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随机模拟估计圆周率

随机模拟估计圆周率
随机模拟估计圆周率

课件9 随机模拟估计圆周率

课件编号:ABⅢ-3-3-2.

课件名称:随机模拟估计圆周率.

课件运行环境:Win98及以上.

课件主要功能:

利用VB进行程序设计,实现由计算机随机模拟试验并及时统计试验的结果,帮助学生更好地理解随机试验中蕴含的规律.

课件使用说明:

1.这是一个可执行的文件,只需选中文件后双击即可进入操作可视界面.

图1

2.输入“试验次数”,单击“运行”按钮,即可自动生成试验的相关结果.

图2

3.固定试验次数多次运行,或更改试验次数运行,通过观察比较分析其中的规律.

(浙江省黄岩中学金克勤)

关于圆周率的计算

关于圆周率的计算 祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算,确定了相当精确的圆周率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”,也就是说,π=3。这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏,用它计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展,π=3 就越来越不能满足精确计算的要求。因此,中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国,据公元一世纪初制造的新莽嘉量斛(亦称律嘉量斛,王莽铜斛,是一种圆柱形标准量器,现存)推算,它所取的圆周率是3.1547 。二世纪初,东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π=≈3.1466,又在球体积计算中取用π≈3.1622。三国时东吴天文学家王蕃在浑仪论说中取用π≈3.1556。以上这些圆周率近似值,比起古率“周三径一”,精确度有所提高,其中π= 10还是世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果,并没有可靠的理论依据。 在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽,他在《九章算术注》中创立了“割圆术”,为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。他所得到的圆周率值π=3.14 与π==3.1416,都很精确,在当时世界上是很先进的,至今仍在经常使用。继刘徽之后,祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载,祖冲之确定了π的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927,π的真值在这两个近似值之间,即 3.1415926<π<3.1415927 精确到小数 7 位。这是当时世界上最先进的数学成果,直到约一千年后,才为 15 世纪中亚数学家阿尔·卡西(Al—? kash1)和16世纪法国数学家韦达(F.Vièta,1540—1603)所超过。 关于他得到这两个数值的方法,史无明载,一般认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证,如果按照割圆术计算,要得到小数 7 位准确的圆周率值,必须求出圆内接正12288 边形的边长和 24576边形的面积,这样,就要对9位数进行上百次加减乘除和开方运算,还要选择适当的有效数字,保证准确的误差范围。对于用算筹计算的古代数学家来说,这绝不是一件轻而易举的事情,只有掌握纯熟的理论和技巧,并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神,才能取得这样的杰出成就。祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年。 中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此,祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值:约率π=22/7≈3.14 ,密率π=355/113 ≈3.1415929。这两个数值都是π的渐近分数。刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过。密率355/113 是π的分母小于10000的最佳近似分数,则为祖冲之首创。关于密率355/113是如何得到的,今人有“调日法”术,连分数法,解同余式或不定方程,割圆术等种种推测,迄今尚无定论。在欧洲,π= 355/113 是16世纪由德国数学家奥托(V.Otto,1550(?)—1605)和荷兰工程师安托尼兹(A.Anthonisz,1527—1607)分别得到,后通称“安托尼兹率”,但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来,一些学者就建议把π= 355 称为“祖率”,以纪念祖冲之的杰出贡献。 关于球的体积公式及其证明: 祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地解决了

一道最值问题的多种解法

一道最值问题的多种解法 浙江省宁波市李惠利中学 沈国标 求变量的最值,是生产生活中最常见的数学问题.解决最值问题的方法很多,若能精选例题,通过一题多解的形式给出解决问题的方法,既能启迪学生发散性思维,又是让学生掌握数学思想方法的最佳途径.在竞赛辅导过程中,笔者研究了文[1]中的一道练习题,发现此题用作介绍有关解决最值问题的方法甚佳. 例 若x ,y 为实数,且x 2+xy+y 2=19,求x 2+y 2 的最值. 一. 代换法 1.二元对称代换 解:因为约束条件是关于x ,y 的对称式,所以可设x =a+b ,y =a-b 代入x 2+xy+y 2=3a 2+b 2=19,∴0≤b 2 ≤19 这时x 2 +y 2 =2(a 2 +b 2 )=2??? ??+-22b 3b 19=338+3 4 b 2 ∵0≤b 2 ≤19 ∴3 38 ≤x 2 +y 2 ≤38 ∴当b 2=19,a 2 =0,即x = 19,y =-19或x =-19,y =19时,x 2 +y 2 的最大值 是38.当b 2 =0,a 2 =3 19 ,即x =y = 319,或x =y =- 3 19 时,x 2+y 2 的最小值是 3 38. 2.三角代换之一 解:∵x 2 +xy+y 2 =(x+ 2y )2 +4 3 y 2 =19 ∴可设 ?????? ???? ??? ?θ=θ-θ=?π∈θθ=θ=+)sin 332(19y )sin 33 (cos 19x )2,0[(sin 19y 2 3cos 192y x ∴x 2 +y 2 =19[)sin 33(cos θ- θ2 +θ2sin 3 4 ] =19(θ-θ+θ2sin 3 3sin 35cos 22 ) =19( θ-θ-?+θ+2sin 3 322cos 13522cos 1)

常用数学公式

常用数学公式大全 1、每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数 2、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数 3、速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度 4、单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价 5、工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率 6、加数+加数=和和-一个加数=另一个加数 7、被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数 8、因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数 9、被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形C周长S面积a边长周长=边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a 2、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b:宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5三角形s面积a底h高 面积=底×高÷2s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高s=ah 7梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2 8圆形 S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积=侧面积÷2×半径 10圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数=平均数

两道经典不等式的多种解法

两道经典代数不等式的多种解法 长沙市明德中学 邓朝发 2019年3月6日 有两道道经典的代数不等式,在很多奥数资料上面都出现过,但是用到的解法过于单一,甚至于太繁琐。笔者在竞赛教学中,集学生的智慧偶得灵感,经过研究发现,此两道不等式有多种解法,而且这些解法的过程相当精妙、相当优雅、相当有韵味。高兴之余,情不自禁,特以此文分享,作初等数学学习、鼓励学生交流之用。 题目:已知12123,,..,0,..1n n x x x x x x x >=,证明: 1 1(1)n i i i x n x =≥-+∑ 方法一: 反证法 解1: 不妨假设 11(1)n i i i x n x =<-+∑ ,进一步211 (1)11n i i i x n n n x n x =->≥--+-+∑; 把1x 用23,,...,n x x x 替换,可得: 1 (1)1,2,3..,)11n i i k k i x n n k n n x n x ≠->≥-=-+-+∑; 取他们乘积: 11(1)1n n k k n n n x =->--+∏ 进一步:12...1n x x x <与条件矛盾!,进而原不等式成立! 解2:不妨假设 =(1)i i i x y n x -+,进一步:(1)(1,2,..)1i i i n y x i n y -= =- 从而 1(1)11n i i i n y y =-=-∏,不妨假设1111(1)n n i i i i i x y n x == ≥-=∑; 对n 个式子做乘积: 1 (1) n n i k y n =>-∏从而: 1 (1)11n i i i n y y =-<-∏ ,矛盾!进而原不等式成立! 以上两种都是反证法,只是对结构处理不同,所以这里归结为一类方法。对于多元不等式结构的处理,不同的人处理的角度不一样,因此每一种处理方式都是解题实践经历的,自然是很重要的。

关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法

关于用割圆术推导 圆周率的计算公式的方法 周家军 (家庭地址:广西陆川县良田镇冯杏村22队,邮编:537717) (目前所在地:广西柳州市,电子邮箱:zhoujiajun198204@https://www.sodocs.net/doc/f112597261.html,) 摘要:圆周率的计算是有据可依的,它的计算公式在数学上可以推导出来。利用割圆术,可以推导出圆周率的计算公式。 关键词:割圆术;直径分割;半径分割;圆心角。 1、绪言 利用割圆术,可以推导出圆周率的计算公式。 2、用外切圆分割正多边形 假设有一个圆,半径为R,圆心为O,用n根线段(直径)将其均匀分割,如图所示。将各端点连接起来,那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。由此可见,此圆周是正多形的外切圆。

假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ,圆心角为α ,设AB=S ,正多边形的周长为L ,依题意,有: OA=OB=R 正多边形的周长L 为: L=2*n*S 圆心角α和分割圆的线段(直径)n 的关系为: n n 180 2360== α 根据三角函数,可以列出正多边形的边长S 和圆周半径R 的关系式,为: S 2=R 2+R 2-2*R*R*cos (α) )cos 1(*2*α-=R S 2.1、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 如果分割圆的线段(直径)n 越多,圆周就被分割得越细,组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长,因此,依此就可推导出圆周率的计算公式,为:

