矩阵分析与计算2015A解答及评分标准

一、（10分）设3

40120251A ????=--????---??

，求A 的不变因子、

初等因子，并写出A 的Jordan 标准形。

解：行列式因子D 1=1；D 12=λ+1；D 13=1-λ,所以D 2=1；D 3=(λ-2)(λ+1)2，所以不变

因子d 1=d 2=1；d 3=(λ-2)(λ+1)2 （6分）；初等因子为(λ-2),(λ+1)2 (8分)

A 的Jordan 标准形为200011001A J ??

??=-??

??-??

(10分) 二、（10分）利用盖尔圆定理及特征值隔离法证明：

矩阵2111917218A -??

??=??

????

有三个互异实特征值。 解：（1）写出A 的行或列盖尔圆, 但彼此不孤立。 （4分）；

（2）取D =diag(1,1,2), 则A 与B=D -1

AD 特征值相同，B 的三个行盖尔圆分别为|2|3,|9|3,|18| 4.5,z z z -≤-≤-≤ B 的三个盖尔圆彼此孤立，

（8分），故各盖尔圆内有且仅有1个特征值，而B 是实矩阵，而各盖尔圆均关于实轴对称，故

特征值均是实的。（10分）

三、（10分）用选列主元的Doolittle 分解求解方程组 3215211 3.51213x ????

????=????

????????

。 解：系数矩阵A 的选列主元的Doolittle 分解为

1

00321100321

12111/3

1004/32/30

1

01

212/3

1/41001/2LU

?????

???????????=≡????????????????-?????

???

。 （6 分） 原方程组等价于 1[5 3 3.5]T LUx Pb b ==≡。

解Ly =b 1，得y=[5, 4/3, 1/2]’，…(8分); 再解Ux =y, 得x =[1 1/2 1]’…….(10分). 四、（11分）（1）设矩阵A 按模最大的特征值唯一，请写出近似其按模最大特征

值及其相应特征向量的算法。（2）利用该算法计算101140118A ??

??=??

????

按模最大特征值及特征向量的近似值：设初始向量v 0=[1 1 1]T ，迭代3次，保留4位小数。

解: （1）假设按模最大特征值λ1，相应按模最大分量为1的规范特征向量为ξ1，则以下迭代算公式给出了计算λ1及ξ1的近似值的方法：

(i)令k =0，任取适维非零向量v 0：其按模最大分量（记作max(v 0)）为1； (ii) ,1k k Av u =+

(iii) k :=k +1, ,/: ),max(:k k k k k m u v u m == 并返回(ii ）

。 则当k →∞时，m k →λ1, 且v k →ξ1。 （5分）

（2）利用以上公式，对所给初始v 0 迭代三次所得结果依次为

u1=[2 5 10]'; m1=10; v1=[0.2000 0.5000 1.0000]';

u2=[1.20 2.20 8.70]; m2=8.7000; v2=[0.1379 0.2529 1.0000]';

u3=[1.1379 1.1494 8.3908]; m3=8.3908; v3=[0.1356 0.1370 1.0000]'; 三次迭代所得按模最大特征值及相应特征向量分别为

λmax ≈m3=8.3908, ξ1≈ v3=[0.1356 0.1370 1.0000]' ( 11分)

五、（20分）已知110131112, 320113A b ????

????=--=????

????-????

， （1）求A 的满秩分解；（2）求A 的Moore-Penrose 逆A +；

（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax b =是否有解。有解时给出极小范数

解，并说明它是所有解中范数最小的；无解时给出最小二乘解所满足的方程，给出极小范数最小二乘解，说明它是所有最小二乘解中范数最小的．

解：(1)11101/21/211011/23/220A ??

-????=-????-??????

(5分) ; （分解不唯一，也可以是10110111021321A ??

????=????--??????

） (2)13114117411455110111A +

??

??-??=????--??

(9分)

(3) []224T

AA b b +=≠, 方程组无解； (11 分)

最小二乘解所满足的方程为 Ax =AA +b ， (13 分)

其极小范数最小二乘解为[]0128810217T

x b A +=-= (15 分)

因为最小二乘解方程的通解为4

(), x A b A A I y y R ++=+-?∈ (17 分) 而对任意y ∈R 4, 利用A +的特性，有

222

22

2

()()()()T H T H x A b A A I y b A A A I y y A A I A b

++

++++=+-+-+-

22

22

()()()()

T H H T

A b A A I y b A A A I y y A A I A b

++++++ =+-+-+-

22

22

()()()

T H T

A b A A I y b A AA A y y A AA A b

++++++++ =+-+-+-

22

22

()

A b A A I y

++

=+-22

02

2

,

A b x

+

≥=且等号当且仅当(A A+-I)y=0

时才成立。( 20分)

六、（12分）对于如下线性方程组，

3211

2310

1131

x

????

