一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ,B 两点,直线
y x m =+过顶点C 和点B . (1)求m 的值;
(2)求函数2
(0)y ax b a =+≠的解析式;
(3)抛物线上是否存在点M ,使得15MCB ∠=??若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)﹣3;(2)y 13
=x 2
﹣3;(3)M 的坐标为(3632). 【解析】 【分析】
(1)把C (0,﹣3)代入直线y =x +m 中解答即可;
(2)把y =0代入直线解析式得出点B 的坐标,再利用待定系数法确定函数关系式即可; (3)分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可. 【详解】
(1)将C (0,﹣3)代入y =x +m ,可得: m =﹣3;
(2)将y =0代入y =x ﹣3得: x =3,
所以点B 的坐标为(3,0),
将(0,﹣3)、(3,0)代入y =ax 2+b 中,可得:
3
90b a b =-??
+=?
, 解得:133
a b ?
=???=-?,
所以二次函数的解析式为:y 13
=
x 2
﹣3; (3)存在,分以下两种情况:
①若M 在B 上方,设MC 交x 轴于点D , 则∠ODC =45°+15°=60°, ∴OD =OC ?tan30°3=
设DC 为y =kx ﹣33,0),可得:k 3=
联立两个方程可得:2
3313
3y x y x ?=-?
?=-??
, 解得:1212033
36x x y y ?=?=???=-=???
, 所以M 1(36);
②若M 在B 下方,设MC 交x 轴于点E , 则∠OEC =45°-15°=30°, ∴OE =OC ?tan60°=3
设EC 为y =kx ﹣3,代入(30)可得:k 3
=
联立两个方程可得:2333133y x y x ?=-????=-??
, 解得:12120332
x x y y ?=?=???=-=-???, 所以M 23,﹣2).
综上所述M 的坐标为(3,63,﹣2). 【点睛】
此题是一道二次函数综合题,熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键.
2.如图,已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ,B 两点,且点A (1,-4)为抛物线的顶点,点B 在x 轴上。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ,使△POB 与△POC 全等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q 是y 轴上一点,且△ABQ 为直角三角形,求点Q 的坐标。
【答案】解:(1)2
y x 2x 3=--;(2)存在,P 1-1313-1
);(3)Q 点坐标为(0,-72)或(0,3
2
)或(0,-1)或(0,-3). 【解析】 【分析】
(1)已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式,进一步能求出点B 的坐标.点A 是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B 的坐标,依据待定系数法可解. (2)首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标,在△POB 和△POC 中,已知的条件是公共边OP ,若OB 与OC 不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB 等于OC ,那么还要满足的条件为:∠POC=∠POB ,各自去掉一个直角后容易发现,点P 正好在第二象限的角平分线上,联立直线y=-x 与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
(3)分别以A 、B 、Q 为直角顶点,分类进行讨论,找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】
解:(1)把A (1,﹣4)代入y =kx ﹣6,得k =2, ∴y =2x ﹣6, 令y =0,解得:x =3, ∴B 的坐标是(3,0). ∵A 为顶点,
∴设抛物线的解析为y =a (x ﹣1)2﹣4, 把B (3,0)代入得:4a ﹣4=0, 解得a =1,
∴y =(x ﹣1)2﹣4=x 2﹣2x ﹣3. (2)存在.
∵OB =OC =3,OP =OP ,
∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC,
此时PO平分第二象限,即PO的解析式为y=﹣x.
设P(m,﹣m),则﹣m=m2﹣2m﹣3,解得m=1-13
2
(m=
1+13
2
>0,舍),
∴P(1-13,13-1).
(3)①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
∴1
DQ
AD
OD DB
=,即5
6
=1
35
,∴DQ1=
5
2
,
∴OQ1=7
2
,即Q1(0,-
7
2
);
②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴2
OQ
OB
OD OB
=,即2
3
63
OQ
=,
∴OQ2=3
2
,即Q2(0,
3
2
);
③如图,当∠AQ3B=90°时,作AE⊥y轴于E,
则△BOQ3∽△Q3EA,
∴3
3
OQ
OB
Q E AE
=,即3
3
3
41
OQ
OQ
=
-
∴OQ32﹣4OQ3+3=0,∴OQ3=1或3,
即Q3(0,﹣1),Q4(0,﹣3).
综上,Q点坐标为(0,-
7
2
)或(0,
3
2
)或(0,﹣1)或(0,﹣3).