) 180 cos 1(*2*2)cos 1(*22222n n R nR R nS R L -=-= == απ 2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量,也可得到圆周率的另一种计算公式。 圆心角α值越小,分割圆的直径数n 就越多,圆就被分割得越细,组成正多边形的边就越多,正多边形的周长就越接近于圆的周长。因此,依题意有: 将n= α 180 代入上式,可得: α αααπ)cos 1(*2*1802) cos 1(*2**180 *2222-= -= == R R R nS R L 3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O 点作AB 的垂线OD ,如图所示:

圆周率计算公式

圆周率计算公式Revised on November 25, 2020

12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=

452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=

892 π= 902 π=25434 912 π= 922 π= 932 π= 942 π= 952 π= 962 π= 972 π= 982 π= 992 π= 1002 π=31400 12~1002 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900 312=961 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225 362=1296 372=1396 382=1444 392=1521 402=1600 412=1681 422=1764 432=1849 442=1936 452=2025

一道一元一次方程应用题的多种解法

一、行程问题 行程问题地基本关系:路程速度×时间, 速度,时间. .相遇问题:速度和×相遇时间路程和 例甲、乙二人分别从、两地相向而行,甲地速度是米分钟,乙地速度是米分钟,已知、两地相距米,问甲、乙二人经过多长时间能相遇? 解:设甲、乙二人分钟后能相遇,则 ()×, . 答:甲、乙二人钟后能相遇. .追赶问题:速度差×追赶时间追赶距离 例甲、乙二人分别从、两地同向而行,甲地速度是米分钟,乙地速度是米分钟,已知、两地相距米,问几分钟后乙能追上甲? 解:设分钟后,乙能追上甲,则 (), . 答:分钟后乙能追上甲. . 航行问题:顺水速度静水速度水流速度,逆水速度静水速度水流速度. 例甲乘小船从地顺流到地用了小时,已知、两地相距千米.水流速度是千米小时,求小船在静水中地速度. 解:设小船在静水中地速度为,则有 (2)×, (千米小时). 答:小船在静水中地速度是千米小时. 二、工程问题 工程问题地基本关系:①工作量工作效率×工作时间,工作效率,工作时间;②常把工作量看作单位. 例已知甲、乙二人合作一项工程,甲天独立完成,乙天独立完成,甲、乙二人合作天后,甲另有事,乙再单独做几天才能完成? 解:设甲再单独做天才能完成,有 ()×, . 答:乙再单独做天才能完成. 三、环行问题 环行问题地基本关系:同时同地同向而行,第一次相遇:快者路程-慢者路程环行周长.同时同地背向而行,第一次相遇:甲路程乙路程环形周长. 例王丛和张兰绕环行跑道行走,跑道长米,王丛地速度是米分钟,张兰地速度是米分钟,二人如从同地同时同向而行,经过几分钟二人相遇? 解:设经过分钟二人相遇,则 (-), . 答:经过分钟二人相遇. 四、数字问题 数字问题地基本关系:数字和数是不同地,同一个数字在不同数位上,表示地数值不同.

圆周率的计算方法

圆周率的计算方法 古人计算圆周率,一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072边形得到5位精度;Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外,还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式,就不一一列举了。 ?Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现。 Machin.c 源程序 还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中,Machin公式似乎是最快的了。虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,Machin 公式就力不从心了。下面介绍的算法,在PC机上计算大约一天时间,就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算,要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。 关于FFT算法的具体实现和源程序,请参考Xavier Gourdon的主页 ?Ramanujan公式 1914年,印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式,这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

圆周率的计算历程及意义

圆周率π的计算历程及意义 李毫伟 数学科学学院数学与应用数学学号:080412047 指导老师:王众杰 摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平. 关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序 1、实验时期 通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来 π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3 中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π和2这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率. 早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之

圆周率π的计算方法

圆周率π的计算方法 圆周率的计算方法 古人计算圆周率,一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072边形得到5位精度;Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。 1、 Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现。 用马青公式计算Pi至小数点后100位程序 program Pi_Value; {$APPTYPE CONSOLE} //将Pi计算精确小数点后100位 //Machin公式

