专题1第一章集合与函数的概念知识点与基础巩固题(解析版)高一数学复习巩固练习(人教A版)
专题1人教A 版集合与函数的概念知识点与基础巩固题——
寒假作业1（解析版）
集合部分
考点一：集合的定义及其关系 基础知识复习 （1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等
试卷第2页，总19页
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.
考点二：集合的基本运算 基础知识复习
1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．
记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：A ∪B(读作”A 并B ”)，即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}．
3、交集与并集的性质：A ∩A = A ，A ∩φ= φ, A ∩B = B ∩A ，A ∪A = A ，A ∪φ= A , A ∪B = B ∪A.
4、全集与补集
（1）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。
（2）补集：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ?S ），由S 中 所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）。 记作： C S A ，即 C S A ={x | x ∈S 且 x ?A}
（3）性质：⑴C U (C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ ⑶(C U A)∪A=U
(4)(C U A)∩(C U B)=C U (A ∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U (A ∩B)
函数部分
考点一：判断两函数是否为同一个函数 基础知识复习：
1.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）2)(x x f =
，33)(x x g =；
（2）x x
x f =)(，??
?<-≥=;
01
,01
)(x x x g
（3）1212)(++=n n x x f ，1
212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；
（4）x
x f =
)(1+x ，x x x g +=
2)(；
（5）12)(2
--=x x x f ，12)(2
--=t t t g
[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于x x x f ==
2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不
相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数x
x x f =
)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而??
?<-≥=;
01
,01
)(x x x g 的
定义域为R ，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，
x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函
数.
（4）由于函数x
x f =
)(1+x 的定义域为{}
0≥x x ，而x x x g +=
2)(的定
义域为{}
10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 考点二：求函数的定义域、值域 知识点复习：
1.求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①()f x 是整式时，定义域是全体实数．
②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤tan y x =中，()2
x k k Z π
π≠+
∈．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．没有0的0次方，也没有0的负数次方。 ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，主要记住两个个问题，1，定义域指的是一个x 的取值范围。2，括号范围对括号范围。例如：f （x+1）定义域是（1，2），求f （2x ）定义域，先求第一个括号的范围x+1属于（2，3），所以2x 属于（2，3），所以x 属于（1，3/2）。
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 2．求值域的几种方法：
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如
函数)32(log 2
21++-=x x y 就是利用函数u y 2
1log =和322
++-=x x u 的值域来
求。
试卷第4页，总19页
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2
21
22
+-+=x x x y 的值域 由2
2122
+-+=
x x x y 得012)1(22
=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=?y y y 得
021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2
13
3,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。已知cos x 属于（-1，1）如求函
数1cos 3
cos 2+-=
x x y 的值域，因为
1cos 5
21cos 3cos 2+-
