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数字信号处理教案

数字信号处理教案

课程特点:

本课程是为电子、通信专业三年级学生开设的一门课程,它是在学生学完了信号与系统的课程后,进一步为学习专业知识打基础的课程。本课程将通过讲课、练习使学生掌握数字信号处理的基本理论和方法。课程内容包括:离散时间信号与系统;离散变换及其快速算法;数字滤波器结构;数字滤波器设计;数字信号处理系统的实现等。 本课程逻辑性很强, 很细致, 很深刻;先难后易, 前三章有一定的难度, 倘能努力学懂前三章(或前三章的0080), 后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成。这是因为数字信号分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的。论证训练是信号分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一。 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是信号分析教学贯穿始终的一项任务。

鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成。 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写。基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业。在学习中, 要养成多想问题的习惯。

课堂讲授方法:

1. 关于教材: 《数字信号处理》 作者 丁玉美 高西全 西安电子科技大学出版社

2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重。.

3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论、定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧,某些精细概念之间的本质差别. 在教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.

4. 要求、辅导及考试:

a. 学习方法: 适应大学的学习方法, 尽快进入角色。 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记,课后一定要认真复习消化, 补充笔记,一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3 。

b. 作业: 大体上每两周收一次作业, 一次收清。每次重点检查作业总数的三分之一。

作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩。 c. 辅导: 大体两周一次。

d. 考试: 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容。

课程的基本内容与要求

第一章. 时域离散信号与时域离散系统 1. 熟悉6种常用序列及序列运算规则;

2. 掌握序列周期性的定义及判断序列周期性的方法;

3. 掌握离散系统的定义及描述方法(时域描述和频域描述);

4. 掌握LSI 系统的线性移不变和时域因果稳定性的判定; 第二章 时域离散信号与系统的傅立叶变换分析方法

1. 熟练掌握傅里叶正反变换的定义基本性质和定理;

2. 了解周期序列的两种频域分析方法;

3. 重点掌握利用傅里叶变换对系统进行频域分析 第三章 时域离散信号与系统的Z 变换分析方法 1. 熟练掌握Z 正变换和其反变换的计算方法;

2. 重点掌握Z 变换收敛域的定义、收敛域的特点、收敛域的确定及收敛域与极点的关系;

3. 熟悉典型序列Z 变换的收敛域(双边,因果,左、右序列);

4. 掌握Z 变换的主要性质与定理(共轭对称性,时移、频移性质,时域卷积性质等),并能熟练运用这些定理进行运算和证明;

5. 掌握Z 变换的意义及与DTFT (离散时间傅里叶变换)的关系;

6.重点掌握LSI 系统的Z 域描述——系统函数)

()

()(z X z Y z H =

与系统频响)

()

()(jw

jw jw

e X e Y e H =的物理意义; 7. 重点掌握LSI 系统Z 域因果稳定性的判定;

8. 掌握Z 变换与连续信号拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,掌握S 域到Z 域的映射关系;

第四章 离散傅里叶变换

1. 握DFT 的定义、物理意义及与Z 变换(ZT)、连续信号傅里叶变换(CTFT)、离散傅里叶变换(DTFT)和傅里叶级数(DFS)的关系;

2. 重点掌握DFT 隐含周期性的意义;

3. 了解DFS 变换对的定义及性质;

4. 重点掌握DFT 的一些重要性质及应用(线性,圆周共轭对称性,时域、频域循环移位性质,圆周卷积和性质);

5. 掌握频域抽样理论的意义及应用;

6. 了解利用DFT 计算模拟傅里叶变换对(CTFT)和离散傅里叶级数(DFS)的方法;

7. 了解序列的抽取与插值及其频谱的关系。 第五章 快速傅里叶变换

1. 了解FFT 与DFT 的关系:只是计算方法的改进,基本没有引入新的物理概念;

2. 掌握FFT 算法的原理:利用DFT 的运算规律及其中某些算子的特殊性质(nk

N W 的周期

性和对称性),找出减少乘法和加法运算次数的有效途径;

3. 掌握基-2 DIT —FFT 和基-2 DIF —FFT 算法的基本思想及特点(算法思想,运算量,运算流图,结构规则等);

4. 掌握线性卷积和线性相关的FFT 算法; 第六章 模拟信号数字处理

1. 了解模拟信号数字处理的原理;