//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) uses SysUtils; const N=100; S=2*N+50; aNum=5; bNum=239; type Num=array [1..S] of byte; //初始化数组 procedure AZero(var arr:Num); var i:smallint; begin for i:=1 to S do arr:=0; end; //除法 procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); var c,y,i:smallint; begin c:=0; for i:=1 to S do begin y:=arr+c*10; c:=y mod b; arr:=y div b; end; end; //加法 procedure Addition(var arr:Num;const b:Num); var i,y,c:smallint; begin c:=0; for i:=S downto 1 do

圆周率的几种计算方法

圆周率的几种计算方法 姓名李至佳 学号 06205013 专业基础数学 摘要:本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法,正是圆周率这个数的特殊性,致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究的精确值。因此,用什么样的方法计算使其值更加精确,这是一个很值得研究的问题。 关键词:圆周率,计算方法,正多边形,连分数 一、很早以前就有了 从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起,经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的,而月亮由于地球的遮挡,有圆有缺。 椭圆、抛物线,双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮,或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古,数刚诞生时,肯定只在1和许多个之间有区别。而且,很早以前,就只考虑1和2这两个数。以后因为1个人有2只脚和2只手,2个人就有4只脚和4只手,1头家畜有4只脚,2头家畜有8只脚,等等。不久,就知道了比例的概念。 到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小,但对一个圆来说,其周长与直径之间的比例常数就是圆周率 二、的几种计算方法 有一个关于圆周率的歌谣,盛行于古代:"山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐而乐。" 圆周率是圆的周长与直径之比,表示的是一个常数,符号是希腊字母。人们为了计算圆周率,公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14,这被称为"徽率"。 在公元460年,祖冲之应用了刘徽的割圆术(也就是下面提到的正多边形的方法),算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的值,保持了1000多年的世界纪录。 1596年,荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索,把值推算到15位小数,打破了祖冲之长达1000多年的纪录,后来他本人又把这个数推进到35位。 18世纪初,圆周率达到72位。19世纪时,圆周率又求到140位、200位、500位。1873年,威廉欣克用了几十年时间,将π值算到707位。 到了1946年,世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国,有人在计算机上用了70个小时,算出圆周率达到2035位。1955年达到10 017位,1962年达到10万位。1973年达到100万位,1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算,将值推到新的顶点4.8亿位。 经过长时间艰苦的计算,值只是个近似值,这是一个永不循环的数学计算,也是数学史上的马拉松。 下面介绍几种计算的方法: (一)公元前利用正多边形计算 公元前1650年,埃及人著的兰德纸草书中提出=(4/3) 3=3.1604。但是对的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。阿基米德计算值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。

数学实验:怎样计算圆周率

怎样计算 姓名: 学号 班级:数学与应用数学4班

实验报告 实验目的:自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值,并学会计算的近似值的方法。 实验环境:Mathematica软件 实验基本理论和方法: 方法一:数值积分法(单位圆的面积是,只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值) 其具体内容是:以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系,则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形, 由曲线()及坐标轴围成,它的面积是,算出了S的近似值,它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图

图一 扇形G中,作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0,1](也就是扇形在x轴上的半径)分成n等份(n=20),相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分()。每部分是一个曲边梯形:它的左方、右方的边界是相互平行的直线段,类似于梯形的两底;上方边界是一段曲线,因此称为曲边梯形。如果n很大,每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段,从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积;梯形的高(也就是它的宽度)h=1/n,两条底边的长分别是和,于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值: n越大,计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S,而4T就越接近的准确值。 方法二:泰勒级数法 其具体内容是:利用反正切函数的泰勒级数 计算。 方法三:蒙特卡罗法

其具体内容是:单位正方形的面积=1,只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例,就能立即得到S,从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值,方法是在正方形中随机地投入很多点,使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等,看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0,1]内均匀分布的随机数,在Mathematica中语句是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x,y,则以(x,y)为坐标的点就是单位正方形内的一点P,它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。 实验内容、步骤及其结果分析: 问题1:在方法一中,取n=1000,通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。 分析:图一中的扇形面积S实际上就是定积分。 与有关的定积分很多,比如的定积分

