与三角形有关的线段复习资料

【练习】如图，（1）图中共有个三角形；

（2）∠B是△ABC，△ABE，△DBC中的、、边的对角；（3）AC分别是△AOC、△ADC、△AEC、△ABC中∠、∠、∠

的对边。

二三角形的三边关系

【例1】现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取（）

A. 10cm的木棒

B. 20cm的木棒

C. 50cm的木棒

D. 60cm的木棒

【例2】已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为。

【例3】已知三角形的两边a=3，b=7，则第三边的的取值范围是。

【练习】1. 已知等腰三角形的两边长为3和5，则它的周长为。

2. 五条线段的长分别是1、2、3、4、5（cm）以其中三条边为边长，可以构成个三角形。

3. 下列各组数分别表示三条线段的长度，（）组不能组成三角形。

A. 1，2，2

B. 3x，5x，7x

C. 三条线段的比为4:7:6

D. 4cm，8cm，13cm

三三角形的中线、角平分线、高线

【例1】三角形的三条中线交于一点，这一点在三角形的部；三角形的三条角平分线交于一点，这一点在三角形的部；三角形的三条高线所在的直线交于一点，这一点在三角形的部。

【例2】如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5cm，

AC=3cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多（）

A. 5cm

B. 8cm

C. 3cm

D. 2cm

【例3】如图，已知：AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD=5cm，EC=2cm。

求：△ABC的面积. C

A

D C

B A

A

【练习】1. 如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，BC 的中点，则下列说法中不正确的是（ ） A. DE 是△BCD 的中线 B. ∠B 的对角线是DE C. CD 是△ABC 的中线 D. AD=DB ，BE=EC

2. 判断：（1）三角形的角平分线、中线、高线都是线段。（ ） （2）直角三角形只有一条高线。（ ）

（3）钝角三角形有两条高在三角形的外部。（ ）

（4）三角形的一个内角的角平分线叫做三角形的角平分线。（ ）

四 三角形的稳定性

【例1】如图是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了一根木条AE ，小明的做法正确吗？为什么？若不正确应怎样做？

【练习】下列图形，不具有稳定性的是（ ）

A

B C D

三 难点突破 一 三角形的三边关系

【例1】三角形的两条边长分别是2cm 、6cm ，第三边整数，则其可能的值有 个。

【例2】如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 E

D

C

B A

B

C

D

C

B

A

【练习】1. 一个三角形的两边长为2cm 和9cm ，第三边长是一个奇数，则第三边的长为

2. 三角形的最长边为10，另两边的长分别为x 和4，周长为c ，求x 和c 的取值范围。

二 三角形的中线与三角形的面积的关系

（一）三角形的中线可以把原三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的面积相等。 （二）每个小三角形的面积都等于原三角形的一半。

【例1】如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是△ABD 中AD 边上的中线，若△ABC 的面积是24，则△ABE 的面积是

【例2】如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，则S 阴影等于（ ） A. 2cm 2 B. 1cm 2 C. 21cm 2 D. 4

1

cm 2

【练习】1. 如图所示，AM 是△ABC 的中线，若用S 1表示△ABM 的面积， 用S 2表示△ACM 的面积，则S 1与S 2的大小关系是（ ） A. S 1 ＞ S 2 B. S 1 ＜ S 2

C. S 1 ＝ S 2

D. 以上三种情况都有可能

2. 如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DF 为△ABD 中AB

边上的中线。 已知AB=5cm ，AC=3cm ，△ABC 的面积为12cm 2，则 （1）△ABD 与△ACD 的周长之差是 （2）△ABD 的面积是 （3）△ADF 的面积是 E D

C

B

A

C

B

A

M

C

B

A

F

A

【例1】在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，△ABC 的周长为34cm ，△ABD 的周长为30cm ，求AD 的长。

【例2】已知等腰三角形ABC 中，AB=AC=10cm ，D 为AC 边上一点，且BD=AD ，△BCD 的周长为15cm ，求底边BC 的长。

【例3】如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

【练习】1. 已知：△ABC 的周长为48cm ，AB 与BC 之差为14cm ，AC 与BC 之和为25cm ，求AB ，AC ，BC 的长。

2. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，BC=12，AC=8，AD=6，求BE 的长。 D

