数学思想来武装,巧思妙解放光芒--

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高中数学竞赛系列讲座之二——一

数学思想来武装，巧思妙解放光芒--

一道数学竞赛题的一题多解

一、引子北京市中学生数学竞赛有着悠久的历史。近十几年来，北京市中学生数学竞赛是在初二和高一两个年级进行。1990年起分为初试和复试，初试以普及为主，复试则适度提高。命题紧密结合中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一。数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动。通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质。数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式。北京市十几年的数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情。下面，笔者尝试通过一道北京市高一年级数学竞赛的初试题的一题多解，与读者共同享受数学智慧的灿烂阳光。

二、题目

北京市1992年数学竞赛高中一年级初试“二、填空题”第4题如下：

4、若 sin2x+cosx+a=0 有实根，试确定实数a的取值范围是什么？

题目短小干炼，满分8分。

三、试解

方程中的求知数是x，出现了x的两种三角函数Sinx，Cosx.。而Sin2x=1-cos2x,好了，变一变，原方程就化成了

cos2x-cosx-1-a=0 ①

如果原方程中 x有实根，则cosx就会有对应的实数，令t= cosx，这样方程①就化成了

t2-t-1-a=0 ②

因此，方程②就应该有实数根，因此它的判别式△=(-1)2-4(-1-a)=4a+5≥0,所以a≥-(5/4)

故实数a的取值范围是a≥-(5/4)

这个答案对吗？

当a≥-(5/4)时，一定有△≥0，方程②一定有实数根，问题是cosx=t有实根x就一定有实数根吗？注意到余弦函数的值域是cosx∈[-1，1]，故②有实根并不能保证cosx=t一定在[-1，1]内，可见上面的解答是不严密的，思维不缜密的同学可能就会在这里出错。这是试题设置的一个隐蔽的陷阱。

四、反思

怎么办呢？

如果能保证方程②的实数解t在区间[-1，1]内，则最简三角方程cosx=t就必有实数解

x=2kπ±arccost, 好，这样一来，问题就转化为当方程②有位于[-1，1]中的实数根时，求实数a的取值范围什么？

由方程②得：

故当a∈[-(5/4),1]∪[-(5/4),-1]=[-(5/4),1]时，原方程有关于x的实数根。

以上的方法用到了一元二次方程求根公式，用到了解两个无理不等式组成的不等式组，用到了集合的交集和并集。心里感觉踏实了，但运算较繁杂，有没有更好一些的方法？

五、改进

如果记方程②的左端为f(t),即

f(t)=t2-t-1-a

则方程②有[-1，1]中的实数解就等价于二次函数f(t)=t2-t-1-a 的图象抛物线在[-1，1]内与t轴有交点。数转化为形，以形助数。好，试试看。

当抛物线与t轴在[-1，1]内只有一个交点时，当且仅当

f(-1)f(1)≤0即

(1-a)(-1-a)≤0, 解之，有 -1≤a≤1；③

当抛物线与t轴在[-1，1]内有两个交点时，当且仅当

由③④得，当a∈[-1,1]∪[-(5/4),1]=[-(5/4),-1]时，y=f(t)与t轴在[-1，1]内有交点，方程②有实数解。

由于f(1)、f(-1)，Δ等的计算比较简便，上述解法是不是比较简捷一点？

六、换个角度看问题

诗曰：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”我们前面的解题思路，都把注意力注意在了“方程有实根”上，跳不出“方程有实根”的如来佛手心，“五”中的解法就渗透了数形转换，已属巧解。如果换个角度看问题，将方程①移项变形得

a=cos2x-cosx-1

视a为x的函数，用逆向思维来思考：x有实数解，则有cosx ∈[-1,1],a=[cosx-(1/2)]2-(5/4)当cosx=(1/2)时有最小值a最小=-(5/4)；当cos=-1时有最大值a最大=(9/4)-(5/4)=1，故函数值域为

a∈[-(5/4),1]。反之，当a在[-(5/4)，1]中取值时，cosx一定在[-1，1]中取值，x一定有实数解与之对应，你看，a的取值范围不是就求出来了吗？

七、变式

西游记中的孙悟空神通广大，能八九七十二变。好的数学题也会有一些“变式”。从上面的解法中你还能想到些什么？你能改编出一个相应的题目吗？试试看。

无独有偶，九年后的新千年第一年，2001年，北京市中学生数学竞赛高中一年能初赛试题“二、填空题”的最后一题即第8题如下：“8、若关于x的方程式sin2x+sinx+a=0 有实数解，求实数a的最大值与最小值的和”

读者诸君欣赏至此，是不是会“会心地笑了。”

八、启示

回顾以上解题过程，我们用到了方程的思想，等价转化的思想，数形结合转化的思想，变换角度看问题及逆向思维的思想。思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。比较以上各种解法，你得到了什么样的启示？

高中数学竞赛系列讲座

北京十二中刘文武

第一讲集合与容斥原理

数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。

集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深

化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。

一、学习集合要抓住元素这个关键。

遇到集合问题，首先要弄请：集合里的元素是什么。

集合学习中，新名词新概念多。如集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法、子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、交集、并集等。新关系新符号多，如属于、不属于、包含、包含于、真

包含、真包含于、相等、不相等、相交、相并、互补(∈、、、、N、N※、Z、Q、R、∩、∪、C s A、

I、＝、≠……)等，这些新概念新关系，多而抽象。在这千头万绪中，应该抓住“元素”这个关键，

因为集合是由元素确定的，“子、全、补、交、并、空”等集合也都是通过元素来定义的。集合中元素的特征即“确定性”，“互异性”、“无序性”也就是元素的性质。集合的分类(有限集与无限集)与表示方法(列举法与描述法)也是通过元素来刻画的。元素是集合的基本内核，研究集合，首先就要确定集合里的元素是什么。

例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1×X2∈A。

分析：A中的元素是什么？是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即

(a2+b2)(c2+d2)=(X)2+(Y)2，X,Y∈Z

证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z

则X1×X2＝(a2+b2)(c2+d2)

＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2

＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2

＝(ac+bd)2+(bc-ad)2

又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A

说明：本题的证明中根据A中元素的结构特点使用了配方法和“零”变换(0＝2abcd-2abcd)。命题的结论说明集合A对于其中元素的“·”运算是封闭的。类似的有：

自然数集合N对于“＋”、“×”运算是封闭的

整数集合Z对于“＋”、“－”、“×”运算是封闭的

有理数集合Q对于“＋”、“－”、“×”、“÷”运算是封闭的(除数不能是零)

实数集合对于“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算是封闭的

复数集合对于“＋”、“－”、“×”、“÷”、乘方、开方运算都是封闭的。

例2．已知集合M＝{直线}，N＝{抛物线}，则M∩N中元素的个数为()

(A)0 (B)0,1，2其中之一

(C)无穷 (D)无法确定

[分析]M中的元素为直线，是无限集；N中的元素为抛物线，它也是无限集。由于两集合中的元素完全不同，即既是直线又是抛物线(曲线)的图形根本不存在，故M∩N＝φ，选(A)

[说明]若想当然地误认为M中的元素是直线上的点，N中的元素是抛物线上的点，当误认为是判断直线与抛物线的位置关系即相交，相切、相离时，会选(B)；

例3．已知

A＝{Y|Y＝X2－4X＋3，X∈R}，

B＝{Y∣Y＝－X2－2X＋2，X∈R}

求A∩B

先看下面的解法：

解：联立方程组

Y＝X2－4X＋3 ①

Y＝－X2－2X＋2 ②

①－②消去Y，得

2X2－2X＋1＝0 ③

因为Δ＝(－2)2－4×2×1＝－4<0，方程③无实根，故A∩B＝φ

[说明]上述解法对吗？画出两抛物线的图象：Y＝X2－4X+3=(X-1)(X-3),开口向上，与X轴交于(1,0)、(3,0)，对称轴为X＝2，纵截距为3；Y＝－X2－2X＋2＝－(X＋1)2＋3，开口向下，与X轴交于(－1－√3,0)、(－1＋√3,0)，对称轴为X＝－1，观察可知，它们确实没有交点，但这解答对吗，亲爱的读者？

图1－1－1

回头审视两集合A、B，它们并不是由抛物线上的点构成的点集。两集合中的元素都是实数Y，即当X∈R时相应的二次函数的函数值所组成的集合，即二次函数的值域集合。故由Y＝X2－4X＋3＝(X－2)2－1≥－1，Y＝－X2－2X＋2＝－(X＋1)2＋3≤3，可知A＝{Y∣Y≥－1}，B＝{Y∣Y≤3}，它们的元素都是“实数”，从而有

M∩N＝{Y∣－1≤Y≤3}

你看，认清集合中元素的构成是多么重要！

二、集合中待定元素的确定

例4．已知集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( )，(据1987年全国高中数学联赛试题改编)。