圆周率200位记忆口诀

圆周率的来源和2000位 “圆周率”即圆的周长与其直径之间的比率。关于它的计算问题,历 来是中外数学家极感兴趣、孜孜以求的问题。德国的一位数学家曾经说过:“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平,这应当归功于魏晋时期数学家刘徽所创立的新方法一一“割圆术”。 所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法,是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后,经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 中国古代从先秦时期开始,一直是取“周三径一”(即)的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果,往往误差很大。正如刘徽所说,用“周三径一”计算出来的圆周长,实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长,其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果,他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些,但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长,也不精确。刘徽以极限思想为指导,提出用“割圆术”来求圆周率,既大胆创新,又严密论证, 从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。 在刘徽看来,既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长,与圆周长相差很多;那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上,再继续等分,把每段弧再分割为二,

做出一个圆内接正十二边形,这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗?如果把圆周再继续分割,做成一个圆内接正二十四边形,那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明,越是把圆周分割得细,误差就越少,其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。 按照这样的思路,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072 边形,并由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信,把它推广到有关圆形计算的各个方面,从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。 以后到了南北朝时期,祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力,终于求得了圆周率:精确到了小数点以后的第七位。在西方,这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值,一个是“约率”22/7 ,另一个 是“密率” 355/113 ,其中355/113 这个值,在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的,都比祖冲之晚了一千一一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献,历史是永远不会忘记的。 答应了大宝,教她点东西,才知道自己才疏学浅,不知道教她什么。偶尔看到巧计圆周率,就截图下来和她一起背,呵呵还真的有效,花三

一题几何题的多种解法

E D P C B A E D P C B A 一题几何题的多种解法 易永彪 浙江省苍南县新星学校 325800 从不同的角度、不同的思路去探寻题目时,往往会得到多种精妙的解法,精彩纷呈,殊途同归。这种一题多解的做法能充分调动学生思维的积极性,提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧,锻炼学生思维的灵活性,开阔学生的思路,引导学生灵活地掌握知识的纵横联系,培养和发挥学生的创造性。现在笔者从一道几何题出发探究解法的多样性,一同体验数学的乐趣。 题目:如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB=80°,点P 在AB 上, 且∠BPC=30°,求证:AP=BC 。 1、巧用“三线合一”性质 等腰三角形“三线合一”定理,在几何计算和论证过程中有着很重要的 作用。这个定理虽然很普通,但平凡的背后却有奇妙的作用,若能巧妙地利用这个性质解题,将起到事半功倍的效果。 分析:这道题的条件中有∠ABC=∠ACB=80°,可得AB=AC ,就可以利用“三线合一”性质,故联想到过A 作BC 边上的垂线AD 。根据“三线合一”性质,BD=CD 。本题要让我 们证AP=BC ,所以就要构造出一条边的长度为1 2AP 。又知∠BPC=30°, 容易想到过A 作CP 延长线的垂线AE 。利用30°所对边的直角边 为斜边的一半,可得AE= 1 2 AP 。易证△AEC ≌△CDA ,∴AE=CD 。 AP=2AE ,BC=2CD ,∴AP=BC 。 2、巧作等边三角形 作等边三角形可以使一些与等腰三角形有关的几何问题 变简单,给人以柳暗花明之感。 分析: AB=AC ,∴可以以AB 为边向外做等边△ABD , 可多制造一些相等条件,利于证明结论。 AD=AB=AC 。我们较易想到作辅助圆: 以A 为圆心、AB 为半径的⊙A 。 ∵ BC BC ,∴∠BDC=12∠BAC=10°,同理∠BCD=12 ∠BAD=30°, P C B A

有关圆周率计算中的简便算法

有关圆的简便计算和简便方法 吉林市龙潭区教师进修学校附属小学孙晓杰 摘要:小学六年级在有关圆的计算中,圆周率与其它数量相乘属于较复杂的小数乘法,数学教师要教会学生记住最基本的∏值,还要先计算3.14以外的乘积,较复杂的含有∏的多步计算,要运用运算定律简算,就是尽量避免3.14与其它数字相乘机会;充分利用圆的对称性和重叠问题的解法对有关圆的复杂的组合图形进行旋转、平移,使其转化成较规范的简单的图形,从而使计算更加简便。 关键词:记住∏值、运用定律、尽量口算、旋转平移 教过小学数学的人,众所周知,关于圆周率∏的计算很麻烦,在一个数乘3.14的时候步骤繁琐,而且很容易出错。简算不是数学计算的目的,而是数学计算的需要。本人从事小学数学教学工作,20年的教学生涯,在小学六年级有关圆周率的教学中,总结出一套简便算法,现把自己的做法呈现出来与同行们分享。 一、从第一次学习圆的周长计算那天起,背下来最基本的1∏到10∏∏值,即1∏=3.14 2∏=6.28 3∏=9.42 4∏=12.56 5∏=15.7 6∏=18.84 7∏=21.98 8∏=25.12 9∏=28.26 10∏=31.4 二、还有计算周长时一些常用的,如12∏=37.68 15∏=47.1 16∏=50.24 18∏=56.52 24∏=75.36 32∏=100.48 36∏=113.04 7.5∏=23.55 三、计算面积时,经常遇到平方数,不但前五年学过的1到10的平方数准确无误,还要把11到20的平方数倒背如流,它们分别是121、

144、169、196、225、256、289、324、361、400,还有几个特殊的平方数,如25的平方625;24的平方576;关于面积常用到的含有圆周率的数有:16∏=50.24 25∏=78.5 36∏=113.04 64∏=200.96 144∏=489.6 225∏=706.5 256∏=803.84 625∏=1962.5 还有49∏=153.86 81∏=254.34只是这两个不常用。 四、由上面衍生、拓展而来的如:1/2∏=1.57 1/4∏=0.785 1/8∏=0.3925 1/16∏=0.19625 1.5∏=4.71 20∏=62.8 0.2∏=0.628 2.25∏=7.065 6.25∏=19.625 300∏=942 1.5∏=4.71诸如此类的∏值,只要在最基本的基础上,相应地移动小数点就能准确地得出结果。 五、计算含有圆周率一般乘法时可以运用运算定律,如192∏可以从200∏即628中减去8∏即25.12;48∏可用40∏即125.6加上8∏即25.12,也可以从50∏即157中减去2∏即6.28;99∏可以从100∏即314中减去1∏即3.14在计算有关圆周率∏的乘法中,使用加减法来简算,避免了列乘法竖式,远比用乘法简便还准确。 六、在计算单纯的圆、扇形的周长和面积还有圆柱、圆锥的体积时,要先计算圆周率∏以外的其它的数值,最后乘3.14,如计算一个半径为15的圆的周长,列式2×3.14×15,要先计算出2×15的积30,再把3∏即9.42乘10,得出积为94.2。 七、在有关圆的组合图形、圆柱的表面积、圆柱和圆柱、圆柱和圆锥、圆锥和圆锥组合体的体积的计算中,大都会出现圆周率∏,如一个无盖的圆柱形铁皮水桶,底面半径是20厘米,高30厘米,做这个水桶至少用铁皮多少平方米?列式计算为:

圆周率计算表(π取3.14)

3.14× 1=3.14 3.14× 2=6.28 3.14 × 3=9.42 3.14 × 4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×10=31.4 3.14×11=3 4.54 3.14×12=37.68 3.14×13=40.82 3.14×14=43.96 3.14×15=47.1 3.14×16=50.24 3.14×17=53.38 3.14×18=56.52 3.14×19=59.66 3.14×20=62.8 3.14×21=6 5.94 3.14×22=69.08 3.14×23=72.22 3.14×24=75.36 3.14×25=78.5 3.14×26=81.64 3.14×27=8 4.78 3.14×28=87.92 3.14×29=91.06 3.14×30=9 4.2 3.14×31=97.34 3.14×32=100.48 3.14×33=103.62 3.14×34=106.76 3.14×35=109.9 3.14×36=113.04 3.14×37=116.18 3.14×38=119.32 3.14×39=122.46 3.14×40=125.6 3.14×41=128.74 3.14×42=131.88 3.14×43=135.02 3.14×44=138.16 3.14×45=141.3 3.14×46=14 4.44 3.14×47=147.58 3.14×48=150.72 3.14×49=153.86 3.14×50=157 3.14×51=160.14 3.14×52=163.28 3.14×53=166.42 3.14×54=169.56 3.14×55=172.7 3.14×56=175.84 3.14×57=178.98 3.14×58=182.12 3.14×59=185.26 3.14×60=188.4 3.14×61=191.54 3.14×62=19 4.68 3.14×63=197.82 3.14×64=200.96 3.14×65=20 4.1 3.14×66=207.24 3.14×67=210.38 3.14×68=213.52 3.14×69=216.66 3.14×70=219.8 3.14×71=222.94 3.14×72=226.08 3.14×73=229.22 3.14×74=232.36 3.14×75=235.5 3.14×76=238.64 3.14×77=241.78 3.14×78=24 4.92 3.14×79=248.06 3.14×80=251.2 3.14×81=25 4.34 3.14×82=257.48 3.14×83=260.62 3.14×84=263.76 3.14×85=266.9 3.14×86=270.04 3.14×87=273.18 3.14×88=276.32 3.14×89=279.46 3.14×90=282.6 3.14×91=285.74 3.14×92=288.88 3.14×93=292.02 3.14×94=295.16 3.14×95=298.3 3.14×96=301.44 3.14×97=30 4.58 3.14×98=307.72 3.14×99=310.86 3.14×100=314

