最新高中理科数学绝杀80题 导数及其应用满分冲刺篇教师版

高中理科数学最新高考绝杀80题

最

新

讲

义

1.已知函数1()sin 2sin 33f x a x x =-(a 为常数)在3

x π

=处取得极值，则a 值为

______. 【答案】1. 【解析】 【分析】

先对函数求导，根据函数在3x π

=

处取得极值应有 03f π??

'= ???

，即可求解. 【详解】因为()2cos 2cos3f x a x x '=-， 所以根据函数在3x π

=处取得极值应有 03f π??

'= ???

， 即22cos

cos 31033a a ππ??

-?=-+= ??

?， 解得1a =， 故答案为1

【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，属于中档题.

2.已知方程()210x x

xe a e --=只有一个实数根，则a 的取值范围是( )

A. 0a ≤或12a ≥

B. 0a ≤或1

3

a ≥

C. 0a ≤

D. 0

a ≥或1

3a ≤-

【答案】A 【解析】 【分析】

令,0,ln x

t e t x t =>=，则原方程转化成1ln 0t a t t ??

--= ???，令()1ln f t t a t t ??=-- ???

，

显然()10f =，问题转化成函数()f t 在()0,∞+上只有一个零点1，求导后再利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得答案．

【详解】解：令,0,ln x t e t x t =>=，则原方程转化成()2

ln 10t t a t --=，即

1ln 0t a t t ??

--= ???

，

令()1ln f t t a t t ??

=-- ???

，显然()10f =，

问题转化成函数()f t 在()0,∞+上只有一个零点1，

()2

2

2111at t a

f't a t t

t -+-?

?=-+=

???

， 若0a =，则()ln f t t =在()0,∞+单调递增，()10f =，此时符合题意； 若0a <，则()'0f t >，()f t 在()0,∞+单调递增，()10f =，此时符合题意；

若0a >，记()2

h t at t a =-+-，

则函数()h t 开口向下，对称轴1

02t a

=>，过()0,a -，214a ?=-， 当0?≤即2140a -≤即1

2

a ≥时，()0f't ≤，()f t 在()0,∞+单调递减，()10f =，此时符合题意；

当>0?即2140a ->即102

a <<时，设()0h t =有两个不等实根12,t t ，120t t <<， 又()10h >，对称轴1

12t a

=

>，所以1201t t <<<， 则()f t 在()10,t 单调递减，()12,t t 单调递增，()2,t +∞单调递增， 由于()10f =，所以()20f t >， 取10a

t e =，()11220

1a

a

a e a e

f t a

--+=，

记()11221a

a

a a e a e ?-=-+ 令1

,2t t a

=>，

则()()22

t t

t e e a m t t

?--+==0<，所以()00f t <， 结合零点存在性定理可知，函数()f t 在()20,t t 存在一个零点，不符合题意； 综上，符合题意的a 的取值范围是0a ≤或12

a ≥， 故选：A ．

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查推理能力与运算能力，考查分类讨论思想，属于难题． 3.函数sin ()2x

x

f x e =

的图象的大致形状是 A. B.

C. D.

【答案】A 【解析】

令x=0可得()00f =，则排除C 、D ；()cos sin '2e x

x x

f x -=

当π0,4x ??

∈ ???

时，()cos sin '02e x

x x f x -=>， 当ππ,42x ??

∈ ???

时，()cos sin '02e x

x x f x -=<，故排除B ， 本题选择A 选项.

4.已知对任意实数x 都有()()3x

f x e f x '=+，()01f =-，若不等式

()()2f x a x <-(其中1a <)的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )

A. 41,32e ??????

B. 4,13e ??

????

C. 274,43e e ??????

D.

271,42e ??

???

? 【答案】C 【解析】 【分析】

由()3()x f x e f x '=+，(0)1f =-得()(31)x f x x e =-，进而得()(32)x f x x e =+'，再

根据图像比较点()2,0与四个点(1,2)e ，(0,1)-，4(1,)e --，27

(2,)e

--连线的斜率，

即可得到答案.

【详解】由()3()x f x e f x '=+，(0)1f =-得()(31)x f x x e =-，

故()(32)x

f x x e =+'，()f x 在23

x =-取得极小值，

,

根据图像，欲使解集中恰有两个整数，则比较点()2,0与四个点(1,2)e ，(0,1)-，

4(1,)e --，27(2,)e --连线的斜率，由2e -<2741432e e <<可得274[,)43a e e

∈.