分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们的简单性质：

(a) 相等两集合的元素个数相等；

(b) 相等两集合的元素之和相等；

(c) 相等两集合的元素之积相等；

对于本题，还会用到对数、绝对值的基本性质。

解：由M＝S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY)＝0，从而XY＝1 ∴M＝{X，1，0}，S＝{0，∣X∣，1/X}

再由两集合相等知

当X＝1时，M＝{1,1，0}，S＝{0,1，1}，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X＝1不满足题目要求；

当X＝－1时，M＝{－1,1，0}，S＝{0,1，－1}，M＝S，从而X＝－1满足题目要求，此时Y＝－1，于是

X2K＋1＋1/Y2K＋1＝－2(K＝0,1，2，……)，

X2K＋1/Y2K＝2(K＝1,2，……)

故所求代数式的值为0

例5．设A＝{X∣X2+aX+b=0} B＝{X∣X2+CX+15=0}

若A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求a,b,c。

分析：由方程的根的定义及一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，结合∩、∪的概念入手，可以寻得解题的突破口。

解：由A∩B＝{3} 知3∈B,由韦达定理知

此时，B＝{3,5}＝A∪B

又由A∩B＝{3}知5A；而(A∩B)A(A∪B)，故A＝{3}，即二次方程X2＋aX+b＝0有二等根X1＝X2＝3，根据韦达定理，有X1＋X2＝6＝－a，X1X2＝9＝b

所以，a＝－6，b＝9，c＝－8

三．有限集元素的个数(容斥原理)

请看以下问题：

开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题(请读者参阅高中教材《数学》第一册(上)P23－P23阅读材料“集合元素的个数”。)

为此我们把有限集合A的元素个数记作card(A)

可以证明：

(1) card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；

(2) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)

-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)

+card(A∩B∩C)

如下图所示：

由图1－3－1，有

card(A∪B)=①+②+③=(①+②)+(②+③)-②＝card(A)+card(B)-card(A∩B)

card(Cu(A∪B))=card(U)-card(A∪B)=card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)

又由图1－3－2，有

card(A∪B∪C)=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦＝

(①+④+⑤+⑦)+(②+⑤+⑥+⑦)+(③+④+⑥+⑦)-(⑤+⑦)-(⑥+⑦)-(④+⑦)+⑦＝

card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)

现在我们可以来回答刚才的问题了：

设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学}

则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A∪B∪C)=28

且card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(A∩B∩C)=0

由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)+0

即card(B∩C)=3

所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9(人)

例6．计算不超过120的合数的个数

分析1：用“筛法”找出不超过120的质数(素数)，计算它们的个数，从120中去掉质数，再去掉“1”，剩下的即是合数。

解法1：120以内：

① 既不是素数又不是合数的数有一个，即“1”；

② 素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、

73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、共30个。

所以不超过120的合数有120－1－30＝89(个)

(附：筛法：从小到大按顺序写出1－120的所有自然数：

先划掉1，保留2，然后划掉2的所有倍数4,6，…120等；保留3，再划掉所有3的倍数6,9…117、120等；保留5，再划掉5的所有倍数10,15，…120；保留7，再划掉7的所有倍数，…这样，上面数表中剩下的数就是120以内的所有素数，这种方法是最古老的寻找素数的方法，叫做“埃斯托拉‘筛法’”)

说明：当n不很大时，计算1－n中的合数的个数困难不大；但当n很大时，利用筛法就很困难、很费时了，必须另觅他途。

[分析2]受解法1的启发，如果能找出1－n中质数的个数m，则n－1－m就是不超过n的合数的个数。由初等数论中定理：a是大于1的整数。如果所有不大于√a的质数都不能整除a，那么a是质数。因为120<121＝112，√120<11，所以不超过120的合数必是2或3或5或7的倍数，所以只要分别计算出不超过120的2、3、5、7的倍数，再利用“容斥原理”即可。

解法2：设S1＝{a∣1≤3≤120,2∣a}；S2＝{b∣1≤b≤120,3∣b}；S3＝{c∣1≤3≤120,5∣c}；

S4={d∣1≤d≤120,7∣d}，则有：

card(S1)＝[120/2]=60，card(S2)＝[120/3]＝40，card(S3)＝[120/5]＝24，card(S4)＝[120/7]＝17；

([n]表示n的整数部分，例如[2,4]＝2，…)

card(S1∩S2)＝[120/2×3]＝20，card(S1∩S3)＝[120/2×5]＝12，

card(S1∩S4)＝[120/2×7]＝8，card(S2∩S3)＝[120/3×5]＝8，

card(S2∩S4)＝[120/3×7]＝5，card(S3∩S4)[120/5×7]＝3，

card(S1∩S2∩S3)[120/2×3×5]＝4，card(S1∩S2∩S4)＝[120/2×3×7]＝2，

card(S1∩S3∩S4)＝[120/2×5×7]＝1，card(S2∩S3∩S4)＝[120/3×5×7]＝1，

card(S1∩S2∩S3∩S4)＝[120/2×3×5×7]＝0

∴car d(S1∪S2∪S3∪S4)＝card(S1)＋card(S2)＋card(S3)＋card(S4)－card(S1∩S2)－card(S1∩S3)

－card(S1∩S4)－card(S2∩S3)－card(S2∩S4)－card(S3∩S4)＋card(S1∩S2∩S3)＋card(S1∩S2∩S4)＋card(S1∩S3∩S4)＋card(S2∩S3∩S4)－card(S1∩S2∩S3∩S4)＝(60＋40＋24＋

17)-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0＝141-56＋8＝93

∵2，3，5，7是质数

∴93－4＝89

即不超过120的合数共有89个。

四、有限集合子集的个数

问题：

(1) 集合{a}一共有几个子集？

(2) 集合{a，b}一共有几个子集？

(3) 集合{a,b,c}一共有几个子集？

(4) 集合{a,b,c,d}一共有几个子集？

(5) 猜想集合{a1,a2…，a n}一共有几个子集？

(6) 利用上述猜想确定符合下列条件的集合M的个数：

{1,2}M{1,2，3,4，5,6，7,8，9,10}。

以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。

有限集合{a}的子集有：φ，{a}；共两个

有限集合{a,b}的子集有：φ，{a}，{b}，{a,b}；共4＝22个；

有限集合{a,b,c}的子集有：φ；{a}，{b}，{c}；{a,b}，{a,c}，{b,c}；{a,b,c}；8＝23个；

有限集合{a,b,c,d}的子集有：φ；{a}，{b}，{c}，{d}；{a,b}，{a,c}， {a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}；{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}； {a,b,c,d}；共16＝24个。这里，{a,b,c,d}的子集可以分成两部分，一部分不包括d，是{a,b,c}的子集；另一部分包括d，是{a,b,c}中每一个子集与{d}的并集。

循此思路，注意到2，4＝22，8＝23，16＝24的规律，可以猜想有限集合{a1,a2…，a n}的子集共有2n 个，其中非空子集有2n－1个；真子集也有2n－1个，非空真子集有2n－1－1＝2n－2个。

利用上述猜想，问题(6)中集合M的个数应当有28＝256个。

例7．一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。

分析：两位数共有10,11，......,99，计99－9＝90个，最大的10个两位数依次是90,91， (99)

其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有210－1＝1023个，这是解决问题的突破口。

解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98＋99＝945<1023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；

如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含参数之和相等。

说明：此题构造了一个抽屉原理模型，分两步完成，计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”，计算非空子集得1023个“苹果”，由此得出必有两个子集数字之和相等。第二步考察它们有无公共元素，如无公共元素，则已符合要求；如有公共元素，则去掉相同的数字，得出无公共元素并且非空的两个子集，满足条件。可见，有限元素子集个数公式起了关键作用。

例8．设A＝{1,2，3，…，n}，对X A，设X中各元素之和为N x，求N x的总和

解：A中共有n个元素，其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次，(为什么？因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也都是{1,2，…，

i-1,i+1,…n}的子集，共2n-1个；另一类是含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了2n-1次，即出现了2n-1次，故得

＝1×2n-1＋2×2n-1＋…＋n……2n-1

＝(1＋2＋…＋n)·2n-1

＝n(n+1)/2×2n-1

＝n(n+1)×2n-2

说明：这里运用了整体处理的思想及公式1＋2＋…＋n＝(1/2)n(n+1)，其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等。得出集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次，是打开解题思路之门的钥匙孔。

习题一

1、化简集合

2、设集合A＝{1，a,b},B={a,a2,ab},且A＝B，求实数a,b

3、高一(1)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文小组又参加数学小组的有15人，既未参加语文小组又未参加数学小组的有15人。问高一(1)班共有学生几人？

4、设非空集合A{1,2，3,4，5,6，7}，且当a∈A时必有8－a∈A，这样的A共有( )个。

5、已知A＝{296的约数}，B＝{999}的约数，则card(A∩B)＝( )

6、对于集合

A＝{X∣X＝3n,n=1,2,3,4}

B＝{X∣X＝3k,k=1,2,3}

若有集合M满足A∩B M A∪B，则这样的M有多少个？

参考答案

1． A＝{(11/13，－3/13)}，(列举法)或(描述法)