????

=

????

????

????

（1）写出求近似解的Gauss-Seidel迭代公式，并证明该迭代法是收敛的；

（2）用Gauss-Seidel迭代公式计算近似解，设初始向量为x(0)=[0 0 0]T, 迭代2

次，结果用分数或小数（保留到小数点后第四位）表示。

解：(1) 该方程组的G-S-迭代为

()()()

(1)()()(1)(1)()(1)(1)(1)

123213312

111

12,2,1

333

k k k k k k k k k

x x x x x x x x x ++++++ =--=-+=--

(4分)

或者(1)()

02/31/31/3

04/91/92/9

02/274/278/27

k k

x x

+

????

?

??

=-+-

?

??

?

??

--

????

迭代矩阵1

()

G

B D L U

-

=-+的特征方程同解于方程：

det(())

D L I U

λ+-=0，即2

(27162)0,

λλλ

-+=

迭代矩阵的三特征值为

123

0,

λλλ

===

显然所以ρ(B G)<1，所以G-S迭代收敛。(8分)

（2）2次迭代值依次为

(1)(2)

1/30.333331/810.3827

2/90.2222;86/2430.3539;

8/270.2963236/7290.3237

x x

????????

? ? ? ?

=-=-=-=-

? ? ? ?

? ? ? ?

????????

(12分)

七、（12）假设x及y分别是以下方程组的解，试估计解的相对误差1

1

x y

x

-

。（保

留到小数点后第四位。）

2001 2.0500 1.0010212, 0 2.02 1.01 2.0021121 1.02 1.01 2.02 1.001x y ????????

? ?????== ? ?????

? ?????????????

。

解： 系数矩阵A 的逆矩阵为

11/2

001/6

2/31/31/31/3

2/3

A -??

??=-????--?? （3分）， A 的相应于1--范数的条件数为cond 1(A )= ||A ||1?||A -1||1=3 （6分）

11111

1

1111

()

1()

x y A b cond A A x A b cond A A δδδ??

-≤

+ ? ??

?- （9） 30.070.0010.078510.073??

=

+= ?-??

（12分）

八、(15分)已知010001133A ??

??=????-??

, 求（1）At e ；

（2）At d e dt 解：（1） 令?(λ)=det(λI -A )= (λ-1)3, 令 e λt =q (λ, t )?(λ)+ a 2(t )λ2+ a 1(t )λ+ a 0(t ),

则由?(A )=0，得e At =a 2(t )A 2+ a 1(t )A + a 0(t )I ； (5分) 利用?(λ)的特性有：

2210212()()(),2()(),2(),t t t e a t a t a t te a t a t t e a t =++=+=

解之得2222101(), ()(), ()(1/2),2

t

t t a t t e a t t t e a t t t e =

=-=-+ (9分) 2220

12

222

2

02

2122221

21

2101/2/233/21/238363/2312/2At t a a a t t t t t e a a a a a e t t t t t a a a a a a a t t t t t t ??-+-??

????=-+==--+????

????+--+++--++????

（11分）

（2）222222222/21/2/2312/212/23533/2At t t t t t t d e e t t t t t t dt

t t t t t t ??

--+??=+--++????++---++??

(15分)

第3章 矩阵及其运算

第3章 矩阵及其运算 3.1 基本要求、重点难点 基本要求： 1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则. 3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵. 6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等 变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2 基本内容 3.2.1 3.2.1 重要定义 定义3.1 由n m ?个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为 ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 2122221 11211 简记为A n m ij a ?=)(，或A )(ij a =,n m A ?,mn A 注意行列式与矩阵的区别： （1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相 同. （3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1 无意义.

n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在 运算中可看做一个数. 对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵， 又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0?，或简记为0. 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的 元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =n m ij a ?)(，则A -n m ij a ?-=)(称为A 的负矩阵. 若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记 为||A 或A Det . 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '. 若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵. 若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩 阵为复矩阵，若A =n m ij a ?)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ?)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ?=)(. 定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则 称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B . 对于方阵A n m ij a ?=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵 *A ????????????=nm n n n n A A A A A A A A A 2122212 12111 称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置. 定义3.3 设有矩阵A ，如果： （1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.

