2017-2018学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分?在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. （5 分）若集合A={x|x-2V0} , B={x| e x> 1}，则A G B=（）
A. R
B. （-x，2）
C. （0，2）
D. （2，+^）
2.
（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+^）上单调递增的是（）
A. f （x）=ln|x|
B. f （x）=2 x
C. f （x）=x3
D. f （x）= - x
3. （5 分）已知向量a= （1，0），b = （- 1，1），则（）
A. I//
B. i 丄卜
C. （I--’）//
D. （1一：‘）丄I
4. （5分）已知数列{a n}满足a1+a2+-+a n=2c fe （n=1, 2, 3，…），贝U（）
A. d< 0
B. a1 >0
C. a1^a2
D. a2=0
5. （5分）将?的图象向左平移三个单位，贝U所得图象的函数解析
6 6
式为（）
A. y=sin2x
B. y=cos2x
C.「-i 二…-
D.盲二…
6. （5分）设
a€ R，贝U “是第一象限角”是“sin+GOS > 1”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7. （5分）设f （x）=e Sinx+e「Sinx（x€ R），则下列说法不正确的是（）
A. f （x）为R上偶函数
B. n为f （x）的一个周期
C. n为f （x）的一个极小值点
D. f （x）在区间；i）厶厂|上单调递减
8. （5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件.
（i）A U B={1，2，3，4，5，6}，A H B=?;
（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. （5分）定积分| 的值等于_______ .
10. （5分）设在海拔x （单位：m）处的大气压强y （单位：kPa）, y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa,则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为__________ kPa.
11. （5分）能够说明设x是实数，若x> 1，则「一：”是假命题的一个实数
x-1
x的值为_______ .
12. （5分）已知△ ABC是边长为2的正三角形，0, D分别为边AB, BC的中点，则
①汕“ =_______ ;
②若'1-1，则x+y= ____________ .
14. （5分）已知函数f （x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f （x）=x2-
ax+a，其中a€ R.
①f （- 1）= ___ ；
②若f （x）的值域是R,则a的取值范围是 ________ .
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.
15?（13分）已知函数i 二?:■■- ■■ I .'.（I）求f —'的值；
（U）求f （x）在区间...二-」的最大值和最小值.
16. (13分)已知｛a n｝是等比数列，满足a2=6, a3=- 18,数列｛b n｝满足b i=2,且｛2b n+a n｝是公差为2的等差数列.
(I)求数列｛an｝和｛b n｝的通项公式；
(U)求数列｛b n｝的前n项和.
17. (13分)已知函数-■,, ; | ■ . ■,其中a> 0.
X
(I)当a=2时，求曲线y=f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；
(U)求f (X在区间［1, e］上的最小值.(其中e是自然对数的底数)
18. (13分)如图，在四边形ACBD中，…..-二，且△ ABC为正三角形.
(I)求cos/ BAD 的值；
(H) 若CD=4,匚二春］,求AB和AD的长.
19. (14分)已知函数 _ .「_—(0v x v n, g (x) = (x- 1) lnx+m (m
€ R)
(I)求f (x)的单调区间；
(U)求证：1是g (x)的唯一极小值点；
(E)若存在a, b€( 0, n),满足f (a) =g (b)，求m的取值范围.(只需写出结论)
20. (14 分)若数列A：a1, a2,…，a n (n >3)中a€ N* (1< i< n)且对任意的2< k< n - 1a k+1+a k-1>2a k恒成立，则称数列A为“U数列”
(I)若数列1, x, y, 7为“U数列”写出所有可能的x, y；
(U)若“U数列”：a1, a2,…，a n 中，a1=1, a n=2017,求n 的最大值；
(川)设n0为给定的偶数，对所有可能的“U数列”A：a1,a2,…,a n0，记M=max ｛a1, a2,…，a n。｝，其中max", x?,…，x］表示x〔,沁,…，这s个数中最大的数，求M的最小值.
20仃-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分?在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. （5 分）若集合A={x|x-2V0} , B={x| e x> 1}，则A G B=（）
A. R
B. （-x，2）
C. （0，2）
D. （2，+^）
【解答】解：集合A={x| x- 2v 0}={x|x v 2}，
B={x| e x> 1}={x| x>0}，
则A H B={x|0v x v2}= （0，2）.
故选：C.
2. （5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0, +^）上单调递增的是（）
A. f （x）=ln|x|
B. f （x）=2 x
C. f （x）=x3
D. f （x）= - x
【解答】解：函数f （x）=ln|x|是偶函数又在区间（0, +x）上单调递增，满足题意；
函数f （x）=2-x是非奇非偶函数，不满足题意；
函数f （x）=x3是奇函数，不满足题意；
函数f （x）=-x2是偶函数，但在区间（0, +^）上单调递减，不满足题意；故选：
3（5 分）已知向量□= （1，0），b = （- 1，1），则（）
A. i// ：，
B. 」
C. （■-?）//?■
D. （丄i
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、向量a= （1，0），b= （- 1，1）， 1 X 1工0 X（- 1），则乞//匸不成立，A 错误；
A.
对于B、向量a= (1, 0), b = ( —1, 1), a ?b=i x(—1) +0 X 1工0,贝U 自丄不
成立，B错误；
对于C、向量a= (1 , 0), b = (- 1,1), a —b = (2,- 1), 2X 1工(—1)X(-
1),贝U(；- E)// 7不成立，C错误；
对于D、向量1= (1, 0), /.= (—1, 1), 1 —■= (0, 1) ( i+'■) ? i=0X 1+1 X 0=0,贝U( +)丄1成立，D正确；
故选：D.
4. （5分）已知数列｛a n｝满足a1+a2+-+a n=2c t （n=1, 2, 3,…），贝U（）
A. a〔v 0
B. a〕> 0
C. C1 C2
D. a2=0
【解答】解：数列｛a n｝满足a什a2+-+a n=2a2 （n=1, 2, 3,…）,
n=1 时,a1=2a2；
n=2 时，a1 +a2=2a2 ,
可得a2=0.
故选：D.
5. （5分）将丁，-■'的图象向左平移二个单位，则所得图象的函数解析
o 6
式为（）
A. y=sin2x
B. y=cos2x
C. ,「二：——
D.二匚——
3 o
【解答】解：'的图象向左平移宀个单位，得y=sin[ 2（x^ ）+ ],
即y=sin[ 2x+ ] =cos2x
2
? 所得图象的函数解析式为y=cos2x.
故选：B.
6. （5分）设a€ R,贝U “是第一象限角”是“sin+cos > 1”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件