3.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y 轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P
的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M ,使△ANM 的周长最小.若存在,请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y =﹣x 2﹣2x +3;y =﹣x +1;(2)当x =﹣1
2
时,△APC 的面积取最大值,最大值为
278
,此时点P 的坐标为(﹣12,15
4);(3)在对称轴上存在一点M (﹣1,
2),使△ANM 的周长最小,△ANM 周长的最小值为102 【解析】 【分析】
(1)根据点A ,C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式;(2)过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ,交直线AC 于点F ,过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ,设点P 的坐标为(x ,﹣x 2﹣2x +3)(﹣2<x <1),则点E 的坐标为(x ,0),点F 的坐标为(x ,﹣x +1),进而可得出PF 的值,由点C 的坐标可得出点Q 的坐标,进而可得出AQ 的值,利用三角形的面积公式可得出S △APC =﹣
32x 2﹣3
2
x +3,再利用二次函数的性质,即可解决最值问题;(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标,利用配方法可找出抛物线的对称轴,由点C ,N 的坐标可得出点C ,N 关于抛物线的对称轴对称,令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ,则此时△ANM 周长取最小值,再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标,以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论. 【详解】
(1)将A (1,0),C (﹣2,3)代入y =﹣x 2+bx +c ,得:
10423b c b c -++=??--+=?,解得:2
3
b c =-??
=?, ∴抛物线的函数关系式为y =﹣x 2﹣2x +3; 设直线AC 的函数关系式为y =mx +n (m ≠0), 将A (1,0),C (﹣2,3)代入y =mx +n ,得:
023m n m n +=??-+=?,解得:1
1
m n =-??
=?,
∴直线AC的函数关系式为y=﹣x+1.
(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E,交直线AC于点F,过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q,如图1所示.
设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点E的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,﹣x+1),
∴PE=﹣x2﹣2x+3,EF=﹣x+1,EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.
∵点C的坐标为(﹣2,3),
∴点Q的坐标为(﹣2,0),
∴AQ=1﹣(﹣2)=3,
∴S△APC=1
2AQ?PF=﹣
3
2
x2﹣
3
2
x+3=﹣
3
2
(x+
1
2
)2+
27
8
.
∵﹣3
2
<0,
∴当x=﹣1
2时,△APC的面积取最大值,最大值为
27
8
,此时点P的坐标为(﹣
1
2
,
15
4
).
(3)当x=0时,y=﹣x2﹣2x+3=3,
∴点N的坐标为(0,3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
∵点C的坐标为(﹣2,3),
∴点C,N关于抛物线的对称轴对称.
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M,如图2所示.
∵点C,N关于抛物线的对称轴对称,
∴MN=CM,
∴AM+MN=AM+MC=AC,
∴此时△ANM周长取最小值.
当x=﹣1时,y=﹣x+1=2,
∴此时点M的坐标为(﹣1,2).
∵点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(﹣2,3),点N的坐标为(0,3),
∴AC
=,AN,
∴C
△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=.
∴在对称轴上存在一点M(﹣1,2),使△ANM的周长最小,△ANM周长的最小值为
+
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关
系式;(2)利用三角形的面积公式找出S△APC=﹣3
2
x2﹣
3
2
x+3的最值;(3)利用二次函
数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置.
4.如图,抛物线y=ax2+bx过点B(1,﹣3),对称轴是直线x=2,且抛物线与x轴的正半轴交于点A.
(1)求抛物线的解析式,并根据图象直接写出当y≤0时,自变量x的取值范围;
(2)在第二象限内的抛物线上有一点P,当PA⊥BA时,求△PAB的面积.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣4x,自变量x的取值范图是0≤x≤4;(2)△PAB的面积=15.
【解析】
【分析】
(1)将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中,再和对称轴方程联立求出待定系数a和b;
(2)如图,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E,过点P作PE⊥x轴,垂足为F,设P(x,x2-4x),证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标,将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积.
【详解】
(1)由题意得,
3
2 2
a b
b
a
+-
?
?
?
-?
?
=
=
,
解得
1
4
a
b-
?
?
?
=
=
,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x,
令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或4,
结合图象知,A的坐标为(4,0),
根据图象开口向上,则y≤0时,自变量x的取值范围是0≤x≤4;
(2)如图,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E,过点P作PE⊥x轴,垂足为F,
设P(x,x2-4x),
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA∽△AEB,
∴PF AF
AE BE
=,即
244
213
x x x
--
=
-
,
解得,x= ?1,x=4(舍去)
∴x2-4x=-5
∴点P的坐标为(-1,-5),
又∵B点坐标为(1,-3),易得到BP直线为y=-4x+1
所以BP与x轴交点为(
1
4
,0)
∴S△PAB=1155315
24
??+=
【点睛】
本题是二次函数综合题,求出函数解析式是解题的关键,特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出,利用点的坐标求三角形的面积是关键.