矩阵数值算法

计算实习报告 一 实习目的 （1）了解矩阵特征值与相应特征向量求解的意义，理解幂法和反幂法的原理， 能编制此算法的程序，并能求解实际问题。 （2）通过对比非线性方程的迭代法，理解线性方程组迭代解法的原理，学会编 写Jacobi 迭代法程序，并能求解中小型非线性方程组。初始点对收敛性质及收 敛速度的影响。 （3）理解 QR 法计算矩阵特征值与特征向量的原理，能编制此算法的程序，并 用于实际问题的求解。 二 问题定义及题目分析 1. 分别用幂法和幂法加速技术求矩阵 2.5 2.5 3.00.50.0 5.0 2.0 2.00.50.5 4.0 2.52.5 2.5 5.0 3.5-?? ?- ?= ?-- ?--?? A 的主特征值和特征向量． 2. 对于实对称矩阵n n ?∈A R ，用Jacobi 方法编写其程序，并用所编程序求下列矩阵的全部 特征值． 1515 4 1141144114114?-?? ?-- ? ?- ?= ? ?- ?-- ? ?-??A 3. 对于实矩阵n n ?∈A R ，用QR 方法编写其程序，并用所编程序求下列矩阵的全部特征值: 111 21 113,4,5,62311111n n n n n n ? ???? ?????==+? ????? ??+??A 三 概要设计 （1） 幂法用于求按模最大的特征值及其对应的特征向量的一种数值算法，

它要求矩阵 A 的特征值有如下关系： 12n ...λλλ>≥≥ ，对于相应 的特征向量。其算法如下： Step 0：初始化数据0,, 1.A z k = Step 1：计算1k k y A z +=。 Step 2：令 k k m y ∞=。 Step 3：令 k k k z y m = ；如果1k k m m +≈或1k k z z +≈，则 goto Step 4；否则 ， k = k + 1 ，goto Step 1。 Step 4：输出结果 算法说明与要求 输入参数为实数矩阵、初始向量、误差限与最大迭代次数。输出 参数为特征值及相对应的特征向量。注意初始向量不能为“0”向量。 （2） 迭代法的原理 如果能将方程 Ax =b 改写成等价形式：x=Bx+f 。如果B 满足：ρ(B )<1，则对于任意初始向量 x (0) ，由迭代 x ( k + 1) = Bx (k ) + f 产生的序列均收敛到方程组的精确解。迭代法中两种最有名的迭代法就是Jacobi 迭代法，它的迭代矩阵 B 为： 1()J D L U -=-+,1 f D b -= 其中，D 为系数矩阵 A 的对角元所组成对角矩阵，L 为系数矩阵 A 的对角元下方所有元素所组成的下三角矩阵，U 为系数矩阵 A 的对角元上方所有元素所组成的上三角矩阵。 算法如下： Step 0：初始化数据 00,,,,k A b x δ=和ε。 Step 1：计算D,L,U,J 或G, 得到迭代矩阵B. Step 2：:1k k =+ 0x B x f * =+ 0x x = 如果0x x δ-<或()f x ε≤，goto Step 3?否则 goto Step ２。 Step 3：输出结果。 程序说明与要求

矩阵链算法

/************************ Matrix Chain Multiplication ***************************/ /************************ 作者：Hugo ***************************/ /************************ 最后修改日期：2015.09.10 ***************************/ /************************ 最后修改人：Hugo ***************************/ using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Threading.Tasks; using System.Text.RegularExpressions; using System.Collections; namespace Matrix { class Program { public static int nummulti = 0; static ArrayList list1 = new ArrayList();//定义计算式存储列表 static ArrayList listrow = new ArrayList();//定义矩阵行数存储列表 static ArrayList listcolumn = new ArrayList();//定义矩阵列数存储列表 static void Main(string[] args) { /****************************************************************************** *****************/ //从键盘上获取矩阵 int nummatrix = Int32.Parse(Console.ReadLine()); int countmat = 0; for (countmat = 0; countmat < nummatrix; countmat++) { string s = Console.ReadLine(); string[] str = s.Split(' ');//把输入的一行字符按空格拆分 listrow.Add(Int32.Parse(str[1]));//行数存储到矩阵行数存储列表 listcolumn.Add(Int32.Parse(str[2]));//列数存储到矩阵列数存储列表

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律

结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ．

(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为 可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即． 1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）

几种矩阵完备算法的研究与实现_矩阵分析仿真大作业

几种矩阵完备算法的研究与实现 ——《矩阵分析》课程仿真作业报告* 刘鹏飞 电?系2016210858 摘要 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵恢复可以通过 求解?个与核范数有关的凸优化问题来实现。由此诞?了许多矩阵恢复的算 法，?如FPC算法等。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度较慢。在此基 础上，APG算法经过改进，能够提升迭代速度。但最?化核范数并不是求解 矩阵完备问题的唯??法，其中OptSpace算法构造了?个在流形上的优化问 题，相?于前两种算法能够以更?的精度恢复出原始矩阵。本?主要总结了 FPC、APG和OptSpace三种算法的步骤。特别地，对于OptSpace算法，本 ?提出了求解其中两个?优化问题的具体算法。最后，本?通过仿真实验和理 论分析?较了三种算法的特点，并给出了OptSpace算法的精度?于APG算 法的解释。 关键词：矩阵完备，核范数，FPC，APG，OptSpace 1介绍 1.1矩阵完备及其算法综述 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵完备可以描述成这样?个问题：对于?个m×n的矩阵M，其秩为r，我们只有对M中的部分采样，记*报告中所涉及到的仿真代码可在https://https://www.sodocs.net/doc/f612750420.html,/s/1jHRcY8m下载 1

这些采样位置组成的集合为?，那么是否有可能从已知的部分元素中恢复出整个矩阵M。假如M为低秩矩阵，并且已知的元素?够多并且?够均匀地分布在整个矩阵中，那么我们可以通过解如下优化问题来恢复出原始矩阵[1]： min rank(W) s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-1)但是，问题(1-1)是?个NP难的?凸问题。在?定条件下，问题(1-1)可以转化成?个最?化核范数的问题。对于矩阵W m×n，W的核范数定义为其奇异值之和，即 ∥W∥?=min(m,n) ∑ k=1 σk(W)(1-2) 其中，σk(W)表?W第k?的奇异值。问题(1-1)可以转化成： min∥W∥? s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-3)对于(1-3)中带等式约束的问题，进?步地，可以将它凸松弛成?个?约束的 优化问题[2][3][4]： min 1 2 ∥A(W)?b∥22+μ∥W∥?(1-4) 其中，b是由矩阵中采样位置对应的元素组成的p×1维向量，p=|?|（|·|表?集合的势）；A:R m×n?→R p是?个线性映射，A(W)=(W ij)|(i,j)∈?；μ是?个可以调整的参数。 对于(1-4)中的?约束问题，?献[2][3]分别提出了Fixed Point Continuation （FPC）和Singular Value Thresholding（SVT）的算法。本?认为，这两种算法虽然出发点不同，但其实质都是梯度下降法，没有本质的差别，在算法实现上也基本?样。因此，本?只研究其中?种，即FPC算法。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度慢，效率不?。在此基础上，?献[4]做出了改进，提出?种Accelerated Proximal Gradient Singular Value Thresholding（APG）算法（该算法是在SVT算法上改进的，本?认为FPC和SVT实质上是?种算法，故不做区别），能够?幅度地提?收敛速度。 前?提到的?种算法，都是从(1-1)中的最?化秩的问题出发，经过?步步凸松弛得到的。与上述基本思路不同，?献[5]提出了OptSpace算法，它实质上是通过解另?种优化问题来实现矩阵完备： min F(W)= ∑ (i;j)∈? ∥M ij?W ij∥2 s.t.rank(W)=r(1-5)

GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)

GE矩阵法及其使用方法介绍 一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司（GE）于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 二、方格分析计算方法介绍： GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业 单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要 对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战 略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），

