全排列生成算法在克莱姆法则中的应用

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现 知识储备 排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式： 注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 计算公式： 注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。只要组合里面数不同即可 组合算法 本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。value[n]数组表示组合

的数值，作为输出之用。 ? 首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。? 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。 组合的个数为： 例如求5中选3的组合： 1 1 1 0 0 --1,2,3? 1 1 0 1 0 --1,2,4? 1 0 1 1 0 --1,3,4? 0 1 1 1 0 --2,3,4? 1 1 0 0 1 --1,2,5? 1 0 1 0 1 --1,3,5? 0 1 1 0 1 --2,3,5? 1 0 0 1 1 --1,4,5? 0 1 0 1 1 --2,4,5? 0 0 1 1 1 --3,4,5 代码如下：

克莱姆法则及证明

第7 节克莱姆（Cramer）法则 一、线性方程组 元线性方程组是指形式为： 的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个 未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题： （1）. 这个方程组有没有解？ （2）. 如果这个方程组有解，有多少个解？ （3）. 在方程组有解时 , 解之间的关系 , 并求出全部解。 本节讨论方程的个数与未知量的个数相等（即）的情形。 二、克莱姆法则 定理 1 （克莱姆法则）如果线性方程组 的系数行列式：

接下来证明定理。首先，证明 3）确实是（2） 的解。将行列式 按第 列展开得： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成： 其中 是把 中第 列换成常数项 所得的行列式，即 方程组有解； 解是唯一的； 解由公式（3）给出。 因此证明的步骤是： 有解，并且（3）是一个解，即证明了结论 与 。 第二，证明如果 是方程组（２）的一个解，那么一定有 。这就证明了解的唯一性，即证明了结论 。 3） 代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组 证明：先回忆行列式的一个性质，设 阶行列式 第一，把 ，则有：

其中是行列式中元素的代数余子式。现把 代入第个方程的左端，得： 这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的 一个解。 其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式： 4） 用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法 ( 2 0 2 0 )

字符串的排列组合算法合集 全排列在笔试面试中很热门，因为它难度适中，既可以考察递归实现，又能进一步考察非递归的实现，便于区分出考生的水平。所以在百度和迅雷的校园招聘以及程序员和软件设计师的考试中都考到了，因此本文对全排列作下总结帮助大家更好的学习和理解。对本文有任何补充之处，欢迎大家指出。 首先来看看题目是如何要求的（百度迅雷校招笔试题）。一、字符串的排列 用C++写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列,如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba 一、全排列的递归实现 为方便起见，用123来示例下。123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑213和321这二个数是如何得出的。显然这二个都是123中的1与后面两数交换得到的。然后可以将123的第二个数和每三个数交换得到132。同理可以根据213和321来得231和312。因此可以知道——全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。找到这个规律后，递归的代码就很容易写出来了： view plaincopy #includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?v oid?Permutation(char*?pStr,?char*?pBegin)?{?assert(pStr?pBe

gin);?if(*pBegin?==?'0')?printf("%s",pStr);?else?{?for(char *?pCh?=?pBegin;?*pCh?!=?'0';?pCh++)?{?swap(*pBegin,*pCh);?P ermutation(pStr,?pBegin+1);?swap(*pBegin,*pCh);?}?}?}?int?m ain(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Permutation(str,str);?retur n?0;?}? 另外一种写法： view plaincopy --k表示当前选取到第几个数，m表示共有多少个数?void?Permutation(char*?pStr,int?k,int?m)?{?assert(pStr); ?if(k?==?m)?{?static?int?num?=?1;?--局部静态变量，用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(int?i?=?k;?i?=?m;?i++)?{?swa p(*(pStr+k),*(pStr+i));?Permutation(pStr,?k?+?1?,?m);?swap( *(pStr+k),*(pStr+i));?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?" abc";?Permutation(str?,?0?,?strlen(str)-1);?return?0;?}? 如果字符串中有重复字符的话，上面的那个方法肯定不会符合要求的，因此现在要想办法来去掉重复的数列。二、去掉重复的全排列的递归实现 由于全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这二个数就不交换了。如122，第一个数与后面交换得212、221。然后122中第二数就不用与第三个数交换了，但对212，它第二个数

全排列生成算法

全排列的生成算法对于给左的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。字典序法按照字典序求下一个排列的算法广例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列是：123,132,213,231,312,321o注意一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、后缀/生成给泄全排列的下一个排列所谓一个全排列的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。广例839647521是1—9的排列。1—9的排列最前而的是123456789,最后而的是987654321,从右向左扫描若都是增的，就到了987654321,也就没有下一个了。否则找出第一次出现下降的位置。算法：由P1P2...Pn生成的下一个排列的算法如下：1求j=max{j| Pj-I

补充全排列算法C语言实现

字符串全排列算法C语言实现 问题描述： 输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。 输入: 123 输出: 123 132 213 231 312 321 问题分析： 现象分析： 这种问题，从直观感觉就是用递归方法来实现即：把复杂问题逐渐简单化，进而得出具体代码实现。（如何发现一个问题可以使用递归方式来解决？经分析可以发现：M 个数的排列方法与N(N>M)个数的排列方法没有区别，处理方法与数据的个数没有关系。 处理方法的一致性，就可以采用递归）。 3个数（123）排列，第一位1不动，剩下两个数（23）的排列，只要相互颠倒一下，就可以出现关于1开头的所有排列 123 132 把2换到第一位，保持不动，剩下的两个数（13）的排列，只要相互颠倒一下，就可以出现关于2开头的所有排列 213 231 同理，把3换到第一位，可得到 312 321 扩展： 把3个数的所有排列，前面加一个4，就可以得到关于4开头的所有的排列4123 4132 4213 4231 4312 4321 若把4与后续数据中的任意一个数据交换，通过完成对后续三个数的全排列，就可以得到相应的数开头的四数的排列。 总结： 对4个数的排列，可以转换成首位不动，完成对3个数的排列 对3个数的排列，可以转换成首位不动，完成对2个数的排列 对2个数的排列，可以转换成首位不动，完成对1个数的排列 对于1个数，无排列，直接输出结果 算法实现说明：

对n个数的排列，分成两步： （1）首位不动，完成对n-1个数的排列， （2）循环将后续其他数换到首位，再次进行n-1个数的排列 注：排列完成后，最终的串要与原串相同 C语言代码实现： #include #include //将串左移一位，首位存到末尾。 void shift( char *s ) { if ( !s||!s[0] ) return ; //security code . null string char ch=s[0]; int i=0; while( s[++i] ) s[i-1]=s[i] ; s[i-1]=ch; } //本函数对于一个已排序好的数据进行全排列 void permutation(char list[], int head ) { int i,len; len=strlen(list) ; if ( len-head == 1 ) //后续没有再排列的，则输出排列数据 { printf( "%s\n", list ); } else { for (i = k; i

克莱姆法则的一个新证明

线性代数培训之收获 ——对“克莱姆法则”的一个新教案 有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n 阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n 阶行列式在几何上表示“n 维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。 对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。 §7克莱姆法则 一、教学内容 (1) 克莱姆法则的证明 (2) 克莱姆法则的应用 二、教学要求 （1）理解克莱姆法则的证明 （2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D ≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解 （3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D ≠0，方程组只有零解 教学过程 一、（定理1）克莱姆法则 若n ×n 线性方程组 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221 12222212111212111,, ⑴ 的系数行列式

全排列生成算法

全排列的生成算法对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。字典序法按照字典序求下一个排列的算法 /*例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列是:123,132,213,231,312,321。注意一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、后缀。*/生成给定全排列的下一个排列所谓一个全排列的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。/*例 839647521是1—9的排列。1—9的排列最前面的是123456789，最后面的是987654321，从右向左扫描若都是增的，就到了987654321，也就没有下一个了。否则找出第一次出现下降的位置。算法: 由P1P2…Pn 生成的下一个排列的算法如下:1. 求i=max{j| Pj-1