C

B

A

C

B

四 巩固练习 一、选择题

1. 已知三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5。其中可构成三角形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD ：DC=2:1，S △ACD =12，那么S △ABC 等于（ ） A. 30 B. 36 C. 72 D. 24

3. 若一个三角形的两条高于边重合，那么它的三个内角中（ ）

A. 都是锐角

B. 有一个直角

C. 有一个钝角

D. 不能确定 4. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A. BD 是∠ABC 的平分线 B. BD 是AC 边上的高 C. BD 是AC 边上的中线 D. DE 是△ABC 的中线

5. 以长为3cm ，5cm ，7cm ，10cm 的四条线段中的三条线段为边，可以构成三角形的个数有（ ）。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

6. 如果三角形的一条边长为4cm ，另两条边长都为x cm ，则x 的取值范围是（ ）。 A. x ＞4 B. x ≥2 C. x ≥4 D. x ＞2 二、填空题

1. 已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，且它的周长大于16cm ，则第三边长为 。

2. 若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a 的取值范围是 。

3. 若使一个五边形木框不变形，至少应再钉上 根木条。

4. 三角形的两边长分别为2cm ，7cm ，则第三边c 的范围为 ，当周长为偶数时，第三边长为 ，当周长为5的倍数时，第三边长为 。 三、解答题

如图，你能用三种不同的方法把一个三角形的面积四等分吗？请画出图形。

★ 附加题：如图所示，已知P 是△ABC 内一点，试说明PA+PB+PC ＞21

（AB+BC+AC ）

E

D

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

P

A

三角形的有关线段

11.1 与三角形有关的线段（1） 学习目标： 1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类； 2、能利用三角形三边关系进行有关计算。 学习过程： 三角形的有关概念 （1）三角形概念：由不在同一直线上的条线段 连接所组成的图形。 （2）三角形的表示法（如图1） 三角形ABC 可表示为：； （3）ΔABC 的顶点分别为A 、 、； （3）ΔABC 的内角分别为∠ABC ，， ； （4）ΔABC 的三条边分别为AB ，，；或， 、； （5）顶点A 的对边是，顶点B 的对边分别是，顶点C 的对边分别是。 三角形的分类： （1）下图中，每个三角形的内角各有什么特点？ （2）下图中，每个三角形的三边各有什么特点？ （3）结合以上图形你认为三角形可以如何分类？试一试 锐角三角形 按角分类 不等边三角形： 三角形三条边 按边分类 底边和腰不的等腰三角形 等腰三角形 （有两条边相等） 等边三角形：三条边都 3、三角形的三边关系 问题1：如图，现有三块地，问从A 地到B 地有几种走法， 哪一 C 地

第1题 种走法的距离最近？请将你的设计方案填写在下表中： 路线 距离 比较 （2）思考：你发现三角形的三边长度有什么关系？ （3）填写：三角形两边的和 （4）用式子表示：BC + ACAB（填上“> ”或“ < ”） BC + AB AC（填上“> ”或“ < ”） AB + AC BC（填上“> ”或“ < ”） （5）三角形的任意两边之和第三边； 三角形的任意两边之差第三边。 如图一，+ > ； - > 4、三角形的稳定性 问题2：盖房子时，在窗框未安装好前，木工师傅常先在窗框上斜钉 一根木条，为什么？ 5、例题：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ 解：设底边长为xcm，则腰长是 cm 因为三角形的周长为cm 所以： 所以x=cm 答：三角形的三边分别是、、 课堂练习： A 组 1．①图中有个三角形，分别为 ②△ABC的三个顶点是、、； 三个内角是、、； 三条边是、、； 2、如图中有个三角形，用符号表示 3．判断下列线段能否组成三角形： E B C D A第2题

与三角形有关的线段(提高)知识讲解

与三角形有关的线段（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 要点三、三角形的高、中线与角平分线 1．三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝90°. 注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2．三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝ 2 1 BC.