每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力）和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务（或产品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素（可能需要根据各公司情况作出一些增减）。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等，关键是不能遗漏重要因素，也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始，纵览这张表（使用同一组经理）， 并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似，则对其影响做总体评估，若一因素对不同竞争者有不同影响，可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准（1=毫无吸引力，2=没有吸引力，3=中性影响，4=有吸引力，5=极有吸引力）。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定（1=极度竞争劣势，2=竞争劣势，3=同竞争对手持平，4=竞争优势，5=极度竞争优势），在这一部分，应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。 具体的方法是：- 确定内外部影响的因素，并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数（五级）- 最后，用权重乘以级数，得出每个因素的加权数，并汇总，得到整个产业吸引力的加权值 下面分别用折线图和表格两种形式来表示。

动态规划矩阵连乘算法

问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,A n，其中A i与A i+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数

((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小 化。 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4： 5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系： 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。 当i=j时，A[i:j]=A i，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n 当i

Excel中矩阵的运算

nxn方阵对应行列式的值 第二步，选中A4单元格，在“插入”菜单中选中“函数”菜单项： 第三步，在打开的“函数”对话框中，选中“MDETERM”函数如图2，并按“确定”按钮： 第四步，在弹出的对话框中输入矩阵所在的地址，按确定即得到行列式的值。 矩阵求和 已知 第二步，在A5单元格中输入公式：=A1+El，按回车，这时A5中显示数字7； 第三步，选中A5单元格，移动鼠标至其右下角，鼠标形状变为黑色十字时，按下鼠标左键往右拖至C5，B5和C5中分别显示一3．3。同样的方法选中A5：C5，往下拖至A7：C7，便得到A+B的值。 矩阵求逆 第一步，在A1：C3中输入矩阵A； 第二步。选中A5：C7，“插入”→“函数”→“MINVERSE”→“确定”： 第三步，在“array”项中输入A1：C3，按F2，同时按CTRL+SHIFF+ENTER即可如图6。 5矩阵转置 第一步，在Al：C3中输入矩阵A，并选中； 第二步，“编辑”→“复制”； 第三步，选中A5，“编辑”→“选择性粘贴”→“转置”→确定”。 矩阵求秩 6．1矩阵秩的概念 定义设A是mxn矩阵，从A中任取k行k列(k≤min(m，n))，由这些行、列相交处的元素按原来的次序所构成的阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子行列式，简称k阶子式。 定义矩阵A的所有不为零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩，记作r(A)，即r(A)=r。 6．2矩阵秩的数学求法 6．2．1行列式法：即定义从矩阵的最高阶子式算起，计算出不等于零的子式的最高阶数r，此r即为该矩阵的秩。 6．2．2行初等变换法：用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，此阶梯形矩阵非零行的行数r就是该矩阵的秩。 6．3利用EXCEL求矩阵秩 方法一，根据矩阵秩的定义，可以求所有不为零子式的最高阶数。 求矩阵A的秩． 显然A是4x4矩阵，4为其所有子式的最高阶数。先求IAI的值，若｜A｜不为零，则矩

计算方法_矩阵LU分解法

clear all; %A=LU矩阵三角分解法 n=input('输入方矩阵的维数: '); for i=1:n for j=1:n A(i,j)=input('依次输入矩阵元素：'); end end %输入一个n阶方形矩阵 for j=1:n L(j,j)=1; %Doolittle分解，L对角元素全为1 end for j=1:n U(1,j)=A(1,j); end %U的第一行 for i=2:n L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); end %L的第一列 for k=2:n for j=k:n sum1=0; for m=1:k-1 sum1=sum1+L(k,m)*U(m,j); end %求和 U(k,j)=A(k,j)-sum1; end for i=k+1:n sum2=0; for m=1:k-1 sum2=sum2+L(i,m)*U(m,k); end %求和 L(i,k)=(A(i,k)-sum2)/U(k,k); end end L %输出下三角矩阵L U %输出上三角矩阵U

运行结果：（示例） 输入方矩阵的维数: 4 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 3 依次输入矩阵元素：0 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素：-1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 5 依次输入矩阵元素：9 A=LU分解后则可以求解Ax=b线性方程组，相关计算参考计算方法，这里不再详细介绍。

矩阵的简单运算公式

矩阵的运算 （一） 矩阵的线性运算 特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2 22 ()()() A B A B A B A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律 111 1 1 11 1 1(1)()(2)() /(3)( )( )(4)()( ) T T n n A B B A k A A k A A A A ---------==== （三） 关于矩阵转置的运算规律 (1)()(2)()T T T T T T A B B A A B B A =+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律 **1 *2 ***1* **1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(), ()(5)()1,()1 0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A n A A A kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A -------===≥===?? ==-??≤-?= ==若若若若可逆，则，， （五） 关于分块矩阵的运算法则 1 1 1 110000(2)000 0T T T T T A B A C C D B D B B B C C C C B -----?? ?? =????????????????==????????????????(1)；， （六） 求变换矩阵 ()121 1 2 11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--?? ? ?= ? ? ? ?===???????? ??? ? ? =→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1 T T -由求 （七） 特征值与矩阵