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合——排列公式的推理和组合 加法原理和乘法原理，是排列组合中的二条基本原理，在解决计数问题中经常运用。掌握这两条原理，并能正确区分他们，至关重要。 加法原理 若完成一件事情有3类方式，其中第一类方式有1种方法，第二类方式有3种方法，第三类有2种方法，这些方法都不相同，但任选一种方法都可以完成此事，则完成这件事情共有1+3+2=6种方法，这一原理称为加法原理。例如:从甲地到乙地有三类方式，一是汽车，二是火车，三是飞机。若一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有一班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法。共有2+4+1=7种。 乘法原理 若完成一件事情分r个步骤，其中第一个步骤有m1种方法，第二个步骤有m2种方法……第步骤共有mr种方法，各步骤连续或同时完成，这件事才算完成，则完成这件事共有m1*m2*……*mr种方法。例如:从甲地到丙地必须经过乙地。从甲地到乙地有4条路线，从乙地到丙地有3条路线，问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解：要从甲地到达丙地，必须经过两个步骤：先从甲地到乙地，有4条路线；再从乙地到丙地，有3条路线。只有这两个步骤都完成了，才能完成这种事情，缺少哪一个步骤都不行。因此从甲地到丙地共有4*3=12种走法。 加法原理和乘法原理的区别

以上两个基本原理在排列组合问题中将会反复使用。这两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题，但是又有根本区别。加法原理针对的是“分类”问题，若完成一件事情有多类方式，每一类方式的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事情，则用加法原理；而乘法原理针对的是“分步”问题，若完成一件事情必须依次经过多个步骤，每一个步骤的各种方法相互依存，只有各种步骤都完成才算做完成这种事情，则这时用乘法原理。 排列数公式推理过程 例：用1、2、3这3个数字可以组成多少个数字十位和个位不重复的两位数？解：要组成数字不重复的两位数，需要经过两个步骤：第一步确定十位上的数，数字1、2、3都可以放在十位上，共有3种方法；第二步确定个位上的数，因为要求个位数与十位数不能重复，所以个位上的数，只能从三个数字中去掉十位数后所剩的两个数字中任选一个，共有2种方法。只有十位和个位上的数都确定了，才能组成数字不重复的两位数，这两个步骤缺少哪一个都不行。因此，根据乘法原理，3*2=6. 上例中，我们把数字1、2、3称为元素。组成数字不重复的两位数这个问题，从3个不同的元素中任取2个，然后按顺序排成一列数，由于这样的排列与数字不重复的两位数是一一对应的，因此求数字不重复的两位数的个数等同于求这样的排列个数。 推理过程：从n个不同元素中取出m个不同元素排成一列，必须经过m 个步骤。第一步，确定第1个位置上的元素,可以从这n个元素中任取1个放在这个位置上，共有n种方法，即n-(1-1)括号内为位置数减1；第

全排列的生成算法

精品文档 全排列的生成算法全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。任何n个字符集的排列都可以与1?n的n个数字的排列一一对应，因此 在此就以n 个数字的排列为例说明排列的生成法。 n 个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。所有的排列中除最后一个排列外，都有一个后继；除第一个排列外，都有一个前驱。每个排列的后继都可以从它的 前驱经过最少的变化而得到，全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。 全排列的生成法通常有以下几种：字典序法递增进位数制法递减进位数制法邻位交换法 递归类算法 1. 字典序法 字典序法中，对于数字1、2、3 ......n 的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐 个比较对应的数字的先后来决定的。例如对于5个数字的排列 1 2354和12345，排列12345 在前，排列12354 在后。按照这样的规定， 5 个数字的所有的排列中最前面的是 1 2345 ，最后面的是54321 。 字典序算法如下： 设P是1?n的一个全排列： p=p1p2 .... pn=p1p2 ...... pj-1pjpj+1 ..... p k-1pkpk+1 .... pn 1 ）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j 从左端开始计算），即j=max{i|pipj} （右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者） 3）对换pi ，pk 4 ）再将pj+1 ................. pk-1pkpk+1pn 倒转得到排列p ' ' =p1p2 .... p j-1pjpn ..... pk+1pkpk-1 .... p j+1 ，这就是排列p 的下一个下一个排列。 例如839647521 是数字1?9 的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下：自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字 4 839647521 在该数字后的数字中找出比 4 大的数中最小的一个 5 839647521 将5与4交换839657421 将7421 倒转839651247 所以839647521 的下一个排列是839651 247 。 2. 递增进位数制法 在递增进位制数法中，从一个排列求另一个排列需要用到中介数。如果用ki 表示排 列p1p2...pi...pn 中元素pi 的右边比pi 小的数的个数，则排列的中介数就是对应的排 列k1 .... ki ...... kn-1 。 例如排列839647521 的中介数是72642321 ，7、2、6、..... 分别是排列中数字8、3、 1欢迎。下载

克莱姆法则及证明

第7节克莱姆（Cramer）法则 一、线性方程组 元线性方程组是指形式为： （1） 的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，，; 称为方程组的系数，称为常数项。 线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。 为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题： (1).这个方程组有没有解？ (2).如果这个方程组有解，有多少个解？ (3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。 本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。 二、克莱姆法则 定理1（克莱姆法则）如果线性方程组

（2） 的系数行列式： 那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成： （3） 其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即 。 分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。因此证明的步骤是： 第一，把代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。

第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有 。这就证明了解的唯一性，即证明了结论。 证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有： 接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）的解。将行列式按第列展开得： ， 其中是行列式中元素的代数余子式。现把 代入第个方程的左端，得：

这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。 其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式： （4） 用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到： 将此个等式相加，得： 从而有：。这就是说，如果是方程组（2）的 一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。 三、齐次线性方程组

c语言递归算法实现数列全排列

1、数列全排列递归算法； 2、在不打印所有全排列时，数列长度分别为10、11、12、13时全排列花费时间测试，修改N的值重新编译即可运行测试； 3、如果需要打印全排列，打开perm函数中的注释掉的两行printf语句即可。

#include #define N 10 int a[20] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}; void swap(int one, int two) { int tmp = a[one]; a[one] = a[two]; a[two] = tmp; } void perm(int *list, int begin, int end)

{ int i = 0; if (begin == end){ for ( i = 0; i < N ; i++){ //printf("%d", list[i]); } //printf("\n"); } else{ for (i = begin; i <= end; i++) { swap(begin,i); perm(list,begin+1,end); swap(begin,i); } } } int main(int argc, char *argv[]) { int *list=a; int i; perm(list, 0, N-1); for (i = 0; i < N; i++){ printf("%d", list[i]); } return 0; }

全排列算法解析(完整版)

全排列以及相关算法 在程序设计过程中，我们往往要对一个序列进行全排列或者对每一个排列进行分析。全排列算法便是用于产生全排列或者逐个构造全排列的方法。当然，全排列算法不仅仅止于全排列，对于普通的排列，或者组合的问题，也可以解决。本文主要通过对全排列以及相关算法的介绍和讲解、分析，让读者更好地了解这一方面的知识，主要涉及到的语言是C和C++。本文的节数： 1.全排列的定义和公式： 2.时间复杂度： 3.列出全排列的初始思想： 4.从第m个元素到第n个元素的全排列的算法： 5.全排列算法： 6.全排列的字典序： 7.求下一个字典序排列算法： 8.C++ STL库中的next_permutation()函数：（#include） 9.字典序的中介数，由中介数求序号： 10.由中介数求排列： 11.递增进位制数法： 12.递减进位制数法： 13.邻位对换法： 14.邻位对换法全排列： 15.邻位对换法的下一个排列： 16.邻位对换法的中介数： 17.组合数的字典序与生成： 由于本文的，内容比较多，所以希望读者根据自己的要求阅读，不要一次性读完，有些章节可以分开读。第1节到第5节提供了全排列的概念和一个初始的算法。第6节到第8节主要讲述了字典序的全排列算法。第9到第10节讲了有关字典序中中介数的概念。第11到第12节主要介绍了不同的中介数方法，仅供扩展用。第13节到15节介绍了邻位对换法的全排的有关知识。16节讲了有关邻位对换法的中介数，仅供参考。第17节讲了组合数生成的算法。 1.全排列的定义和公式： 从n个数中选取m（m<=n）个数按照一定的顺序进行排成一个列，叫作从n个元素中取m 个元素的一个排列。由排列的定义，显然不同的顺序是一个不同的排列。从n个元素中取m 个元素的所有排列的个数，称为排列数。从n个元素取出n个元素的一个排列，称为一个全排列。全排列的排列数公式为n!，通过乘法原理可以得到。 2.时间复杂度： n个数（字符、对象）的全排列一共有n!种，所以全排列算法至少时O(n!)的。如果要对全排列进行输出，那么输出的时间要O(n*n!)，因为每一个排列都有n个数据。所以实际上，全排列算法对大型的数据是无法处理的，而一般情况下也不会要求我们去遍历一个大型数据的全排列。 3.列出全排列的初始思想： 解决一个算法问题，我比较习惯于从基本的想法做起，我们先回顾一下我们自己是如何写一组数的全排列的：1，3，5，9（为了方便，下面我都用数进行全排列而不是字符）。

