两角和与差正弦公式与余弦公式
都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广sin( - α) = cos α 时，
先反向应用例 3 中的结论 cos( - α ) = sin α ，然后再利用公式 cos(α - β ) ，最后整理得到公
式．教学关键是引导学生将 (α + β ) 看做整体，这样才能应用公式 cos( - α ) ．逆向使用公式，
【课题】 1．1 两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）
【教学目标】
知识目标：
理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的
计算和化简．
能力目标：
学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．
【教学重点】
本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．
【教学难点】
难点是公式的推导和运用．
【教学设计】
在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到
cos(60? - 30?) ≠ cos60 ? - cos30 ? ，
然后提出如何计算 cos(α - β ) 的问题．利用矢量论证 cos(α - β ) 的公式，使得公式推导过
程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例 1 和例 2
π
2
用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin(α + β ) 的推导过程是，首
π
2
π
2
培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学
上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos(α - β ) 是最基本的公式，要求学生理 解其他公式的推导过程，同时将公式 sin(α ± β ) 和公式 cos(α ± β ) 相对比进行记忆．要帮助 学生总结公式中角 α 和角 β 以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特
点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例 4 利用
15? = 60? - 45? 求解，还可以利用15? = 45? - 30? 求解．例 5 通过逆向使用公式来巩固知识，
这种方法在三角式的变形中经常使用．例 6 是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现
了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得
学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．
【教学备品】
教学课件．两课时
【课时安排】
问题 我们知道， cos 60? = ，cos30 ? = ，
2 课时．(90 分钟)
【教学过程】
教
学 过
程
*揭示课题
教师 学生 教学 时
行为 行为 意图 间
1．1 两角和与差的正弦公式与余弦公式． 介绍
了解
*创设情境 兴趣导入
1 3
2 2
显然
播放
课件 观看
课件 引导
启发
cos (60? - 30?) ≠ cos60 ?- cos30 ?．
由此可知 cos (α - β ) ≠ cos α - cos β．
质疑
思考
学生
得出
结果
5
*动脑思考 探索新知
思考
在单位圆（如图1 - 1）中，设向量 OA 、 OB 与 x 轴正半
轴 的 夹 角 分 别 为 α 和 β ， 则 点 A （ cos α ,sin α ）， 点 B
（ cos β ,sin β ）．
因 此 向 量 OA = (cos α,sin α ) ， 向 量 OB = (cos β ,sin β ) ， 且
总结 归纳
OA = 1 , OB = 1．
于是
OA ? OB = OA ? OB ? cos(α - β ) = cos(α - β ) ，
又 OA ? OB = cos α ? cos β + sin α ? sin β ，
所以 cos(α - β ) = cos α ? cos β + sin α ? sin β ．
（1）
又
cos(α + β ) = cos [α - (-β )]
启发
引导 学生 发现 解决 问题
的方
法
= cos α ? cos(-β ) + sin α ? sin(-β )
仔细
分析
理解
6 - 2
例 2 设 cos α = ，cos β = ，并且 α 和 β 都是锐角，求 解 因为 cos α = ， cos β = ，并且 α 和 β 都是锐角，
所以 sin α = 1 - cos 2 α = ， sin β = 1 - cos 2 β = ，
= ? - ? = 0 .
= cos α ? cos β - sin α ? sin β．
（2）
利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证
明略）．由此得到两角和与差的余弦公式
cos(α + β ) = cos α ? cos β - sin α ? s in β （1.1）
cos(α - β ) = cos α ? cos β + sin α ? s in β ,
（1.2）
公式（１.１）反映了 α + β 的余弦函数与 α ， β 的三角
函数值之间的关系；公式（１.2）反映了α - β 的余弦函数与
α ， β 的三角函数值之间的关系．
*巩固知识 典型例题
讲解 关键 词语
记忆
15
例 1 求 cos 75? 的值．
分析 可利用公式（1.1），将 75°角看作 45°角与 30°
角之和．
解
cos75 ? = cos(45 ? + 30?)
= cos 45? cos30 ? - sin 45? s in 30?
引领
讲解
观察
思考
= 2 3 2 1 ? - ?
2 2 2 2 说明
主动
注意
=
．
4
3 4 5 5
cos(α + β ) 的值．
分析 可以利用公式（1.1），但是需要首先求出 s in α 与
sin β 的值．
3 4
5 5
4 3
5 5
因此 cos(α + β ) = cos α cos β - sin α sin β ，
3 4 4 3
5 5 5 5
引领
分析
说明
求解
观察
思考
观察
学生 是否 理解 知识
点
例 3
分 别 用 sin α 或 cos α
， 表 示 cos( - α ) 与 sin( - α ) .
解
cos( - α ) = cos ? cos α + sin ? sin α
故
cos( - α ) = sin α ．
令 - α = β ,则 α = - β ,代入上式得
即
sin( - α ) = cos α .
由于 cos( - α ) = sin α ．对于任意角都成立，所以
sin(α + β ) = cos ? - (α + β )? = cos ?( - α ) - β ?
π
2
π π π
2 2 2
= 0 ? cos α + 1 ? sin α = sin α
π
2
启发
引导
理解
口答
π
2
π π 2 2
π
cos β = sin( - β )
2
π
2
*运用知识 强化练习
启发
分析
学生
自我
发现
归纳 25
及时
1．求 cos105 ? 的值.
2．求 cos15 ? 的值．
*动脑思考 探索新知
π
2
? π ? ? π ? ? 2 ? ? 2 ?
提问
巡视 指导
总结
归纳
动手
求解
思考
了解
知识 掌握 情况
启发
引导
35
π π
= cos( - α ) ? cos β + sin( - α ) ? sin β
2 2
= sin α ? cos β + cos α ? sin β
.
理解
学生
发现
解决 sin(α - β ) = sin [α + (-β )] = sin α ? cos(-β ) + cos α ? sin(-β )
= sin α ? cos β - cos α ? sin β .
由此得到，两角和与差的正弦公式
仔细
分析
讲解
关键
问题
的方 法
词语
记忆
40
sin(α + β ) = sin α ? cos β + cos α ? sin β
(1.3)
sin(α - β ) = sin α ? cos β - cos α ? sin β
(1.4)
*巩固知识 典型例题
例 4
求 sin15 ? 的值.
= 3
=
． 1
例 6 求证 3 cos α + sin α = 2sin( + α ) ．
证 1 右边= 2(sin cos α + cos sin α )
= 2(sin cos α + cos sin α )
= 2sin( + α ) =右边．
cos α + cos α +
分析
可以利用公式（1.1），将 15°角可以看作是 60°
角与 45°角之差．
解
sin15 ? = sin(60? - 45?)
= sin 60? cos 45? - cos60 ? s in 45?
2 1 2
? - ?
2 2 2 2 6 - 2
4
例 5 求 sin105 ? cos75 ? - cos105 ? s in 75? 的值．
分析 所给的式子恰好是公式右边的形式，可以考虑逆
向使用公式．
解
sin105 ? cos75 ? - cos105 ? s in 75? = sin(105? - 75?)
= sin30 ? = ．
2
π
3
π π
3 3
引领
讲解
说明
引领
分析
说明
观察
思考
主动
求解
观察
思考
理解
注意
观察 学生 是否 理解 知识 点
学生
自我 发现
归纳
= 2( 3
1
sin α )
2 2
= 3 cos α + sin α =左边．
故原式成立．
证 2 左边= 2(
3
1
sin α )
2 2
π π
3 3
π
3
故原式成立．
55
*运用知识 强化练习
1．求 sin105 ? 的值．
2．求 sin 255 ? 的值．
提问
巡视
动手
求解
及时
了解 学生 知识 3．求 sin 25? cos85 ? - cos 25? sin 85? 的值.
指导
掌握
情况
65
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
已知 cos α = - ，且 π ＜ α ＜ ，求 sin(α - ) 的值．
两角和与差的余弦公式及正弦公式内容分别是什么？
结论：
两角和与差的余弦公式
cos(α + β ) = cos α ? cos β - sin α ? s in β
（1.1）
cos(α - β ) = cos α ? cos β + sin α ? s in β
（1.2）
质疑
归纳
强调
小组
讨论
回答
理解
强化
师生
共同 归纳 强调 重点 突破
难点
两角和与差的正弦公式
sin(α + β ) = sin α ? cos β + cos α ? sin β
(1.3)
sin(α - β ) = sin α ? cos β - cos α ? sin β
(1.4)
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
引导
回忆
70
75
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
提问 反思
培养
学生 总结 反思 12 3π π
13 2 4 巡视
指导 动手
求解
学习
过程
的能
85
力
*继续探索活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做）
(3)实践调查：用两角和与差的余弦公式或正弦公式印证一组诱导公式说明记录分层
次要
求
90