2. 重点掌握奈奎斯特抽样定理及其意义,熟悉连续信号采样前后的频谱关系及内插恢复过程。了解理想抽样信号与实际抽样信号的频谱差别;

3. 掌握用FFT 对模拟信号进行频谱分析的方法步骤及其近似性。 第七章 数字滤波器的基本结构

1. 重点掌握IIR DF 的系统函数)(z H 的实现结构、各结构的特点及对滤波器性能的影

响;

2. 重点掌握FIR DF 的系统函数)(z H 的实现结构(直接型结构,级联结构,频率采样、线性相位结构)及其特点; 第八章IIR DF 的设计方法

1. 重点掌握和理解滤波器设计指标(st c ωωδδ、、、21)的描述及意义,弄懂设计规则(幅度平方响应,相位相应,群延迟)的意义;

2.重点掌握最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统)(z H 的零极点的特点及其应用;

3. 重点掌握由模拟滤波器)(s H a 映射到数字滤波器)(z H 的方法:冲激响应法和双线性变换法;

4. 掌握由模拟低通原型到数字各型滤波器的设计步骤(从技术指标到完成设计的全过

程);

5. 了解直接在数字域设计IIR DF 的方法; 第九章 FIR DF 的设计方法

1. 重点掌握FIR DF 线性相位的概念,即线性相位对)()(ωH n h 、及零点的约束,了解四种FIR DF 的频响特点;

2. 掌握FIR DF 窗函数的设计方法及特点,熟悉六种窗函数的特点,掌握窗长对频谱的影响;

3. 理解频率抽样设计法的概念及理论依据,掌握设计步骤及要点;

4. 了解设计FIR DF 的最优化方法

5. 比较IIR DF 和FIR DF 的优缺点。

参考文献目录

1. Alan S.Oppenheim,Alan S.Willsky,S.Hamid Nawab,Signals and Systems(Second Edition) (英文版),北京,电子工业出版社,2002

2. A.V.奥本海姆,R.W.谢弗,J.R.巴克,离散时间信号处理(第二版),刘树棠,黄建国译。西安,西安交通大学出版社,2001

3. 程佩青,数字信号处理教程(第二版),北京,清华大学出版社,2001

4. 程佩青,数字信号处理教程习题分析与解答(第二版),北京,清华大学出版社,2002

5. 胡广书,数字信号处理-理论、算法与实现(第二版),北京,清华大学出版社,2003

6. 丁玉美,高西全,数字信号处理(第二版),西安,西安电子科技大学出版社,2001

7. 高西全,丁玉美,数字信号处理(第二版)-学习指导,西安,西安电子科技大学出版社,2001

8. 全子一,周利清,门爱东,数字信号处理基础,北京,北京邮电大学出版社,2002

9. Edward W. Kamen,Bonnie S. Heck,Fundamentals of Signals and Systems—Using the Web and MA TLAB (Second Edition) (英文版),北京,科技出版社,2002

10. 应先珩,冯一云,窦维蓓,离散时间信号分析和处理,北京,清华大学出版社,2001

11. Paulo S.R. Diniz,Eduardo A.B. da Silva,Sergio http://www.sodocs.net/doc/facda5b6370cba1aa8114431b90d6c85ed3a8871.htmlto,Digital Signal Processing—System Analysis and Design(英文版),北京,电子工业出版社,2002 12. Chi-Tsong Chen,Digital Signal Processing Spectral Computation and Filter Design(英文版),北京,电子工业出版社,2002

13. 彭启琮,李玉柏,管庆,DSP技术的发展与应用,北京,高等教育出版社,2002

14. 彭启琮,TMS320C54X实用教程,成都,电子科技大学出版社,2000

15. 彭启琮,李玉柏,DSP技术,成都,电子科技大学出版社,1997

16. 彭启琮,李玉柏,管庆,DSP技术,成都,电子科技大学出版社,1995

17. (美)维纳.K.恩格尔,约翰.G.普罗克斯,数字信号处理-使用MA TLAB,刘树棠译,西安,西安交通大学出版社。

第一讲(2学时)

绪论

要点:

一:数字信号处理的学科概貌

二:数字信号与系统的特征

三:数字信号处理系统的基本组成

四:数字信号处理的应用

五:数字信号处理的发展方向

第二讲(2学时)

第一章时域离散时间信号与时域离散系统

内容:

一序列的运算

1.乘法和加法

2. 移位、翻转及尺度变换 卷积

二几种常用序列:

单位采样序列δ(n)

矩形序列RN(n)

实指数序列

单位阶跃序列u(n)

正弦序列

三序列的周期性

四用单位抽样序列来表示任意序列

要求:

6.熟悉6种常用序列及序列运算规则;

7.掌握序列周期性的定义及判断序列周期性的方法;

作业:P28 1, 4

第三讲(2学时)

内容:

一线性系统

二移不变系统

三单位抽样相应与卷积和

四线性移不变系统的性质

五因果系统

六稳定系统

要点:

1.满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列,其输出分别用y1(n)和y2(n)表示,即

y1(n)=T[x1(n)],y2(n)=T[x2(n)]

那么线性系统一定满足下面两个公式:

T[x1(n)+x2(n)]= y1(n)+y2(n)

T[a x1(n)]=ay y1(n)

2. 如果系统对输入信号的运算关系T [·]在整个运算过程中不随时间变化,或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关,则这种系统称为时不变系统,用公式表示如下:

y(n)=T [x(n)]

y(n-n0)=T [x(n-n0)]

3.

设系统的输入x(n)=δ(n),系统输出y(n)的初始状态为零,定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应,用h(n)表示。换句话说,单位取样响应即是系统对于δ(n)的零状态响应。用公式表示为

h(n)=T [δ(n)]

h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似,都代表系统的时域特征。设系统的输入用x(n)表示,按照(1.2.13)式表示成单位采样序列移位加权和为

4. 线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下:

x(n)*h(n)=h(n)*x(n) x(n)*[h1(n)*h2(n)]=(x(n)*h1(n))*h2(n) x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

5.

如果系统n 时刻的输出,只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列,而和n 时刻以后的输入序列无关,则称该系统具有因果性质,或称该系统为因果系统。如果n 时刻的输出还取决于n 时刻以后的输入序列,在时间上违背了因果性,系统无法实现,则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。

线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式: h(n)=0, n<0

满足上式的序列称为因果序列,因此,因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果系统的条件从概念上也容易理解,因为单位取样响应是输入为δ(n)的零状态响应,在n=0时刻以前即n<0时,没有加入信号,输出只能等于零。

6.

所谓稳定系统,是指系统有界输入,系统输出也是有界的。LSI 系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和,用公式表示为 要求:

掌握LSI 系统的线性移不变和时域因果稳定性的判定方法。 作业:

P 29 6. (1) ,(2) 7. (1) ,(2) 8.

第四讲 (2学时)

常系数线性差分方程 内容:

描述一个系统,可以不管系统内部的结构如何,将系统看成一个黑盒子,只描述或者研究系统输出和输入之间的关系,这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统,我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对于时域离散系统,则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统,经常用的是线性常系数差分方程,本节主要介绍这

()()()

m x n x m n m δ∞

=-∞

=-∑

()n h n ∞=-∞

<∞

类差分方程及其解法。差分方程均指线性常系数差分方程,本书中不另说明。 要点:

1.线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列,通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种:

(1) 经典解:通过奇次解和特解而获得。 (2)迭代法(递推法):适合计算机求解,获得数值解。 (3)变换域法:如利用z 变换法求解。

对于实际系统,用迭代法求解,总是由初始条件向n>0的方向递推,是一个因果解。但对于差分方程,其本身也可以向n<0的方向递推,得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统,还需要用初始条件进行限制。

作业:

P 30 10, 13,14

第五讲 (2学时)

第二章 FT 内容

一:傅里叶变换的定义

二:傅里叶变换的特点 1.)(ω

j e X 是ω的连续函数

2.)(ω

j e X 是ω的周期函数,周期为π2 3.)(ω

j e

X 存在的条件是序列绝对可和

4.由)(ω

j e X 可得到x (n )的幅度谱、相位谱、能量谱

作业:

P 48 2. 3,6

第六讲 (2学时)

傅里叶变换的一些性质 内容:

一:共轭对称与共轭反对称序列的定义; 二:傅里叶变换的奇、偶、虚、实对称性; 三:实序列的奇、偶、虚、实对称性; 要点:

1. 若序列分为共轭对称与共轭反对称分量

)()()(n x n x n x o e +=

()()1()()2j j n n j j n X e x n e x n X e e d ω

ωπ

ωωπ

ωπ∞

-=-∞

-==∑?