5.函数()2
110,>02
y x mx x m =-
++≥的图象记为1C ,函数()21
10,>02
y x mx x m =---<的图象记为2C ,其中m 为常数,1C 与2C 合起来的图象
记为C .
(Ⅰ)若1C 过点()1,1时,求m 的值; (Ⅱ)若2C 的顶点在直线1y =上,求m 的值; (Ⅲ)设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ,当03
92
y ≤≤时,求m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)12m =;(Ⅱ)2m =;(Ⅲ)912
m ≤≤. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值;
(Ⅱ)先求出抛物线2C 的顶点坐标,再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程,解之即可
(Ⅲ)先求出抛物线1C 的顶点坐标,结合(Ⅱ)抛物线2C 的顶点坐标,和x 的取值范围,分三种情形讨论求解即可; 【详解】
解:(Ⅰ)将点()1,1代入1C 的解析式,解得1
m .2
=
(Ⅱ)抛物线2C 的顶点坐标为2m m,12??
-- ???
, 令2
m 112
-=,得m 2,=± ∵m>0,∴m 2.=
(Ⅲ)∵抛物线1C 的顶点2m P m,12??+ ???,抛物线2C 的顶点2m Q m,12??
-- ???
, 当0m 2<≤时,最高点是抛物线G 1的顶点
∴2
03m y 1922
≤=+≤,解得1m 2.≤≤ 当2m 4<≤时,G 1中(2,2m-1)是最高点,0y =2m-1
∴3
2≤2m-19
≤,解得2m 4.
<≤
当m>4时,G2中(-4,4m-9)是最高点,0y=4m-9.
∴3
2≤4m-99
≤,解得
9
4m
2
<≤.
综上所述,
9
1m
2
≤≤即为所求.
【点睛】
本题考查二次函数综合题,待定系数法、不等式组等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,利用数形结合的思想解决问题,属于中考压轴题.
6.如图1,在矩形ABCD中,DB=6,AD=3,在Rt△PEF中,∠PEF=90°,EF=3,PF=6,△PEF(点F和点A重合)的边EF和矩形的边AB在同一直线上.现将Rt△PEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移,当点F与点B重合时停止运动,设运动时间为t秒,解答下列问题:
(1)如图1,连接PD,填空:PE=,∠PFD=度,四边形PEAD的面积
是;
(2)如图2,当PF经过点D时,求△PEF运动时间t的值;
(3)在运动的过程中,设△PEF与△ABD重叠部分面积为S,请直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围.
【答案】(1)3009+93
;(233)见解析.
【解析】
分析:(1)根据锐角三角形函数可求出角的度数,然后根据勾股定理求出PE的长,再根据梯形的面积公式求解.
(2)当PF经过点D时,PE∥DA,由EF=3,PF=6,可得∠EPD=∠ADF=30°,用三角函数计算可得3
(3)根据题意,分三种情况:①当0≤t3时,3<3时,③3≤t≤6时,根据三角形、梯形的面积的求法,求出S与t的函数关系式即可.
详解:(1)∵在Rt△PEF中,∠PEF=90°,EF=3,PF=6
∴sin ∠P=
1
=2
EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD
∴∠PAD=300,
根据勾股定理可得
所以S 四边形PEAD =
12×(+3); (2)当PF 经过点D 时,PE ∥DA ,由EF=3,PF=6,得∠EPF=∠ADF=30°,
在Rt △ADF 中,由AD=3,得 ; (3)分三种情况讨论:
①当0≤t PF 交AD 于Q ,∵AF=t ,t ,∴S=
12;
②<3时,PF 交BD 于K ,作KH ⊥AB 于H ,∵AF=t ,∴-t ,S △ABD ,
∵∠FBK=∠FKB ,∴
,KH=KF×sin600=2
,∴S=S △ABD ﹣S △FBK
=292t +
③当PE 与BD 交O ,PF 交BD 于K ,∵AF=t ,∴AE=t-3,
-t+3,OE=BE×tan300∴S=2++
. 点睛:此题主要考查了几何变换综合题,用到的知识点有直角三角形的性质,三角函数值,三角形的面积,图形的平移等,考查了分析推理能力,分类讨论思想,数形结合思想,要熟练掌握,比较困难.
