高一上学期专题5 函数的恒成立问题
高一上学期专题5 函数的恒成立问题
函数的内容作为高中数学知识体系的核心，.函数类问题的解决最终归结为
对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的
解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图
象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的
综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.
恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二
次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.
策略一、赋值型——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.
例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )
A.10
B.7
C.-1
D.0
例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8
π- 对称，那么a=（ ）.
A .1
B .-1
C .2
D . -2.
策略二、一次函数型——利用单调性求解
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数
的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于
ⅰ）???>>0)(0m f a ，或 ⅱ）???><0)(0n f a 可合并定成?
??>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
??<0)(m f
例3a,x 的取值范围.
策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解
对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即
f(x)>0恒成立????00a ；f(x)<0恒成立????
0a . 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.
例4． 若函数1
2)1()1()(22++
-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.
例5.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解
运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个
数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)
例6.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.
例7. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若
12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .
策略五、数形结合——直观求解
例8. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.
解不等式恒成立的四种方法
1 转换主元法
确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。
例9：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值
范围。
2 化归二次函数法
根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
例10：在R 上定义运算?：x ?y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)?(x ＋a)<1对任意
实数x 成立，则 (A)－1 (B)0 a -<< 例11：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。 3 分离参数法 在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a 例12：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝5 1[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。 4.数型结合法 例13：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是（）