2． A=-1,b=0

3． 47个

4． 15个

5． 2，A∩B＝{1,37}

6．共8个

易知A＝{3,6，9,12}B＝{3,9，27}，故

A∩B＝{3,9}，A∪B＝{3,6，9,12,27}，故M可以这样构造

问题归结为求N的个数，要即集合{6,12,27}的子集数，所以M有23＝8个。

高中数学竞赛系列讲座之二——一

数学思想来武装，巧思妙解放光芒--

一道数学竞赛题的一题多解

一、引子北京市中学生数学竞赛有着悠久的历史。近十几年来，北京市中学生数学竞赛是在初二和高一两个年级进行。1990年起分为初试和复试，初试以普及为主，复试则适度提高。命题紧密结合中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一。数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动。通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质。数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式。北京市十几年的数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情。下面，笔者尝试通过一道北京市高一年级数学竞赛的初试题的一题多解，与读者共同享受数学智慧的灿烂阳光。

二、题目

北京市1992年数学竞赛高中一年级初试“二、填空题”第4题如下：

4、若 sin2x+cosx+a=0 有实根，试确定实数a的取值范围是什么？

题目短小干炼，满分8分。

三、试解

方程中的求知数是x，出现了x的两种三角函数Sinx，Cosx.。而Sin2x=1-cos2x,好了，变一变，原方程就化成了

cos2x-cosx-1-a=0 ①

如果原方程中 x有实根，则cosx就会有对应的实数，令t= cosx，这样方程①就化成了

t2-t-1-a=0 ②

因此，方程②就应该有实数根，因此它的判别式△=(-1)2-4(-1-a)=4a+5≥0,所以a≥-(5/4)

故实数a的取值范围是a≥-(5/4)

这个答案对吗？

当a≥-(5/4)时，一定有△≥0，方程②一定有实数根，问题是cosx=t有实根x就一定有实数根吗？注意到余弦函数的值域是cosx∈[-1，1]，故②有实根并不能保证cosx=t一定在[-1，1]内，可见上面的解答是不严密的，思维不缜密的同学可能就会在这里出错。这是试题设置的一个隐蔽的陷阱。

四、反思

怎么办呢？

如果能保证方程②的实数解t在区间[-1，1]内，则最简三角方程cosx=t就必有实数解

x=2kπ±arccost, 好，这样一来，问题就转化为当方程②有位于[-1，1]中的实数根时，求实数a的取值范围什么？

由方程②得：

故当a∈[-(5/4),1]∪[-(5/4),-1]=[-(5/4),1]时，原方程有关于x的实数根。

以上的方法用到了一元二次方程求根公式，用到了解两个无理不等式组成的不等式组，用到了集合的交集和并集。心里感觉踏实了，但运算较繁杂，有没有更好一些的方法？

五、改进

如果记方程②的左端为f(t),即

f(t)=t2-t-1-a

则方程②有[-1，1]中的实数解就等价于二次函数f(t)=t2-t-1-a 的图象抛物线在[-1，1]内与t轴有交点。数转化为形，以形助数。好，试试看。

当抛物线与t轴在[-1，1]内只有一个交点时，当且仅当

f(-1)f(1)≤0即

(1-a)(-1-a)≤0, 解之，有 -1≤a≤1；③

当抛物线与t轴在[-1，1]内有两个交点时，当且仅当

由③④得，当a∈[-1,1]∪[-(5/4),1]=[-(5/4),-1]时，y=f(t)与t轴在[-1，1]内有交点，方程②有实数解。

由于f(1)、f(-1)，Δ等的计算比较简便，上述解法是不是比较简捷一点？

六、换个角度看问题

诗曰：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”我们前面的解题思路，都把注意力注意在了“方程有实根”上，跳不出“方程有实根”的如来佛手心，“五”中的解法就渗透了数形转换，已属巧解。如果换个角度看问题，将方程①移项变形得

a=cos2x-cosx-1

视a为x的函数，用逆向思维来思考：x有实数解，则有cosx ∈[-1,1],a=[cosx-(1/2)]2-(5/4)当cosx=(1/2)时有最小值a最小=-(5/4)；当cos=-1时有最大值a最大=(9/4)-(5/4)=1，故函数值域为

a∈[-(5/4),1]。反之，当a在[-(5/4)，1]中取值时，cosx一定在[-1，1]中取值，x一定有实数解与之对应，你看，a的取值范围不是就求出来了吗？

七、变式

西游记中的孙悟空神通广大，能八九七十二变。好的数学题也会有一些“变式”。从上面的解法中你还能想到些什么？你能改编出一个相应的题目吗？试试看。

无独有偶，九年后的新千年第一年，2001年，北京市中学生数学竞赛高中一年能初赛试题“二、填空题”的最后一题即第8题如下：“8、若关于x的方程式sin2x+sinx+a=0 有实数解，求实数a的最大值与最小值的和”

读者诸君欣赏至此，是不是会“会心地笑了。”

八、启示

回顾以上解题过程，我们用到了方程的思想，等价转化的思想，数形结合转化的思想，变换角度看问题及逆向思维的思想。思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。比较以上各种解法，你得到了什么样的启示？

高中数学竞赛系列讲座

第三讲二次函数(上)

二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。

学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。

一、“四个二次型”概述

在河南教育出版社出版的《漫谈ax2+bx+c》一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”：

（一元）二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)→a=0→

（一元）一次函数

y=bx+c(b≠0)

↑↑↑↑

（一元）二次三项式

ax2+bx+c(a≠0)→a=0→

一次二项式

bx+c(b≠0)

↓↓↓↓↓↓↓↓

↓

一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)

→a=0→

一元一次方程

bx+c=0(b≠0)

↓

↓↓一元二次不等式

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)→a=0→

一元一次不等式

bx+c>0或

bx+c<0(b≠0)

观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。

二、二次函数的解析式

上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数a≠0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。

Y=ax2+bx+c(a≠0)中有三个字母系数a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母a、b、c的取值。三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。

二次函数有四种待定形式：

1．标准式（定义式）：f(x)=ax2+bx+c.(a≠0)

2．顶点式：f(x)=a(x-h)2+k .(a≠0)

3．两根式（零点式）：f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0)

4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》）

过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为

f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得

f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，

f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，

f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)

解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2)

从而得二次函数的三点式为：f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2)根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。

例1．已知二次函数的图象过（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。

[解法一]：用标准式

∵图象过三点（－1,－6）、（1，－2）、（2,3）

∴可设y=f (x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=－6①，a+b+c=－2 ②，4a+2b+c=3 ③

解之得：a=1，b=2，c=－5

∴所求二次函数为y=x2+2x-5

[解法二]：用三点式

∵图象过三点（－1，－6），（1，－2），（2,3）

∴可设y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2－

[a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)

计算可得：a1=－6/(－1－1)(－1－2)=－1，

a2=－2/ (1＋1)(1－2)=1，

a3=3/ (2＋1)(2－1)=1

∴f (x)=x2＋2x－5

例2．二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式

解：∵它的顶点坐标已知

∴可设f (x)=a(x－1)2－8

又函数图象通过点（2，－5），

∴a(2－1)2－8=－5

解之，得a=3

故所求的二次函数为：

y=3(x－1)2－8

即：y=f (x)=3x2－6x－5

[评注]，以顶点坐标设顶点式a(x-h)2+k，只剩下二次项系数a为待定常数，以另一条件代入得到关于a的一元一次方程求a，这比设标准式要来得简便得多。

例3．已知二次函数的图象过（－2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为125/4，求它的解析式。

解：∵（－2,0）和（3,0）是X轴上的两点，

∴x1＝－2，x2＝3

可设y=f(x)=a(x+2)(x-3)

=a(x2-x-6)=a[(x-1/2)2-25/4]

=a(x-1/2)2-25/4a

它的顶点的纵坐标为－25/4a

∴－25/4a=125/4，a=－5

故所求的二次函数为：

f (x)=－5(x+2)(x-3)=－5x2+5x+30

[想一想]：本例能否用顶点式来求？

例4．已知二次函数经过3点A（1/2，3/4）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。

[分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求a1、a2、a3计算较繁。仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。

[解法一]：顶点式：由二次函数的对称性可知，点B、C所连线段的中垂线x=(-1+2)/2=1/2即为图象的对称轴，从而点A（1/2，3/4）必是二次函数的顶点，故可设顶点式:

f(x)=a(x-(1/2))2+(3/4)

把B或C的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3

解得：a=1

∴f(x)=(x-(1/2))2+3/4=x2-x+1

[解法二]由B、C的纵坐标相等可知B、C两点是函数y=f (x)与直线y=3的交点，亦即B、C两点的横坐标是方程f (x)=3即f (x)-3=0的两个根故可设零点式为：

f (x)-3=a(x+1)(x-2)