初中数学三角形有关的线段讲解及习题

11.1 与三角形有关的线段 1．三角形 (1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点． ①边：组成三角形的线段叫做三角形的边． ②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点． (3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC . 注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示． (4)分类： ①三角形按角分类如下： 三角形????? 直角三角形锐角三角形 钝角三角形 ②三角形按边的相等关系分类如下： 破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边 三角形是底边和腰相等的等腰三角形． 【例1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．

分析：根据三角形的定义及构成得出结论． 解：图中有三个三角形，分别是：△ABC，△ABD，△ADC. △ABC的三边是：AB，BC，AC，三个内角分别是：∠BAC，∠B，∠C； △ABD的三边是：AB，BD，AD，三个内角分别是：∠BAD，∠B，∠ADB； △ADC的三边是：AD，DC，AC，三个内角分别是：∠ADC，∠DAC，∠C. 2．三角形的三边关系 (1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞ b. 三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c－b

八年级上三角形的有关线段提高讲义

三角形的有关线段 知识点一：三角形有关概念 1、特点：（1）三条线段；（2）不在同一条直线上；（3）首尾顺次相接。 2、符号：用“△”表示，顶点是A ，B ，C 的三角形，如图，记作“△ABC ”。不能只写“△”而没写名字。 3、分类：（1）按角分：①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形。 （2）按边分：①不等边三角形；②底与腰不等的等腰三角形；③等边三角形。 4、三角形三边关系：两边差________第三边________两边和。（填“<”或是“>”） 例1（飞厦单元考）、以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A 、1：2：4 B 、8cm ，6cm ，4cm C 、12cm ，5cm ，6cm D 、2cm ，3cm ，6cm 举一反三 1、判断下列每组线段能否组成三角形（能的在括号中打“√”，不能的打“×”）； （1）3,4,5===c b a （ ） （2）3,2,7===c b a （ ） （3）4,2,2===c b a （ ） （4）5,5,5===c b a （ ） 2、现有长度分别为2，3，4，5的木棒，从中间任取三根，能组成三角形的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 例2、在△ABC 中，若AB=5，AC=2，且三角形周长为偶数，则BC=________。 1、已知在△ABC 中，a =5，b=3，那么第三边c 的取值范围是_________________。 2、一个三角形的两边长分别为3和7，若第三边长为偶数，则第三边为（ ） A 、4，6 B 、4，6，8 C 、6，8 D 、6，8，10 3、△ABC 的三边长是a ，b ，c ，则c b a a c b c b a +++-----=________。 例3、已知等腰△ABC 的周长是21cm ，其中两条边的差是3cm ，求各边长。 1、等腰三角形周长为14，其中一边长为3，则腰长为________。 2、一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为9cm ，那么这个三角形的周长是 。 3、用一条长为18cm 的细绳围成一个有一边长为4cm 的等腰三角形，则三角形各边长为_______。 4、等腰三角形的腰长为a ，底边为x ，则x 应是（ ） A 、a x ＜＜0 B 、2 0a x ＜ ＜ C 、a x 20＜＜ D 、2 0a x ≤ ＜

与三角形有关的线段练习题(含答案)

与三角形有关的线段练习题 11.1.1 三角形的边 1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是() 2.以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是() A．2，3，5 B．3，4，5 C．3，5，10 D．4，4，8 3.下列说法正确的有() ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①②B．①③④C．③④D．①②④ 4.如图，图中共有________个三角形，在△ABE中，AE所对的角是________，∠ABE所对的边是________；在△ADE中，AD是________的对边；在△ADC中，AD是________的对边． 5．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|a－3|＋(b－2)2＝0. (1)求c的取值范围； (2)若第三边长c是整数，求c的值．

11．1.2三角形的高、中线与角平分线 11．1.3 三角形的稳定性 1．桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构，这是利用三角形的________性． 2．如图，在△ABC中，AB边上的高是________，BC边上的高是________；在△BCF中，CF边上的高是________． 第2题图第3题图 3．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线．已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝________°. 4．若AE是△ABC的中线，且BE＝4cm，则BC＝________cm. 5．如图，BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长差是________． 第5题图第6题图 6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABD＝________cm2. 7．如图，AD，CE是△ABC的两条高．已知AD＝5，CE＝4.5，AB＝6. (1)求△ABC的面积； (2)求BC的长．