南京理工大学硕士研究生矩阵分析与计算试题答案

20XX 年南京理工大学硕士研究生 《矩阵分析与计算》考试（A 卷）参考答案 注意：所有试题答案都写在答题纸上，写在试卷上无效 一、（12分）设矩阵0.60.50.10.3A ??=????，计算21,,F A A A A ∞。 解：10.8, 1.1,F A A A ∞=== …………. 9 分 0.370.330.330.34T A A ??=???? m a x ()0.6853T A A λ≈， …………. 2 分 从而20.8278A == …………. 1 分 二、（15分）求矩阵141130001A -????=--?????? 的初等因子及Jordan 标准形。 解：初等因子 21,(1)λλ-+ …………. 10 分 Jordan 矩阵1111J ????=-????-?? …………. 5 分 三、（20分）已知1011011,11121A b ????????==???????????? （1）求A 的满秩分解；（2）求A +；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax b =是否有解；（4）求Ax b =的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解． 解：（1）101010101111A FG ??????==?????????? …………. 6 分

(2) 54114519112A +-????=-?????? …………. 6 分 (3) []21123 T b A b A += ≠,方程组无解； …………. 4 分 （4）极小范数最小二乘解为[]021129 T b x A +== …………. 4 分 四、（10分）利用盖尔圆隔离定理证明205141011210A i ????=?????? 有三互异特征值。 解：取(1,1,3)D diag =，则1B DAD -=的三个行盖尔园隔离，因此矩阵有3个互异特征值. ………….10 分 五、（10分）用LU 分解求解方程组 1234102040101312431301035x x x x ??????????????????=???????????????? ?? 解: 1020110200101011011243121210 10301012??????????????????=?????????????????? …………. 5 分 求解得到(2,2,1,1)T x = …………. 5分 六、（10分）利用幂法计算矩阵 1319????-?? 的按模最大特征值及对应特征向量。（取初始向量(1,1)T ,结果保留4位有效数字） 解: max 8.6055λ≈, 特征向量(0.3945,1)T ………… 10分

矩阵连乘算法

福州大学数学与计算机科学学院 《计算机算法设计与分析》上机实验报告（2）

i<=k

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 201７0０0６0牛晨晖 在数学中,矩阵就是一个按照长方阵列排列得复数或实数集合、矩阵就是高等代数学中得常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中、在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学与量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵得运算就是数值分析领域得重要问题。将矩阵分解为简单矩阵得组合可以在理论与实际应用上简化矩阵得运算。在电力系统方面,矩阵知识已有广泛深入得应用,本文将在介绍矩阵基本运算与运算规则得基础上,简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面得应用情况,并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统得紧密结合。 1矩阵得运算及其运算规则 1。1矩阵得加法与减法 1、1、1运算规则 设矩阵,,?则 ?简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置得元素相加减！?注意:只有对于两个行数、列数分别相等得矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算就是可行得. 1。1、２运算性质 满足交换律与结合律

交换律;?结合律. １.2矩阵与数得乘法 ?１。2、１运算规则?数乘矩阵Ａ,就就是将数乘矩阵A中得每一个元素,记为或.?特别地,称称为得负矩阵。 1。2、2运算性质?满足结合律与分配律?结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)Ａ＝λA+μA.?分配律:λ(A＋B)＝λＡ+λＢ. 1、2、3典型举例?已知两个矩阵 满足矩阵方程,求未知矩阵、?解由已知条件知 1、３矩阵与矩阵得乘法 ?１。3.1运算规则?设,,则A与B得乘积就是这样一个矩阵: (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即. (2) C得第行第列得元素由A得第行元素与B得第列元素对应相乘,再取乘积之与、 1、3、2典型例题

