第1学期模拟试卷1
一、填空题(15分,每小题3分)
1. 252
lim
sin 32x x x x
→∞+=+ . 2. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞
=+∞的定义 :
3. 数集(1)1n n n N n +??--↓∈??+??
的上确界是 , 下确界是 .
4.设1
(1)1
y x x =
≠-+,则n 阶导数=)(n y . 5.定积分1251
||(sin )x x x dx -+=? .
二、选择题(15分,每小题3分)
1. 设1(), ()11x
f x
g x x
-=
=+则当1x →时 ( ) . (A )()f x 与()g x 为等价无穷小;(B )()f x 与()g x 为同阶无穷小但不等价;
(C )()f x 是()g x 的高阶无穷小;(D )()f x .是()g x 的低阶无穷小;
2.. 当x →+∞时 ()f x 不以a 为极限的定义是( ) (A );0, 0, , ().M x M f x a εε?>?>?>-≥; (B )000, 0, , ().M x M f x a εε?>?>?>-≥; (C )00000, 0, , ().M x M f x a εε?>?>?>-<; (D )0000 0, 0, , ().M x M f x a εε?>?>?>-≥.
3. 数集{} (1,0.1) 0 ( 0.1 ,1 )A =-- 的所有聚点的集合是 ( ) (A )A ; (B ){} [1,0.1 ] 0 [ 0.1 ,1 ]-- ;
(C ) [1,0.1 ] [ 0.1 ,1 ]-- ;(D ) (1,0.1)
( 0.1 ,1 )-- ; 4. 设)(x f 在0x =处二阶可导,且 0
()
lim
1x f x x
→'=, 则( ). (A )0x =是)(x f 的极小值点; (B )0x =是)(x f 的极大值点;
(C )(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点; (D ). 以上都不是。 5. 设)(x f 是周期为T 的连续函数,则下列函数为周期函数的是( ). (A )0()()x
F x f t dt =?; (B )0()()x T F x f t dt +=?
; ( C ) 0()()x F x f t T dt =+?; (D )()()x T
x
F x f t dt +=?.
三、求极限(12分,每小题6分)
1.11lim()1ln x x x x
→-- 2. tan 01lim x
x x +→?? ???
四、求不定积分(12分,每小题6分) 1.5sin x dx ? 2.
ln(1) x x dx +?.
五、计算定积分(12分,每小题6分)
1. 2.10
x ?
六、(8 分)设2
1sin x +是)(x f 的一个原函数,求
4
(2)x f x d x
π
'?
七、(10分)设曲线 2y x =(01)x ≤≤ 和直线 1 , 0y x == 围成平面图形D 。
( 1 ) 求D 的面积; ( 2 )求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积;
( 3 ) 求D 绕直线 1x = 旋转而成的旋转体的体积. 八、(8分)设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导,(0)(1) , (1)1,f f f '==
求证:( 0, 1 )ξ?∈ 使 ()2f ξ''=.
九、(8分). 利用确界存在定理证明闭区间套定理:
设 {}, n n a b ???? 为闭区间套,则 {}
, n n a b ???? 必存在唯一的公共点。
第1学期模拟试卷1答案
一、填空题(15分,每小题3分)
1. 252lim
sin 32x x x x →∞+=+2
3
2. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞
=+∞的定义 :
0, 0, , ()L M x M f x L ?>?
>?<-> 3. 数集(1)1n n n N n +??--↓∈??+??
的上确界是 13 , 下确界是2-
4.设1(1)1y x x =≠-+,则n 阶导数=)
(n y 1
(1)!(1)
n n n x +-+. 5.定积分1
251
||(sin )x x x dx -+=
?1
2
二、选择题(15分,每小题3分)
1. B
2.. D 3. C 4. A 5. D 三、求极限(12分,每小题6分)
1.11lim(
)1ln x x x x
→-- =1111ln 1ln 11ln ln 11lim lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 22
ln (1)
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
→→→→-++-+====-+-++- 2. tan 01lim x
x x +→?? ???
=2000
01
sin ln ln sin lim (tan ln )
lim
lim
lim lim
cos csc csc cot cos 1x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x e e e e
e
+
++++→→→→→---=====
四、求不定积分(12分,每小题6分)
1.5sin x dx ? 422sin (cos )(1cos )(cos )xd x x d x =-=--??
243521
(12cos cos )(cos )cos cos cos 35
x x d x x x x C
=--+=-+-+?
2. ln(1) x x dx +?.=22
2111ln(1)()ln(1)2221x x d x x x dx x
+=+-+??