八年级数学上册 与三角形有关的线段

b a c A B C 11.1与三角形有关的线段习题 一、基础梳理 1.三角形定义：由不在 的三条线段，首尾 所组成的图形叫做三角形； 练习：根据你的理解，下列的图形是三角形有哪些？ 2.三角形的表示：如图1所示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作 ，三角形的三边 分别是 ，三个顶点是 ，三个内角是 ； 3.三角形的分类： ?? ??? 三角形，每一个内角都 90○； 按角分 三角形，有一个内角 90○； 三角形，有一个内角 90○； 注：等腰三角形是 条边相等的三角形；等边三角形是 条边相等的三角形。那么等 边三角形是否属于等腰三角形呢？ 。 ? ? ? 三角形，三边 ； 按边分 三角形 ??? 两边 ； 三边 ；（ 三角形） 二、练一练 1、图中有 个三角形？分别是： 。 2、图中以E 为顶点的三角形是： 。 3、 图中以∠D 为角的三角形是： 。 4、图中以AB 为边的三角形是： 。 三、议一议 右图中由A 点至B 点，有 条路线。那条路线最近？ 根据是： 这样三角形的三边之间存在着这样的不等关系： 于是有：（得出的结论） 。 新知运用：下列长度的三条线段能否组成三角形？ ① 3，4，11 （ ） ② 2，5，6 （ ） ③ 3，5，8 （ ） 四、（学习教材P64例子，仿照例子再完成下面的习题。） 例1 用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形。 （1） 如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2） 能围成有一边唱为4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 练习：一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程） 五、想一想 小曾同学有两根长度为40cm 、90cm 的木条，他想钉一个三角形的木框，那他第三根应 该如何选择？下列的几根木条有适合的吗？ （40cm ，50cm ，60cm ，90cm ，130 cm ）

八年级：三角形的有关线段(讲义)

三角形有关的线段 【例1】 （1）已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形。（2）△ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范围是________________. 【巩固练习】 （1）已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5.其中可构成三角形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 C.4个 （2）如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( ) A.6

【例题3】 （1）以下说法错误的是（） A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 （2）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 （3）三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（） A．直线 B．射线 C．线段 D．射线或线段 （4）能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（） A.中线B．高C．角平分线 D．以上三种情况都正确 （5）不一定在三角形内部的线段是（） （A）三角形的角平分线 （B）三角形的中线 （C）三角形的高 （D）三角形的中位线

(完整word版)与三角形有关的线段练习题

与三角形有关的线段练习题 1.等腰三角形的底边BC=8 cm，且|AC－BC|=2 cm，则腰长AC为( ) A.10 cm或6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm或6 cm 2.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（） A.5 B.6 C.7 D.8 3.如果三角形的三边长是三个连续自然数,则下面判断错误的是 ( ). A.周长大于6 B.周长可以被6整除 C.周长可以被3整除 D.周长有时是奇数 4.三角形三边长a、b、c满足(a－b－c)(b－c)=0，则这个三角形是（） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.斜三角形 D.任意三角形 5.等腰三角形周长为23，且腰长为整数，这样的三角形共有（）个 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 7.用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数是___________ 8.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 9.探究规律：如图，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点。 （1）请写出图中面积相等的各对三角形：______________________________。 （2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：与△ABC的面积相等；理由是： 10.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a＝2b，c－a＝4cm，求a、b、c的长. 11.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长. 12.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。 13.图中的每个小正方形的边长都为1，请写出以A、B、C、D、E、F中的三点为顶点且面积为1的三角形.