7.如图,抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C .直线y=x ﹣5经过点B ,C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A 的直线交直线BC 于点M .
①当AM ⊥BC 时,过抛物线上一动点P (不与点B ,C 重合),作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ,若以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标; ②连接AC ,当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时,请直接写出点M 的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①P点的横坐标为4或
41
2
或
5-41
②点M的坐标为(13
6
,﹣
17
6
)或(
23
6
,﹣
7
6
).
【解析】
分析:(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以2,接着根据平行四边形的性质得到2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到2PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;
②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2),
AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(1
2
,-
5
2
),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的
解析式为y=-1
5
x+b,把E(
1
2
,-
5
2
)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-
1
5
x-
12
5
,则
解方程组
5
112
55
y x
y x
-
?
?
?
--
??
=
=
得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,
如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式
得到3=13
+
6
2
x
,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.
详解:(1)当x=0时,y=x ﹣5=﹣5,则C (0,﹣5), 当y=0时,x ﹣5=0,解得x=5,则B (5,0), 把B (5,0),C (0,﹣5)代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=??
=-?,解得1
5a b =-??=-?
, ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5;
(2)①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1,x 2=5,则A (1,0), ∵B (5,0),C (0,﹣5), ∴△OCB 为等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∵AM ⊥BC ,
∴△AMB 为等腰直角三角形, ∴AM=
2AB=2×4=22, ∵以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,AM ∥PQ , ∴PQ=AM=22,PQ ⊥BC ,
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ,如图1,则∠PDQ=45°,
∴222=4,
设P (m ,﹣m 2+6m ﹣5),则D (m ,m ﹣5), 当P 点在直线BC 上方时,
PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣(m ﹣5)=﹣m 2+5m=4,解得m 1=1,m 2=4, 当P 点在直线BC 下方时,
PD=m ﹣5﹣(﹣m 2+6m ﹣5)=m 2﹣5m=4,解得m 15+41,m 25-41
, 综上所述,P 点的横坐标为4或
5+412或5-41
2
; ②作AN ⊥BC 于N ,NH ⊥x 轴于H ,作AC 的垂直平分线交BC 于M 1,交AC 于E ,如图2,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1,
∴∠AM1B=2∠ACB,
∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,
∴N(3,﹣2),
易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(1
2
,﹣
5
2
,
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b,
把E(1
2
,﹣
5
2
)代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
,解得b=﹣
12
5
,
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
?
?
?
=--
??
得
13
6
17
6
x
y
?
=
??
?
?=-
??
,则M1(
13
6
,﹣
17
6
);
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
,
∴M2(23
6,﹣
7
6
).
综上所述,点M的坐标为(13
6
,﹣
17
6
)或(
23
6
,﹣
7
6
).
点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
8.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式;
(2)点D为抛物线对称轴上一点,当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标;
(3)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)(2,﹣1);(3)42
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)如图1,设D(2,y),利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18,DC2=4+(y﹣3)2,BD2=(3﹣2)2+y2=1+y2,然后讨论:当BD为斜边时得到18+4+(y﹣3)2=1+y2;当CD 为斜边时得到4+(y﹣3)2=1+y2+18,再分别解方程即可得到对应D的坐标;
(3)先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形,作PH⊥y轴于H,PG∥y轴交BC于
G,如图2,△EPG、△PHF都为等腰直角三角形,则PE=
2
2
PG,PF2,设P(t,t2
﹣4t+3)(1<t<3),则G(t,﹣t+3),接着利用t表示PF、PE,这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t22,然后利用二次函数的性质解决问题.
试题解析:解:(1)把B(3,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c得:
930
3
b c
c
++=
?
?
=
?
,解
得:
4
3
b
c
=-
?
?
=
?
,∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3;
(2)如图1,抛物线的对称轴为直线x=﹣
4
2
-
=2,设D(2,y),B(3,0),C(0,
3),∴BC2=32+32=18,DC2=4+(y﹣3)2,BD2=(3﹣2)2+y2=1+y2,当△BCD是以BC为直角边,BD为斜边的直角三角形时,BC2+DC2=BD2,即18+4+(y﹣3)2=1+y2,解得:y=5,此时D点坐标为(2,5);
当△BCD是以BC为直角边,CD为斜边的直角三角形时,BC2+DB2=DC2,即4+(y﹣3)
2=1+y2+18,解得:y=﹣1,此时D点坐标为(2,﹣1);
(3)易得BC的解析式为y=﹣x+3.∵直线y=x+m与直线y=x平行,∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直,∴∠CEF=90°,∴△ECF为等腰直角三角形,作PH⊥y轴于H,PG∥y轴交
BC于G,如图2,△EPG、△PHF都为等腰直角三角形,PE=2
PG,PF=2PH,设P
(t,t2﹣4t+3)(1<t<3),则G(t,﹣t+3),∴PF=2PH=2t,PG=﹣t+3﹣(t2﹣
4t+3)=﹣t2+3t,∴PE=
2
2
PG=﹣
2
2
t2+
32
2
t,∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣
2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2(t﹣2)2+42,当t=2时,PE+EF的最大值为42.