把A点坐标代入，有

f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即－9/4=－9/4a，a=1

从而f (x)=(x+1)(x-2)+3

=x2-x+1

三、二次函数的最值

我们知道，二次函数y=f (x)＝ax2+bx+c (a≠0)利用配方法，可以得出：

y=f(x)=ax2+bx+c=a(x+(b/2a))2+((4ac-b2)/4a)，

它的图象是开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标是（-(b/2a)，((4ac-b2)/4a)）

1．当自变量在全体实数范围内变化时，二次函数的最值为：

a>0，a<0，

y min=f min=((4ac-b2)/4a)；y max=f max=((4ac-b2)/4a)；

2．当自变量的取值范围为有限闭区间[p,g]时，其最值在f (p)、f (g)、f (-b/2a)三者中取得，最值情况如下表：-b/2a∈[p,g] -b/2a [p,g]

a>0 f min=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4a)

f max= max{f (p),f (g)} f min=min{f (p),f (g)} f max=max{f (p),f (g)}

a<0 f max=f (-b/2a)=((4ac-b2)/4a)

f min=min{f (p),f (g)}

例5．当X为何值时，函数

f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2取最小值。

解：∵f (x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+…+(x2-2a n x+a n2)=nx2-2(a1+a2…+a n)x+(a12+a22+…+a n2)

∴当x=((a1+a2+…+a n)/n)时，f(x)有最小值。

[评注]：1994年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a1、a2、…，a n共n个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,…a n推出a=读者从例5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？

例6．（1982年全国高中数学联赛试题）

已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是：

（A）19；（B）18；（C）50/9(D)不存在

解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5

∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2

=(k-2)2-2(k2+3k+5)

=-k2-10k-6

=-(k+5)2+19

如果由此得K＝-5时，（x12+x22）max=19，选（A），那就错了。为什么？已知该x1,x2是方程的两个“实数”根，即方程必须有实数根才行，而此时方程的判别式Δ≥0，即

Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0 ①

解①得：-4≤k≤-4/3

∵k=-5[-4,-4/3]，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18

∴当k=-4时，(x12+x22)max=18，

∴选（B）

[评注]：求二次函数最值时，必须首先考虑函数定义域。否则，审题不慎，忽略“实数”二字，就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。

例7．已知f (x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g (t)，求g (t)的表达式。

解：f (x)= (x-1)2+1

(1)当t+1<1即t<0时，g(t)=f(t+1)=t2+1

(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g (t)=f (1)=1

(3)当t>1时，g(t)=f (t)=t2-2t+2

综合（1）、（2）、（3）得：

例8．（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；

（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。

解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2))(x-(2/3))2+(13/6)

又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1

∴当x=2/3时，y=(√10)/6，（2x+3y2）max=16/3；

当x=-1时，y=0，（2x+3y2）min=－2

(2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2

又y2=(3/2)x (2-x)≥0，得0≤x≤2

当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=0

巧思妙解

巧思妙解 例谈比较类选择题的解答技巧 广东省兴宁市第一中学刘凯华 典型例题 明末清初的思想家黄宗羲、顾炎武、王夫之三人被称为进步思想家，主要是因为他们 ①反对君主专制独裁，主张“人民为主” ②主张“工商皆本”，强调经世致用 ③主张推翻帝制，建立人民主权的国家 ④对儒学思想进行了总清算，创建了新的思想体系 A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④ 解法点拨 （1）读题联史 上述试题考查内容为明清之际的活跃思想局面，其出现的原因主要有：经济：商品经济发展，资本主义萌芽产生；阶级：工商业者阶层扩大，要求反封建束缚。政治：阶级矛盾、民族矛盾尖锐；君主专制空前强化并走向腐朽。思想：理学日益僵化，八股取士，文字狱等扼杀个性，摧残思想，还有西学东渐，近代西方科技传入中国。其主要代表人物有：李贽、黄宗羲、顾炎武、王夫之等。其主要特点有：反传统、反教条；反封建专制；带有一定的民主色彩；反映资本主义萌芽时代的要求。其主要影响有：进步性：构建起有时代特色的思想体系，使我国传统文化重新焕发生机；一定程度上反映了资本主义萌芽要求，具有明显的民主性和进步性，产生了一定的思想启蒙作用，对近代民主思想产生一定影响。局限性：没有提出新的社会制度，未能形成完整的思想体系；没有从根本上突破儒学（理学）的范畴，没有动摇封建统治的理论基础。其中，特别值得注意的是，明末清初的三大进步思想家指的是黄宗羲、顾炎武、王夫之，李贽不属于此列，三者的共同主张有：抨击君主专制制度；反对重农抑商，提出工商皆本；主张经世致用。 （2）技巧点拨 上述试题属于比较类选择题，其含义指的是：把具有可比性的事件、人物、现象（如著作、典章制度、观点、主张、内容、经济成果、因素、条件）等放在一起或把同类历史现象在不同的历史时期的表现放在一起，通过分析、归纳、比较，找出异（不同）同（相同）点的题型。其主要类型有：类比性（即同类相比较）和对比性（不同类或性质相反的事件、人物等进行比较）等。其特点是：在题干中常用“相同”、“共同”、“相似”、“共性”、“不同”、“差异”、“个性”等问句。其解题方法为：根据题干要求，结合所学知识和有关常识、根据评价历史人物、事件的方法、标准，进行比较，找出两者的相同点或不同点，从被选项中找出正确答案。 迎刃而解 运用上述解题方法并结合所学知识，明末清初三大进步思想家的共同主张有：政治上反对君主专制，经济上主张工商皆本，思想上主张经世致用，故①②正确。其局限性为：没有提出新的社会制度，未能形成完整的思想体系；没有从根本上突破儒学（理学）的范畴，没有动摇封建统治的理论基础，故③④错误。所以，A项为正确答案。 经典再练 关于明末清初三位进步思想家的共同点有（） ①都是传统儒学的背叛者②都反对君主专制 ③主张都反映了资本主义萌芽时期的要求④都直接推动了后来的资产阶级革命 A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③

第15届“海门之窗网”杯小学生巧思妙解玩数学模拟卷二年级试卷

第15届“海门之窗网”杯小学生巧思妙解玩数学模拟卷 二年级试卷 姓名 准考证号 得分 一、填空题。（第2、3、8、10题每题3分，其余每题2分，共28分） 1.计算，直接写出得数。 （1）98＋99＋100＋101＋102＝（ ） （2）25×125×4×8＝（ ） 2.找规律填数。 （1）81，（ ），49，36，（ ） （2） 8 12 16 13 （ ） 23 18 24 30 （3） 3.数出下面各有多少个指定的图形。 （1） （2） （3） （ ）条线段 （ ）个三角形 （ ）个正方形 4. 一个蛋糕要分给11个小朋友吃，每个小朋友吃1块，问如果竖直切，最少要切（ ）刀。如果妈妈要将一块豆腐切成14块，妈妈最少要切（ ）次. 5.下面算式中的每个汉字各代表多少？ （1） 精彩奥运 精＝（ ） （2） 9 好 好＝（ ） 奥运 彩＝（ ） －习 6 习＝（ ） ＋ 奥运 奥＝（ ） 惯 4 惯＝（ ） 2 0 0 8 运＝（ ） －习习 2 1 6.阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了（ ）个小朋友。 61 7 3 40 760 8 90 232 8 4 200 160 20 5 60 450 6 30

A B C D E F 7.根据下面两幅图，请你推想一下，3个的重量等于（ ）个的重量。 8.今年爸爸29岁，妈妈27岁，小玉2岁。当三人的岁数和是70岁时，爸爸（ ）岁，妈妈（ ）岁，小玉（ ）岁。 9.小林要沿着数字按从小大的顺序从1走到7，他共有（ ）种不同的走法。 10.在下面括号里写出从上一个钟面到下一个钟面所经过的时间 11.从五位数48975中划去3个数字（先后顺序不改变）。剩下的2个数字组成的最大两位数是（ ），剩下的2个 数字组成的最小两位数是（ ）。 12.6个小朋友围在一起做“传花”游戏，从A 开始按箭 头方向向下一个人传花。传花时按顺序报数，当报到50时，花在（ ）手上。 二、操作与探索。（每题6分，共24分） 13.只移动一根火柴棒，使得等式成立。 （1） 改后的算式是：（ ） （2） 改后的算式是：（ ） 7 6 5 5 4 3 4 3 2 1 12 12 12 12 经过 ( ) 经过 ( ） 经过 (

2015巧思妙解模拟试卷答案

奥数答案 一年级一、填空题：(每空3分，12小空，共36分）1．4； 2．10 3．18 4．9 5．46 6．19 ①7. 3 8. △= 12，○= 4 ，□= 16。 9．12秒 10．3个 二、选择题：（每小题2分，5小题，共10分）11．② 12．③ 13．② 14．① 15．D或4 16. ③ 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分）17．把右边5个图形中的第一和第三个圈起来。 18．能 19．