=+-=x x x y ，因为cos x 属于（-1，1），所以]2,0(1cos ∈+x ，所以]2
5
,(1cos 5--∞∈+-x ，故
]2
1
,(--∞∈y
（5）利用对号函数求值域：如求函数4
32+=x x
y 的值域
1.当0=x 时，0=y ；
2.当0≠x 时，x
x y 43+
=
，若0>x ，则x+4/x 的最小值是4，可得0 若0 综上所述：此时从而得所求值域是]4 3,43[- （6）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，在一个表达式中频繁出现的部分换成t 。注意换元后新元的取值范围：另**=t ，则t 属于······ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 考点三：映射的概念 基础知识复习 映射的概念 ① 设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素， 在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →． ②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 考点五：分段函数 基础知识复习： 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 考点六函数的单调性 基础知识复习： 函数的 性质 定义图象判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两 个自变量的值x1、x2,当 x．1 ． < x ．．2．时，都有 f(x ．．．1．)<．．f(x ．．．2．)．，那么就说 f(x)在这个区间上是增． 函数 ．．． x 1 x 2 y=f(X) x y f(x ) 1 f(x ) 2 o （1）利用定义 （2）利用已知函 数的单调性 （3）利用函数图 象（在某个区间 图 象上升为增） （4）利用复合函 数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两 个自变量的值x1、x2，当 x．1 ． < x ．．2．时，都有 f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说 f(x)在这个区间上是减． 函数 ．．． y=f(X) y x o x x 2 f(x ) f(x )2 1 1 （1）利用定义 （2）利用已知函 数的单调性 （3）利用函数图 象（在某个区间 图 象下降为减） （4）利用复合函 数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数 减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()] y f g x =，令() u g x =，若() y f u =为增，() u g x =为增，则[()] y f g x =为增；若() y f u =为减，() u g x =为减，则[()] y f g x =为增；若() y f u =为增，() u g x =为减，则[()] y f g x =为减；若() y f u =为减，() u g x =为增，则[()] y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0) a f x x a x =+>的图象与性质 y 试卷第6页，总19页 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为 减函数． 考点八 判断函数的奇偶性及其应用 基础知识复习： 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数． ． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶．函数．． ． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． ③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 一、单选题 1．设{}12A x x =-≤≤∣，{}20B x x a =-≤∣，且{}11A B x x =-≤≤∣，则a 的值 为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 【答案】B 解不等式求得集合B ,再根据集合A 和交集的结果，即可得到a 的值. 【详解】 由20x a -≤解得：2a x ≤ ，所以|2a B x x ?? =≤???? ， 又{}12A x x =-≤≤∣，{}11A B x x =-≤≤∣， 所以 12 a =,2a ∴=, 故选：B. 【点睛】 本题考查集合的交集运算，难度不大,关键在于利用数轴求集合的交集. 2．已知集合{1,0,1}A =-，{1,2,3}B =，则A B =（ ） A ．{1} B ．{}1,0,1,2,3- C ．{1,0,1,1,2,3}- D ．[1,3]- 【答案】B 【分析】 直接用并集的运算即可得到答案. 【详解】 ∵{1,0,1}A =-，{1,2,3}B =， ∴{}1,0,1,2,3A B ?=-． 故选：B 【点睛】 集合的交并运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2)连续型的数集用数轴． 3．下列说法中，正确的是( ) A ．偶函数的图象一定与y 轴相交 B ．若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f = C ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是()0,f x x R =∈ D ．图象过原点的增函数（或减函数）一定是奇函数 【答案】B 试卷第8页，总19页 根据奇函数、偶函数的图像性质解决此题，即偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，且奇函数在0x =有意义时，则(0)0f =，据此逐个判断选项． 