故选：C ．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 5.设函数()()1x a f x a x a =->的定义域为(0,)+∞，已知()f x 有且只有一个零点.下列四个结论：

①a e =； ②()f x 在区间()1,e 单调递增；

③x e =是()f x 的零点； ④1x =是()f x 的极大值点，()f e 是()f x 的最小值. 其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C 【解析】 【分析】

取()0x a

f x a x =-=，即x a a x =，两边取对数ln ln x a a x =，设()ln x

h x x

=

，求导画出函数图像，计算a e =，故()1

'x e f x e ex -=-，画出函数1

1

x y e -=

-和ln y x =的图像，根据图像得到函数单调性，依次判断每个选项得到答案.

【详解】取()0x a

f x a x =-=，即x a a x =，两边取对数ln ln x a a x =，

即

ln ln a x

a x =有且只有一个解，设()ln x h x x =，()2

1ln 'x h x x -=. 函数()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，画出函数图像，如图所示： 故

ln 1a a e =或ln 0a a

<，解得a e =或01a <<(舍去)，故a e =，①正确； ()x e f x e x =-，()0f e =，③正确，

()1'x e f x e ex -=-，取()10'x e f x e ex -==-，即1x e e ex -=，

两边取对数()11ln x e x =+-，画出函数1

1

x y e -=-和ln y x =的图像， 根据图像知： 当()1,x e ∈时，

1

ln 1

x x e -<-，故()10'x e f x e ex -<=-，函数()f x 单调递减； 当()0,1x ∈或(),x e ∈+∞时，()1

0'x e f x e ex ->=-，函数()f x 单调递增.

故②错误，④正确. 故选：C .

【点睛】本题考查了利用导数求参数值，函数的单调性，极值，零点问题，意在考查学生的综合应用能力. 6.已知()ln f x x =，217

()(0)22

g x x mx m =

++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A. 2- B. 3- C. 4- D. 1-

【答案】A 【解析】 【分析】

先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得

结果. 【详解】

1

()f x x

'=

， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，

∴其斜率为k f ='(1)1=，

∴直线l 的方程为1y x =-．

又因为直线l 与()g x 的图象相切，

∴211722y x y x mx =-???=++??

，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，

得△2(1)902(4m m m =--=?=-=不合题意，舍去)， 故选A

【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7.已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -?-≤=?--->?，，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个

数为( )(e 是自然对数的底数) A. 6 B. 5

C. 4

D. 3

【答案】B 【解析】 【分析】

利用导数研究函数()

f x 性质，如单调性，函数值的变化趋势和，函数的极值．再

研究方程()0f t et -=的解的个数，即直线y et =与函数()y f t =的公共点的的取值，从而利用函数()f x 的性质求得()F x 零点个数． 【详解】0x ≤时，()x f x e -=-是增函数，(0)1f =-，

0x >时，()1ln x f x xe x x =---，11

()(1)1(1)()x x f x x e x e x x

'=+--

=+-，显然10x +>，

由1x

e x

=

， 的

作出x y e =和1(0)y x x

=>的图象，如图，x y e =是增函数，1

y x =在0x >是减函

数

它们有一个交点，设交点横坐标为0x ，易得0

11x e x =>，001x <<，

在00x x <<时，1x

e x <

，()0f x '<，0x x >时，1x

e x

>，()0f x '>， 所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，0()f x 是()f x 的极小值，也是在

0x >时的最小值．001x e x =，001x x e =，0001ln ln x x x ==-，即00ln 0x x +=，00000()1ln 0x f x x e x x =---=，

0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞．作出()f x 的大致图象，作直

线y ex =，如图，0x >时y ex =与()f x 的图象有两个交点，即()0f x ex -=有两个解12,t t ，120,0t t >>．

0x <时，()x f x e -=-，()x f x e '-=，由1

1()x

f x e e -'==得1x =-，而1x =-时，

(1)y e e =?-=-，(1)f e -=-，所以直线y ex =与()x f x e -=-在(1,)e --处相切．即

0x ≤时方程()0f x ex -=有一个解e -．

()(())()0F x f f x ef x =-=，令()t f x =，则()()0F x f t et =-=，由上讨论知方程

()0f t et -=有三个解：12,,e t t -(120,0t t >>)

而()f x e =-有一个解，1()f x t =和2()f x t =都有两个解，所以()0F x =有5个解， 即函数()F x 有5个零点． 故选：B ．

【点睛】本题考查函数的零点个数问题，通过换元法问题转化为()0f t et -=的解及()f x t =的解，为此利用导数研究函数()f x 的性质，研究直线y ex =与函数()y f x =的公共点问题．研究()f x 的图象与直线y t =的公共点个数．本题考查了学生的转化与化归思想．运算求解能力．

8.已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合

()()()'2f x f x f x <<，则()()1:2f f 的取值范围为( ) A. (),2e e

B. 11,2e e ?? ???

C. ()3

,e e

D.

211,e e ?? ???