20． 21． 4+7=11 四、解决问题：（共31分） 22.4 23.24页。 24. 24岁；55岁。 25.亮亮的爸爸是工人；明明的爸爸是老师；刚刚的爸爸是解放军。 26.（1）2+5=7，10-6=4； （2）2+5=7，10-4=6； （3）5+2=7，10-6=4； （4）5+2=7，10-4=6； （5）4+6=10，7-5=2； （6）4+6=10，7-2=5； （7）6+4=10，7-5=2； （8）6+4=10，7-2=5。

二年级 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1．3,2 2．白猫 3．11个 4．15个 5．108级 6．2分钟 7．7+1-4=4 8．76020 20607 9．22 10．48 11.桔子。 二、选择题：（每小题2分，5小题，共10分） 1．① 2．③ 3．② 4．① 5．③ 6．③ 三、操作题：（每小题5分，3小题，共10分） 1. （2）（3） 2. 先竖着切三刀，分成7块，在横着切，分成14块，就可以每人一份了。 3. 4.（1）（1 +2+3-4）×5 = 10 （2）（1+2）×3-4+5 = 10 （3）（1+2）÷3+4+5 = 10 5.愉= 1 块= 9 学=3 习=6

第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛四年级试题含答案

第十一届海门之窗杯“巧思妙解”玩数学竞赛 四年级模拟试题 准考证号码姓名得分指导老师 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1.按规律填上适当的数。 5，2，8，4，12，8，17，16，（），（）。 2.几个同学交流自己家的门牌号，前六位同学家的门牌号分别是301，402，607，113，736，223。小梅发现她家的门牌号与前面每个门牌号恰好在同一数位有一个相同的数字。你知道小梅家的门牌号是（）。 3. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是180，而差比减数少8.如果被减数不变，减数减少16，差应变（）。 4.小明在计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864。这两个因数各是（）和（）。 5.小刚五次考试的平均成绩为93分（满分为100分），那么他每次考试的分数不得低于 （）分。 6. 小明做错题时，把被减数百位上的3错写成8，把减数十位上的9错写成6，这样算得的差是806.正确答案是（）。 7. 一个等差数列的第5项是21，第8项是63，那么它的第14项是（）。 8.如图，已知大正方形的边长为4，小正方形的 边长为3，那么阴影部分的面积为（）。 9.二进制数10110改写为十进制数为（）。 10.在四年级的100个学生中，68人订阅了《小 学生数学报》，76人订阅了《小学生语文报》， 其中仅订《小学生数学报》的有10人，则这 100个学生中仅订《小学生语文报》的有 （）人。

二、选择题：(每小题3分，5小题，共15分） 1. 有两袋糖，一袋有71粒，另一袋有39粒，每次从多的一袋中拿出4粒放入少的一袋里，拿（）次才能使两袋糖数目同样多。 A. 36 C. 6 2. 有一位工人把长18米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次需4分钟，共需要（）分钟。 A. 12 C. 24 3. 假期里有些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了120次电话，问有（）个同学相约互通了电话。 A. 10 C. 15 4. 用1，2，4，5四个数组成不同的四位数，把它们从小到大排列，第17个数是（）。 A. 4521 D. 2541 5. 数一数，下面图形中有（）个正方形。 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分） 1 . 速算巧算：99999×77778+33333×66666 2.试一试作图，9个点最多可以连成多少条线，要求每条线上有3个点。

苏教版数学高一必修3素材 2.4线性相关中的巧思妙解

2.4 线性相关中的巧思妙解 线性相关题型在高考试题中具有计算复杂、运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ） A.（2，2）点 B.（1.5，0）点 C.（1，2）点 D.（1.5，4）点 基本解法:(1)设所求的直线方程为y ?=bx+a ，其中a 、b 是待定系数。 （2）计算平均数x ，y ； （3）求a ，b ； （4）写出回归直线方程。 (5)验证A.B C D 那些点所求直线上. ?????????-=--=---=∑∑∑∑====. , )())((1 2 2 1 121 x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 其中x =n 1 ∑=n i i x 1，y = n 1 ∑=n i i y 1 ，a 为回归方程的斜率，b 为截距。 对于本题4,5.1==y x ,所以b=2,a=1, y ?=2x+1，过(1.5,4)点,故选D 巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x ,

妙解：x =n 1∑=n i i x 1，y =n 1∑=n i i y 1 4,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可. 例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所示： 年底的四年里，该地区这种病的新发病人数总共多少？ 基本解法: 利用回归分析 x 轴上表示年份，y 轴上表示新发病的人数，将表格中的四组数据描点．观察这些点的位置，它们的分布大致在一条直线附近，所以尝试用直线进行拟合． 设回归直线方程为bx a y +=?，则由相关数据计算得：5.199711==∑=n i i x n x ，25.254011==∑=n i i y n y ，7.94)(12 2 1=--=∑∑==n i i n i i i x n x y x n y x b ，186623-=-=x b y a ， 所以回归直线方程为x y 7.94186623?+-=，从而 ?+?-=7.944186623总y 11676)2003200220012000(≈+++（人），即为所求． 巧思：由于求解先性回归方程时公式难记运算量又大,容易出错,我们还可以从新发病的增长率入手 1996年到1997年新发病的增长率为 (2491-2400)/2400≈3.792％； 1997年到1998年新发病的增长率为 (2586-2491)/2491≈3.814％； 1998年到1999年新发病的增长率为 (2684-2586)/2586≈3.790％． 由此可见，新发病的增长率基本一致，取其平均数为3.799％，以此作为以后新发病增长率的预测，

2015三年级巧思妙解试卷

第十届“海门之窗”杯巧思妙解玩数学竞赛（模拟卷） 三年级试题 准考证号码 姓名 得分 指导老师 一、填空题：(每空3分，12小空，共36分） 1.按规律填数：1,2,5,13,34，（ )。 2.在除法算式A ÷9=B ……C 中，B 、C 都是一位数，A 最大是（ ） 3.三（1）班共有学生50人，做完语文作业的有38人，做完数学作业的有41 人，每人至少完成一种作业。两种作业都完成有（ )人。 4.已知□+□+□=O +O ，?+?=□+□+□，O +□+?=40， 那么?=（ ），O =（ ），□=（ ）。 5.被除数和除数相差95，商是5，余数是3。被除数是( ),除数是( )。 6.妈妈15年前的年龄和女儿13年后的年龄相同，妈妈35岁时女儿（ ）岁。 7.鸡兔同笼，鸡比兔多25只，一共有脚176只，那么鸡有（ ）只，兔有 （ ）只。 8.3个菠萝的质量等于一个梨和1个西瓜的质量，1个菠萝和3个梨的质量等于 1个西瓜的质量，那么（ ）个梨的质量等于1个西瓜的质量。 二、选择题：(每小题3分，5小题，共15分） 1.由1,2,3,4,5,6,7,8可以组成多少个两位数？ ① 64 ② 56 ③ 8 2.在所有的四位数中，个位数字之和是34的数共有（ ）个 ① 4 ② 10 ③ 12 3.下面三块正方体六个面，都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种 颜色，请观察推想，红色的对面的颜色是（ ） ① 黑色 ② 白色 ③蓝色 4.一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过8天可以把整个池塘全部遮住。问睡黑 黄 白 绿 红 黄 绿 黑 蓝

莲要遮住半个池塘需要（）天。 ① 4 ② 6 ③ 7 5.小可和其他五个小朋友围成一个圆圈，圆圈中间放着50个乒乓球，小朋友们按顺序依次拿乒乓球，每人每次拿四个，直到把乒乓球拿完为止（最后剩下不足4个就拿完）。若小可第二个拿，他拿到（）个乒乓球。 ① 8 ② 10 ③ 6 三、操作题：(每小题3分，5小题，共15分） 1.在下面由火柴棒摆成的算式中，请移动一根火柴棒，使算式成为等式。 2.下面每个汉字代表几？ 2 奥数成功办 × 3 奥数成功办 2 3.将1~16这16个数分别填入下图的16个方格内，使每行、每列、两条对角线上四个数字的和都相等。

第7课《巧思妙贴》教学设计(2020年江西版赣美版小学美术第七册)

第7课《巧思妙贴》教学设计教学内容：赣美版四年级上册第7课 课时：2课时 课型：设计?应用 教材分析 本课的学习领域为“设计.应用”。在课堂教学中，教师应指导学生利用彩纸、旧挂历纸、树叶、树皮、铅笔屑、棉花、绒线、果壳等杂物，根据其外形、质感以及色彩特点,运用剪、裁、黏、贴等方法进行创作。作品做得好不好，关键在于选材妙不妙。例如本课中的学生作业范例，狮子的鬃毛选用了碎纸条，这样狮子毛发冲冠、神气威猛的特征就体现出来了;花朵则利用了铅笔屑的形状特点;棉花具有蓬松、轻飘的质感，用来表现白云是再合适不过的了。由此可见，选择什么样的材料是很重要的，这也要求学生要有好的构图和创意。教学中教师因势利导将构思创意和可利用的材料联系起来，可使材料的外形、质感和色彩非常自然、协调地与画面相融合。总之，教师要鼓励学生发挥想象，充分利用原材料的特性，巧妙构思，创造出生动有趣的造型。 本课中的“学生作业”选材广泛，有城里孩子唾手可得的彩纸、旧挂历纸、布片等，也有农村孩子随处可捡的树皮、野草等，教学中可视当地资源情况合理选择。本课重点是材料的巧妙运用，以粘贴为定型的主要手段，以卫生、无污染、不损害健康为原则，让学生明白利用废旧材料也可以创作出好的作品。 设计理念