【详解】 对于A 项，若定义域不包含0，则图像与y 轴不相交，故A 错； 对于B 项，若奇函数在0x =有意义，则(0)0f =，故B 正确； 对于C 项，若定义域不包含0，则图像不过原点，故C 错； 对于D 项，图像过原点的单调函数，不一定为奇函数，例如y =D 错； 故选B 【点睛】 本题考查奇函数和偶函数图像以及性质，属于基础题． 4．函数 23x y += ( ) A ．{ 0x x <且32x ? ≠-?? B ．{} 0x x < C ．{} 0x x > D ．{ 0x R x ∈≠且32x ?≠-?? 【答案】A 【分析】 根据函数的定义域使式子有意义，只需230 0x x x +≠??->? 即可求解． 【详解】 要使函数 23x y += 2300x x x +≠??->? ，即320 x x ?≠- ??? 所以函数的定义域为{0x x <且32x ? ≠-?? ． 故选A 【点睛】 本题考查函数的定义域，需使式子有意义，属于基础题． 5．与函数221y x =+不相同的函数是( ) A ．22 1y x x =++ B ．( ) 2 221y x = + C ．2 21y x =+ D ．() ()2 2111 x x y x ++= + 【答案】D 【分析】 根据函数的三要素：若函数相同，则定义域、值域、对应关系相同即可． 【详解】 函数2 21y x =+的定义域为R ， 对于A ，2 2 2 121y x x x =++=+，定义域为R ，故A 相同； 对于B ，() 2 2 2221 2121y x x x = +=+=+，定义域为R ，故B 相同； 对于C ，2 2 2121y x x =+=+，定义域为R ，故C 相同； 对于D ，() ()2 2111 x x y x ++= +的定义域为(,0) (0,)-∞+∞，与221y x =+的定义域不 相同，因此不是相同函数； 故选D 【点睛】 本题考查函数的概念，需掌握函数的三要素，属于基础题． 6．函数21()y x x x R =++∈的递减区间是( ) A ．1[,)2 -+∞ B ．[1,)-+∞ C ．1(,]2 -∞- D ．(,)-∞+∞ 【答案】C 【分析】 首先求出二次函数的对称轴1 2 x =-；然后根据二次函数开口向上，在对称轴左侧函数 单调递减，据此可写出二次函数的单调递减区间． 【详解】 2213 1()24y x x x =++=++ ∴其对称轴为直线12 x =-， ∴ 函数的单调递减区间是1 (,]2 -∞- 试卷第10页，总19页 故选C 【点睛】 本题考查二次函数的单调递减区间，解题的关键是先确定出二次函数的对称轴． 7．已知集合{0,1,2}A =，那么（ ） A ．0A ? B ．0A ∈ C ．{1}A ∈ D ．{}0,1,2 【答案】B 【分析】 根据元素和集合间，以及集合与集合间的关系即可判断. 【详解】 集合{0,1,2}A =，0A ∴∈，故A 错误，B 正确； 又 {1}A ?，∴C 错误； 而{}0,1,2A =，D ∴错误. 故选：B . 【点睛】 本题主要考查的是元素和集合间，集合和集合间的关系，考查的是学生的理解能力，和解决问题的能力，是基础题. 8．已知函数()2 4f x x x m =-++，若[]0,1x ?∈，0f x ，则m 的取值范围是（ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)3,-+∞ C ．[]3,0- D ．[]4,0- 【答案】C 【分析】 求出函数在[]0,1x ∈时的值域，再根据题意求出m 的取值范围. 【详解】 函数()2 4f x x x m =-++的图象开口向下，对称轴方程为2x =，∴函数()f x 在 区间[]0,1上单调递增，()()max 13f x f m ∴==+，()()min 0f x f m ==，即函数 ()f x 的值域为[],3m m +. 由方程()0f x =有解知，[]0,3m m ∈+，因此0m ≤，且30m +≥，解得30m -≤≤.故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了函数在闭区间上的零点问题，考查了数学运算能力. 9．函数()2 4f x x x =-的最大值是（ ） A ．4- B ．0 C ．4 D ．2 【答案】C 【分析】 对函数的解析式进行配方，最后求出函数的最大值. 【详解】 函数()()2 2424f x x x x =-=--+，当2x =时，函数()f x 取得最大值4. 故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数的最大值，属于基础题. 10．设集合{0,1,2,3,4}A =，32{|430}B x x x x =-+=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A ．{1,3,4} B ．{0,2} C ．{2,4} D ．{0,1,2,3,4} 【答案】C 【分析】 根据题意，先得到{0,1,3}B =，再由venn 图，即可得出结果. 【详解】 依题意得{0,1,3}B =，由venn 图阴影部分中的元素在集合A 中但不在集合B 中，即在集合A 中去掉集合B 中的元素，可得所求的集合为{2,4}. 故选：C. 【点睛】 试卷第12页，总19页 本题主要考查venn 图的应用，熟记集合的基本运算即可，属于基础题型. 11．集合{3,1}A ，2{2,1}B m m =--，且A B =，则实数m =（ ） A ．3 B ．-1 C ．3或-1 D ．1 【答案】C 【分析】 利用相等集合的概念得出关系式223m m -=解方程即可得出答案. 【详解】 由集合{3,1}A ，2{2,1}B m m =--， ∵A B =，∴223m m -=，即2230m m --=，解得3m =或1m =-. 故选：C. 【点睛】 本题考查了利用相等集合的概念求参数的问题，考查了计算能力，属于基础题. 12．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 (1)(1)()xf x x f x +=+，则5 ( ()) 2 f f 的值是( ) A ．0 B ． 12 C ．1 D ． 