二次函数精典例题分析

二次函数精典例题分析

河北省玉田县林南仓中学 金志刚(邮编064106) （电话0315-*******手机135********)

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.

一、精典例题

1. 代数推理

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.

1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.

例１．设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤

5

4

. 分析：同上题，可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,. 解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1, ∴ ()()()()0)),1()1((2

1

),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=

, ∴ ()()()()()

2

22102121x f x x f x x f x f -+?

??

? ??--+???? ??+=. ∴ 当01≤≤-x 时，

()()()().

4

5

45)21(1)1(22122102

121222

222

222

22≤++-=+--=-+?

??? ??-+???? ??+-=-+-++≤-?+-?-++?≤x x x x x x x x x x

x x x x f x

x f x x f x f

当10-≤≤x 时，

()()()()222102

121x f x

x f x x f x f -?+-?-++?≤

222122x x

x x x -+-++≤

)1(222

22x x x x x -+???? ??+-+???? ??+= .

4

545)21(1

22≤+--=++-=x x x

综上， 问题获证.

1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式

()().21x x x x a y --=

例２．设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根

x x 12,满足01

12<<

. 当()

x x ∈01,时，证明()x f x x <<1.

分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.

证明：由题意可知

))(()(21x x x x a x x f --=-.

a

x x x 1021<

<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a , ∴ 当()

x x ∈01,时，x x f >)(.

又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <,

综上可知，所给问题获证.

1.3 紧扣二次函数的顶点式,44222

a b ac a b x a y -+??? ?

?

+=对称轴、最值、判

别式显合力

例３．已知函数x z a

x f 2

2)(-

=。 （1）将)(x f y =的图象向右平移两个单位，得到函数)(x g y =，求函数

)(x g y =的解析式；

（2）函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称，求函数

)(x h y =的解析式；

（3）设)()(1

)(x h x f a

x F +=

，已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ，求实数a 的取值范围。

解：(1)()();2

2222---=-=x x a

x f x g

(2)设()x h y =的图像上一点()y x P ,，点()y x P ,关于1=y 的对称点为

()y x Q -2,，由点Q 在()x g y =的图像上，所以

y a x x -=-

--22

22

2，

于是 ,2222

2--+-=x x a

y 即 ();2

2222

--+-=x x a x h （3）22)14(2411)()(1)(+-+??

? ??-=+=

x x a a x h x f a x F . 设x t 2=，则21

444)(+-+-=

t

a t a a x F . 问题转化为：7221

444+>+-+-t a t a a 对0>t 恒成立. 即 ()0147442

>-+--a t t a a 对0>t 恒成立. （*） 故必有

044>-a a .（否则，若044<-a a

，则关于t 的二次函数()14744)(2

-+--=a t t a

a t u 开口向下，当t 充分大时，必有()0

044=-a

a

时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数()14744)(2

-+--=

a t t a

a t u 的对称轴0847>-=a

a t ，所以，问题等价于0

????<-?-?->-0

144447044a a a a

a

，

解之得：

22

1

<->-a a a ，故21

444)(+-+-=t a t a a x F 在a

a a t --=4)

14(4取

得最小值()214442+-?-=a a

a

m 满足条件. 2. 数形结合

二次函数()0)(2≠++=a c

bx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性

质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.

2.1 二次函数的图像关于直线a b x 2-=对称， 特别关系a

b

x x -=+21也

反映了二次函数的一种对称性.

例４．设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根

x x 12,满足01

12<<<

x x a

. 且函数()f x 的图像关于直线x x =0对称，证明：x x 01

2

<

. 解：由题意 ()c x b ax x x f +-+=-)1(2.

由方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足01

12<<<

x x a

, 可得 ,121021a x a b x <<--<

<且a b x x a b 21

2121---=---, ∴ a b a a b x x a b 21

1212121---<---=---， 即 1x a

b

<-

，故 x x 012<.

2.2 二次函数)(x f 的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数n m ,使得n m <且0)()(

0)(=x f 的唯一的实数根.

例５．已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .

（1）如果4221<<x ； （2）如果21

分析：条件4221<<

解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x .

（1）由0>a 及4221<<<0)4(0

)2(g g ，即???>-+<-+034160124b a b a ，

即

???

????

<+?--<-?+,

043224,043233a a b a

a b

两式相加得

12

b

，所以，10->x ; （2）由a

a b x x 4

)1()(2221--=-, 可得 1)1(122+-=+b a . 又01

21>=a

x x ，所以21,x x 同号.

∴

21

12=-x x 等价于

??

???+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或

?????+-=+<<-<1

)1(120

22

12b a x x , 即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???????+-=+>>-1

)1(120)0(0

)2(2b a g g

解之得 41<

b 或4

7

>b . 2.3 因为二次函数()0)(2≠++=a c

bx ax x f 在区间]2,(a

b

-

-∞和区间),2[+∞-

a

b

上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.

例６ 已知二次函数f x ax bx c ()=++2，当-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，

求证：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ().

分析：研究)(x f 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数c b a ,,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f ，)1(-f ，)0(f ，这样做的好处有两个：一是c b a ,,的表达较为简洁，二是由于01和±正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.

要考虑()x f 在区间[]7,7-上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑()x f 在区间端点和顶点处的函数值.

解：由题意知：c b a f c f c b a f ++==+-=-)1(,)0(,)1(， ∴ )0()),1()1((2

1

)),0(2)1()1((2

1

f c f f b f f f a =--=

--+=

，

∴ f x ax bx c ()=++2

()

2

221)0(2)1(2)1(x f x x f x x f -+?

??

? ??--+???? ??+=. 由-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，可得 ,

1)1(≤f (),11≤-f ()10≤f .

∴ ()()()()7)0(3)1(1303113)2(≤+-+≤--+=f f f f f f f ,

()()()()7)0(3)1(3103131)2(≤+-+≤--+=-f f f f f f f .

（1）若[]2,22-?-

a

b

，则()x f 在[]2,2-上单调，故当[]2,2-∈x 时， ))2(,)2(max()(max f f x f -=

∴ 此时问题获证.

（2）若[]2,22-∈-a

b

，则当[]2,2-∈x 时，

)2,)2(,)2(max()(max ??

?

??--=a b f f f x f

又

()7

2411214)1()1(2022422<=+?+≤--?+=?+≤-=???

??-f f a b f b a b c a b c a b f ，

∴ 此时问题获证.

综上可知：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ().