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导数知识点总结及应用

《导数及其应用》知识点总结

一、导数的概念和几何意义

1. 函数的平均变化率:函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为:

2121

()()

f x f x x x --。

2. 导数的定义:设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义,0(,)x a b ∈,若x ?无限趋近于0时,比值

00()()

f x x f x y x x +?-?=

??无限趋近于一个常数A ,则称函数()f x 在0x x =处可导,并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数,记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤:(1)求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-;(2)求平均变化率:

00()()f x x f x x +?-?;(3)取极限,当x ?无限趋近与0时,00()()

f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ,则

0()f x A '=.

4. 导数的几何意义:

函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步:

(1)求出()y f x =在x 0处的导数,即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时,求经过点P 的()y f x =的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义:

质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ,则()V S t '=表示瞬时速度,()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算

1. 常见函数的导数:

(1)()kx b k '+=(k , b 为常数); (2)0C '=(C 为常数); (3)()1x '=; (4)2()2x x '=; (5)32()3x x '=;

(6)211()x x

'=-;

(7)1()2x x

'=;

(8)1()ααx αx -'=(α为常数);

(9)()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠; (10)11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a '==>≠;

(11)()x x e e '=;

(12)1(ln )x x '=; (13)(sin )cos x x '=;

(14)(cos )sin x x '=-。

2. 函数的和、差、积、商的导数:

(1)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±; (2)[()]()Cf x Cf x ''=(C 为常数);

(3)[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+; (4)2()()()()()

[

](()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ''-'=≠。 3. 简单复合函数的导数:

若(),y f u u ax b ==+,则x

u x y y u '''=?,即x u y y a ''=?。 三、导数的应用

1. 求函数的单调性:

利用导数求函数单调性的基本方法:设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导, (1)如果恒()0f x '>,则函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数; (2)如果恒()0f x '<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数; (3)如果恒()0f x '=,则函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数()y f x =的定义域;②求导数()f x ';

③解不等式()0f x '>,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式()0f x '<,解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围): 设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,

(1)如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数,则()0f x '≥(其中使()0f x '=的x 值不构成区间); (2) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数,则()0f x '≤(其中使()0f x '=的x 值不构成区间); (3) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数,则()0f x '=恒成立。 2. 求函数的极值:

设函数()y f x =在0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x >(或0()()f x f x <),则称0()f x 是函数()f x 的极小值(或极大值)。

可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:

(1)确定函数()f x 的定义域;(2)求导数()f x ';(3)求方程()0f x '=的全部实根,12n x x x <<< ,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x 变化时,()f x '和()f x 值的变化情况:

x

1(,)x -∞ 1x 12(,)x x … n x (,)n x +∞

()f x ' 正负 0 正负 0 正负 ()f x

单调性

单调性

单调性

(4)检查()f x '的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值:

如果函数()f x 在定义域I 内存在0x ,使得对任意的x I ∈,总有0()()f x f x ≤,则称0()f x 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。

求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值的步骤: (1)求()f x 在区间(,)a b 上的极值;

(2)将第一步中求得的极值与(),()f a f b 比较,得到()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题:

(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

()()f x x A ∈的值域是[,]a b 时,不等式()0f x <恒成立的充要条件是max ()0f x <,即0b <;不等式

()0f x >恒成立的充要条件是min ()0f x >,即0a >。

()()f x x A ∈的值域是(,)a b 时,不等式()0f x <恒成立的充要条件是0b ≤;不等式()0f x >恒成立的

充要条件是0a ≥。

(2)证明不等式()0f x <可转化为证明max ()0f x <,或利用函数()f x 的单调性,转化为证明0()()0f x f x <≤。

5. 导数在实际生活中的应用:

实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。

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