52 【答案】A 【详解】 选A 二、填空题 13．已知函数()1,1 2,1x f x x x 则()()0f f =________． 【答案】2 【分析】 根据分段函数每段的定义域求解. 【详解】 因为函数()1,1 2,1x f x x x 所以()01f =， 所以()()()012f f f ==， 故答案为：2 14．奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，()33f =，则 () (01)f f +-=_________. 【答案】3- 【分析】 根据函数是奇函数，求()0f ，利用函数的对称性求()1f . 【详解】 因为函数是奇函数，所以()00f =， 因为函数关于直线2x =对称，()()4f x f x -=，则()()13f f =， ()()()1133f f f -=-=-=-，所以()()103f f -+=-. 故答案为：3- 15．已知函数()2 212y x a x =-+-在区间(],4-∞上是严格减函数，则实数a 的取值 范围是_____. 【答案】3a ≥ 【分析】 直接由对称轴14x a =+≥可得解. 试卷第14页，总19页 【详解】 由函数()2 212y x a x =-+-在区间(],4-∞上是严格减函数， 可得对称轴14x a =+≥，解得3a ≥. 故答案为：3a ≥. 16．若函数()y f x =的解析式为，则[()]f f x =_1,()0,? x f x x ?=? ?为有理数 为无理数_____. 【答案】1 【分析】 嵌套函数，从内到外，层层分析即可. 【详解】 因为()()0,1f f 都是有理数， 所以()()0,[()]=11,f x f f x f x ??=? ?? 为无理数 为有理数． 故答案为：1． 三、解答题 17．已知全集U =R ，集合{}23A x x =-≤≤，{ 1B x x =<-或}4x >. （1）求A B ； （2）求( )U A B ∩ . 【答案】（1）{ 3A B x x ?=≤或}4x >；（2）( ){}13U A B x x ?=-≤≤. 【分析】 （1）利用并集的定义可计算得出集合A B ； （2）利用补集和交集的定义可求得集合( )U A B ∩. 【详解】 （1） 集合{} 23A x x =-≤≤，{ 1B x x =<-或}4x >， 所以，{ 3A B x x ?=≤或}4x >； （2）全集U =R ，集合{} 23A x x =-≤≤，{ 1B x x =<-或}4x >， 则 {}14U B x x =-≤≤，因此，(){}13U A B x x ?=-≤≤. 18．已知函数2 2 ()1x f x x =+． （1）求11(2),(3)23f f f f ???? ++ ? ????? 的值； （2）求证：1()f x f x ?? + ??? 是定值． 【答案】（1）1，1；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据函数解析式代入即可求解. （2）根据解析式，代入整理即可求解. 【详解】 （1）因为()22 1x f x x =+， 所以()2 222 112221212112f f ?? ?????+=+= ?+???? + ???， ()2 222 113331313113f f ?? ?????+=+= ?+???? + ??? ． （2）()2 222222 2211111111111x x x x f x f x x x x x x ?? ?+????+=+=+== ?++++???? + ??? ，是定值． 19．集合722x A x x ?? +=≤??+?? ，()(){} 2100B x x a ax a =+->>， . （1）求A ； （2）若A B A =，求正实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|3x x ≥或}2x <-；（2）1 ,43?? ?? ? 【分析】 （1）解分式不等式，即可求出结果； （2）由题意可知， 1 2 a B x x x a ??=><- ? ? ?? 或，根据A B A =，所以A B ?，可得 1 3 2 2 a a a ? < ? ? ? -≥- ? ? > ? ? ? ，解不等式组即可求解. 【详解】 （1） 77724 2200 222 x x x x x x x +++-- ≤?-≤?≤ +++ ()() 320 3 220 x x x x x ?-+≥ - ?≥?? ++≠ ? 3 x ?≥或2 x<-； 所以{|3 A x x =≥或}2 x<-； （2）因为()() {} 2100 B x x a ax a =+->> ，，所以 1 2 a B x x x a ?? =><- ?? ?? 或 又A B A =，所以A B ? 所以 1 3 2 2 a a a ? < ? ? ? -≥- ? ? > ? ? ? ，解得 1 ,4 3 a ?? ∈ ? ?? . 【点睛】 本题主要考查了分式不等式的解法，集合的交集运算和子集的关系，本题属于基础题. 20．已知函数()|21| f x x =-. （1）用分段函数的形式表示该函数; （2）在所给的坐标系中画出该函数的图像,并根据图像直接写出该函数的定义域、值域(不要求写作图及解答过程) 试卷第16页，总19页 【答案】（1） 1 21() 2 () 1 12( ) 2 x x f x x x ? -≥ ?? =? ?-< ?? （2）图见解析，定义域R，值域[0,) +∞ 【分析】 （1）因为()|21| f x x =-,分别讨论 1 2 x≥和 1 2 x<,即可求得答案; （2）由（1）得: 1 21() 2 () 1 12() 2 x x f x x x ? -≥ ?? =? ?-< ?? ,画出函数图像,即可求得答案. 【详解】 （1）()|21| f x x =- 当 1 2 x≥,()21 f x x =-; 当 1 2 x<,()12 f x x =- ∴ 1 21() 2 () 1 12() 2 x x f x x x ? -≥ ?? =? ?-< ?? （2）由（1）得: 1 21() 2 () 1 12() 2 x x f x x x ? -≥ ?? =? ?-< ?? 