与三角形有关的线段测试题

与三角形有关的线段测试题 一、选择题 1、△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（） A．a＋b=c B．a＋b>c C．a＋b90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，△ABC中BC边上的高是（） A．FC B．BE C．AD D．AE 6、三角形的三条高在（） A．三角形内部B．三角形外部 C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或与边重合 7、如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（） A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短

C．两点确定一条直线D．垂线段最短 8、如图，△ABC中，∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是（） A．BC是△ABE边AE上的高B．BE是△ABD的中线 C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE=∠EBD=∠DBC 9、下列判断正确的是（） （1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线； （2）三角形的中线、角平分线都是线段； （3）一个三角形有三条角平分线和三条中线； （4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线． A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4） C．（3）（4）D．（2）（3） 10、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（） A．两点之间线段最短B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性 二、填空题 11、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交的成的角中有一个角是50°，则∠BAC等于________度．

三角形--讲义

三角形 讲义 一、 基础知识 （一）与三角形有关的线段 1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形 叫做三角形。 2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。 3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三 角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。 6三角形具有稳定性。 （二）与三角形有关的角 1三角形的内角和等于（180°） 2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 3三角形的外角和（360°）。 4.直角三角形的两个锐角互余。 （三）多边形及其内角和 1多边形 ：一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成 的平面图形称为n 边形，又叫多边形。 2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正 多边形。 3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形 的对角线，每个多边形有 )3(2 1 n n 条对角线。 4多边形的内角和：n 边形的内角和等于（（2）?180°） 5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也 互补。 6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相 加，得到的和称为多边形的外角和。 任意多边形的外角和等于 （360°）。 （四）三角形的分类 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三 角形、等边三角形） （五）镶嵌 1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌

与三角形有关的线段(基础)知识讲解

与三角形有关的线段（基础）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】 2．三角形的分类 (1)按角分类： ???????? 直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，

ni三角形手拉手模型-专题讲义

手拉手模型 1．等边三角形 导角核心：八字导角 条件：△OAB ，△OCD 均为等边三角形 结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB = 60°；③OE 平分∠AED 2．等腰直角三角形 导角核心： 条件：△OAB ，△OCD 均为等腰直角三角形 结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB = 90°；③OE 平分∠AED 3．任意等腰三角形 核心图形：核心条件：OA=OB ；OC=OD ；∠AOB=∠COD 条件：△OAB ，△OCD 均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED 例题讲解： A 类 1．在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ， 等边三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？

证明：（1）△ABE ≌△DBC ； （2）AE=DC ； （3）AE 与DC 的夹角为60°； （4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ； （6）BH 平分∠AHC ； 解题思路： 1．出现共顶点的等边三角形，联想手拉手模型 2．利用边角边证明全等； 3．八字导角得角相等； 2．如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG 、CE ，二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？ 解题思路： 1．出现共顶点的等腰直角三角形，联想手拉手模型 2．利用边角边证明全等； 3．八字导角得角相等； 3．如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD ，∠BAE =∠CAD=90°， 点G 为BC 中点，点F 为BE 中点，点H 为CD 中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。 多个中点，一般考虑什么？ 等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？ 等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？

练习-7.1与三角形有关的线段习题

7.1与三角形有关的线段习题 画龙点睛 1.AD是△ABC的高，可表示为，AE是△ABC的角平分线，可表示为，BF是△ABC的中线，可表示为 . 2.如图7-1-3，AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ = 1 2 ∠；E在 AC上，且AE=CE,则BE是△ABC的；CF是△ABC的高，则∠ =∠ =900，CF AB. 3.如图7-1-4,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,则∠CAE= . 4.如图7-1-5,以AD为高的三角形共有 . 慧眼识金 1.三角形的一条高是一条……………………………（） A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线 2.下列各组线段中能组成三角形的是…………………（） A.a=6,b=8,c=15 B.a=7,b=6,c=13 C.a=4,b=5,c=6 D.a= 1 2 ,b= 1 4 ,c= 1 8 3.下列说法中，正确的是………………………………（） A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高总在三角形的内部 C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段 D.三角形的中线在三角形的内部 4.下列图形具有稳定性的是………………………………（） A.正方形 B.梯形 C.三角形 D.平行四边形 5.如图7-1-6，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于点O,OF⊥CE,则下列说法中正确的是………………………………………………………（） A.OE为△ABD中AB边上的高 B.OD为△BCE中BC边上的高 C.AE为△AOC中OC边上的高 D.OF为△AOC中AC边上的高 6.某同学把一块三角形玻璃打碎成如图7-1-7所示的三块，现在要到玻璃店去配一块完 C A B E F 图7-1-3 A B D E C 图7-1-4 A B D 图7-1-5 A B C F E O 图7-1-6

初二数学经典讲义 与三角形有关的线段(基础)知识讲解

与三角形有关的线段（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类】 2．三角形的分类 (1)按角分类： ? ? ? ? ? ? ? ? 直角三角形 三角形　锐角三角形 斜三角形　 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 要点三、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝2 1BC.