【答案】D 【解析】

令

()()()()2,x

x

f x f x

g x

h x e

e

=

=

，则

()()()

2'2'0x

f x f x h x e

-=

<，()()()

''0x

f x f x

g x e

-=

>，

()()()()

12,12g g h h ∴，

()()()()()()2242

121211

1,,2f f f f f e e e e e f e

∴

∴<<，选D ． 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.

9.已知函数()21x x f x e

-=(e

为自然对数的底数).

(1)求函数()f x 的零点0x ，以及曲线()y f x =在0x x =处的切线方程；

(2)设方程()f x m =(0m >)有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ?

?-<-+

??

?

. 【答案】(1)01x =±，()2

1y x e

=-- (2)证明见解析 【解析】 【分析】

(1)由()0f x =求得函数零点，由导数的几何意义可求得切线方程； (2)根据导函数研究出函数的单调性，只有在11x -<<时，()0f x >，因此

12,(1,1)x x ∈-，考查(1)中切线，先证明()2(1)f x e x <+(11x -<<)，只要构造函

数()11

2

x x g x e +-=+

在[]1 1x ∈-，

上单调递增，易得证，方程2(1)m e x =+的解为

112m

x e

'=

-，11x x '<(不妨设12x x <，则12111x x -<<<<)，要证不等式变形为证明2112122m x m e e ????--≤-+ ? ?????

，即证21x m ≤-，由2221x x m e -=，22

2211x x x e -≤-，构造函

数，结合导数知识可证．

【详解】(1)由()2

10x x f x e -==，得1x =±，∴函数的零点是±1.

()221

x

x x f x e --'=，()12f e '-=，

()10f -=.

曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.

()2

1f e

'=-，

()10f =，

∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e

=--

(2)()221

x x x f x e --'=.

当(()

112 x ∈-∞+

+∞，

，时，

()0f x '>；当(1x ∈时，()0f x '<.

∴()f x 的单调递增区间为(() 1 1-∞+∞，

，，单调递减区间为(

1. 由(1)知，当1x <-或1x >时，()0f x <；当11x -<<时，()0f x >.

下面证明：当()1 1x ∈-，时，()()21e x f x +>. 当()1 1x ∈-，

时， ()()()21112121002x x x x e x f x e x e e

+--+>?++>?+>.

易知，()11

2

x x g x e +-=+在[]1 1x ∈-，

上单调递增， 而()10g -=，

∴()()10g x g >-=对()1 1x ?∈-，恒成立， ∴当()1 1x ∈-，

时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m ?=+?=?得12m x e =-.记112m

x e '=-.

不妨设12x x <，则12111x x -<<<<，

∴121221212m x x x x x x x e ?

?''-<-=-=-- ???

. 要证121212x x m e ?

?-<-+

??

?，只要证2112122m x m e e ???

?--≤-+ ? ?????

，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，∴只要证222211x x x e -≤-，即()()()2

22110x

x e x -?-+≤.

∵()21x ∈，即证()2

210x e x -+≥. 令()()()11x x

x e x x e ??'=-+=-，.

当()1 0x ∈时，()0x ?'<，()x ?为单调递减函数； 当()0,1x ∈时，()0x ?'>，()x ?为单调递增函数.

∴()()00x ??≥=，∴()2

210x

e x -+≥，

∴121212x x m e ?

?-<-+

???

【点睛】本题考查函数的零点，考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明中对根12,x x 的处理采取了两种不同的方法，设12x x <，由函数

知识得12111x x -<<<，1x 利用y m =与切线2(1)y e x =+的交点横坐标1x '＝

12m e -放缩为证明21(1)2122m x m e e ?

?--<-+ ???

，2x 直接用y m =与()f x m =的解来

表示，再结合函数知识获得证明，转化与化归思想在这里得到进一步的体现． 10.已知函数()42ln a

f x a x x x

-=-++

. (1)当4a ≥时，求函数()f x 单调区间；

(2)设()2

6x g x e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2

122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围.

【答案】(1)当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，

(2,)a -+∞；当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间；(2)2m e e ≤-. 【解析】 【分析】

(1)先求函数的定义域，利用函数的导函数()0f x '=，得2x =或2=-x a ，当4a ≥时，分4a >，4a =讨论即可得到答案；

(2)当22a e =+时，由(1)知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2

,e +∞上单调递增，

从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--，由题意得2266x e e mx ≥+--，

即22e e x m x -≤，令22

()x e e h x x

-=，求新函数()h x 的最大值即可得实数m 的取值范围.

【详解】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

2

24()1a a f x x x -'=-++2

(2)[(2)]

x x a x ---=， 由()0f x '=，得2x =或2=-x a .

当4a >即22a ->时，由()0f x '<得22x a <<-， 由()0f x '>得02x <<或2x a >-；

当4a =即22a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；

∴当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞；

当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间.

的