画出函数的图像,如图: 根据函数图像可知:() f x定义域R,值域[0,) +∞. 【点睛】 本题主要考查了求解带绝对值的函数,解题关键是掌握函数的基础知识和函数图像的画 试卷第18页，总19页 法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 21．已知集合{}17A x x =≤<，{}210B x x =<<，{} C x x a =<，全集为实数集R . （1）求A B ，()R C A B ? （2）如果A C ?≠?，求a 的取值范围 【答案】（1）{} 110A B x x ?=≤<；(){} 710R C A B x x ?=≤<（2）1a > 【分析】 （1）根据并集定义，求出A B ，再求出R C A ，根据交集定义，即可求出结论； （2）根据集合关系，结合数轴，确定集合C 的端点，即可求解. 【详解】 （1）解：{} 17A x x =≤<，{} 210B x x =<<， {}110A B x x ∴?=≤<. () [),17,R C A =-∞+∞，(){}710R C A B x x ?=≤<. （2）{} 17A x x =≤<，{} C x x a =<，A C φ≠， 1a ∴>. 【点睛】 本题考查集合间的运算，考查集合的关系求参数，属于基础题. 22．已知()f x 为定义在[]22-, 上的奇函数，当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()()42x x f x b b R =-?∈. （1）求b 的值，并求出()f x 在(] 0,2上的解析式； （2）若对任意的(] 0,2x ∈，总有()f x m ≥，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）b=1,当(] 0,2x ∈时，()24x x f x --=-；（2）(],0-∞． 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得(0)10f b =-=，解可得b 的值，再设(]0,2x ∈，则[ )2,0x -∈-，结合函数奇偶性即可得出答案； （2）根据题意，由（1）的结论可得(] 0,2x ∈上函数的解析式，用换元法分析可得()f x 在(] 0,2上的值域，据此分析可得答案． 【详解】 解：（1）∵()f x 为定义在[]22-, 上的奇函数，∴(0)0f =， ∵当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()42x x f x b =-?，则(0)10f b =-=， ∴1b =， 则当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()42x x f x =-， 设(]0,2x ∈，则[ )2,0x -∈-，则()42x x f x ---=-， 又由()f x 为奇函数，则()()24x x f x f x --=--=-， 故当(] 0,2x ∈时，()24x x f x --=-； （2）由（1）可知，当(] 0,2x ∈时，2 11()24()22x x x x f x --=-= -， 设12x t = ，则114t ≤<，则2 211()024y t t t =-=--+>， 即()0f x >在(] 0,2x ∈上恒成立， 若()f x m ≥，必有0m ≤，即m 的取值范围为(],0-∞． 【点睛】 本题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的最值，属于基础题． 高一数学集合与函数测试题 一、选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：?2008年北京奥运会上所有的比赛项目；②《高中数学》必修1中的所有难题；③所有质数；⑷平面上到点（1,1）的距离等于5的点的全体；⑤在数轴上与原点O非常近的点。其中能构成集合的有（） A . 2组B. 3组C. 4组 D . 5组 2、下列集合中与集合｛x x 2k 1, k N ｝不相等的是（ ） A. {x x 2k 3,k N} B. {x x 4k 1,k N } C. {x x 2k 1,k N} D. {x x 2k 3, k 3,k Z} 2 3、设f（x）学」，则半等于（）X 1f（1） A . 1 B . 1 C . 3 D 3 5 5 4、已知集合 A {xx24 0｝，集合B ｛x ax 1},若B A ,则实数a的值是（） A . 0 B . 1 C . 0 或—D.0或1 2 2 2 5、已知集合 A {( x, y) x y 2} , B {(x,y)x y 4}，则AI B() A . {x 3,y 1} B .(3, 1) C . {3, 1} D.{(3, 1)} 6、下列各组函数 f (x)与g（x）的图象相同的 是 ( ) (A) f (x) x,g(x) (.x)2(B) 2 2 f(x) x ,g(x) (x 1) (C)f(x) 1,g(x) x0 x (D) f(x) |x|,g(x) (x 0) x (x 0) 7；l是定义在'■上的增函数则不等式畑"厮一劭的解集 是() (A)(0 ,+ OO)(B)(0,2)(C)(2 ， + OO )(D) (2，兰) 7 8已知全集U R，集合A {x x 1或x 2},集合B {x 1 x 0},则AU C U B() A. {x x 1或x 0} B. {x x 1或 x 1} C. {x x 2或x 1} D. {x x 2或 x 0} 9、设A 、B为两 个 -非空集 合， 定义A B { (a,b) a A,b B} ，若A {1,2,3}, B {2,3 ,4}，则 A B中的兀素个数为() A. 3 B.7 C.9 D.12 10、已知集合 A {yy x21},集合 B {xy22x 6}，则Al B ( ) A ? {(x,y) x 1,y 2} B. {x1 x 3} C. {x| 1 x 3} D. 11、若奇函数f x在1,3上为增函数，且有最小值0,则它在3, 1上 () A.是减函数，有最小值0 B.是增函数，有最小值0 C.是减函数，有最大值0 D.