三角形有关的线段典型例题经典!

三角形有关的线段典型例题 1．如图，图中共有多少个三角形？它们分别是什么？ 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm 的两部分，求三角形各边的长。 3．（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围及三角形周长p 的取值范围； （2）已知三角形的三边分别为14，4 x和3 x，求x的取值范围； （3）已知三角形的三边分别为a，a－1和a＋1，求a的取值范围。

4．如图，在小河的同侧有A ，B ，C 三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A 村送信到B 村，总是走经过C 村的道路，不走经过D 村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。 5.如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ，PB,PC, 求证:（1）PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 错题诊断： 1．下面是三个同学分别画的△ABC 的三条主要线段，他们画得对吗？为什么？ 错解： （1）∠ABC 的平分线BD

（2）BC边上的中线EF （3）BC边上的高CG 2．已知一个三角形的两边是9和4，又知这个三角形有两边相等，求它的周长。 3．已知一个三角形中的两边的长分别a和b，且a

与三角形有关的线段教学设计说明

11．1《与三角形有关的线段》教学设计 参赛选手： 教材分析: 在学本节以前，学生已经学习了线段、角以及相交线、平行线等知识，他们的空间观念得到了进一步发展。现在学习三角形的相关知识，就有了更为充实的基础和准备。通过学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。 教学目标： 知识与能力：认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、角、顶点，能用符号语言表示三角形。 过程与方法：经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系。 情感态度与价值观：懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题。 重难点分析： 教学重点：三角形三边关系的探究和归纳三角形边角关系是平面几何中的几何形态问题。 在突出重点时，主要在学生已有知识经验（两点之间线段最短）的基础上，大胆提出猜想：三角形两边之和大于第三边.利用课前准备好的小木棒，让学生动手操作，体验思考、实验和归纳的过程，加深对三边关系的理解和记忆.此外，教学中还可辅以几何画板进行动画演示，对实验过程进行直观的演示.教师在学生小组动手操作过程中进行个别的指导，在动画演示过程中进行讲解，以明确学生的认识. 教学难点：三角形三边关系的应用。三角形的三边关系不仅涉及到几何的重要容，而且同不等式有机结合，这给学生理解三角形的三边关系带来了很大的难度.学生往往能够记住这些结论，但是在实际应用时，缺乏灵活的分析和判断能力.另通过学生对三角形三边关系的实际例子的分析和操作，实现对三边关系的判断过程的把握，从而提高利用不等关系解决实际问题的能力. 教学过程 一、创设情境，导入新课（多媒体图片引入）

人教版八年级数学讲义与三角形有关的线段(含解析)(2020年最新)

第1讲与三角形有关的线段 知识定位 讲解用时：5分钟 A 、适用范围：人教版初二，基础较好； B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的 知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的线段，掌握三角形的角平分线、中线和高线，以及三角形的三边关系，学会处理含三角形线段的几何题目。 知识梳理 讲解用时：20分钟 与三角形有关的线段 1、三角形： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 2、三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边 a+b ＞c 或b+c ＞a 或a+c ＞b b-a ＜c 或c-b ＜a 或c-a ＜b 依据：两点之间，线段最短 3、高： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高 a b c

课堂精讲精练 【例题1】 下列说法正确的是（ ） 与三角形有关的角 4、中线： 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线5、角平分线： 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线6、三角形的稳定性： 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性 1、三角形内角和定理：三角形的内角和是180° 2、三角形的外角性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、三角形的几种特殊模型： 两内角角平分线夹角 两外角角平分线 一内角、一外角角平分线夹角 ∠P=90°+1 2 ∠A ∠P=90°- 12 ∠A ∠P=1 2 ∠A 4、直角三角形的性质：（1）两锐角互余 （2）等面积法计算S=1 2 ab=1 2ch （3）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