矩阵分析与计算教学大纲

编号：070111A16 课程名称：矩阵分析与计算 英文名称：Matrix Analysis and Computation 一、课内学时： 32 学分： 2 二、适用专业：理工科硕士生，经济学硕士生 三、预修课程：线性代数，微积分 四、教学目的：任何涉及数学的领域（包括工程学，最优 化，经济学，控制论，电子学，网络等等）都需要矩阵的知识。本课程介绍矩阵分析及计算的基本概念和基本方法，力求花较少的时间，使学生了解到较多的实用的概念和方法，做到知识面广，使学生有能力处理在各自学科研究中出现的矩阵基本问题。 五、教学方式：课堂授课 六、大纲内容（包括实验内容）及学时分配、对学生的要 求：(注：“*”表示重点，“#”表示难点，“★”表示涉及学科前沿，“●”表示研究性内容) 1、矩阵的标准型（6学时） 1.1矩阵的相似对角形 1.2矩阵的Smith标准形，不变因子，初等因子# 1.3Jordan 标准型*

1.4Hamilton-Cayley定理 1.5酉空间，酉矩阵 1.6酉相似标准型 2、向量范数，矩阵范数（6学时） 2.1 向量范数 2.2 矩阵范数* 2.3 矩阵范数与向量范数的相容性 2.4 矩阵的谱半径及应用 2.5 矩阵的条件数及应用 3、矩阵分解（3学时） 3.1 三角分解 3.4 矩阵的满秩分解* 3.5 矩阵的奇异值分解# 4、矩阵特征值的估计与计算（3学时） 3.1 盖尔圆定理 3.2 特征值的隔离* 3.3 幂迭代法与逆幂迭代法 5、广义逆矩阵（3学时） 5.1 Penrose 方程 5.2 {1}-逆的计算及性质 5.3 Moore.Penrose逆的计算及性质* 6、矩阵函数（3学时）

C#行列式,矩阵的各种算法

using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; //自己写的一个关于矩阵各种计算的算法，还有行列式的各种算法 //简单的几步，，，嘿嘿嘿，特意分享下 namespace Task1 { class JuZhen { public double[,] arr; //矩阵的成员变量 private int row, col; public double sum = 0.0; public JuZhen() { } public JuZhen(int a, int b) { row = a; col = b; } /*public void setRC(int a, int b) { row = a; col = b; } public int getR() { return row; } public int getC() { return col; }*/ public double[,] InputArr(int x, int y) //矩阵的输入函数,用于输入函数并且将输入的函数显示出来 { arr = new double[x, y]; for (int a = 0; a < x; a++)

for (int b = 0; b < y; b++) arr[a, b] = double.Parse(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("输入的矩阵为："); OutPrint(arr, x, y); //矩阵的显示 return arr; //返回输入的矩阵 } public void OutPrint(double[,] x, int a, int b) //矩阵的输出函数，调用此函数实现矩阵的输出 { for (int i = 0; i < a; i++) { for (int j = 0; j < b; j++) { Console.Write("{0} ", x[i, j]); } Console.WriteLine(""); //输完一行后换行 } } public double[,] QiuYuZiShi(double[,] x, int a) //求行列式的代数余子式矩阵， { double[,] temp; double[,] result = new double[a, a]; for (int i = 0; i < a; i++) //i,m两个for 循环对x矩阵遍历，求代数余子式 { for (int m = 0; m < a; m++) { temp = new double[a - 1, a - 1]; //生成余子式数组 for (int j = 0; j < a - 1; j++) //j为余子式列，i为行 for (int k = 0; k < a - 1; k++) { if(j < i && k < m) //判断构造的元素在去掉的列前面还是后面行的上面还是下面 temp[k, j] = x[k, j]; if (j < i && k >= m) temp[k, j] = x[k + 1, j]; if (j >= i && k < m) temp[k, j] = x[k, j + 1];

矩阵分析与计算(博)样题

计算题 一．(1) 设() =A ，①求A 的Jordan 标准形J 。可参照 P 16例1.3进行求解。 ②求矩阵函数At e 、A sin 。可参照P 127例6.5进行求解。 (2) 设λ矩阵() =)(λA ，求)(λA 的Smith 标准形和不变因子。可参照 P 10例1.1进行求解。 二．已知函数矩阵At sin 或At e ，求矩阵A ．类似题如P 131例6.8。 三．设(), =A (1) 求1A ，2A ，∞A ； (2) 若给以扰动X X A A R A ,001.022 33，并设使≤δ∈δ?分别为方程组AX =b 与(A +δA )X =b 的唯一解,试估计22X X X -的范围，这里0,3≠∈b R b 。用 P 59定理2.18，类似题如P 60例2.21。 四．（1）运用盖尔圆定理隔离矩阵() =A 的特征值。可参照P 92例 4.3。 （2）写出规范化的幂迭代法公式（P 93（4.3）），并求矩阵() =A 的按模最大的特征值及特征向量（计算4步）。类似题如P 94例4.4或课件上的例4.4。 五．已知()() ==b A ,，