点睛:本题考查了二次函数的综合题.熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求二次函数解析式;理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式.
9.如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线
y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣
2);(3)E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.
【解析】
试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴,可设出M点坐标,表示出MC、MP和PC 的长,分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,可分别得到关于M点坐标的方程,可求得M点的坐标;
(3)过E作EF⊥x轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出△CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.
试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,
∴B(3,0),C(0,3),
把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线对称轴为x=2,P(2,﹣1),
设M(2,t),且C(0,3),
∴MC=,MP=|t+1|,PC=,
∵△CPM为等腰三角形,
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,
①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);
②当MC=PC时,则有=2,解得t=﹣1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);
③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此时M(2,﹣
1+2)或(2,﹣1﹣2);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);
(3)如图,过E作EF⊥x轴,交BC于点F,交x轴于点D,
设E(x,x2﹣4x+3),则F(x,﹣x+3),
∵0<x<3,
∴EF=﹣x+3﹣(x 2﹣4x+3)=﹣x 2+3x , ∴S △CBE =S △EFC +S △EFB =EF?OD+
EF?BD=
EF?OB=
×3(﹣x 2+3x )=﹣(x ﹣
)2+
,
∴当x=
时,△CBE 的面积最大,此时E 点坐标为(
,
),
即当E 点坐标为(
,
)时,△CBE 的面积最大.
考点:二次函数综合题.
10.已知,m ,n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根,且|m |<|n |,抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),如图所示. (1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ,求出点C ,D 的坐标,并判断△BCD 的形状;
(3)点P 是直线BC 上的一个动点(点P 不与点B 和点C 重合),过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,点Q 在直线BC 上,距离点P
为2个单位长度,设点P 的横坐标为t ,△PMQ 的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式.
【答案】(1)2
23y x x =--;(2)C (3,0),D (1,﹣4),△BCD 是直角三角形;
(3)2213
(03)22
13(03)2
2t t t S t t t t ?-+??=??-??<<<或>
【解析】
试题分析:(1)先解一元二次方程,然后用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先解方程求出抛物线与x 轴的交点,再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,从而得到结论;
(3)先求出QF=1,再分两种情况,当点P 在点M 上方和下方,分别计算即可. 试题解析:解(1)∵2+430x x +=,∴11x =-,23x =-,∵m ,n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根,且|m|<|n|,∴m=﹣1,n=﹣3,∵抛物线2
23
y x x =--
的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),∴10{
3b c c -+==-,∴2
{3
b c =-=-,∴抛物线解析式为
223y x x =--;
(2)令y=0,则2230x x --=,∴11x =-,23x =,∴C (3,0),
∵223y x x =--=2(1)4x --,∴顶点坐标D (1,﹣4),过点D 作DE ⊥y 轴,∵OB=OC=3,∴BE=DE=1,∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,∴∠OBC=∠DBE=45°,∴∠CBD=90°,∴△BCD 是直角三角形;
(3)如图,∵B (0,﹣3),C (3,0),∴直线BC 解析式为y=x ﹣3,∵点P 的横坐标为t ,PM ⊥x 轴,∴点M 的横坐标为t ,∵点P 在直线BC 上,点M 在抛物线上,∴P (t ,t ﹣3),M (t ,223t t --),过点Q 作QF ⊥PM ,∴△PQF 是等腰直角三角形,∵PQ=2,∴QF=1.
①当点P 在点M 上方时,即0
<t <3时,PM=t ﹣3﹣(223t t --)=23t t -+,
∴S=
12
PM×QF=21(3)2t t -+=213
22t t -+,②如图3,当点P 在点M 下方时,即t <0或t
>3时,PM=223t t --﹣(t ﹣3)=23t t -,∴S=12PM×QF=12
(23t t -)=213
22t t -.
综上所述,S=2213
(03)22
{13 (03)22
t t t t t t t 或-+<<-.
考点:二次函数综合题;分类讨论.