本课是围绕奇思妙想、变废为美这一主题的艺术造型活动课。撕纸贴画、剪贴画、树叶拼贴画在以前的学习中学生都已接触过，因此他们对贴的过程并不陌生。本课重点是要求学生综合利用各种废旧材料,巧妙构思后拼贴出极富创意的作品。 学情分析 本课是围绕奇思妙想、变废为美这一主题的艺术造型活动课。撕纸贴画、剪贴画、树叶拼贴画在以前的学习中学生都已接触过，因此他们对贴的过程并不陌生。学生可捡的树皮、野草等，教学中可视当地资源情况合理选择。本课重点是材料的巧妙运用，以粘贴为定型的主要手段，以卫生、无污染、不损害健康为原则，让学生明白利用废旧材料也可以创作出好的作品。 教学目标 1.知识目标：学生在怪异的创意中寻找超越现实的美感，并体验创造新奇事物的乐趣。学会用剪、切、挖、贴、插、画等方法表现出富有创意的作品。 2.育人目标：掌握多种表现奇思妙想的方法，培养学生的发散思维和逆向思维。 教学重点 重点：了解并掌握表现奇思妙想的各种方法。 教学难点 难点：用多种方法创造出奇妙的作品。 教学准备 废旧材料、剪刀双面胶等辅助工具。 教学过程

中学趣味数学：趣题妙解

中学趣味数学：趣题妙解 由于达纳遭到谋杀，安娜、巴布斯和科拉这三名妇女受到传讯。这三人中有一人是凶手，另一人是同谋，第三个则与这起谋杀案毫无瓜葛。这三名妇女各自作的供词中有三条如下： （l）安娜不是同谋。 （2）巴布斯不是凶手。 （3）科拉参与了此案。 Ⅰ.每条供词都说的是别人，而不是作供者自己。 Ⅱ.这些供词中至少有一条是那个无辜者作的。 Ⅲ.只有那个无辜者作的供词才是真话。 这三名妇女中，哪一个是凶手？ （提示：无辜者作了几条供词？) 答案 由于每条供词说的都是他人，所以这三条供词不可能都是无辜者一人作的。否则她就说到了她自己，从而与{Ⅰ.每条供词都说的是别人，而不是作供者自己。}矛盾。因此，根据{Ⅱ.这些供词中至少有一条是那个无辜者作的。}，无辜者作了其中的一条或两条供同。 如果无辜者只作了其中一条供词，那么根据{Ⅲ.只有那个无辜者作的供词才是真话。}，只有这一条供词才是真话，而其他两条供同就都是假话了。但是这种情况是不可能的，因

为如果其中任何两条供词是假话，那么余下的一条也一定是假话。这一点可分析如下。 (a)如果（1）和（2）是假话，则安娜就是同谋，而巴布斯就是凶手。因此科拉就是无辜者。这就使（3）也成为假话。 (b)如果（1）和（3）是假话，则安娜就是同谋，而科拉是无辜者。因此巴布斯就是凶手。这就使（2）也成为假话。(c)如果（2）和（3）是假话，则巴布斯就是凶手，而科拉是无辜者。因此安娜就是同谋。这就使（1）也成为假话。 因此，无辜者作了其中的两条供词。根据Ⅰ，这两条供词只能是由供词中没有说到的那名妇女作的。 (d)如果（2）和（3）是这两条供词，则它们就是安娜作的。于是安娜就是无辜者。但是供词（1）作为假话，却表示安娜是同谋。因此，这种情况是不可能的。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 (e)如果（l）和（3）是这两条供词，则它们就是巴布斯作的。于是巴布斯就是无辜者。但是供词（2）作为假话，却表示巴布斯是凶手。因此这种情况也是不可能的。

四年级上册美术第7课《巧思妙贴》教案

第7课巧思妙贴 1教学目标 知识目标 1.学生在怪异的创意中寻找超越现实的美感,并体验创造新 奇事物的乐趣。 能力目标 2.学会用剪、切、挖、贴、插、画等方法表现出富有创意的作品。 情感目标 3.掌握多种表现奇思妙想的方法,培养学生的发散思维和逆 向思维。 2学情分析 本课是围绕奇思妙想、变废为美这一主题的艺术造型活动课。撕纸贴画、剪贴画、树叶拼贴画在以前的学习中学生都已接触过,因此他们对贴的过程并不陌生。对于四年级的孩子,本课可以培养学生的动手能力。 3重点难点

1.重点:了解并掌握表现奇思妙想的各种方法。学会用剪、切、挖、贴、插、画等方法表现出富有创意的作品。 2.难点:使学生用多种方法创造出奇妙的作品。发挥学生的想象力。 4教学过程 4.1 一学时 4.1.1教学活动 活动1【导入】一、欣赏图片,导入新课 播放学生感兴趣的图片,看完图片说说你的感受!学生 汇报 活动2【讲授】二、谈感受,进行创作 同学们看的真认真,那我们这节课就来学习一下这漂 亮的作品是怎么创作出来的吧--------今天我们就来学 习巧思妙贴!!! 同学们观察的真仔细,老师这还有一些和你们同龄小 朋友的作品。请同学们说一说从材料,效果方面你发现 了什么??

看了这么多的作品,你想不想创作一幅属于你自己的 作品呢? 老师将给每个小组一个百宝箱,根据箱中的宝贝,你想 创作一幅怎样的作品呢?(小组交流一下,汇报) 同学们的想象力真丰富。那同学们想创作这样的作品, 它的步骤是怎样的呢? 老师还要提醒大家在创作的过程中还要注意什么呢? 温馨提示: 活动3【活动】三、展示评选 大部分同学都已经完成了自己的作品,下面请每组的同 学选出一幅优秀作品吧! 下面哪位同学来说一说,哪幅作品好,好在哪里?你认为 哪幅作品需要改进,如何改进呢? 同学们的分析很具体,也很全面,下面就请同学们给你 喜欢的作品投票!! 宣布今天的小画家!

人教版高中数学必修三 2.3线性相关中的巧思妙解

线性相关中的巧思妙解 线性相关题型在高考试题中具有计算复杂、运算量大,但是有一定的灵活性、和技巧等特点,.一般情况下对本节知识的考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，比如2007年广东高考题就以大题的形式出现,所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ） A.（2，2）点 B.（1.5，0）点 C.（1，2）点 D.（1.5，4）点 基本解法:(1)设所求的直线方程为y ?=bx +a ，其中a 、b 是待定系数。 （2）计算平均数x ，y ； （3）求a ，b ； （4）写出回归直线方程。 (5)验证A.B C D 那些点所求直线上. ?? ? ???? ? ? -=--=---=∑ ∑∑ ∑====. , )())((1 2 2 1 12 1 x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 其中x = n 1 ∑ =n i i x 1 ，y = n 1 ∑=n i i y 1 ，a 为回归方程的斜率，b 为截距。 对于本题4,5.1==y x ,所以b =2,a=1, y ?=2x +1，过(1.5,4)点,故选D 巧思：由于回归直线一定要过样本点的中心),(y x ,只需求出y x , 妙解：x = n 1 ∑ =n i i x 1 ，y = n 1 ∑=n i i y 1 4,5.1==y x 所以必过点),(y x 即点(1.5,4), 故选D.此法避免了求解回归方程的步骤,只需求出4,5.1==y x 即可. 例2某地区某种病的发病人数呈上升趋势，统计近四年这种病的新发病的人数如下表所

巧思妙解高考数学题

巧思妙解高考数学题[转载] 1.（Ⅰ卷，文21）已知函数. （1）证明：曲线y= f（x）在x = 0处的切线过点（2，2）； （2）若f（x）在x = x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围. 【参考答案】 （1）. 由得曲线y= f（x）在x = 0处的切线方程为 .由此可知曲线y= f（x）在x= 0处的切线过点（2，2）. （2）由得 ①当 --1≤ a ≤-1时，没有极小值； ②当或时，由得 故x0 =x2 .由题设知， 当时，不等式无解； 当时，解不等式得. 综合①②得的取值范围是. ·巧思· ①（1）中，利用“k切= k PQ”（P、Q为定点、切点），根据“两点决定一条直线”， 可以避免求出切线方程，而“直截了当”地证明。 ②（2）中，利用三次函数的中心对称性，先将f（x）化为“中心式”，求出对称中 心（- a，c）；再利用x 3系数为正的三次函数的极大值点和极小值点分别在“中心点” 的左、右，便得x0 ＞- a。 ③将方程f ’（x0）= 0中含x0的项配平方，得到（x0+ a）2，“0＜x0+ a＜3 + a”便 就有了作用；再将含a的项合并，得到2a（1-x0），“x0＞1”也就有了作用……如此，可避免解方程和分类讨论。 ·妙解· （1）设P（2，2），切点Q（0，12a- 4）.k切= 3 - 6a = k PQ切线PQ.