2
221111ln(1)(1)ln(1)ln(1)22124
x x x x dx x x x x C x ??=+--+=++-+-+??+? 五、计算定积分(12分,每小题6分)
1.
2420
4
cos sin (cos sin )(sin cos )1)
x x dx x x dx x x dx π
π
π
π=-=-+-=???
2.1
0x
?.(sin x t =) 2
222
20
00
11sin cos cos sin 2(1cos 4)48t t tdt tdt t dt π
ππ===-?
??
=2011sin 8416
t t π
π
??-=????
六、(8 分)设2
1sin x +是)(x f 的一个原函数,求
4
(2) x f x d x
π
'?
解 1
[][][]444
00444400004011 (2) (2) (2) (2)221111(2)(2)sin 4sin 42222
111cos 4(cos cos 0)884
x f x dx x f x d x x df x xf x f x dx x x xdx x π
π
π
ππππ
π
π''=
===-=-==-=-?????
()2()1sin sin 2 , f x x x '=+=
解2 ()2()1sin sin 2 , 2 , 2d d f x x x x t x t '=+===
42200011 (2) () ()44x f x dx t f t dt t df t π
ππ''==???[]220011
()()44tf t f t dt ππ=-? [][]22200011111sin 2sin 2cos 2(cos cos0)44884
t t tdt t πππ
π=-==-=-? 七、(10分)设曲线 2y x =(01)x ≤≤ 和直线 1 , 0y x == 围成平面图形D 。
( 1 ) 求D 的面积; ( 2 )求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积; ( 3 ) 求D 绕直线 1x = 旋转而成的旋转体的体积.
解 1
31
2
02(1)133
x A x dx ??=-=-=?????
122014
()55
x V x dx πππππ=-=-=?
2
11
12
(1)
, 5(1)(1)6
d V d y y d y V d y d y y d y
πππππππ=-=-=-+-=???
另解 平移坐标 1,,x u y v =+= 曲线方程为
2(1),1,v u u =+
1
1
2
51)(16
V dv v dv πππππ=-=-+-=
?? 八、(8分)设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导,(0)(1) , (1)1,f f f '==
求证:( 0, 1 )ξ?∈ 使 ()2f ξ''=.
证1 令2()(),F x f x x x =-+ 则 []()0,1(0,1),F x C D ∈ (0)(1)F F =
由洛尔定理知 (0,1), ()0F ηη'?∈=
()()21F x f x x ''=-+, []()0,1(0,1)F x C D '∈ , (1)(1)10()F f F η'''=-==
由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''?∈==-= 证2 令2()(),F x f x x =- []()0,1(0,1),F x C D ∈ 由拉格朗日定理知
(0,1), ()()(10)(1)(0)1,F F F F ηηη''?∈=-=-=-
[]()0,1(0,1),F x C D '∈ (1)(1)21(),F f F η'''=-=-= 由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''?∈==-= 证3 在1x =展开为一阶泰勒公式
2111
()(1)(1)(1)()(1), (,1)2
f x f f x f x x ξξ'''=+-+-∈ 1
(0)(1)(1)(), (0,1)2
f f f f ξξ'''=-+
∈ 因(0)(1) , (1)1,f f f '== 故 (0,1), () 2 f ξξ''?∈=
证4 令 21
()()()2
F x f x x =--, 用两次洛尔定理。
证5 令 2()()()F x xf x x f x '=--, 用一次洛尔定理。 九、(8分). 利用确界存在定理证明闭区间套定理:
设 {}, n n a b ???? 为闭区间套,则 {}
, n n a b ???? 必存在唯一的公共点。 证 (存在性) 因[]{},n n a b 为闭区间套,故1221n n a a a b b b ≤≤≤<≤≤≤ 因{}n a 有上界1b ,故由确界存在定理知{}n a 必有上确界,设它为ξ; 则由上确界定义有, ;n n N a ξ+?∈≤因()n b n N +?∈都是{}n a 的上界,而ξ是的最小上界,故, n n N b ξ+?∈≤; 因此,,, n n n N a b ξ+?∈≤≤, 从而有 []1,.n n n a b ξ∞
=?∈
(惟一性) 若另 []1
,.n n n a b η∞
=?∈ , 则0n n b a ξη≤-≤-, 因 lim()0n n n b a →∞
-=
故,ξη= 从而有 []{}1
,.n n n a b ξ∞
==
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数,g (x)是减函数 Bf (x)是减函数,g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值,则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为: X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解:原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解:原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八] 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0定积分及微积分基本定理练习题及答案