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得;
故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答:
解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 (1)有理数:是初中数学的基础内容,中考试题中分值约为3-6分,多以选择题,填空题,计算题的形式出现,难易度属于简单。 考察内容:复数以及混合运算(期中、期末必考计算)数轴、相反数、绝对值和倒数(选择、填空)。 (2)整式的加减:中考试题中分值约为4分,题型以选择和填空题为主,难易度属于易。 考察内容: ①整式的概念和简单的运算,主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式,平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 (3)一元一次方程:是初一学习重点内容,主要学习内容有(归纳、总结、延伸)应用题思维、步骤、文字题,根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分,题型主要以选择和填空题为主,极少出现简答题,难易度为易。 考察内容: ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型:追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 (4)几何:角和线段,为下册学三角形打基础 初一下册
相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 (1)相交线和平行线:相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空,选择题形式出现。分值为3-4分,难易度为易。 考察内容: ①平行线的性质(公理) ②平行线的判别方法 ③构造平行线,利用平行线的性质解决问题。 (2)平面直角坐标系:中考试题中分值约为3-4分,题型以选择,填空为主,难易度属于易。 考察主要内容: ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 (3)二元一次方程组:中考分值约为3-6分,题型主要以选择,解答为主,难易度为中。 考察内容:①方程组的解法,解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 (4)不等式和不等式组:中考试题中分值约为3-8分,选择,填空,解答题为主。 主要考察内容: ①一元一次不等式(组)的解法,不等式(组)解集的数轴表示,不等式(组)的整数解等,题型以选择,填空为主。 ②列不等式(组)解决经济问题,调配问题等,主要以解答题为主。 ③留意不等式(组)和函数图像的结合问题。
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.(初二) 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD=∠PDA=150. 如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形, CC1、DD1的中点. 求证:四边形A2B2C2D2 是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD=BC,M、N 分别是AB、CD的中点,AD、BC 的延长线交MN 于E、F.求证:∠DEN=∠F. 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 3、 B C A2、 M
1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于 M . 1)求证:AH =2OM ; 2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及 D 、E ,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设 MN 是圆 O 的弦,过 MN 的中点 A 任作两弦 BC 、 DE ,设 CD 、 EB 分别交 MN 于 P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 如图,分别以△ABC 的 AC 和 BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ,点P 是 EF 的中点. 4、 G N
求证:点P 到边AB的距离等于AB的一半. F
1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F. 求证:CE=CF.(初二) 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE. 求证:PA=PF.(初二) 4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于 B、D.求证:AB=DC,BC=AD.(初三)E 2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.求证: AE=AF.(初二)
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC . (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由. 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3;(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为( 73,256)或(173,﹣253). 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设P (m ,﹣ 34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣ 34x+3,表示PD=﹣2334m m ,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365 ,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94 n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34 n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析: (1)由OC=3OA ,有C (0,3), 将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得:
初三中考数学二次函数较难题解析 二次函数的图像考点: 开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 二次函数:y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0) 一般式:y=ax 2+bx+c ,三个点 顶点式:y=a (x -h )2+k ,顶点坐标对称轴 顶点坐标(-2b a ,244ac b a ). 顶点坐标(h ,k ) a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大, a , b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=- 2b a <0,即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=-2b a >0, 即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>0时,与y 轴交于正半轴;c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出. 交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况)
与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2 2 1x x h += 一、二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) 1.把二次函数的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 2.二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状开品与抛物线y= - 2x 2相同,这个函数解析式为________。 3.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ 4.(08绍兴)已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线21y x =-上,下列说法中正确的是( ) A .若12y y =,则12x x = B .若12x x =-,则12y y =- C .若120x x <<,则12y y > D .若120x x <<,则12y y >
经典难题(一) 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二) 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点. 求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) 连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点, 连接EB2并延长交C2Q 于H 点,连接FB2并延长交A2Q 于G 点, 由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ,EB2= AB= BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 , 可得△B2FC2≌△A2EB2 ,所以A2B2=B2C2 , 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等, 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . 求∠DEN ,不是吧,这求不出来的吧,是不是求证:∠DEN =∠MFC . 连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG ∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN 同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN =∠MFC 经典难题(二) 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O (1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: B
2018中考数专题二次函数 (共40题) 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G. (1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式; (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标; (3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标; ②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值. 2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D. (1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示); (2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值; (3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值. 4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1 (1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标. (2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPN为矩形. ②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限取一点C,作CD垂直X轴于点D,AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值; (3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值; (3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)9 4 ;(3)点P(1,0)或(2,﹣1);(4)M(2,﹣ 3). 【解析】 试题分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解; (2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答; (3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可; (4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可. 试题解析:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0), ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ,解得 4 3 b c =- ? ? = ? ,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3; (2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣ (x﹣3 2 )2+ 9 4 .∵a=﹣1<0,∴当x= 3 2 时,线段PD的长度有最大值 9 4 ;
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数 值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36) 【答案】6.4米 【解析】 解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°. ∴DC=BC?cos30°=3 =?=米, 639 2 ∵CF=1米, ∴DC=9+1=10米, ∴GE=10米, ∵∠AEG=45°, ∴AG=EG=10米, 在直角三角形BGF中, BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米, ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米, 答:树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高 2.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7). 【答案】32.4米.