是增函数，有最大值0 12、若1,a,b 0,a2,a b，则a2005 b2005的值为( ) a (A)0 (C) 1 (B)1 (D)1 或1 高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题(1) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+ = 的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}， N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0｝ ，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150) 5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x , f [g (x )]=)0(122 ≠-x x x ,则 f (2 1)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y= x x ++ -1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 9．下列四个命题 （1）f(x)= x x -+-12有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数 y=2x(x N ∈)的图象是一直线； 第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示． 对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D 新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） 修文县华驿私立中学2012-2013学年度第一学期单元测试卷（四） （内容：集合与函数概念 满分：150 时间：120 制卷人：朱文艺） 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确，请把你的正确答案填入相应的括号中，每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合 B ．集合{} 1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合 C ．自然数集N 中最小的数是1 D ．空集是任何集合的子集 2. 已知{}32|≤≤-=x x M ，{}41|>-<=x x x N 或， 则N M 等于 （ ） A. {}43|>≤=x x x N 或 B. {}31|≤<-=x x M C. {}43|<≤=x x M D.{}12|-<≤-=x x M 3. 函数2() = f x （ ） A. 1 [,1]3- B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．2(),()f x x g x == D ．0()1,()f x g x x == 5. 方程组? ??-=-=+122 y x y x 的解集是 （ ） A ．{}1,1==y x B ．{}1 C.{})1,1(|),(y x D ． {})1,1( 6．设{} 是锐角x x A |=，)1,0(=B ，从A 到B 的映射是“求正切”，与A 中元素0 60相对应的B 中元素是 （ ） A ．3 B ． 33 C ．21 D ．2 2 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1． 设有函数组：①y x = ，y = y x = ，y = ；③y ，y = ；④1(0),1 (0), x y x >?=?- (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例 1.设有函数组：①21 ()1 x f x x -=-，()1g x x =+； ②()f x = ， ()g x = ③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）2 2 1 x y x =+()x R ∈； （3 ）y x =- 【反馈演练】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________． 4. 函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围． 集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2 10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 集合与函数概念测试题 一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．已知(){},3A x y x y =+=，(){},1B x y x y =-=，则A B = （ ）. A ．{}2,1 B ．(){}2,1 C ．{}2,1x y == D ．()2,1 2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）. A ．()M P S B ．()M P S C ．()()U M P C S D ．()()U M P C S 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）． (A) 2 (),()f x g x = = (B) 0 ()1,()f x g x x == (C) 2 1()1,()1 x f x x g x x -=+=- （D ）2 (),()f x g x = = 4．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）． (A) 0,2,3 (B) 30≤≤y (C) }3,2,0{ （D ）]3,0[ 5．已知函数2 2 1()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-= ≠，则(0)f 等于（ ） ． (A) 3- (B) 32 - (C) 32 （D ） 3 6．