与三角形有关的线段

与三角形有关的线段 在教学中，我注重学生自我探究新知、自主动手实践和合作交流的学习习惯养成。 二.教学内容分析 学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形。为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔。 三.说教学目标： (1) 通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线; (2) 会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点。 (3) 经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神。 四.教学难点分析： 教学重点：三角形的高线、角平分线、中线的概念，动手画、折三角形的三条高线、角平分线、中线自主发现它们分别交于一点。 教学难点：探究三角形的三条高线、角平分线、三条中线交于一点的过程及中线的应用。 五.教学课时：1 课时 六.教学过程分析： (一) 、出示教学目标;情景引入课程 (二) 、学生自学，回忆旧知，深化提高 1、(事先让学生准备三个三角形的纸片) 给出一个三角形ABC请你回忆作出三角形ABC的高。

提问：(1)你用什么方法作出三角形的高? (2) 高有几条? (3) 你能用折纸的方法找出你准备好的三角形的高吗? (4) 你发现用折纸折出的高与你用三角板画出的高一致吗?(5)你发现三角形的三条高有何特点? 请同学们拿出已准备好的其中一个三角形纸片，回答以上问题。 2、动手实践，探究新知 三角形的角平分线的教学 ①事先在黑板上画一个三角形？ABC问学生如何画一个角的平分线，比如画/A 的平分线? 学生大约估计到另外两个三角形纸片的作用，于是把问题一提出就要让学生能感知并有一种意识去动手实践，主动探究。我认为能做到这一点就是教学的成功所在。学生利用手上的三角形纸片边操作边与组内其他组员讨论。能引起争论，这是本节课的成功之处。因为这节课理论是可行的，但实际做起来却不一定行。比如，用量角器去画一个角的平分线就存在一个很大的测量误差等。这样自然引入了三角形的角平分线概念。并提问：(1)三角形有几条角平分线? (2)你发现三角形的三条角平分线有何特点? 设计意图：使学生通过画、折等实践操作活动理解三角形的角平分线概念，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的。 (三) 学习小组合作探究 1、三角形的中线的教学 在已画的？ABC的/ A的角平分线AD的基础上提出问题：点D是否是BC的中点?那么什么是线段的中点呢?你有什么方法得到线段的中点呢? 设计意图：由三角形的角平分线自然过渡到三角形的中线，并为下面画三角形的中

《相似三角形》最全讲义(完整版).docx

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1?图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位?用、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括?立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小 得 到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 3?相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段 a _ m 的比是a： b = m： n （或〃n） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 兰_ ￡ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦° a _ ￡ 4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。 a _ c 5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。 a _ c 6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 &比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长

11.1与三角形有关线段练习题1

考点1：认识三角形 1.如图的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是__________，顶点A、B、C所对的边分别是___________，用小写字母分别表示__________. 、 2.三角形按边分类可分为__________三角形，__________三角形；等腰三角形分为底与腰__________的三角形和 底与腰__________的三角形. 3.如图所示，以AB为一边的三角形有（） 个个个个 4.如图7-1-26，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有_______个（用含n的代数式表示）. 图7-1-26 考点2：三角形三边关系 { 1、已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12cm,则它的最短边长为( ) 4.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（） ，2，3 ，5，8 ，4，5 ，5，10 5.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（） A．3 B．5 C．7 D．9 6..已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（） ， 7.一个三角形的两条边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（） 8.如果线段a、b、c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（） ∶2∶4 ∶3∶4 ∶4∶7 ∶3∶4 9.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的周长为（） 或18cm D.不能确定 10.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（） ，4，5 ，4a，5a +a，4+a，5+a D.三条线段之比为3∶5∶8 > 11..三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm，那么三边分别是________cm. 12已知三角形的三边长分别为3,8,x; 若x的值为奇数,则x的值有______个; 如果△ABC是等腰三角形，试问： ⑴若周长是18，一边长是8，则另两边长是_________________； ⑵若周长是18，一边长是4，则另两边长是__________________。 13.(1)已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围； （2）已知三角形的三边分别为14，4 x和3 x，求x的取值范围； 图 图