【解析】 试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解. 试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E, 根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°. ∵AB⊥AC,CD⊥AC, ∴四边形ABEC为矩形, ∴CE=AB=12m, 在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE , ∴BE=CE?cot30°=12×3=123, 在Rt△BDE中,由∠DBE=45°, 得DE=BE=123. ∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4. 答:楼房CD的高度约为32.4m. 考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题. 3.如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,﹣6),点B(6,0).Rt△CDE中, ∠CDE=90°,CD=4,DE=4,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题: (1)如图(2),当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME 的度数. (2)如图(3),在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长. (3)在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数关系式,并求出面积S的最大值.
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二) 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150 . 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点. 求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O (1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600 ,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点. 求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.
中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 ,可以为零.二次函数的定义域是 a≠,而b c 全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的 y ax c 性质:
结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性 y a x h 质: 结论:左加右减。 总结: 4.
()2 y a x h k =-+的性质: 总结: 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”.
112O x y 培优训练五(二次函数1) 1、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( ) A .m =n ,k >h B .m =n ,k <h C .m >n ,k =h D .m <n ,k =h 2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b ﹣2a =0;②abc <0;③a ﹣2b +4c <0;④8a +c >0.其中正确的有( ) A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个 3、如图,二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交,其顶点坐标 为(1,12 ),下列结论:①0ac <;②0a b +=; ③244ac b a -=;④0a b c ++<.其中正确结论的个数是 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A (-1,y 1)、B (2,y 2)、C (23+,y 3)三点,则关于y 1、y 2、y 3大小关系正确的是 A .y 1>y 2>y 3 B .y 1>y 3>y 2 C .y 2>y 1>y 3 D .y 3>y 1>y 2 5、如图,一次函数)0(1≠+=k n kx y 与二次函数 )0(22≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-,5)、B (9,2)两点,则关 于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 的解集为 A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 6.如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、
如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c 经过A,B两点,抛物线的顶点为D. (1)求b,c的值; (2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E 作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标; (3)在(2)的条件下: ①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积; ②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值. (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标. (4)补充:在(3)的条件下,点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形,若能,求出相应Q的坐标。 41
直角坐标系XOY中,将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B(-3,0)及y 轴上的C点。若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点,(点A在点B的右侧),且过点C 。 (1)求直线BC及抛物线解析式 (2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求p点坐标
如图,已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A ,B 两点(A 点在B 点左侧),与y 轴交于点C (0, -3),对称轴是直线x =1,直线BC 交抛物线对称轴交于点D . (1)求抛物线的函数表达式; (2)求直线BC 的函数表达式; (3)点E 为y 轴上一动点,CE 的垂直平分线交CE 于点F ,交抛物线于P ,Q 两点,且点P 在第三象限. ①当线段PQ =3AB/4时,求tan ∠CED 的值; ②当以点C ,D ,E 为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P 的坐标. 温馨提示:考生可以根据第(3)问的题意,在图中补出图形,以便作答. 第25题图 第25题备用图
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二) 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点. 求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F . A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O (1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二) 4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ,点P 是EF 的中点. 求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.