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合算法总结(基于C++实现) 全排列n! 1.1 递归法 设一组数p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列为perm(p)，pn = p –{rn}。则perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。当n = 1时perm(p} = r1。 如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列 1、首先看最后两个数4, 5。它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。 由于一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。 2、再看后三个数3, 4, 5。它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六组数。 即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合. #include iostream using namespace std; void Perm(int start, int end, int a[]) { --得到全排列的一种情况，输出结果 if (start == end) { for (int i = 0; i end; i++) cout a[i] ' ';

cout endl; for (int i = start; i end; i++) { swap(a[start], a[i]); --交换 Perm(start + 1, end, a); --分解为子问题a[start+1.,end-1]的全排列 swap(a[i], a[start]); --回溯 int main() { int i, n, a[10]; while (cin n, n) { for (i = 0; i n; i++) a[i] = i + 1; Perm(0, n, a); return 0; C(n,k)，n个数中任取k个数 2.1 递归法 实际上就是在n个数中，标记k个数，然后输出这k个数的过程。使用一个visited数组来记录相应下标的数是否被选中。 #include iostream using namespace std; void dfs(int pos, int cnt, int n, int k, int a[],bool visited[]) { --已标记了k个数，输出结果

组合数学中的全排列生成算法完整版

组合数学全排列生成算法 组合数学中的全排列深成算法历来是组合数学考试的重要考察点，因此在这里我简单的介绍一下6种全排列生成算法的详细过程，并借此比较它们之间的优劣之处。 不论是哪种全排列生成算法，都遵循着“原排列”→“原中介数”→“新中介数”→“新排列”的过程。其中中介数依据算法的不同会的到递增进位制数和递减进位制数。关于排列和中介数的一一对应性的证明我们不做讨论，这里仅仅给出了排列和中介数的详细映射方法。相信熟练掌握了方法就可以顺利通过这部分的考察。 递增进位制和递减进位制数 所谓递增进位制和递减进位制数字是指数字的进制随着数字位置的不同递增或递减。通常我们见到的都是固定进制数字，如2进制，10进制等。m位n进制数可以表示的数字是m*n个。而m位递增或递减进位制数则可以表示数字m!个。例如递增进位制数4121，它的进制从右向左依次是2、3、4、5。即其最高位（就是数字4那位）最大值可能是4；第三高位最大可能是3；第二高位最大可能是2；最末位最大可能是1。如果将4121加上1的话，会使最末位得到0，同时进位；第二位的2与进位相加，也会得到0，同时进位；第三位的1与进位相加得到2，不再进位。最终得到结果是4200。递减进位制的道理是一样的，只不过进制从右向左依次是9、8、7、6……，正好与递增进位制相反。很明显，递减进位制的一个最大的好处就是加法不易进位，因为它在进行加法最频繁的末几位里（最右边）进制比较大。 接下来要了解的是递增进位制、递减进位制数和其序号的关系。递增、递减进位制数可以被看作一个有序的数字集合。如果规定递增进位制和递减进位制数的0的序号是十进制0，递增进位制数的987654321和递减进位制数的123456789对应十进制序号362880（即9!），则可以整理一套对应法则。其中，递增进位制数（a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9）为： a1*9! + a2*8! + ….+ a8*2! + a9*1! =序号 例如序号100的递增进位制数就是4020，即4*4！+ 0*3！+ 2*2！+ 0*1！=100。将一个序号转换成其递增进位制数首先需要找到一个比序号小的最大阶乘数（即1、2、6、24、120、720……），对其进行整数除得到递增进位制的第一位；将除法的余数反复应用这个方法（当然，之后选择的余数是小一级的阶乘数），直到余数为0。 递减进位制数（a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9）为： (((((((((a1 * 1 + a2) * 2 + a3) * 3 + …… + a7) * 8 + a8) * 9 + a9=序号 例如序号100的递减进位制数就是131（a7 a8 a9，即从后对齐），即（1*8 + 3）*9 + 1 = 100。将一个序号转换成其递减进位制数，需要对序号用9取余数，就可以得到递减进位制的最末位（这点和递增进位制先算出最高位相反）。用余下的数的整数除结果重复此过程（当然，依次对8、7、6……取余），直到余数为0。 关于递增进位制和递减进位制需要注意的重点：一是其加减法的进位需要小心；二是序号和数字的转换。除了100之外，常见的转换有：999的递增数是121211，递减数是1670；99的递