圆周率的几种计算方法

圆周率π的几种计算方法 圆周率的几种计算方法 姓名李至佳 学号 06205013 专业基础数学 摘要:本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法,正是圆周率这个数的特殊性,致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究π的精确值。因此,用什么样的方法计算π使其值更加精确,这是一个很值得研究的问题。 关键词:圆周率,计算方法,正多边形,连分数 一、很早以前就有了π 从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起,经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的,而月亮由于地球的遮挡,有圆有缺。 椭圆、抛物线,双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮,或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古,数刚诞生时,肯定只在1和许多个之间有区别。而且,很早以前,就只考虑1和2这两个数。以后因为1个人有2只脚和2只手,2个人就有4只脚和4只手,1头家畜有4只脚,2头家畜有8只脚,等等。不久,就知道了比例的概念。 到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小,但对一个圆来说,其周长l与直径d之间的比例常数就是圆周率π 二、π的几种计算方法 有一个关于圆周率的歌谣,盛行于古代:“山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐而乐。” 圆周率是圆的周长与直径之比,表示的是一个常数,符号是希腊字母。人们为了计算圆周率,公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14,这被称为“徽率”。 在公元460年,祖冲之应用了刘徽的割圆术(也就是下面提到的正多边形的方法),算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的π值,保持了1000多年的世界纪录。 1596年,荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索,把π值推算到15位小数,打破了祖冲之长达1000多年的纪录,后来他本人又把这个数推进到35位。 18世纪初,圆周率达到72位。19世纪时,圆周率又求到140位、200位、500位。1873年,威廉欣克用了几十年时间,将π值算到707位。 到了1946年,世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国,有人在计算机上用了70个小时,算出圆周率达到2035位。1955年达到10 017位,1962年达到10万位。1973年达到100万位,1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算,将值π推到新的顶点4.8亿位。 经过长时间艰苦的计算,π值只是个近似值,这是一个永不循环的数学

圆周率π的近似计算方法

圆周率π的近似计算方法 班级学号姓名 众所周知,圆周率π是平面上圆的周长与直径之比,它等于3.141 592 6…。古代人把3作为它的近似值。π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:"历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志."古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法. 古人计算圆周率,一般是用割圆法(不断地利用勾股定理,来计算正N边形的边长)。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。公元263年,刘徽通过提出著名的割圆术,得出π =3.14,通常称为"徽率",他指出这是不足近似值。割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界,他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均,竟然获得具有4位有效数字的圆周率π =3927/1250 =3.1416。而这一结果,正如刘徽本人指出的,如果通过割圆计算得出这个结果,需要割到3072边形。后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 <π < 3.1415927 ,得到π 的两个近似分数即:约率为22/7;密率为355/113。他算出的π 的8位可靠数字,不但在当时是最精密的圆周率,而且保持世界记录九百多年。以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。 我们再回头看一下国外取得的成果。1150年,印度数学家婆什迦罗第二计算出π= 3927/1250 = 3.1416。1424年,中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》,计算了3×228=805,306,368边内接与外切正多边形的周长,求出π 值,他的结果是:π=3.14159265358979325 有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记录。 在日本,十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术,其实质就是用加成法来求近似分数的方法。他以3、4作为母近似值,连续加成六次得到祖冲之约率,加成一百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改进,提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法,这样从3、4出发,六次加成到约率,第七次出现25/8,就近与其紧邻的22/7加成,得47/15,依次类推,只要加成23次就得到密率。 16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算π 近似值,用6×216正边形,推算出精确到9位小数的π 值。17世纪初,德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他从正方形开始将新的十进制与早的阿基米德方法结合起来的,一直推导出了

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