3eud 教育网 https://www.sodocs.net/doc/fb4365107.html, 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新! 13eud 教育网 https://www.sodocs.net/doc/fb4365107.html, 教学资源集散地。可能是最大的免费 教育资源网!经典难题(一) 1 2 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,3 EG ⊥CO . 4 求证:CD =GF .(初二) 5 6 7 8 9 10 11 12 2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 13 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是24 AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点. 25 求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) 26
23eud 教育网 https://www.sodocs.net/doc/fb4365107.html, 教学资源集散地。可能是最大的免费 教育资源网! 28 29 30 31 32 33 34 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD CD 35 的中点,AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F . 36 求证:∠DEN =∠F . 37 38 39 40 41 42 43 44 经典难题(二) 45 46 1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于47 M . 48 (1)求证:AH =2OM ; 49 (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 50 51 52 53 54 55
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .21xy x += B . 220x y +-= C . 22y ax -=- D .2210x y -+= 12.在同一坐标系中,作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象,它们共同特点是 ( ) 22 3x y -=
二次函数专题复习 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y 随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图 像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( )
A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线 的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对 称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3, 0) C. (-3, -5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则 下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落 于地面 C. 点火后10s的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣ 1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中 正确的个数是()
二次函数培优专题训练 一、实际应用专题 例题1某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 例题2 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器,进价12元∕只,售价20元∕只.为了促销,专卖店决定凡是买10只以上的,每多买一只,售价就降低0.10元(例如:某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1元,就可以按19元∕只的价格购买),但是最低价为16元∕只.(1)顾客一次至少买多少只,才能以最低价购买? (2)写出当一次购买x只时(x>10),利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式. (3)星期天,小华来到专卖店勤工俭学,上午做成了两笔生意,一是向顾客甲卖了46只,二是向顾客乙卖了50只,记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少.为了使每次卖得越多赚钱越多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元∕只至少要提高到多少?为什么? 例题3(2010?恩施州)恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式. (2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用) (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?
2017年中考数学解答难题的十二种方法_答题技巧 数学学习能够增强人思维的逻辑性。数学学习能够促使我们思维的严密性。接下来我们一起来看看中考数学解答难题的十二种方法。 2017年中考数学解答难题的十二种方法 方法一、调理大脑思绪,提前进入数学情境 考前要摒弃杂念,排除干扰思绪,使大脑处于“空白”状态,创设数学情境,进而酝酿数学思维,提前进入“角色”,通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等,进行针对性的自我安慰,从而减轻压力,轻装上阵,稳定情绪、增强信心,使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。 方法二、“内紧外松”,集中注意,消除焦虑怯场 集中注意力是考试成功的保证,一定的神经亢奋和紧张,能加速神经联系,有益于积极思维,要使注意力高度集中,思维异常积极,这叫内紧,但紧张程度过重,则会走向反面,形成怯场,产生焦虑,抑制思维,所以又要清醒愉快,放得开,这叫外松。 方法三、沉着应战,确保旗开得胜,以利振奋精神 良好的开端是成功的一半,从考试的心理角度来说,这确实是很有道理的,拿到试题后,不要急于求成、立即下手解题,而应通览一遍整套试题,摸透题情,然后稳操一两个易题熟题,让自己产生“旗开得胜”的快意,从而有一个良好的开端,以振奋精神,鼓舞信心,很快进入最佳思维状态,即发挥心理学所谓的“门坎效应”,之后做一题得一题,不断产生正激励,稳拿中低,见机攀高。 方法四、“六先六后”,因人因卷制宜 在通览全卷,将简单题顺手完成的情况下,情绪趋于稳定,情境趋于单一,大脑趋于亢奋,思维趋于积极,之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了,这时,考生可依自己的解题习惯和基本功,结合整套试题结构,选择执行“六先六后”的战术原则。 1.先易后难。就是先做简单题,再做综合题,应根据自己的实际,果断跳过啃不动的题目,从易到难,也要注意认真对待每一道题,力求有效,不能走马观花,有难就退,伤害解题情绪。 2.先熟后生。通览全卷,可以得到许多有利的积极因素,也会看到一些不利之处,对后者,不要惊慌失措,应想到试题偏难对所有考生也难,通过这种暗示,确保情绪稳定,对全卷整体把握之后,就可实施先熟后生的方法,即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样,在拿下熟题的同时,可以使思维流畅、超常发挥,达到拿下中高档题目的目的。 3.先同后异。先做同科同类型的题目,思考比较集中,知识和方法的沟通比较容易,有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移,而“先同后异”,可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃,从而减轻大脑负担,保持有效精力, 4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小,易于把握,不要轻易放过,应争取在大题之前尽快解决,从而为解决大题赢得时间,创造一个宽松的心理基矗 5.先点后面。近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”,解答时不必一气审到底,应走一步解决一步,而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件,所以要步步为营,由点到面 6.先高后低。即在考试的后半段时间,要注重时间效益,如估计两题都会做,则先做高分题;估计两题都不易,则先就高分题实施“分段得分”,以增加在时间不足前提下的得分。 方法五、一“慢”一“快”,相得益彰