0232=-+x x ，得232x x +=
()3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=?-=.
【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，()3222623x x x x x +=+，这样就能由已知整体代入求值了.