则有

)()]()([21

)]([ωωωj R j j e e X e X e X n x DTFT =+=*

)()]()([2

1

)]([ωωωj I j j o e jX e X e X n x DTFT =-=*

即序列的共轭对称部分)(n x e 的DTFT 对应着序列DTFT 的实部,而序列的共轭反对称部分

)(n x o 的DTFT 对应着序列DTFT 的虚部乘j 。

2. 若序列分为实部与虚部 )()()(n jx n x n x i r +=

)]()([2

1

)(n x n x n x r *+=

)]()([21

)(n x n x j

n x i *-=

则有

)()]()([21

)([ωωωj e j j r e X e X e X n x DTFT =+=-*

)()]()([2

1

)]([ωωωj o j j i e X e X e X n jx DTFT =-=-*

即序列的实部)(n x r 的DTFT 对应着序列DTFT 的共轭对称分量,序列的虚部)(n x i 的DTFT 对应着序列DTFT 的共轭反对称分量

3. 对于实序列,其DTFT 只有共轭对称部分, 共轭反对称部分为零。

)()(ωωj e j e H e H =

)()(ωωj j e H e H -*=

因此实序列的DTFT 的实部是偶函数, 虚部是奇函。

第七讲 (2学时)

时域卷集于频域卷积定理重点讲解(参考教材) 作业:

P 48 8,9,12

第八讲 (2学时)

第三章 ZT 内容: 引言

1()[()()]

21

()[()()]

2

e o x n x n x n x n x n x n **=+-=--

信号和系统的分析方法有两种, 即时域分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中, 信号一般用连续变量时间t 的函数表示, 系统则用微分方程描述。 为了在频率域进行分析, 用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。 而在时域离散信号和系统中, 信号用序列表示, 其自变量仅取整数, 非整数时无定义, 而系统则用差分方程描述。 频域分析是利用Z 变换或傅里叶变换这一数学工具。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换, 它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的,但都是线性变换,很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z 变换, 以及利用Z 变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。

变换的定义与收敛域 一: Z 变换的定义 二: Z 变换的收敛域 1. 有限长序列 2. 右边序列 3. 左边序列 4. 双边序列 2.3 Z 反变换

一 围线积分法(留数法) 二 部分分式展开法 三 幂级数展开法 要点

1. 序列x(n)的Z 变换定义为

式中z 是一个复变量, 它所在的复平面称为z 平面。 注意在定义中, 对n 求和是在±∞之间求和,称为双边Z 变换。 Z 变换存在的条件是等号右边级数收敛, 要求级数绝对可和,

Z 变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示:

2. 序列的特性决定其Z 变换收敛域 要求

1. 熟练掌握Z 正变换和其反变换的计算方法;

2. 重点掌握Z 变换收敛域的定义、收敛域的特点、收敛域的确定及收敛域与极点的关系;

3. 熟悉典型序列Z 变换的收敛域(双边,因果,左、右序列); 作业: P 78 1.(1)(3)(5) 3,5

第九讲 (2学时)

Z 变换的基本性质和定理 内容

()()n

n X z x n z ∞

-=-∞

=∑

()n n x x x n z R z R ∞

-=-∞-+

<∞

<<∑

一 线性

二 序列的移位

设X(z)=ZT [x (n )], R x-<|z|

则)()](z X z m n x m -=-ZT[, R x-<|z|

三 乘以指数序列(Z 域尺度变换)

设 X(z)=ZT [x (n)], R x-<|z|

y(n)=a n x (n ), a 为常数 则 Y(z)=ZT [a n x (n )]

=X( z/a) |a|R x-<|z|<|a|R x+ 四 序列的线性加权 设

五 共轭序列

六 翻褶序列

若 X(z)=ZT [x (n )]则

)1()]([z

X n x ZT =-

七 初值定理

设 x(n)是因果序列,X(z)=ZT [x (n )]则

八 终值定理

若x(n)是因果序列,其Z 变换的极点,除可以有一个一阶极点在z=1上,其它极点均在单位圆内,则

九 有限项累加特性

若 X(z)=ZT [x (n )]则

)(z X ∑==

n

m 1

-z z

x(m)ZT [ 十 序列的卷积和

()[()]()

[()]x x x x X z ZT x n R z R dX z ZT nx n z R z R dz

-+-+=<<=-<<*******

****()[()],()[()],[()]()[()()][()()]()x x x x n n n n n X z ZT x n R z R X Z ZT X n R z R ZT X n X n z x n Z x n Z X Z -+

-+∞--=-∞

-=-∞

======∑∑

(0)lim ()

x x X z →∞=1

lim ()lim(1)()

x x x n z X z →∞→=-()()()()[()],x x n x n y n X z ZT x n R z R ω-+

=*=<<

十一 序列相乘(Z 域复卷积定理)

如果 ZT [x(n)]=X(z), R x-<|z|

z

X j z Y c 1)()(21)(-?=

π ++--<

要求:

掌握Z 变换的主要性质与定理(共轭对称性,时移、频移性质,时域卷积性质等),并能熟练运用这些定理进行运算和证明。 作业: P 78 6

第十讲 (2学时)补充内容

序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 问题:

(1) 连续信号的拉普拉斯变换和的离散信号的Z 变换均为变换域信号的描述,它们

的共同点是什么?引入这些变换对信号分析和系统分析有什么价值?

(2) 连续信号的拉普拉斯变换及其抽样信号的Z 变换是否存在对应关系? 一: Z 变换与拉普拉斯变换之间对应关系

)2(1)()()(T

jk s X T e X s X z X k s a e z st

st

π-===∑+∞-∞==

二:Z 变换与傅里叶变换之间对应关系

)2(1)()(T

jk j X T e X z X k s j e z j π

ω

ω

-Ω==∑+∞-∞==

要点

(1).S 平面到Z 平面的映射关系

(2.)数字频率与模拟频率之间的关系

X(e jw )与Xa(j Ω)之间有什么关系, 数字频率ω与模拟频率Ω(f)之间有什么关系, 这在数字信号数字处理中,是很重要的问题。

第十一讲 (2学时)

离散系统的系统函数、系统的频率响应 内容:

一:LSI 系统变换域因果稳定性判定;

系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定,收敛域包含∞点和单位圆,那么收敛域可表示为

r<|z|≤∞, 0

二:系统函数和差分方程的关系 三:频率响应的意义;

四:频率响应的几何确定法;

五:无限长单位冲激响应(IIR )与有限长单位冲激响应(FIR ) 要点: 1. 系统函数的描述

2.

用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性;

因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n<0时,h(n)=0,那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点,即∞点不是极点,极点分布在某个圆的圆内,收敛域在某个圆外。 系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定,收敛域包含∞点和单位圆,那么收敛域可表示为

r<|z|≤∞, 0

利用系统的极零点分布分析系统的频率特性;

靠近单位圆的零点决定频率响应的波谷,靠近单位圆的极点决定频率响应的波峰; 要求:

1.重点掌握LSI 系统的Z 域描述——系统函数)

()

()(z X z Y z H =

与系统频响)

()

()(jw

jw jw

e X e Y e H =的物理意义; 2.重点掌握LSI 系统Z 域因果稳定性的判定; 作业:

P 78 7 8 10

第十二讲 (2学时)

离散傅里叶变换(DFT) 内容: 引言

离散傅里叶变换的几种可能形式

一:连续时间、连续频率——傅里叶变换(CTFT ) 二:连续时间、离散频率——傅里叶级数(CFS )

三:离散时间、连续频率——序列傅里叶变换(DTFT ) 四:离散时间、离散频率——离散傅里叶变换(DFT ) 周期序列的离散傅里叶级数(DFS )

0()()()M i

i i N

i

i i b z Y z H z X z a z -=-===∑

离散傅里叶级数的性质

要求:

1. 掌握连续信号傅里叶变换(CTFT)、离散傅里叶变换(DTFT)和傅里叶级数(DFS)、离散傅

里叶变换(DFT )的内在关系;

2. 了解DFS 变换对的定义、性质及与Z 变换(ZT)的关系; 作业:

P 90 1,2,3

第十三讲 (2学时)

离散傅里叶变换(DFT )——有限长序列的离散频域表示 内容

一:DFT 的定义

设x(n)是一个长度为N 的有限长序列, 则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为

∑-==1

)()(N n nk

N

W n x k X

nk

N

N k W k X N n x --=∑=10

)(1)( 二:DFT 隐含的周期性

三:DFT 与ZT 的关系 离散傅里叶变换的性质 一:线性

二:序列的圆周(循环)移位 要点:

1. 任何周期为N 的周期序列都可以看作长度为N 的有限长序列x(n)的周期延拓序列, 而x(n)则是周期序列的一个周期。

2. DFT 变换对中, x(n)与X(k)均为有限长序列, 但由于nk

N

W 的周期性, 使DFT 隐含周

期性, 且周期均为N 。

3.