（2）f（x）可化为（x + a）3 + b（x + a）+c曲线y = f（x）关于点（- a，c）对称x0＞- a. 题设f’（x0）=3（x02 + 2ax0+1 - 2a）= 00＜（x0+ a）2= a2 + 2a -1＜(3 + a）2，且2a（1- x0）= x02 + 1＞0（x0＞1）a＜0a∈（-2.5，--1）即为所求. 【评注】 ①（1）中，证明过一已知点、斜率也已知的直线必过另一定点，不等于一定要先求出直线方程、再将坐标代入检验；解题要做到“能省则省”、能不“绕弯子”则尽量不“绕弯子”。 ②（2）的求解过程，体现了命题的本意：为何函数式中x2的系数用3a而不用a？为何条件是“x0∈（1，3）”而不是“x0∈（0，3）”或“x0∈（2，3）”等？可谓“首尾呼应”、“问答相称”。 ③二次函数的图像（抛物线）是轴对称图形，三次函数的图像（S形线）是中心对称图形；前者的定义域分为两个单调区间，后者的定义域为一个单调区间或分为三个单调区间；教师可补充介绍后者的性质。 2.（Ⅰ卷，理21、文22）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 -的直线与C交于A、B两点，点P满足. (1)证明：点P在C上； （2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 【参考答案】 (1)F（0，1），的方程为，代入并化简得 . 设，则

[数学] 好题妙解

行程问题的解题技巧 首先讲一个例子 一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈：问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是在何时掉入水中的？ 分析（1）设静水中的速度为x 不难求得问题（1）的结果为小船由A港漂流到B港需48小时。我们重点分析问题（2），如图，设救生圈在C处掉入水中，当小船以在顺水航行的速度由C处到达B港的同时，救生圈以水流速度由C处漂流到D处，这一段相当于简单的追及问题；小船掉头从B处逆流而上，同时救生圈从D处漂流而下，相当于以DB为总路程的相遇问题。由此可设全程为1，救生圈是x 点钟落入水中的，则 解之，得 x=11。可知救生圈是上午11时掉入水中的。 此题好在寓意深刻、独且特色：一是要求考生较深层次地认识行程问题与工程问题的统一，从而用解工程问题的思想方法去解一个相遇问题极为巧妙地结合在一起，要求考生会用分解的思想去解决较复杂的问题；三是要求考用运动的观点看问题；四是置考察能力的目的于一个应用问题中，培养解决实际问题的能力。 对以上问题做进一步的思考，不难发现：这个问题虽然比较复杂，但始终有一个不变量，即水流速度。能否充分运用这一不变量独辟蹊径呢？我们联想到初二物理中的相对速度，如果以流水为参照物，即认为流水是静止的，那么船的相对速度，不论是顺水航行还是逆水航行，都等于船在静水中的速度，是不变的！就象一个人在一匀速前进的列车上来回行走一样。因此这个问题就相当于以流水为参照物，救生圈在C处始终没有运动，而小船以静水中的速度从C行驶到B，在B 港发现救生圈掉落马上返回C（相对速度仍是小船在静水中的速度），由已知从B港所用时间当然仍是1小时，由此可知救生圈是在12-1=11时掉入水中的。 此法真是简洁，而且活用了物理方法，其适用条件（至少要有两个匀速的速度）也较为广泛，不少复杂的行程问题都可用这种方法得到简化. 下文给出广州市1999年中考压轴题，同学们不妨一试。 2 两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢长车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。（1）求两车的速度之和及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口所用的时间； （2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米/少，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间为多少秒？ 提示：设慢车的速度为米/秒，快车的速度为米/秒。问（1）中以快车为参照物，快车静止不动，慢车的相对速度为（）米/秒；问（2）中以慢车为参照物，慢车静止，则快车的相对速度为（）米/秒。

最新巧思妙解高考数学题目

巧思妙解高考数学题 目

巧思妙解2011年高考数学题（上海卷） 1.（理20,文21）已知函数f（x）=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.（1）若ab＞0，判断函数f（x）的单调性； （2）若ab＜0，求f（x+1）＞f（x）时x的取值范围. 【参考答案】 （1）当a＞0，b＞0时，任意x1,x2∈R, x1＜x2,则 f（x1）-f（x2）=a（2x1-2x2）+b（3x1-3x2）. ∵2x1＜2x2，a＞0a（2x1-2x2）＜0， 3x1＜3x2，b＞0b（3x1-3x2）＜0， ∴f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在R上是增函数. 当a＜0,b＜0时,同理,函数f（x）在R上是减函数. （2）略 ·巧思· ①利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”，情况1的结论便显而易见。 ②利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”，情况2的结论便显而易见。 ·妙解· 若a＞0，b＞0，则a·2x和b·3x在R上递增 f（x）在R上递增； 若a＜0，b＜0，则a·2x和b·3x在R上递减 f（x）在R上递减.

【评注】 ①利用定义判断或证明固然很好，如能利用某些性质解决问题，则更显得轻松、方便。 ②上述单调函数的性质经常用到，教师应向学生补充讲解，使之牢固掌握、灵活运用。 ③“奇函数的和还是奇函数，偶函数的和还是偶函数”，“奇函数与偶函数的积是奇函数”，“奇数个奇函数的积是奇函数，偶数个奇函数的积是偶函数，”这些性质也应当能够掌握。 2.（文22）已知椭圆C：（常数m＞1），P是曲线C上的动点，M 是曲线C的右顶点，定点A的坐标为（2,0）. （1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标； （2）若m=3,求∣PA∣的最大值和最小值； （3）若∣PA∣的最小值为∣MA∣，求实数m的取值范围. 【参考答案】 （1）略 （2）m=3,椭圆方程为.设P（x，y），则 ∣PA∣2 ==（-3≤x≤3）.

中学趣味数学-趣题妙解_题型归纳

中学趣味数学:趣题妙解_题型归纳 由于达纳遭到谋杀，安娜、巴布斯和科拉这三名妇女受到传讯。这三人中有一人是凶手，另一人是同谋，第三个则与这起谋杀案毫无瓜葛。这三名妇女各自作的供词中有三条如下： (l)安娜不是同谋。 (2)巴布斯不是凶手。 (3)科拉参与了此案。 Ⅰ.每条供词都说的是别人，而不是作供者自己。 Ⅰ.这些供词中至少有一条是那个无辜者作的。 Ⅰ.只有那个无辜者作的供词才是真话。 这三名妇女中，哪一个是凶手? (提示：无辜者作了几条供词?) 答案 由于每条供词说的都是他人，所以这三条供词不可能都是无辜者一人作的。否则她就说到了她自己，从而与{Ⅰ.每条供词都说的是别人，而不是作供者自己。}矛盾。因此，根据{Ⅰ.这些供词中至少有一条是那个无辜者作的。}，无辜者作了其中的一条或两条供同。 如果无辜者只作了其中一条供词，那么根据{Ⅰ.只有那个无辜者作的供词才是真话。}，只有这一条供词才是真话，而其他两条供同就都是假话了。但是这种情况是不可能的，因为如果其中任何两条供词是假话，那么余下的一条也一定是假话。这一点可分析如下。 (a)如果(1)和(2)是假话，则安娜就是同谋，而巴布斯就是凶手。因此科拉就是无辜者。这就使(3)也成为假话。 (b)如果(1)和(3)是假话，则安娜就是同谋，而科拉是无辜者。因此巴布斯就是凶手。这就使 (2)也成为假话。 (c)如果(2)和(3)是假话，则巴布斯就是凶手，而科拉是无辜者。因此安娜就是同谋。这就使 (1)也成为假话。 因此，无辜者作了其中的两条供词。根据Ⅰ，这两条供词只能是由供词中没有说到的那名妇女作的。

(d)如果(2)和(3)是这两条供词，则它们就是安娜作的。于是安娜就是无辜者。但是供词(1)作为假话，却表示安娜是同谋。因此，这种情况是不可能的。 (e)如果(l)和(3)是这两条供词，则它们就是巴布斯作的。于是巴布斯就是无辜者。但是供词(2)作为假话，却表示巴布斯是凶手。因此这种情况也是不可能的。 (f)这样，(1)和(2)是两条如实的供词，它们是由科拉作的。于是科拉是无辜者。供词(3)作为假话，与这个结论是一致的。由于科拉是无辜者，并由于是真的话(1)，巴布斯就是同谋。于是安娜就是凶手。(1)作为真话，与这个结论是一致的。