全排列的生成算法

全排列的生成算法 全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。任何n个字符集的排列都可以与1～n的n个数字的排列一一对应，因此在此就以n个数字的排列为例说明排列的生成法。 n个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。所有的排列中除最后一个排列外，都有一个后继；除第一个排列外，都有一个前驱。每个排列的后继都可以从它的前驱经过最少的变化而得到，全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。 全排列的生成法通常有以下几种： 字典序法 递增进位数制法 递减进位数制法 邻位交换法 递归类算法 1.字典序法 字典序法中，对于数字1、2、3......n的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐个比较对应的数字的先后来决定的。例如对于5个数字的排列12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。按照这样的规定，5个数字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是54321。 字典序算法如下： 设P是1～n的一个全排列: p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn 1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即 j=max{i|pipj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）3）对换pi，pk 4）再将pj+1......pk-1pkpk+1pn倒转得到排列p’’=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列p的下一个下一个排列。 例如839647521是数字1～9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下： 自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4 839647521 在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5 839647521 将5与4交换 839657421 将7421倒转 839651247 所以839647521的下一个排列是839651247。 2.递增进位数制法 在递增进位制数法中，从一个排列求另一个排列需要用到中介数。如果用 ki表示排列p1p2...pi...pn中元素pi的右边比pi小的数的个数，则排列的中介数就是对应的排列k1 ...... ki...... kn-1。 例如排列839647521的中介数是72642321，7、2、6、......分别是排列中数字8、3、

非递归全排列_算法分析与设计实验

非递归全排列 问题描述 设计和实现一个输出全排列的程序。 2.问题分析 参考了网上的一个新的算法---字典序列的方法来就全排序 比如求3,1,2,4的全排列，这种方法将这些序列进行了一个排序，比如得到全排序之后的的所有序列第一个序列是，1,2,3,4 最后一个序列是4,3,2,1也就是递增的方法来查找序列，比如，3214的下一个序列就是3241。当然这个算法必须要对该数组进行有大到小的顺序情况下进行，所以要对数组进行一次由小到大的排序。 交换void swap(int *a,int *b) 逆置void revArr(int *arr,int k,int m) 全排列int fullArr(int *arr,int n) #include using namespace std; void swap(int *a,int *b) //交换 { int tmp=*a; *a=*b; *b=tmp; } void revArr(int *arr,int k,int m) //数组arr 从k到m进行逆置 { while(k

swap(arr+k,arr+m); k++; m--; } } void print(int *x,int n) //打印 { for(int i=0;i=0;i--) { if(arr[i]i;j--) //在i后方找到一个数比i大而且最接近i的数，我们可以直接从后先前找，因为i后方的数都是升序的 { if(arr[j]>arr[i]) { break;

克莱姆法则

第三节 克莱姆法则 教学目的及要求：1.克莱姆法则 2.利用克莱姆法则求解线性方程组 教学重点、难点：克莱姆法则的应用 教学过程： 一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授 1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。 在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关n 元线性方程组的概念。 含有n 个未知数n x x x ,,,21 的线性方程组 )1(, ,,22112222212111212111 n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为n 元线性方程组.当其右端的常数项n b b b ,,,21 不全为零时,线性方程组(1)称为非齐次线性方程组,当n b b b ,,,21 全为零时, 线性方程组(1)称为齐次线性方程组，即 )2(. 0,0,0221122221211212111 n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 线性方程组(1)的系数ij a 构成的行列式称为该方程组的系数行列式D ，即 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 . 2.克莱姆法则 定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0 D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为

),,2,1(n j D D x j j (3) 其中),,2,1(n j D j 是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式. 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法. 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理. 定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式,0 D 则(1)一定 有解,且解是唯一的. 在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理: 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零. 对齐次线性方程组(2), 易见021 n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式.0 D 注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0 D 则齐次线性方程组(2)有非零解. 三、例题选讲 例1用克莱姆法则求解线性方程组： 453522532322 1321x x x x x x x 解 5 30021 5 32 D 3 1r r ,205225 30 22 5 30021 02 5340 255321 D 3 1r r ,2052)2(5 34 025002 5 400 515222 D 2 12r r 5 4 051580 2 1r r ,605 45 85 405800 51