函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3a ≥- (B) 3a ≤- (C) 5a ≤ （D ）3a ≥ 7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0 第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合得含义: 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫做集合(简称为集)。 2、集合得中元素得三个特性: (1)元素得确定性:对于一个给定得集合,集合中得元素就是确定得,任何一个对象或者就是或者不就是这个给定得集合得元素。 (2)元素得互异性:任何一个给定得集合中,任何两个元素都就是不同得对象,相同得对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)元素得无序性:集合中得元素就是平等得,没有先后顺序,因此判定两个集合就是否一样,仅需比较它们得元素就是否一样,不需考查排列顺序就是否一样。 3、元素与集合得关系:2hf7sHC。51kBEbP。 (1)如果 a 就是集合 A 得元素,就说 a 属于A,记作: (2)如果 a 不就是集合 A 得元素,就说 a 不属于A,记作: 4、集合得表示: *用拉丁字母表示集合:A={我校得篮球队员},B={1,2,3,4,5} *常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R (1)列举法:把集合中得元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2} aypYuMZ。0DeBxzM。 (2) 图示法:Venn图 (3) 描述法(数学式子描述与语言描述):把集合中得元素得公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素得一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有得共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形}90qy1aJ。2fZxY1j。 5、集合得分类: (1)有限集含有有限个元素得集合 (2)无限集含有无限个元素得集合 (3)空集不含任何元素得集合例:{x|x2=-5｝ 二、集合间得基本关系 1、包含关系 (1)子集:真子集或相等 (2)真子集 2、相等关系:元素相同 两个结论:任何一个集合就是它本身得子集,即A A 对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C 3、空集 结论:空集就是任何集合得子集,就是任何非空集合得真子集 *集合子集公式:含n个元素得集合子集有2?个,真子集有2?-1个 三、集合得基本运算 1、并集 2、交集 *性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∩B=A, A∩B=B AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B 3、全集与补集 *性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U,(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB),(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)al5t6aw。eN17HuK。 选择补充:集合中元素得个数: 四、函数有关概念 人教版高中数学必修一第一章函数与集合 概念知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 （Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（文氏图）： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 必修一复习一、知识结构 集合 集合表示法 集 合 的 运 算集 合 的 关 系 列举法描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函 数 及 其 表 示 函 数 基 本 性 质 单 调 性 与 最 值 函 数 的 概 念 函 数 的 奇 偶 性 函 数 的 表 示 法 映射 映 射 的 概 念 集合与函数概念 基本初等函数(Ⅰ) 幂函数 有理指数幂整数指数幂 无理指数幂 运算性质 定义 对数 指数 对数函数 指数函数 互为反函数 图像与性质 定义定义 图像与性质 函数的应用 函数模型及其应用 函数与方程 对数函数 指数函数 几类不同增长的函数模型 二分法 函数的零点 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 二、考点解析 考点一：集合的定义及其关系 考点分析： 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 例1.定义集合运算：．设 ，则集合的所有元素之和为（ ） A ．0； B ．2； C ．3； D ．6 考点二、集合间的基本关系 ，（） 经典考题： 例2.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A ． B. C. D. 考点三、集合间的基本运算 考点分析 {}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *A B A ?φφB φ≠B B A ?C B ?C B A =I A C B =Y 中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数集合与函数概念单元测试题-有答案
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