人教版数学高一古典概率模型中的巧思妙解

古典概率模型中的巧思妙解 古典概型在高考试题中具有一定的灵活性、机动性.一般对随机事件的考察，常常结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现，但也不排除应用题的形式，所以对于这一部分内容要熟练灵活的掌握. 例1.甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个， 甲、乙二人一次各抽取一题，问：甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？ 解：甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90； 基本解法：利用分类计数原理 只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24；只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24；甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30； 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是15 1390302424=++. 巧思：基本解法利用的是分类计数原理，从正面入手，考虑情况比较多，“正难则反”，不妨 换个角度，考虑其反面即利用其对立事件反而会简单明了。 妙解：利用对立事件 事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件. 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12； 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1513152190121=-=-. 例2.现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品,如果从中一次取3件， 求3件都是正品的概率? 解: 基本解法：这种抽取可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x ,y ,z ）记录结 果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但（x ,y ,z ），（x ,z ,y ），（y ,x ,z ），（y ,z ,x ），（z ,x ,y ），（z ,y ,x ），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120， 按同样的方法，事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56， 因此P (B )= 120 56≈0.467． 巧思：对于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺 序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.上面就是按无顺序抽样进行的，那有顺序抽样是否会简单一些呢？

赣美版小学四年级上册美术教案

小学四年级美术上册教案 第 1课幽默的形象 一，教学目标 1，了解漫画的基本特点和基本表现方法。 2，学习运用漫画的表现手段创作漫画。 3，培养学生热爱生活的美好情操和善于观察生活，思索生活的良好习惯。二，教学重点 分析，了解漫画的特点和表现方法。 三，教学难点 如何创作漫画。 四，教学准备 1，布置学生课前预习教材。 2，搜集较易理解的漫画作品，并制成灯片或准备投影仪放大， 3，搜集漫画家张乐平的漫画作品《三毛爱科学》，《三毛流浪记》。 4，历届学生漫画作品。 5，学具同教材要求。 五，教学过程 (一)欣赏，了解漫画的特点。 1，出示漫画《三毛流浪记》和《三毛爱科学》。 2，出示历届学生漫画作品。 表现手法，夸张，比喻，拟人等。(板书) 特点，在讽刺和幽默中歌颂真，善，美，抨击假，恶，丑，使人们在笑声中受到教育，得到美的享受。 (二)分析，学习漫画的表现手法， I，打开教材让学生自学。然后各自谈谈对漫画《妈妈和老师》，《如此值日》的分析和理解，从而进一步加深理解漫画。 2，结合前面的范例，教师讲解漫画的构思和立意，让学生理解漫画是怎样达到宣传正义，抨击丑恶的目的。 (三)思索，尝试漫画的创作。 选择自己身边的人和事，通过联想夸张人和事的特征，画一幅或一组漫画。 1，教师举例提示，比如“皆大欢喜”，“学雷锋”等等。 2，学生联系生活大胆想象，尝试创作漫画。 3，教师巡视指导。 (四)展示，表扬优秀漫画创作。

第4课今天我值日 教学目的： 1，通过记忆和想象，画出自己参加劳动时的情景，培养学生的形象思维能力 2，教育学生从小热爱劳动，继承我国劳动人民勤劳勇敢的光荣传统，锻炼自己勤劳的双手，磨练自己坚强的意志。 教学重点和难点： 启发学生回忆和描绘劳动时的人物动态。 教学准备： 1，小学音乐第一册的《劳动最光荣》和《我有一双勤劳的手》的录音磁带，录音机 2，制作幻灯片 3，布置学生课外观察劳动时的人物动态。 教学过程， 一，横向引题。 勤劳勇敢是我们中华民族的传统美德。我们刚刚在第八册语文课本中学过《劳动最有滋味》一课，文学家老舍用自己的亲身经历告诉我们，“劳动会使我们心思细腻。热爱劳动才会使任何工作都做得仔仔细细，妥妥贴贴。劳动会改变一个人的气质。”因此，我们作为新世纪的中国人，更应该从小热爱劳动。今天我们来一起学习， 二，启发回忆。 1，播放欢快的童声合唱《我有一双勤劳的手》，“我有一双勤劳的手，样样事情都会做。洗衣裳呀补袜子呀，自己的事情自己做。妈妈夸我是个好孩子。爸爸也喜欢我……”听着甜美骄傲的歌声，大家仿佛回到了自己曾经劳动的场面…… 2，让学生各自叙述自己搞过一些什么劳动，在家里，在学校，在公共场合，做了一些什么事?心里的滋味如何? 3，启发学生回忆自己劳动时还有谁参加?在什么地方?周围有些什么? 三，讲述画法。 1，分析欣赏。打开教材。你们看，这些小作者把他们劳动时的情景都表现出来了。有的同学画的是在家里帮爸爸妈妈千千些力所能及的家务活有的小朋友画的是在学校，在其他公共场所劳动的情景。通过大家劳动的不同姿势以及面部表情可以看出小朋友们干得多么起劲，从而很好地表现了同学们热爱劳动的精神。 2，记忆想象。画的时候，首先确定画什么内容。如果参加劳动的人很多，就要用不同的人物姿态来表现，这样画面才生动自然，丰富多彩。教师打出课前画好的劳动时的不同人物动态的灯片，启发引导学生回忆，加深理解。 3，画时下笔要肯定，动作，人物比例画得不够准确并不重要。只要画出了人物动态特点，劳动内容以及当时的场面就行，只要画面具有美的感受就是一幅好作 品。 四，学生创作。 1，布置要求，回忆自己参加家庭和公益劳动的情景，并仔细画出来。

高中数学 巧构造 妙解题解题思路大全

巧构造 妙解题 1. 直接构造 例1. 求函数f x x x ()sin cos = -+32的值域。 分析：由于f x x x ()sin cos =-+32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx ，sinx ）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。 解：令μθ=-=cos sin x x ，，则μθ221+=表示单位圆 f x k ()= --=32θμ 表示连接定点P （2，3）与单位圆上任一点（μ，θ）所得直线θμ---=k k ()320的斜率。 显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即||32112-+=k k 所以k =± 2233 故22332233- ≤≤+f x () 例 2. 已知三条不同的直线x y a sin sin 3αα+=，x y a sin sin 3ββ+=，x y a sin sin 3γγ+=共点，求sin sin sin αβγ++的值。 分析：由条件知sin sin sin αβγ，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。 解：设（m ，n ）是三条直线的交点，则可构造方程m n a sin sin 3θθ+=，即 4303m n m)a sin (sin θθ-++=（*） 由条件知，sin sin sin αβγ，，均为关于sin θ的一元三次方程（*）的根。 由韦达定理知sin sin sin αβγ++=0 2. 由条件入手构造 例3. 已知实数x ，y ，z 满足x y z xy =-=-692，，求证：x y = 分析：由已知得x y xy z +==+692，，以x ，y 为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。

第13届海门之窗网杯小学生巧思妙解玩数学

第13届“海门之窗网”杯小学生巧思妙解玩数学 一年级试卷 姓名准考证号得分 一、填空题。(第1、2题每题3分，第4题4分，其余每题2分，共28分) 1. 数一数。 （）个长方形（）个正方形（）个三角形 2.已知：△+△=16；△+□=10；○+△+□=20。那么：△=（）；□=（）；○=（）。 3.把一根绳子对折，再在对折好的绳子中间剪三 刀，这时绳子断成（）段。 4.将1、2、3、4、5这五个数填入右图的空格里， 使得横行、竖行三个数相加的和都是10。 5.今年小红4岁，姐姐12岁。当两人的年龄合起来18岁时，小红（）岁。 6.小林家住在六楼，他从一楼走到三楼要2分钟。照这样的速度，他从一楼走到六楼一共需要（）分钟。 7.小明、小飞和小军比身高。小明说：“我比小飞矮。”小飞说：“小军比小明高。”小军说：“小飞比我高。” 从三人的对话中可以知道，（）最高，（）最矮。 8.在一个不透明的黑袋子中装着5颗红珠子，4颗白珠子，至少摸出（）颗珠子才能确保有两颗白珠子。

9. 在“○”里填上“＋”或“—”，使等式成立。 2 9 = 4 10.超市规定：喝完啤酒后，3个空啤酒瓶可以换取1瓶啤酒。爸爸买了12瓶啤酒，实际上最多可以喝到（ ）瓶啤酒。 11.实验小学校园足球比赛共有5支球队参加，每支球队都要和其它4支球队各比赛一场。一共要踢（ ）场比赛。 12. 车库里停放着自行车和三轮车共7辆，一共有车轮19个。每辆自行车有2个轮子，每辆三轮车有3个轮子。车库里的自行车有（ ）辆，三轮车有（ ）辆。 二、实践与探索。(每题6分，共24分) 13. 根据图形的变化规律想一想，接着怎么画？想好后画下来。 14. 拿掉哪两根火柴棒，能够使下图变成3个长方形？将拿掉的两根火柴棒在图上划一划。 15. 将3 、 4、 5、 6、 7、8、9、10这八个数分别填入“□”里（每个数只能用一次），使下面的两个等式同时成立。 16. 小明家车库的灯只有一个开关按钮，按一下为开，按第二下为关。某一天停电，爸爸回家后在开关上按了两下，妈妈回家后