设序列x(n)的长度为N ,则 其DFT 为单位圆上的Z 变换 作业: P 91 4

三:共轭对称性

四:DFT 形式下的帕塞瓦定理 五:圆周卷积和 要点:

1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 .

为了区别于DTFT 所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列, 分别用)(n x

ep

和)(n x op 表示

有限长共轭对称序列和共轭反对称序列。如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样, 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和, 即

)()()(n x n x n x op ep +=

3. DFT 的奇、偶,虚、实对称性

若 )()()(n x n x n x op ep +=

)(]))(())(([21

)(n R n N x n x n x N N N ep -+=*

)(]))(())(([2

1

)(n R n N x n x n x N N N Op --=*

则有

)()]()([21

)]([k X K X k X n x DFT R ep =+=*

)()]()([2

1

)]([k X K X k X n x DFT I op =-=*

即有限长序列的周圆共轭对称部分)(n x ep 的DFT 对应着序列DFT 的实部,而有限长序列的周圆共轭反对称部分)(n x op 的DFT 对应着序列DFT 的虚部乘j 。 若)()()(n x n x n x i r +=

)]()([21

)(n x n x n x r *+=

)]()([2

1

)(n x n x n x i *-=

则有

)()]())(()([21

)]([k X k R K N X k X n x DFT ep N N r =-+=*

)()]())(()([2

1

)]([k X k R K N X k X n jx DFT op N N i =--=*

即有限长序列的的实部)(n x r 的DFT 对应着序列DFT 的圆周共轭对称分量,有限长序列的虚部)(n x i 的DFT 对应着序列DFT 的线性卷积共轭反对称分量。 4. 对于实序列,其DFT 只有共轭对称部分, 共轭反对称部分为零。

)()(k H k H ep =

)())(()(k R k N H k H N N -=*

因此实序列的DFT 的实部是偶函数, 虚部是奇函数。 5. DFT 的应用

(1)利用DFT 的共轭对称性, 通过计算一个N 点DFT , 可以得到两个不同实序列的N 点DFT 。

(2)利用N 点DFT 计算一个2N 点实序列的DFT (见本章习题22) 要求:

重点掌握DFT 的一些重要性质及应用(线性,圆周共轭对称性,时域、频域循环移位性质,圆周卷积和性质); 作业: P 91 5, 6

第十四讲 (2学时)

讲授内容: 六:圆周相关

七:有限长序列的线性卷积与圆周卷积 要点:

1. 圆周相关的定义

2. 线性卷积与圆周卷积的关系

3. 线性卷积等于圆周卷积的条件 作业: P 91 7

第十五讲 (2学时)

快速傅里叶变换(FFT) 引言

DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算DFT 的计算量与变换区间长度N 的平方成正比,当N 较大时,计算量太大,所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前,直接用DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT 的一种快速算法以后,情况才发生了根本的变化。 直接计算DFT 的特点及减少运算量的基本途径

N 点DFT 的复乘次数等于2

N 。显然,把N 点DFT 分解为几个较短的DFT ,可使乘法次

数大大减少。另外,旋转因子nk

N W 具有明显的周期性和对称性。

按时间抽选(DIT )基-2FFT 算法

(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT) 一:算法的基本原理

二:与直接计算DFT 运算量的比较

每一级运算都需要N/2次复数乘和N 次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以,M 级运算总共需要的复数乘次数为 复数乘次数为

三:DIT ―FFT 的运算规律 1.原位计算

22(2)log 22(2)log M A N N

C M N

C N M N N =?==?=

2.旋转因子的变化规律

3. 蝶形运算规律

4. 序列的倒序

第十六讲(2学时)

内容:

按时间抽选(DIT)基-2FFT算法

(Decimation In Frequency FFT,简称DIF―FFT)

一:算法的基本原理

二:DIF―FFT的运算规律

1.原位计算

2.旋转因子的变化规律

3. 蝶形运算规律

4. 序列的倒序

IDFT的快速算法

进一步减少运算量的措施

1.多类蝶形单元运算

2.旋转因子的生成

3.实序列的FFT算法

作业 P104 1,2,3

第十七讲(2学时)

线性卷积与线性相关的FFT算法

一:用FFT计算线性卷积

在实际应用中,为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等,需要计算两个序列的线性卷积,与计算圆周卷积一样,为了提高运算速度,也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。