(1)用满秩分解法求A的Penrose Moore-广义逆+A。 (2)用广义逆矩阵方法判断线性方程组b AX=是否有解。 (3)求线性方程组b AX=的极小范数解或极小范数最小二乘解。可参照P110例5.4、P117定理5.12及P155例8.1。 六．（1）用列主元法计算线性方程组b AX=的解。类似题如P145例7.2； （2）用Doolittle分解法计算线性方程组b AX=的解。类似题如P64例3.1及P147例7.3。 七．写出解线性方程组b AX=的Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式，并讨论其收敛性。可参照P164例9.1、9.2及P167例9.3。 八．写出共轭梯度法公式（P ），用共轭梯度法计算线性方程组 174 AX=的解。类似题如P174例9.5。 b 九．用Givens变换化向量x与 e共线。类似题如P73例3.5。 1 证明题 一．(1)、P25定理1.13的证明。(2)、P31推论1.13的证明。二．(1)、P43定理2.2的证明。(2)、P55定理2.15的证明。三．(1)、P67定理3.3的证明。(2)、P72定理3.6的证明。四．(1)、P106定理5.4的证明。(2)、P172定理9.12的证明。

算法和矩阵

算法和矩阵 安徽理（11 ）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.【解析】由算法框图可知，若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15. 北京理4.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为A. ；B. ；C. ；D. 【解析】：循环操作4次时S的值分别为，选D。 福建理11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______。3

PRINT END 第4题图 21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设矩阵（其中a＞0，b＞0）． （I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1； （II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b的值． 21．（1）选修4—2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。 解：（I）设矩阵M的逆矩阵，则 又，所以， 所以

故所求的逆矩阵 （II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点， 福建文5 则，又点在曲线上， 所以,,则为曲线C的方程， 又已知曲线C的方程为

又 福建文5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．3 B．11 湖南理13 C．38 D．123 B 开始 输入 开始 开始 否 是 结束 输出 开始 图2 湖南理13、若执行如图3所示的框图，输入 ，则输出的数等于。 答案： 解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 则 湖南文11．若执行如图2所示的框图，输入 则输出的数等于 ．

矩阵分析与计算(博)样题(16.6)

计算题 一．设() =A ，求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm 。 可参照 P 16例1.3、P 27例1.13 进行求解。 二．（1）已知函数矩阵At sin 或At e ，求矩阵A ．类似题如P 131例6.8。 （2）对（1）中的矩阵A ，求微分方程组() ?????=+= )0()(x t f Ax dt dx 的解。可用P 136公式(6.13)，参 照P 136例6.12 进行求解。 三．（1）设(), =A 求14 1max Ax x =。类似题如P 50例2.11。 （2）讨论下列矩阵幂级数的敛散性。可参照P 56例2.17。 四．（1）运用盖尔圆定理判断矩阵() =A 有不同的实特征值。可参照P 92例4.3。 （2）写出规范化的幂迭代法公式（P 93（4.3）），并求矩阵() =A 的按模最大的特征值及特征向量（计算4步）。类似题如P 94例4.4或课件上的例4.4。 五．已知() =A ， (1) 求A 的满秩分解。 (2) 求A 的Penrose Moore -广义逆+A 。可参照P 85例3.9、P 110例5.4。 六．用列主元法计算线性方程组b AX =的解。类似题如P 145例7.2。 七．写出解线性方程组b AX =的Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代格式，并讨论其收敛性。可参照P 164例9.1、9.2及P 167例9.3。 八．写出共轭梯度法公式（P 174），用共轭梯度法计算线性方程组b AX =的解。类似题如P 174例9.5。 九．用Givens 变换化向量x 与1e 共线。类似题如P 73例3.5。 证明题 一．P 34定理1.22的证明。 二．P 43定理2.2的证明。 三．P 111定理5.7的证明。 四．P 86定理3.17的证明。 五．P 172定理9.13的证明。