二:分段卷积法

1.重叠相加法

2. 重叠保留法

三:线性相关的FFT算法

要求

1. 理解FFT与DFT的关系:只是计算方法的改进,基本没有引入新的物理概念;

W的周期性2. 掌握FFT算法的原理:利用DFT的运算规律及其中某些算子的特殊性质(nk

N

和对称性),找出减少乘法和加法运算次数的有效途径;

3.掌握基-2 DIT—FFT和基-2 DIF—FFT算法的基本思想及特点(算法思想,运算量,运算流图,结构规则等);

4.掌握线性卷积和线性相关的FFT算法;

第十八讲(2学时)

连续时间信号的抽样

内容:

一 理想抽样 二 抽样的恢复 三 实际抽样

四 正弦信号的抽样 要点:

2. 奈奎斯特抽样定理的意义

3. 对连续信号进行等间隔采样形成抽样信号,抽样信号的频谱是原连续信号的频谱以抽样

频率为周期进行周期性的延拓形成的,用公式(1-40)表示。

4. 设连续信号xa(t)属带限信号,最高截止频率为Ωc ,如果采样角频率Ωs ≥2Ωc ,那么让

采样信号x^a(t)通过一个增益为T ,截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器,可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则Ωs<2Ωc 会造成采样信号中的频谱混叠现象,不可能无失真地恢复原连续信号。

5. 由时域离散信号xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程 要求:

1. 掌握离散系统的定义及描述方法(时域描述和频域描述);

2. 重点掌握奈奎斯特抽样定理及其意义,熟悉连续信号采样前后的频谱关系及内插恢复过

程。了解理想抽样信号与实际抽样信号的频谱差别。

第十九讲 (2学时)

讲授内容:

抽样Z 变换——频域抽样定理 研究问题:

频域抽样对时域序列的限制

由)(k X 不失真恢复)(z X 的条件(频域抽样定理)

一:频域抽样定理

设任意序列x(n)的Z 变换为

且X(z)的收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N 点得到

∑∞

-∞

===

=n kn N

j

e

Z e

n x Z X k X K N

j

ππ2)()

()(2

则频域抽样造成时域周期延拓,延拓序列与周期序列的关系分别如下:

如果序列x(n)的长度为M , 则只有当频域采样点数N ≥M 时,才能由)(~

n x 不失真的恢复原序列)(n x M , 否则产生时域混叠现象。 这就是所谓的频域采样定理。

1~0~

()()

()()()()()N k N N N r x n x n rN x n x n R n x n rN R n -=∞=-∞

=+==+∑

()()n

n X z x n z ∞

-=-∞=∑

二:频域的恢复

设序列x(n)长度为M , 在频域0~2π之间等间隔采样N 点, N ≥M , 则有

将上式代入X(z)的表示式中得

进一步化简可得

上式即为内插恢复公式。令ω

j e

Z =经化简可得傅里叶变换)(ω

j e

X 的内插函数和内插公式,

利用DFT 计算模拟信号的傅里叶变换(级数)对 本节讨论的是用DFT 计算CTFT 和CFS 的问题

?)(k X 是否为)(Ωj X a 的准确抽样

?)(k X 的反变换)(n x 是否为)(t x a 的准确抽样,即是否包含了)(t x a 全部信息 内容

一:对连续时间非周期信号的傅里叶变换(CTFT )的DFT 逼近 二:对连续时间周期信号的傅里叶级数(CFS )的DFS 逼近

三:利用DFT 对非周期连续时间信号傅里叶变换对逼近的全过程图解 四:利用DFT 计算连续时间信号时可能出现的几个问题

(1) 混叠现象。

(2) 频率泄漏

210

1

0()()()(),0,1,2,,1

1()()[()]()j k N N n

n z e N kn

N k X z x n z X k X z k N x n X z X k X k W N π--==--====???-==∑

1

10

01

100

11

01()[()]1()11()1N N kn

n

N n k N N kn n

N k n kN N

N N k k N X z X k W z N X k W z N W z X k N W z ---==----==-----===-=-∑∑

∑∑

1101

1

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111()1()()()

N

N k k N N

k k N N k k z X z X k N W z z z N W z X z X k z ??----=----=-=--=-=∑

1

01()22()()()

1sin(/2)()sin(/2)

N j k N j X e X k k N N e

N ω

ωπ?ωω?ωω-=-=-=∑